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基于有限体积法的二维溃坝水流模拟研究
进展
刘铁锤，蔡华钦*
作者简介：刘铁锤（1986-），男，硕士研究生，主要研究方向：计算水力学
（河海大学水文水资源学院，南京 210098）
摘要：溃坝计算可用于制定地区应急预案，加强区域防洪减灾，并用于后期的环境与生态评
估。回顾和总结了国内外基于有限体积法对溃坝水流模拟的研究进展：讨论了使用非结构网
格的优劣，着重介绍了法向数值通量计算格式的特点，守恒变量的重构方法及限制器的应用，
探讨了在溃坝模拟中的边界及地形问题，讨论了进一步发展的方向和趋势。
关键词： 溃坝水流；有限体积法；间断；研究进展
中图分类号：TV
Research Progress of 2D Dam Break Water Flow Simulation
Based on the Finite Volume Method
Liu Tiechui, Cai Huaqin
(HoHai University, Nanjing 210098)
Abstract: Calculation of dam break can be used to formulate region emergency plan,to strengthen
regional flood control and disaster alleviation, and used in the later stage of environment and ecological
evaluation. The paper reviews and summarizes both at home and abroad based on the finite volume
method for calculation of dam break water flow simulation research progress: discusses the advantages
and disadvantages of using unstructured grids, and introductions the characteristics of the format for
numerical calculation method to flux, the methods of reconstruction for conservation variables and the
application of limit device is also discussed, explores the boundary and terrain simulation problem in
the numerical simulation of dam break, discussed the trend and the direction of further development.
Key words: dam break water flow; the finite volume method; inconsecutive;research progress
0 引言
建坝可以调控洪水，水力发电，灌溉，供水，通航，旅游，渔业养殖，改造自然等，但
是由于各种原因可发生溃坝，形成溃坝洪水，冲毁房屋人畜，造成重大损失。基于溃坝后果
的严重性，世界各国对溃坝问题给予高度重视。溃坝计算可对水库和堤防失事影响做出定量
估算，并合理确定水库和堤防防洪设计标准及地区避险措施和手段。溃坝计算主要计算溃坝
坝址流量和水位过程线及模拟下游洪水演进过程。溃坝洪水大，往往超出常年河槽的容纳能
力而发生漫滩，除在峡谷区外，有必要按二维问题处理。有限体积法的优点是物理意义明确，
对边界的适应能力强，同时由于多采用守恒离散格式，在计算域内积分守恒，易处理非线性
较强的流体运动问题和函数间断情况。非结构网格与边界及地下水形拟合较好，利于实现边
界条件。所以基于非结构网格的有限体积法应用发展迅速。由于溃坝决口流量过程峰高量大，
形状陡峭，急缓流转换，水深悬殊，致使经典格式常遭失败，就要求采用基于完全浅水方程
[1]对间断有高分辨的格式，并需采用很小的时空步长。基于间断的有限体积法一般采用复杂
的黎曼解算器计算跨越控制体边界的物质通量，想采用隐式格式还有许多困难，所以常采用
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显格式。
1 有限体积法
对于二维溃坝问题，其控制方程为浅水方程，条件是静压假定且忽略风应力和柯氏力。
