第四章 抽样分布与参数估计
第一节 频率、概率
第二节 概率分布
第三节 抽样分布
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第一节 频率、概率与概率分布
一、随机事件与概率
（一）随机试验与事件
随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系
列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验
或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象
的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的
性质：
（1）每次试验的可能结果不是唯一的；
（2）每次试验之前不能确定何种结果会出现；
（3）试验可在相同条件下重复进行。
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例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的
点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。
这六种结果是基本结果，不可以再分解成
更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5
，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇
数”这一事件就不是简单事件，它是由基
本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通
常用大写字母A，B，C，…来表示随机事
件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，
则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶
数”，则B={2，4，6}。
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（二）概率
1. 概率的定义
概率就是指随机事件发生的可能性，或称为
机率，是对随机事件发生可能性的度量。
随机事件A发生可能性大小称为事件A发生
的概率，记为：P(A)=p。
正确理解和计算随机事件的概率是进行统计
推断和统计决策的基础
按不同的观点和不同情的况，概率有古典概率、
试验概率和主观概率三种不同的解释
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2. 古典概率
起源于17世纪很流行的赌博输赢的估计。
设事件A是样本空间Ω中的一个随机事件，
事件A的古典概率定义为：
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例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。
从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率
有多大？
解：由于摸出的任何1只球都形成一个基本
事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸
出的是白球事件，则A由两个基本点组成，
即A={白球，白球}，有利场合数m=2。因此，
刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=
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3. 试验概率
古典概率在应用上受到两个条件的限制：一
是随机试验的结果只有有限个，二是这些结
果出现的可能性相同。
如果采用试验概率，就不受上述条件的限制
4. 主观概率
在实际问题中，有些试验是无法在相同的条
件下重复进行。如：股价指数在未来一周内
上升的可能性有多大。只能凭经验进行主观
的估计。
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2. 概率的基本性质
性质1 1≥P(A)≥0。
性质2 P(Ω)=1。
性质3 若事件A与事件B互不相容，即
AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
推论1 不可能事件的概率为0，即：
P(Ф)=0。
推论2 P( )=1-P(A), 表示A的对
立事件，即它们二者必有一事件发生但
又不能同时发生。
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第二节 随机变量概率分布
随机变量X是定义在样本空间
Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的一个函数，这个函数的取
值随试验的结果不同而变化。这个函数还要求满
足条件：对任意的实数x，X<x是随机事件。如果
随机变量所有可能的取值是有限的，或可排成一
列的，这种随机变量称为离散型随机变量；另一
种情况是随机变量的取值范围是一个区间或整个
数轴，这种随机变量称为连续型随机变量。
1. 离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量X的所有可能取值为x1, x2，
…, xn, …，相应的概率为p(x1)，
p(x2),…,p(xn),…。用表格统一表示出来是：
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X x1 x2 … xn …
P p(x1) p(x2) … p(xn) …
这称为离散型随机变量X的概率分布。
性质：(1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)；
(2)
定义: 离散型随机变量X的期望值为
性质：
其中X1，X2都是随机变量，α，β是任意常数。
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定义: 离散型随机变量X的方差为
方差的平方根σ称为标准差。
方差σ2或标准差σ反映随机变量X相对其期
望值的
离散程度，σ2或σ越小, 说明期望值的代表
性越好；σ2或σ越大，说明期望值的代表性
越差。
性质：对于任意的α，D(αX)=α2 D(X) 成立
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2. 连续型随机变量的概率分布
设X是., x 是一实数. 记
F(x)=P(X<x)。该函数就是随机变量X的分布
函数。分布函数的导数称为密度函数，记作
p(x )。
性质
(1) p(x)≥0
(2)
(3)
a b
x
P(a≤x<b)
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定义: 连续型随机变量X的期望值为
方差为
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例：某大学英语考试成绩服从正态分
布，已知平均成绩为70分，标准差为
10分。求该大学英语成绩在60—75分
的概率。
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第三节 抽样分布
一、抽样的基本概念
二、抽样分布
（一）重复抽样分布
（二）不重复抽样分布
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一、抽样的基本概念
抽样涉及的基本概念有：
总体与样本(见第一章)
样本容量与样本个数
总体参数与样本统计量
重复抽样与不重复抽样
这些概念是统计学特有的，体现了统
计学的基本思想与方法。
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总体和样本（参见第1章）
1.总体：又称全及总体、母体，指所要研究
对象的全体，由许多客观存在的具有某种共
同性质的单位构成。总体单位数用 N 表示。
2.样本：又称子样，来自总体，是从总体中
按随机原则抽选出来的部分，由抽选的单位
构成。样本单位数用 n 表示。
3.总体是唯一的、确定的，而样本是不确定
的、可变的、随机的。
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样本容量与样本个数
样本容量：一个样本中所包含的单位数，
用n表示。
样本个数：又称样本可能数目，指从一个
总体中所可能抽取的样本的个数。对于有
限总体，样本个数可以计算出来。样本个
数的多少与抽样方法有关。(这个概念只
是对有限总体有意义，对无限总体没有意
义！)
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总体参数和样本统计量
总体参数：反映总体数量特征的指标。其
数值是唯一的、确定的。
样本统计量：根据样本分布计算的指标。
是随机变量。
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平均数
标准差、方差
成数
参数
、2
p
统计量
S、 S2
P
总体
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二、抽样分布
概念：由样本统计量的全部可能取值
和与之相应的概率（频率）组成的分
配数列。（某一统计量所有可能的样
本的取值形成的分布。）
包括以下内容
重置抽样分布
不重置抽样分布
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重置抽样分布--样本平均数的分布
某班组5个工人的日工资为34、38、42、
46、50元。
= 42
2 = 32
现用重置抽样的方法从5人中随机抽2
个单位构成样本。共有52=25个样本。
如下图。
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样本平均数的分布
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验证了以下两个结论：
抽样平均数的标准差反映所有的样本
平均数与总体平均数的平均误差，称
为抽样平均误差，用 表示。
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由概率论知，如果总体是正态分布的，则
样本平均数的抽样分布是如下正态分布
从分布形式看，当总体为非正态分布时，
样本均值的抽样分布随着样本容量的扩大
而趋近于正态分布
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样本成数的分布
总体成数p是指具有某种特征的单位在总
体中的比重。成数是一个特殊平均数，设
总体单位总数目是N，总体中有该特征的
单位数是N1。设x是0、1变量（总体单位
有该特征，则x取1，否则取0），则有：
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样本成数的分布
现从总体中抽出n个单位，如果其中有相应
特征的单位数是n1，则样本成数是：
P也是一个随机变量，利用样本平均数的
分布性质结论，即有：
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不重置抽样分布
样本均值的分布性质：
样本成数的分布性质
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抽样分布总结
样本平均数的分布 样本成数的分布
重复抽
样
不重复
抽样
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例1：求样本平均数的概率分布
设某公司1000名职工的人均年奖金为2000元，标准差500
元，随机抽取36人作为样本进行调查，问样本的人均年奖
金在1900~2200元之间的概率有多大？
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例2： 某地区职工家庭的人均年收入平均
为12000元，标准差为2000元。若知该地
区家庭的人均年收入服从正态分布，现采
用重复抽样从总体中随机抽取25户进行调
查，问出现样本平均数等于或超过12500
元的可能性有多大？
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例3某商场推销一种洗发水。据统计，本年
度购买此种洗发水的有10万人，其中6万是
女性。如果按不重复随机抽样方法，从购买
者中抽出100人进行调查，问样本中女性比
例超过50%的可能性有多大？
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