期权与投资决策
期权的基本概念
期权价值的影响因素
期权评价模型
实际期权
第一节 期权的基本概念
一、期权的基本要素
期权(option)是一种合约，它赋予持有人在规定的时间按规定的价格购买或卖出一定数量的某种资产的权利。
期权的持有者拥有的是权利，而不是义务。
期权合约包括以下一些基本的要素：
1，基础资产(underlying asset)，也称为标的资产，是指期权合约规定的持有人有权购买或卖出的资产。常见的基础资产包括：股票、货币、指数、债券、期货等。
2，执行价格(exercise price, or striking price)：是指期权合约规定的持有人据以购买或卖出基础资产的价格。
3，到期日(expiration date)：执行期权的最后有效日期。
4，权利类型：
看涨期权(call option)：它赋予持有人购买基础资产的权利。
看跌期权(put option)：它赋予持有人卖出基本资产的权利。
5，美式期权与欧式期权：
美式期权(American option)：指在到期之前或到期日都可执行的期权。
欧式期权(European option)：指只有在到期 日才可执行的期权。
二、期权交易
1，交易市场：交易所(exchange)与场外市场（OTC，over-the-counter market)。
期权交易所交易的一般是标准化的期权。而场外市场交易的期权要素可以按交易双方的需要确定。利率期权和货币期权的场外交易非常活跃。
2，期权的买方与卖方：
期权的买方常称为期权的持有人。
期权的卖方有时也称为写约人(writer)，他只有义务，而没有权利。
3，期权价格(option price)：期权价格有时也称为期权费(option premium)，指期权的买方为获得期权而向卖方支付的价格。这个价格是由市场决定的。
4，期权的履约：期权交易的履约有三种方式：
对冲；
执行期权；
自动失效。
5，期权交易的保证金：在期权交易中，期权的买方不需要保证金。期权交易的卖方由于没有权利、只有义务，所以为了保证其不违约，必须交纳保证金。
保证金又因卖出的期权是有保护的期权或无保护的期权而不同。
第二节 影响期权价值的因素
一、期权在到期日的价值
在到期日，期权持有者只有两种选择：
执行期权；
过期作废。
因此，期权在到期日的价值取决于期权基础资产的市场价格与期权执行价格的关系。
下面，以股票期权为例。
1，看涨期权
下面，使用下列符号：
E：期权执行价格；
S：股票的市场价格；
r：无风险利率；
t：期权的有效期限（以年为单位）；
C：看涨期权的价格；
P：看跌期权的价格。
C*
S*
E
看涨期权在到期日的价值：
C*=Max{S*-E，0}
2，看跌期权
看跌期权在到期日的价值：
P*=Max{E-S*，0}
P*
S*
E
二、影响期权价值的因素
首先分析股票看涨期权。
影响期权价值的因素主要有以下几种：
1，股票的市场价格S
股票价格越高，则S-E越大，因此，期权的价格越高。
2，期权的执行价格E
执行价格越高，则S-E越小，期权的价格越小。
期权的内在价值(intrinsic value)：
内在价值=Max{S-E，0}
期权价格的上下限
上限：看涨期权的价格不可能超过作为其基础资产的股票的价格，因此，股票的市场价格是看涨期权的上限。
C <S
下限：看涨期权价格不可能低于其内在价值，事实上，看涨期权的下限为：
C > -rt
证明：考虑两个投资组合：
组合A：看涨期权+金额为-rt的无风险投资；
组合B：一股股票。
实值期权、平值期权和虚值期权
实值(in the money)：S>E；
平值(at the money)：S=E；
虚值(out of the money)：S<E。
即实值期权的内在价值为正，平值期权和虚值期权的内在价值为零。
-rt
C
S
3，期权的有效期限t：
期权的有效期限越长，看涨期权的价格越高。即：
如果t1<t2，则C(t1)<C(t2)