b
y
G
x
F
t
q =∂
∂+∂
∂+∂
∂
式中：
( )( )( )( ) ( )( )fyyfxxb
G
F
q
SSghSSgh
ghhvhuvhv
huvghhuhu
hvhuh
T
T
T
T
−−
+
+
=
=
=
=
00
22
22
,,0
2/,,
,2/,
,,
公式只：u和 v分别是 x， y方向的平均流速； h为水深； g为重力加速度； xS0 ， yS0 分
别是 x， y方向的底度； fxS 和 fyS 分别是 x， y方向的摩阻坡度。在本文中摩阻坡度用曼
宁公式来计算：
3
4
222
h
vuunS fx
+= ，
3
4
222
h
vuvnS fy
+= 公式中 n为曼宁系数。
非结构网格
非结构网格[2]最早应用于 FEM,最初未在以对流为主的地面流动上得到重视，八十年代以
来非结构网格在空气动力学上得到广泛发展和应用，到了九十年代一些专家学者根据浅水流
动特征，将非结构网格引入浅水动力学中，并在模拟涌潮溃坝等水力计算难题上取得了成功。
非结构网格具有能够拟合复杂边界平面域的特点。常用任意三角形或四边形构成不规则网
格，两者可以混合使用，以四边形为主，以三角形为补充，后者用在局部地形巨变，粗细网
格过渡及曲折边界处。非结构网格能很好的拟合边界及水下地形，利于边界条件的实现；便
于控制网格密度，易作修改和适应性调整；建网比曲线网格容易，大型三角形网格可用程序
自动生成。使用非结构网格也有缺点：格子排列不规则，需建立适当的数据结构以检索格子
间的邻接关系，占用内存多；隐格式求解时须用迭代式，效率低下，粘性项处理比较麻烦，
数值解后处理工作量较大。这些都影响了非结构网格的使用，但在实际应用中，混合使用结
构网格和非结构网格，兼顾两者的优点以提高工作效率是一条可以尝试的方法。
控制点（变量节点）在控制体内的布置方式是有限体积法的关键点之一。常用的方法有
三种：格子中心式（CC 式）、格子顶点式（CV 式）、及混合式。格子中心式只在每个格
子形心处布设一个节点，因变量节点值具有格子平均的含义，可将格子形心的解按面积加权
到顶点去。根据相邻格子的形心至该顶点的距离的倒数进行加权更为合理。CV式的所有流
动变量定义在所有的格子顶点。
控制体是进行质量和动量平衡计算的基本单元。控制体的定义根据节点布置的不同分为
CC式、CV式及混合布置格式。对 CC式，控制体就是格子。互不重叠，CC式的 FVM格
式常为一阶，只有在网格均匀规则或适当处理情况下才能建立二阶格式，它利于处理陆地和
给定流量边界条件，由于简单易行，CC式应用最广。CV式[3]节点联系紧密，空间精度可达
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二阶，计算稳定性较好，但算法复杂，计算量大，底坡处理困难。
方程离散
将控制方程在控制体Ω上积分，得到： ∫∫∫∫∫∫
ΩΩΩ
Ω=Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+Ω∂
∂ dqbd
y
qg
x
qfd
t
q )()()(
利用散度定理及欧拉方程的旋转不变性即得离散方程[4,5]：
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∆=− ∑
=
−−+ )()()()(
1
11 qAbLqfTtqqA
m
j
inn ϕ
2 法向数值通量计算
有限体积法的计算归结为法向通量的计算。这是有限体积法的核心所在。计算格式的选
择决定了模型的精度和效率。
FVS（通量向量分裂）格式
最早应用于求解二维欧拉方程，但不能直接应用于二维浅水方程的求解，该方法要求 F
具有齐次性，需做特殊处理。可在浅水方程组中加入能量方程[6]，扩展浅水方程组的齐次部
分和欧拉方程的相同。据文献[7]和[8] Steger和Warming利用欧拉方程组的其次性，将通量
按正负特征值分裂成两部分，可得急流、缓流状态下的控制体界面左右的通量，由
)()(),( RLRL qFqFqqF
−+ += 估算跨越控制体界面的数值通量。该格式也可用于水流、水
质耦合方程的求解。文献[9]建立了二维瞬时溃坝的洪水演进模型，验证了求强间断问题的
可行性且具有较高的精度。文献[10]将基于 FVS的有限体积法建立二维水坝瞬时溃坝的洪水
演进模型，计算格式稳定，收敛性好。
FDS（通量差分裂）格式
1981年 Roe[11]提出 FDS格式，它与 FVS格式一样以特征理论为依据，符合波动观点并
且完全体现逆风原则。既能高精度计算光滑流动，又能以高分辨率自动捕获间断，不产生虚
