第13卷第2期 中南大学学报(社会科学版) 2007年4月 J. CENT. SOUTH UNIV. (SOCIAL SCIENCE) Apr. 2007 房地产价格随机波动与抵押贷款风险值(VaR)的研究 1,212 周为吉, 曲福田, 殷国新 (1. 南京农业大学中国土地问题研究中心，江苏南京，210095； 2. 广东工业大学经济管理学院, 广东广州，510090) 摘要：借鉴金融理论中关于资产收益率的正态分布规律，依据房地产抵押贷款中抵押人与抵押权人所拥有房地产价值的差异，构建并修正了房地产价格对数正态分布模型。在此基础上，给出了一种度量房地产抵押贷款风险的方法，得出了房地产抵押贷款风险值与价格波动率、折旧率、抵押比、处置费用和置信度等因素有关的结论。 关键词：房地产价格；抵押贷款风险；对数正态分布模型 中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1672-3104(2007)02−0193−05 房地产价格是在诸多因素组成的市场作用力共同进而研究房地产抵押贷款的风险是可行的。 作用下产生的。因为影响房地产价格因素的复杂性和(二) 构建房地产价格对数正态分布模型的思想 多变性使得市场作用力的大小和方向都经常发生无规首先，设某宗房地产在t时刻的价格为S(t)，t+∆t 则的变化，所以，房地产的价格也相应地随之波动。时刻的价格为S(t+∆t)。定义房地产的相对价格x为 从本质上来讲，房地产价格是一个随机变量，用随机S(t+∆t)x= (1) 函数来刻画房地产价格变动将更符合实际情况。房地S(t)产价格随机波动给房地产抵押贷款带来了潜在风险，在观察期∆t时间内，由于作用于该房地产的市场作用研究房地产价格随机波动规律对于判研抵押贷款的风力发生不规则的变化，这种无规则作用的结果就是使险值(Value at Risk ,简记VaR),防范抵押贷款的风险具得期末房地产的价格S(t+∆t)为一随机变量。相应地x有重要的意义。 亦为一个随机变量，且服从以下分布： ln(x)~N(µ,σ) (2) 一、房地产价格随机分布模型 或者写成如下形式： (一) 度量房地产价格随机波动的理论依据 2x1−(ln(x)−µ)Φ(x)=expdx (3) 早期的金融理论研究指出资产收益率服从正态分∫202πσ2σ布，而现在越来越多的实证研究已经证实资产的对数式中：x是房地产价格的相对值；µ是在∆t时间内该收益率并不完全服从正态分布，而是服从“稳定帕雷宗房地产的预期连续复合收益率；σ为∆t时间内的房托(Stable Paretian)”分布。此分布的尾部比正态分布地产相对价格的对数值的波动率。 胖，而峰部比正态分布高，Mandelbrot、Edgar ［2］[1]其次，进行波动率的计算。σ是房地产相对价称之为分形分布。但由于该模型分布的不连续性和格波动情况的一个特征值。σ值越大，表明房地产相方差的无极限性，使得建立基于收益率分形分布的金对价格的波动越大，相应地，房地产抵押贷款的风险融模型难度极大，其应用相应地受到限制；而资产收值越大。房地产抵押贷款对抵押权人来说也是一种投益率的正态分布模型由于其数学形式的简洁性和相当[2,2]资，但这种投资不同于证券投资，证券市场可以用大的解释力，仍受许多金融机构的青睐。房地产抵押量的市场交易数据来求取证券的波动率。而对于一宗贷款属于金融的范畴，而房地产价格的变动必然引起房地产，由于其交易的次数极少，不可能从市场上获其收益率的变动，因此，借助现代金融理论中资产收[3]取该房地产不同时点的价格来计算其波动率。从理论益率的正态分布模型来度量房地产相对价格分布， 收稿日期：2006−12−20; 修回日期: 2007−03−08 作者简介：周为吉(1964−), 男, 湖南衡阳人，广东工业大学副教授, 南京农业大学博士研究生, 主要研究方向: 土地管理, 房地产经营.