注意，这种关系对美式期权成立，但对欧式期权则不一定。
4，股票价格的波动性σ：
看涨期权的持有人在股票价格上涨到超过执行价格时会获利，而当股票价格下降到低于执行价格时，最大的损失是支付的期权价格。因此，股票价格的波动性越大，看涨期权的价格越高。
5，无风险利率r：
利率的变动对看涨期权有两种影响，一是对股票价格的影响，二是对执行价格现值的影响。
从对执行价格现值的影响来看，无利率越高，执行价格的现值越小，期权的价格越高。
6，股票的现金股息d：
如果在期权的有效期内，股票支付现金股息，除息后股票价格将下降，因此，股票的现金股息越高，期权的价格越低。
三、美式看涨期权的最佳执行时机
1，不支付股息的看涨期权的最佳执行时机
结论：如果在期权的有效期限内股票不支付现金股息，则期权的最佳执行时机是期权到期日。因此，美式看涨期权的价格等于欧式看涨期权的价格。
证明：考虑两个投资组合：
看涨期权+金额为-rt的无风险投资；
一股股票。
2，支付股息的看涨期权的最佳执行时机
如果有期权的有效期限内预计股票要支付现金股息，则提前执行期权可能是有利的。
按上述的结论，在这种情况下，只需要比较在支付股息前执行与到期执行两种情况。
在支付股息前执行，持有人可以获得股息，但放弃了到期情况下的利息收入。
四、看跌期权的价格与影响因素的关系
影响因素 P
股票市场价格S↑ ↓
期权执行价格E↑ ↑
有效期限t↑ ↑
股票价格波动性↑ ↑
无风险利率r↑ ↓
股票现金股息d↑ ↑
对欧式看跌期权来说，有效期限与期权价格的关系不严格成立。
五、看涨期权与看跌期权的平价原理
1，欧式期权
-rt=C-P
2，美式期权
S-E<C-P<-rt
第三节 期权评价模型
一、二项树模型（binomial tree model）
二项树模型是为期权其它衍生证券评价的一个常见方法。
1，单步二项树模型
例：某股票的欧式看涨期权，执行价格为21元，有效期限为三个月，无风险年利率为12%，股票在现在的价格为20元，股票在三个月后的价格有两种可能性，分别为22元或18元。
构造一个包含股票的多头和看涨期权空头的组合，设组合中股票的数量为△。△的选择要使得该组合在期权到期时的价格对两个股票价格都是相等的，即该组合是无风险的。即： 22△-1=18△
△=
S=20
=22
fu=1
=18
fd=0
因此，无风险组合由购买股股票、卖出一个期权构成。
如果股票价格上升为22，该组合的价值为：
-1=
如果股票价格下降为18，组合的价值为：
=
因此，组合现在的价值为三个月后元的现值。即：
-C==
C=
一般公式：
股票预期收益的无关性。
风险中性评价。
上述公式中的p可以解释为股票价格上升的概率。则+(1-p).fd则是期权的预期收益。
2，两步二项树模型
20
22
18
一般公式：
S
f
fu
，fud
，fdd
fd
，fuu
二、Black--Scholes期权定价模型
对于不支付股息的欧式看涨期：
式中：N（*）为期望值为0、标准差为1的标准正态分布的累计概率函数；σ为股票收益率的标准差。
Black--Scholes期权定价模型的推导
假设条件：
无摩擦和连续市场：不存在交易成本，股票市场连续交易；
卖空和借贷不受限制，借贷利率相等；
股票价格变动遵循μ、σ为常数的如下随机过程：
dS= μSdt +σSdz
dz为维纳过程（wiener process)。
即股票价格服从对数正态分布。
无风险利率为常数；
Ito定理：
假设变量x的值遵循如下随机过程：
dx=a(x,t)dt + b(x,t)dz
其中，dz是一个维纳过程，a与b是x和t的函数。
Ito定理表明x和t的函数G遵循如下过程：
Black--Scholes微分方程：
假设f是基于S的某个看涨期权或其它衍生证券的价格，变量f一定是S和t的某一函数。根据Ito定理可得：
f和S遵循的维纳过程相同。所以选择某种股票和衍生证券的组合可以消除维纳过程。
证券组合为：卖空一份衍生证券，买入数量为 的股票。定义组合的价值为G。则：