假流动。在任意区间上对通量差进行分裂，根据左右守恒物理量的值，引入参向量，据文献
[12]的推导途径，跨单元界面的法向数值通量 f可分解为：
])()([
2
1 __4
1
___
ii
i
iRLLR Rqfqff αλ∑
=
−+=
即可计算得跨单元面的法向数值通量。
Osher格式
Osher格式[13,14]假定，在
_
q状态空间(或称相空间)中，从计算单元的左状态向量
_
Lq 到
相邻单元的右状态向量
_
Rq ，系通过相互连接的四段特征线 KΓ (K=1,2,3,4)连续过渡(见图)。
沿这些特征线建立以黎曼不变量表达的特征关系。按特征值的符号将通量分解成两部分，分
别沿正，负特征传播。(见下式)
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∫∫ −+−−−+ −=+=+= R
L
R
L
q
qR
q
qLRRLR
dqqJqfdqqJqfqfqfqqf
_
_
_
_ )()()()()()(),(
______
Godunov格式
1959年，Godunov在在博士论文中提出采用 Riemann解求解双曲型方程的格式，是一
种按照波的传播方向构造的基于 Riemann间断思想的迎风激波捕捉算法。Godunov格式[15]
基本思想是各离散点上的值看做该值在离散点邻域内的平均值，即将离散值看做某台阶函
数。于是，在离散点之间构成一系列间断，形成一系列 Riemann问题，该间断在经过∆ t时
段传播以后，各离散点上的值再次使用其邻域内的平均值，并重复进行相同步骤。Godunov
格式需要求解 Riemann精确解，由于方程非线性，计算量很大，常用近似的 Riemann解。
Godunov格式提出以来，被不断改进，得到很大的发展，发展出许多求 Riemann解的近似
方法，如 Osher及 HLL方法，Roe方法等。文献[16]构造了二阶 Godunov型有限体积法，构
造了新的近似 Riemann间断解，有效解决了任意水下地形的二维浅水方程组数值模型守恒
性与稳定性的矛盾，可用于计算任意水下地形的复杂自由面流动的二维问题。文献[17]建立
了基于 Godunnov格式的一维、二维溃坝水流耦合数学模型，具有良好的可靠性和适用性。
TVD格式
TVD格式[18]分辨率好，自身包含格式粘性，能在间断面两侧很好的抑制数值振荡，有
良好的计算性能，但也存在一些问题：在处理二位情况时，对二维双曲型守恒方程只作形式
上的推广，缺乏严格的理论依据；在下游干河床处存在非物理扭曲。另外由于显示格式在精
度上不如隐式格式，所以 TVD格式还存在一定的耗散。文献[19]和文献[20]选取合适的限量
函数，构造组合型 TVD格式，精确模拟了二维溃坝水流的演进过程。文献[21]采用 TVD格
式预测溃坝洪水波的演进。文献[22]建立两类高性能格式——TVD-MacCormack格式和
MUSCL格式，显示出此类格式的守恒性、逆风性、TVD性及对间断的高分辨率等优良特性。
3 物理量的重构
FVM解的精度主要取决于界面法向数值通量的精度，而后者又主要决定于估计单元界面
状态变量 LU ， RU 的精度。二维模型在控制体内守恒变量服从线性分布，需作重构[23]处理。
重构要假定物理量在控制体内的分布方式，根据节点处的值确定控制体边界上通量积分点出
物理量的值。
重构格式
分片参数[24]逼近：用单元型心处 2的参数值代替界面处的值，也就是一阶精度的 FVM，
这种方法稳定性好，但是精度不高。如式： jL qq = ， 1+= jR qq
分片线性逼近的 MUSCL[25]格式：利用 MUSCL 插值来计算界面处的值，需要更精确的
估算控制体界面处的物理量 Lq ， Rq 。Van leer提出：假定物理量在控制体内符合线性分布，
以分片线性分布代替分片常数分布，即以
_
Ru 和
_
Lu 代替
_
R
iu 和
_
L
iu ，用单元中心处的值(即控
制体内的平均值)及空间变率(坡度)表示， Lq ， Rq 由控制体中心的物理量 jq ， 1+jq 及控制
体顶点的物理量 1−jq ， 2+jq 通过线性插值求得。即可以得到二阶格式，计算量中等，精度
较好，计算结果具有空间二阶精度，不过对网格质量要求较高，在网格高度奇异时精度会大
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大降低。文献[26]中胡四一等提出在网格尺度差异较大时，需要对前插算子进行尺寸修正。
Upwind 型格式：这也是二阶精度格式，结果比 MUSCL 还要好，但是计算量大。由