中南大学学报(社会科学版) 第13卷 194 上来讲，在同一供需圈内，由于用途的相互替代性，准确预测房地产的价格。 同种用途的房地产的价格在相同市场作用力的影响(4) 密度函数式(3)中，参数µ为观察期∆t时间内下，应该有相同的波动率。因此，某种用途房地产价该类房地产的预期连续复合收益率。若将该宗房地产格的波动率，可以由其所在地同类型房地产价格指数视其价格为S(t)的资产，则在∆t时间内，该资产的价 的相对值来替代。值应该满足下列关系S(t+∆t)=S(t)exp(µ)，该公式的推如：已知某城市商业房地产在i月的价格指数为导可见文献[2]。在现实的市场环境下，µ是一个随机I。定义 变量，对于某宗具体的房地产而言，其资产平均收益i率的期望值为µ，但其资产的实际收益可能高于µ，也Iiu=ln (4) 可能低于µ。即下式成立： tIi−1 S(∆)t+tEln=µ (7) 则该市商用房地产的波动率为： S(t)2n_ 1σ=u−u∑i (5) 二、作为抵押物的房地产相对价格的 n−1i=1分布模型 nu∑ i_i=1u=其中(一) 抵押人与抵押权人拥有房地产价值的差异 (6) n及原因 上述的模型是在未考虑折旧情形下,从房地产所有房地产相对价格的随机波动遵循于几何布朗运动(Geomertical Brownian Motion,GBM),波动率与观察期者(抵押人)的角度得出的相对价格分布模型。在抵押的时间∆t成正比。即若设年波动率为σ，月波动率 期末,作为抵押物的房地产，其价值对于抵押人和抵押为σ，则σ=12σ。 权人(银行)而言是有差异的。对于抵押人而言的房地11产价值要高于抵押权人的价值。产生这种差异的原因,(三) 房地产相对价格分布模型说明 房地产相对价格的对数正态分布模型可以较为一方面是由于房地产在抵押期间,使用权和收益权仍直观地描述房地产价格分布规律,该模型的优点体现为抵押人所有,这种使用和收益对房地产所有者(抵押在以下几方面。人)带来的价值包含在模型的期末价格S(t+∆t)中, 而 抵押权人并没有获得这部分收益。另一方面是由于房(1) 保证了房地产相对价格为正数(x>0)。若在观察期内房地产的价格向上波动则地产在使用期间会发生建筑物折旧以及土地使用权年x>1,相应地， 限的缩短。对于某一宗具体的房地产而言,抵押期初和ln(x)>0；若房地产价格向下波动则x<1,相应地，期末的剩余法定使用寿命是有显著差异的,这种差异ln(x)<0。价格的任何变化都可以用x来描述，相应地，使得房地产的价值降低(可称之为房地产的折旧)。从ln(x)可以在(−∞,+∞)区间取值，满足对数正态分布抵押权人的角度来看,显然要考虑这种折旧对其价值对自变量的取值要求。的影响。 (二) 相对于抵押权人的房地产价格分布模型 (2) 在正态分布模型中，波动率越小,房地产相对价格值趋近于0或取很大值的可能性就越小。通常房度量房地产抵押贷款风险值的大小,重点要分析地产相对价格的年波动率要远远低于股票等金融资产相对于抵押权人的房地产价格分布模型。考虑到抵押的波动率。如上海地区写字楼的相对价格年波动率约人与抵押权人拥有房地产价值的差异，对模型(式(3))为进行修正,从而得到抵押房地产对于抵押权人的价格%，而中国石化()的相对价格年波动率[4,5]约为分布模型。 24%。这种较小的波动率反映了房地产价格的稳定性，同时也是房地产作为最受欢迎的贷款抵押物的设S(t)为期初房地产的价格,M(t+∆t)为在单独考1原因所在。虑收益率差异时的房地产期末价格,M(t+∆t)为在单独 2考虑折旧校正时的房地产期末价格,M(t+∆t)为综合考(3) 房地产相对价格的波动率越大，其概率密度函数的波峰越平坦，相对价格分布的离散度越大，房虑这两种因素之后的抵押房地产期末的价格,对式(3)地产价格就越难准确预测。在其它条件相同的情况下，进行以下两方面的修正。 由于波动率随时间的延长而增加，故时间越长就越难(1) 收益率的校正
第2期 周为吉, 曲福田, 殷国新:房地产价格随机波动与抵押贷款风险值(VaR)的研究 195式(3)所给出的房地产社会平均收益率为 地产的市场环境因素决定的，对于抵押人和抵押权人而言都是相同的，此参数不需修正。 S(t+∆t)Eln=µ (8) 综合式(8)和式(15)，我们可以得到对于债权人而S(t)言的房地产价格分布模型为 由于该房地产收益已完全为抵押人所实现,抵押期 M(t+∆t)∆tln~N−σ (16) 对抵押权人(银行)而言, 其期望收益为 S(t)NM(t+∆t)1Eln=0 (9) 或可写作： S(t)∆tlny+y(2) 折旧的校正 1NF(y)=exp−dy (17) ∫20房地产折旧的计算方法有多种,如直线法、定率2πσy2σ法、偿债基金法等。本文选取直线法作为房地产折旧的计算方法。 式中：y为抵押房地产对于抵押权权人的相对价格；设抵押贷款期为∆t,抵押期初房地产的剩余寿命∆t为折旧率；σ为波动率。 为N。在抵押期内房地产的总折旧为N ∆t d= (10) N三、房地产抵押贷款在险值(VaR)度量 且下式成立: 及案例分析 M(t+∆t)=S(t)(1−d) (11) 2 将此式变为相对价格的对数形式如下: (一) 房地产抵押贷款在险值(VaR)的内涵及其度 量 M(t+∆t)2ln=ln(1−d) (12) S(t)房地产抵押贷款通常以房地产的评估值为依据， 在一定的抵押率(通常为)下来确定贷款额的。