2012年第10期总第344期第31卷基于不同频率协方差矩阵的*等风险比例投资组合马丹刘丽萍摘要：准确估计和预测协方差矩阵对构建投资组合具有重要意义。为避免最小方差组合权数的不稳定性，提出一个带有约束的等风险比例组合配置问题。对不同的投资择时策略下，高频和低频数据构建的投资组合表现进行了实证和模拟研究。研究发现，在投资组合频繁更新时，高频数据构建的组合波动更小，可以得到更大的收益，当组合每月更新时，低频数据构建的投资组合具有更大的投资价值。在用高频数据构建投资组合时，用平滑降噪处理后的协方差矩阵比常用的实现波动协方差矩阵具有更好的表现。关键词：组合协方差；等风险比例投资组合；稳健分析JEL分类号：G11，C5，C22一、引言金融资产的协方差矩阵在现代组合投资理论中扮演着非常重要的角色。金融资产的协方差估计方法大体包括三类，一种是(1996)提出的指数加权滑动协方差（EWMA），该方法是利用指数平滑的思想，从历史数据推断金融资产的协方差。第二种是利用BEKK，DCC等多元GARCH类方法估计和预测协方差，这种方法计算量比较大，通常会对各个资产之间的关系进行约束，以避免组合中资产较多产生的“维数灾难”。第三种则是利用高频数据对组合协方差进行估算，比如“实现协方差”矩阵，Zhang(2010)提出的双尺度协方差矩阵，Barndorff-Nielsen等（2011）提出的多元核光滑协方差矩阵等。这三种方法中，前两种方法是用日收益数据计算协方差，数据量少，数据易于获得，在投资组合中运用较多。第三种方法采用了高频数据计算协方差，蕴含的信息更多，但数据估计量大，估计理论和预测方法也较为复杂。近年来，随着高频数据获得可能性的提高，许多学者提出用高频数据估计资产协方差矩阵，并构建投资组合或者组合的风险管理。不同方法估计的协方差矩阵差异较大，得到的资产组合也存在较大的差异。学术界对用高频数据和低频数据构建的投资组合进行了比较研究。现有的研究主要是从两个方面展开：一是在最小方差或者收益最大作为目标函数的框架下，比较高频数据和低频数据估计的协方差矩阵的作者简介马丹：西南财经大学统计学院，统计学博士，副教授。研究方向为金融市场投资理论、金融市场数量模型；刘丽萍：西南财经大学统计学院博士研究生。＊资助项目：本文得到国家社会科学基金项目“中国股市高频数据的金融风险度量与管理研究”（10XTJ0001）；西南财经大学科研基金项目“金融微观结构与高频价格变动”（09XG086）资助。感谢匿名审稿人对本文提出的宝贵意见，文责自负。－116－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合准确性和各种投资组合的的投资价值。Fleming等（2003）用5分钟收益率数据计算了包括SP500股指，国债和黄金收益在内的投资组合高频波动，通过均值方差方法估算了组合权数。他指出尽管协方差矩阵存在估计误差，但相对于低频数据而言，高频协方差构建的组合风险更小，投资者仍然更偏好用高频数据构建投资组合。dePooter等（2008）用SP100样本股比较了不同采样频率下协方差矩阵的效果，认为在同样[7]收益水平下，用降噪处理后的高频协方差矩阵计算投资组合权重具有较小的风险。Bandi等则指出，用高频数据计算投资组合权重时，必须合理估计和预测高频协方差矩阵，否则存在较大的估计偏差，将影响组合的有效性。二是在不同的投资策略中，对比用高频协方差矩阵构建的组合，看其是否能够得到稳定的超额收益。Liu（2009）发现当投资者更新组合权数较频繁时，用高频数据得到的投资组合风险显著小于低频数据构建的投资组合。而持有组合周期较长时，高频数据得到的投资组合投资交易成本显著增加，投资收益低于用低频数据构建的组合。Bannouh等（2011）用全距的方法计算高频协方差矩阵，发现在投资组合不同的更新频率下，基于全距的高频协方差矩阵均能带来额外收益。从目前的研究来看，使用不同频率数据构建投资组合有三个关键的问题：（1）在同样的目标函数下，高频协方差矩阵构建投资组合的效果取决于协方差矩阵的估计和预测是否准确。“实现协方差”（RCOV）是最常用的估计组合高频协方差矩阵的方法，该方法受到市场微观结构噪声等因素的影响，渐近收敛到组合噪声的协方差矩阵，配置资产组合时可能存在较大偏误（Andersen等，2003）。