Anastasiou提出，根据物理量的梯度进行重构。物理量的梯度通常根据 Green公式法和最小
二乘法，由临近控制体中心的物理量求得。
ENO或WENO格式：ENO重构用避开间断的思想，在均匀矩形网格上可以构造出高阶
逼近的界面参数值，通过自适应的选取插值节点来重构解在控制体内的表达式，再用所得的
表达式来逼近界面处的通量来计算。WENO 主要在可供选择的重构多项式中，不是选出最
光滑的一个，而是按适当的权重要求求出所有这些重构多项式的凸组合（权重非负且和为
1）。如果 q在某个重构模块中光滑，则由其重构出的多项式权重就大，如果 q在某个重构
模块上含有间断，则由其重构出的多项式权重就小，从而实现格式的高分辨及基本无震荡。
它能够得到很好的计算结果，但计算代价非常大。在均匀矩形网格上可以取得较好的结果，
在非均匀网格上的计算代价比较大，且计算实现也比较困难。
限制器的应用
为了使离散化方程自动高分辨率的捕捉间断解，自适应的调节方法的数值耗散和数值色
散效应，并保持格式的单调性，19 世纪 70 年代一个非线性函数 )(rϕ 被提出，又称通量限
制器（flux limiter）[27]。引入限制器，可真正的对解的间断和大梯度的地方给出尖锐的图像，
即如果未知函数的离散近似解有很大的梯度或振幅趋势，它可以适当的加强数值粘性，达到
比较合理的程度；反之，在比较平缓的地方可以降低数值耗散，甚至局部引入反耗散机制，
从而达到间断数值解的高分辨率。
一般地说，对于限制器的要求为
)(rϕ =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
<=
>=>=
11
00
00
r
r
r
几种常用的限制器有:(1) Roe minmod (1970年) )],1min(,0mod[min)( rr =ϕ ，(2)Roe
Superbee(1985年) )]2,min(),1,2min(,0max[)( rrr =ϕ ，(3)Van Leer monotonic(1974年)
)1/()()( ++= rrrrϕ ，(4) VanLeer MUSCL )))1(,2,2min(,0max()( rrr +=ϕ ， (5)
Chakravarthy-Osher(1983年) )],min(,0max[)( ψϕ rr = ，其中ψ 取 21 ≤<ψ 。在上面几种
限制器中由理论分析和数值试验已证明 Superbee限制器在数值耗散效应上是最弱的，Var
Leer次之，Minmod是最强的，但是 Superbee数值色散性最强，Minmod数值色散性最弱。
因此，通常 Superbee给出一个较陡的剖面图，Minmod产生一个相对平坦的剖面图，Var Leer
的居中。Var Leer限制器是单调递增的且具有对称特性，Chakravarthy-Osher限制器不满足
对称性条件。对于非线性守恒方程常采用双参数 ),( +− rrϕ 的限制器。双参数限制器可使自
适应耗散效果调节起来更加灵活，并来有开关的作用，具有复杂灵敏的形式，如：Yee minmod
型： 1),1mod(min),1mod(min),( −+= +−+− rrrrϕ ；Yee MUSCL
型: ))(),2,2,2min(,0max(),( +−+−+− += rrrrrrϕ 。在实际应用中，可根据不同需要来
选用。
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4 初边值条件及地形处理
初边值条件
实际问题的计算都是有边界的，在边界区域上需要给出边界条件，边界条件要求在数学
上适定，在物理上合理，尽量不影响内点数值解的精度和稳定性。
溃坝决口过程有两类：1：瞬时溃决，常见于混凝土坝。2：逐渐溃决，发生于当地材料
坝原因分为漫顶及管涌致溃两种。由于溃坝水流的复杂性，数值模拟研究过程常做了简化，
一般按瞬时溃坝处理，坝体全部消失。
初始条件：一是根据问题的物理要求，如静水或均匀流，二是根据部分地点的观测数据，
所缺空间分布由内插估计。常设初始流动为已达平衡态的恒定流。在实际应用中，对于水位，
通常给定上游的静水水位，下游水位为 0，即初始水位为间断函数，存在上下游水位差。值
得注意的是，间断水位差不应太大，因为圣维南方程的前提条件是过水断面上符合静压分布
的渐变流。对于初始流量可根据具体情况作具体给定。
边界条件分为两类：一为陆边界（闭边界），是实际存在的；二为水边界（开边界），
是人为规定的。
对于陆边界：相邻单元交界面处无流量通过，固壁处法向流速为零，文献[14]采用镜像
法处理陆地边界。若考虑紊流粘性，则给定滑移边界条件；若不考虑紊流粘性，则给定无滑
移边界条件。