抵押为简化起见,我们假定0<∆t<<N (即抵押期远远小率在一定的程度上保证了抵押贷款的安全性(抵押率于房地产法定剩余寿命),则有0<d<<1。式(12)右边可越低安全性越高)。如前所述，由于房地产价格的波动、以展开成关于d的无穷级数，在d趋近于零时，可以抵押期价格折旧以及处置变现费用等因素的影响，可忽略高阶无穷小项，从而下式成立： 能使得贷款期末房地产的变现值低于抵押贷款的还款ln(1−d)=−d (13) 余额，从而给抵押权人带来潜在的风险。可以利用 综合式(12)和式(13)，即有： VaR(在险价值：Value at Risk)来度量风险值的大小。 所谓VaR是指在一定的市场条件下，一笔抵押贷款在M(t+∆)t2ln=ln(1−d)=−d (14) 未来某段时间内置信水平为P(通常为95%~99%)的预S(t)期最大损失值。在一定的置信水平上，VaR值越大， 则表明该笔贷款的风险值越高。 式(14)表明，从收益的角度来看，可以将房地产的折当还款方式确定时，根据房地产价格分布模型可以旧看作是房地产投资的“负收益”，收益率的大小与折计算出一定置信水平下抵押贷款的VaR。 旧率相同。折旧的存在使得房地产相对价格的对数期定义M′为房地产的变现价值： 望值下降了d。 综合考虑抵押房地产的收益率和折旧率的校正，由M′=M(t+∆t)(1−c) (18) 于式(9)结果为0，故M也就取代了M，即M只含M22式中： c为变现税费率(包括房地产交易和处置过程中无M。对于抵押权人而言，作为抵押物的房地产的相1的各项税费率)；M(t+∆t)为贷款期末相对于抵押权人对价格的数学期望为 而言的房地产价格。 又设L′为抵押贷款期末还款余额，则在置信度M(t+∆t)∆tEln()=− (15) 为P的情况下，该笔抵押贷款的VaR为： S(t)N′′′′L−M (M<L) VaR= (19) ′′0 (M≥L)式(3)中另一个参数相对价格的波动率σ，是由房
中南大学学报(社会科学版) 第13卷 196表1 波动率、置信度与VaR(万元)的关系 即在某置信度下，变现值高于抵押贷款余额则此 波动率 时该笔抵押贷款的在险价值为0，反之变现值低于还VaR 1%%2% % % %%%款余额则该笔贷款的在险值(VaR)为L′−M′。 置信度P (二) 度量房地产抵押贷款在险值(VaR)的案例分95% 析 设有一宗上海的写字楼，其剩余法定使用年限为% 年，2004年初抵押时经评估机构评定的市场价值为99% 万元，抵押贷款额为80万元(即抵押比为)，贷% 款期限为3年。贷款条件为：贷款年利率为5%，还 款方式为第一、二年年末偿还每年的利息，第三年还表2 折旧率(由贷款期决定)、抵押比与VaR(万元)的关本和最后一年的利息。又设上海地区房地产处置的税系(置信度为99%) 费率c为处置时房价的10%。试求在99%的置信度下VaR 折旧率的该笔抵押贷款的VaR。 6 9 5 (1) 求出式(17)式中的各参数 (∆t=1) (∆t=2) (∆t=3) (∆t=4)(∆t=5)抵押比 由于∆t=3年，N=38年，可以认为∆t<<N, 即： 0 0 0 ∆t3µ=== 0 0 又根据中房指数系统(CREI)给出的上海办公楼价格指 0 数2001年11月到2005年5月，共42个月的数据， 运用式(4)(5)(6)，可以计算出其月波动率σ=%，1 从表1、表2的计算结果可知，置信度一定时，年波动率为σ=12σ=%。由于贷款期限为321VaR随波动率的增加而迅速增加；在折旧率一定时，VaR随抵押比的增加而增加；在抵押比一定时，VaR年，故参数σ=σ×∆t=%×3=%。 2随折旧率的增加而增加。 (2) 确定该写字楼在99%置信度下的变现值 M(t+∆)t由P≥ z=99%，查标准对数分布表可四、 结语 S(t) 知z= 9，故M(t+∆t)=s(t)×z=100× 9= (1) 房地产价格波动必然引起收益率的变化，运(万元)。即对于抵押人而言，该宗写字楼在抵押期末用对数正态分布模型进行研究是可行的。在其它条件的价值高于万元的概率为99%。 相同的情况下，价格波动率随时间的延长而增加，故其变现价值：M′=M(t)+∆t) ×(1−c)=×= 时间越长就越难准确预测房地产的价格。 (万元(2) 房地产抵押贷款中抵押人与抵押权人拥有房) 地产的价值是存在差异的，主要是由于抵押期间房地 (3) 计算抵押贷款的还款余额 产存在建筑物折旧、剩余法定土地使用年限的缩短以还款余额为第三年的本利之和：L′=80×(1+5%)=84 及变现处置费用的增加。 (万元) (3) 房地产抵押贷款的在险价值(VaR)与相对价 (4) 计算VaR 格的波动率(σ)、抵押比(α)、抵押贷款的处置费用(c)、由于L′>M′，故VaR=L′−M′=84−= (万元)。∆t即在99%的概率下该笔抵押贷款的最大损失值为抵押期的折旧率()、置信度(P)等因素有关。房地产N万元。 的价格波动率越大、抵押期间的折旧率越高、剩余法为了更直观地描述不同参数下的VaR值，通过计定使用寿命越短、置信度越高，则该类房地产抵押贷算可以得到表1~2 (仍以上例的数据为基础，除置信度款的在险值越高，抵押期末房地产变现值越低，风险及波动率变化外其它不变)。 越大。因此，要减少房地产抵押贷款的在险值，除了