dt时间后组合的价值变化dG为：
将df和dS代入上式，得到：
在这个方程中，不含有dz，因此组合的是无风险的。所以下式成立：
将dG和G代入上式可以得到：
代简得到Black--Scholes微分方程：
对于基础证券的变量定义的所有衍生证券，此方程有许多解。特定的衍生证券取决于使用的边界条件。这些边界条件确定了在S和t的可能取值的边界上衍生证券的价值。
对于欧式看涨期权，关键的边界条件是：
f=max（S-E，0） 当t=0时。
对于欧式看跌期权，边界条件为：
当t=0时，f=max（E-S，0）。
Black--Scholes定价模型的应用：
某股票现在的价格为30元，股票收益率的标准差为30%，无风险利率为10%，计算执行价格为30，有效期限为6个月的欧式看涨期权与看跌期权的价格。
已知：S=30，E=30，r=10%，σ=30%，t=
第一步，计算d1，d2：
第二步，计算N(d1)和N(d2):
通过查表得：
N(d1)=, N(d2)=
第三步，计算看涨期权的价格：
C=(d1)-10%(d2)
=
=
第四步，根据平价原理计算看跌期权的价格：
根据平价原理可得：
P=(-d2)(-d1)
=
=
存在股息情况下的Black--Scholes模型的调整
如果在期权的有效期限内，股票支付现金股息，除息后，股票价格将下降，因此，看涨期权的价格下降，而看跌期权的价格将上升。
调整的方法是用S-PV（d）代替上述公式中的S。
第四节 期权理论在投资决策中的应用
一、实际期权（real options）
扩大投资，或进行后续投资的选择；
放弃投资项目的选择；
投资时机的选择；
改变生产方法的选择；
……
实际期权本质上，是企业投资和经营活动中具有的灵活性。
二、后续投资机会的价值
某投资项目的现金流量如下所示：（单位：百万元）
年份 0 1 2 3 4 5
NCF -450 60 59 195 310 125
资本机会成本为20%，该项目的净现值为：
NPV= -46
因此，该投资项目不可行。然而，进行该项投资使公司有机会在将来进行后续的第二期投资。否则公司将来进入该产品市场的成本非常高昂。
该投资项目的价值=NPV+期权的价值
该期权价值的评估：
假设：
三年后进行第二期投资的决策；
第二期的投资估计为9亿元；
第二期投资的现金流量的现值为亿元；
第二期投资现金流量的标准差为35%；
无风险利率为5%。
第二期投资机会是一个有效期限为3年、执行价格为9亿元、资产价格为4。63亿元的看涨期权。
根据期权评价公式：
该看涨期的价值为亿元。因此，第一期投资的价值=-46+55=9（百万元）。
三、放弃投资的价值
生产某产品可采用两种生产技术，它们的初始投资相同，均为24万元，寿命期相同为三年。
A技术采用专用设备，不能转作它用，经营成本较低。
;
;
;
;
;
;
;
;
;
B生产技术采用通用设备，可转作它用或销售，但经营成本较高。其现金流量如下所示：
20;
5;
40;
10;
;
80;
20;
;
5;
根据上一章净现值的方法，应分别计算两个方案的净现值，选择净现值最大的方案，资本机会成本为20%。
A技术方案的净现值=-24=万元；
B技术方案的净现值=-24=万元。
期权的方法：
首先计算B技术在各节点的价值：
第三年末，价值为零。
第二年末，其价值有四种可能性：
（+)/=
(+)/=
(+)/=
(+)/=
第一年末，其价值有两种可能性：
[(+40)+(+10)]/=
[(+10)+(+)]/=
投资期初，其价值为：
[（+20)+(+5)]/=
计算放弃投资选择的价值：
假设第一年末，放弃投资可实现的价值为16万元，假定无风险利率为10%。
根据前面二叉树方法：
; 0
;
u=
d=
p=(- )/(- )=
期权的价值为：
(+)/=万元
B技术方案的价值为投资的净现值加上期权的价值：
-24+=万元。
因此，B技术方案的价值大于A技术方案的净现值。B技术方案优于A技术方案。