对于开边界：急流的处理很简单，其下游水力要素完全由上游决定。缓流的情况，可以
给定水位过程，给定单宽流量过程或给定水位与单宽流量关系，由平移法，输出特征法，相
容条件法，完全特征法等确定。
动边界处理
动边界是水平计算域中有水与无水区域的界线，在实际溃坝过程中，溃坝洪水超出常年
河槽的容纳能力而漫滩，洪水在干河滩上演进时，水舌成为动边界，水域边界会不断变化，
对这些区域进行数值模拟计算时，为了模拟真实地水流运动，就需要采用动边界技术。在有
限体积法中，对动边界的处理技术常见的有切削法和冻结法。
切削法亦称薄水层法，根据控制体中心处水深判断控制体是否露出水面，对露滩控制体
引入一个富裕水深来保证计算过程的完整和稳定，相当于将原始地形切削降低，一旦实际水
深大于富裕水深时，恢复原始水深。冻结法与切削法一样判断控制体是否露出水面，对露滩
控制体的槽率取一接近无穷大的正数，使控制体流速趋于零，控制体在计算时被冻结不变。
文献[28]和文献[29]通过一个临界水深来判断控制体的干湿，这样可以和固定边界一样处理，
不须专门追踪其动边界位置和不断调整网格。文献[30]和文献[31]根据水深阈值将控制体分
为湿控制体、干控制体、半干半湿控制体三种，根据控制体所处的不同状态，选用不同的计
算方法。
地形处理
浅水流动是在重力驱动和地形制约下的流动，地形是影响水流运动关键因素。FVM模型
中多数高性能格式都是从空气动力学中比拟而来，空气动力学中的欧拉方程是其次的，不存
在源项问题，而浅水方程组是非其次的，在实际计算中，会受到虚假流动问题的影响，所以
在溃坝模拟中对间断地形（坡度很大）的有效处理十分关键。在有限体积法中，压力梯度项
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拆分为水深项和底坡项。
以往处理地形大多采用“平底”模型[29]，周建国[32]提出水面坡降法（SGM），在界面附近
建立一个虚构控制体，假定虚构控制体地形线性分布，通过左右控制体地面高程确定其坡度，
从而得到控制体界面处的地面高程。SGM 能在地形变化剧烈的地方取得良好效果，不过计
算量较大，在非结构网格中实现较为困难。文献[16]引入平底化概念做数学表示，模拟二维
浅水情况，效果较好。文献[29]建立在平底单元水力模型的基础上对高程间断的问题解——
特殊的黎曼问题，并在计算对流项时作了校正，实际工程算例[33]和[34]表明，即使水下地
形起伏很大，上述处理也能给出满意结果。
由于平底模型无法有效逼近复杂的水下地形，一些学者[9][35]采用“斜底”模型来代替平底
模型，斜底模型控制体内地面高程是倾斜的，相邻单元地面高程一般连续，但坡度不同，对
比平底模型，它能更有效的逼近真实地形，模拟出的流场更合理、精确，由于控制体界面不
存在地形间断，大大简化了通量的计算。
5 溃坝水流模拟趋势
近年来，溃坝模拟已经取得了一定的成功，数值模拟逐渐成为研究溃坝水流的主要方法，
用有限体积法也取得了丰硕的成果，但还有很多问题没有解决，需要在以下几方面进行加强
和发展[36]。
加强溃坝机理的研究。为了简化溃坝计算，目前模拟计算时大多为瞬时溃坝模拟，所需
资料少，成本低，但精度不高，与实际情况有出入，而逐渐溃坝模型可更准确的模拟溃口的
发生和发展过程，与实际情况接近，虽然计算过程繁复，需要资料多，但随着高性能计算机
的普及及提高决策部门决策依据的准确度的需要，逐渐溃坝模型会得到广泛发展。在实际溃
坝时，溃坝水流中会含有沙土及污染物，所以可在溃坝模型中耦合泥沙的输运扩散方程和水
质扩散方程以完善溃坝模型基础上的灾后评估、环境及生态系统评估。
开发通用性好、高精度、高效率、可靠的溃坝模型。编制友好的用户界面，运用数据库，
地理信息系统等使计算成果可视化，提供生动、直观的模拟效果。虽然实际溃坝水流是三维
的，但由于计算机、理论研究的发展及实际工程问题的要求不高的局限，一、二维模型的应
用还比较广泛，随着计算机及理论研究的发展，三维模型更能反映真实的溃坝过程，三维将
最终取代一、二维模型。在计算机硬件的飞速发展下，双核电脑实现了普及，这样就可以将
模型开发成多线程来并行计算，提高解决问题的效率。
建立完善以溃坝研究为重点的流域防洪预警系统。溃坝洪水演进计算是溃坝模拟的一个
主要方面，建立预警系统可以在第一时间作出反应，实时追踪溃坝洪水演进过程，追踪溃坝
发生后下游受洪水威胁的面积、水深、洪水到达的时间并作出相应防洪防灾对策，有利于和
土地利用规划、防灾减灾、风险评估等结合起来，保护人民的生民财产安全。
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