第2期 周为吉, 曲福田, 殷国新:房地产价格随机波动与抵押贷款风险值(VaR)的研究 197政府要出台相关政策法规，以稳定房地产的宏观环境成果，结合我国的实际情况，区分了房地产对于抵押外，抵押权人也要适当降低抵押期(∆t)、确定合适的人和抵押权人的价值的差异，给出了修正后的相对于抵押比(α)以及掌握恰当的置信度。 抵押权人的房地产价值分布模型。以此模型为基础，(4) 本文构建的模型是在某些假使条件下导出提出了度量抵押贷款风险的一种方法，分析了抵押风的。如式(15)是在假定抵押贷款的抵押期远远低于房险因素，并给出了一个算例。目前，对于房地产价格地产的法定剩余使用年限(∆t<<N)以及房地产减价修波动模型的研究还不多见，随着研究的深入，一定会正是以直线折旧且不计残值等条件下成立的。如果所提出更富有指导意义的模型。 给条件不满足上述假设，则要根据实际情况作相应的 数学处理。 参考文献： (5) 本文的抵押风险值(VaR)是在假定贷款人违 约情况下计算得出的。从法律上讲，抵押房地产的处[1] Terry J Watsham. Futures and Options in Risk Management [M]. Second Edition International Thomas Press, 1996. 置只有当抵押人在规定的期限内无能力偿还债务时才[2] Pietro Penza, Vipul K Bansal. 用VaR度量市场风险 [M]. 北发生。如果考虑到抵押人的还款能力及资信水平等因京: 机械工业出版社, 2001. 素，对抵押权人而言，一笔房地产抵押贷款的实际风[3] Antnoy Saunders. 信用风险度量[M].北京: 机械工业出版社, 险值(VaR)要较用上述方法计算得出的值低。如果假定2001. 抵押人违约概率为P，则实际的(VaR) ＝P×VaR。 1[4] Edgar . 资本市场的混沌与秩序[M]. 北京: 经济科学(6) 房地产价格的随机波动给房地产抵押贷款和出版社, 1999. 房地产开发投资带来了风险，研究其波动规律对于防[5] 殷国新, 周为吉, 朱传宝. 关于房地产价格随机波动与评估、范此类风险就有重要的意义。本文借鉴了前人的研究抵押风险的研究[J]. 南方经济, 2003, (3): 31−33. A study on price stochastic volatility of real estate and value at risk of mortgage loan 1,2ZHOU Weiji, QU Futian, YIN Guoxin (1. China Center for Land Policy, Nanjing Agricultural University, Nanjing 210095, China; 2. College of Economics and Management, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510090, China) Abstract: This paper draws lessons from the law of the nomal distrubition in the property rate of return of the financial theories , it sets up and revises the model of logarithm normal distribution according to the difference of the value of the real estate owned between the mortgagor and the mortgagee in the real estate mortgage loan . Based on the above analysis, the authors suggest a method of compution on the risk of real estate mortgage loan risk, and draw the conclusion that Real Estate Value at Risk of Mortgage Loan is related with the rate of price stochastic volatility、the rate of depreciation、the rate of mortagage、the fee of disposition and believability. Key words: price of real estate; risk of mortgage loan; model of logarithm normal distribution [编辑：汪晓]