在预测方面，大部分对高频协方差矩阵的预测使用了VARFIMA模型（Chiriac和Voev，2011）。这种方法和多元GARCH一样也存在“维数灾难”，并且模型的系数不具有明确的经济意义。Bonato等（2011）提出用基于Wishart分布的自回归模型（WAR）预测协方差矩阵，这种方法比向量ARFIMA模型的预测结果更准确。但现有文献中大都采用VARFIMA方法，并没有采用WAR预测协方差矩阵。(2)组合的调整频率发生改变时，投资组合收益会随之[13]发生变化。在比较不同投资组合的投资效率时，应该考虑调整周期变化对组合的影响。张蕊等利用中国市场数据比较了“实现协方差”矩阵和DCC方法构建的投资组合，他们发现“实现协方差”矩阵构建的投资组合具有更大的投资价值。但投资策略发生改变时，这个结论可能会受到影响。（3）在构造投资组合时，大部分文献都考虑用方差最小或者在收益约束下方差最小作为目标函数（张蕊等，2009）。这样计算的资产权数非常不稳定，收益或者方差的微小变化，会引起组合权数较大波动。另外，由于目标函数没有对损失进行约束，得到的组合即使具有方差最小性，也并不一定能避免较大损失。Campell(2001)提出将风险价值VaR作为损失约束引入投资组合中，以避免可能出现的较大损失。加入损失约束条件时，用高频数据构建的组合效果如何，尚没有相关研究。中国证券市场是新兴的指令驱动型证券市场，交易机制与国外成熟做市商市场存在较大差异，特别是离散报价，日内涨跌幅限制等制度使得高频价格序列与国外市场具有不同的特征。证券市场的投资组合通常具有交易择时特征，即投资者可能是短期持有某投资组合，也可能在较长时期持有该投资组合。在中国市场上，高频协方差矩阵是否能够提供更多的信息，在不同的投资择时策略下，依赖高频协方差矩阵是否都可以获得更具有投资价值的投资组合呢？国内现有研究大部分是使用低频数据，构造投资组合，高频数据在组合投资中的研究较少。张蕊等（2009）虽然比较了实现协方差矩阵和多元Garch的表现，但选择最小方差作为目标函数，该目标函数下的权数对数据的变化非常敏感，结论缺乏稳健性。为避免最小方差目标下投资组合权数不稳定对分析的影响，本文考虑了一个满足等比例风险配额，带有损失约束的动态组合问题。利用中国证券市场数据分别用高频和低频协方差矩阵估计资产组合，从经济福利函数、交易成本、Sharpe比例角度比较了不同持有周期下的组合投资价值。利用Bootstrap方法对各组合进行了随机模拟，得到不同持有周期下的福利函数、Sharpe比例等的分布情况，最后得出本文结论。二、组合优化问题的提出－117－
Equallyweightedriskcontributionportfoliobasedondifferencefrequencycovariancematrix2记n个资产的收益向量R=(r,r,...,r)，其中r是第t日第i种资产的收益率，σ为该资产第t日的t1t2tntitit方差。向量W=(w,w,...,w)为第t日组合的权重向量，w是第t日第i种资产的权重。组合的协方差t1t2tntit22矩阵为W'ΣW=wσ+wwσ，其中Σ=D(R|I)表示第t日资产的条件协方差矩阵。这ttt∑itt∑∑itjtijttt-1ij≠i样，第i个资产的边际风险比率可以写为：2wσ+wσitit∑jtij∂W'ΣWttj≠itσ==（1）it∂witW'ΣWttt提出的等比例风险思想是通过调整权数使每个资产在投资组合中的风险比例相等（Maillard，2010）。例如，第i个资产的边际风险比例σ增加时，减少其权数w，反之，当边际风险比例σ减少，则增加其权ititit数，直到：wσ=wσ。实际上，等比例风险与最小方差组合原理基本是一样的，都是通过控制组合风险ititjtjt来求解组合权数。不同之处在于等比例风险是通过对各种资产风险比例的制约来确定权数，避免了用方差最小作为目标函数时组合权数异常波动的情况。等风险比例组合是通过将组合中资产风险均衡化来计算权数。对投资者来说，除了关心资产的波动之外，更重要的是对可能的损失进行约束，也就是控制下跌的风险。因此，我们提出一个带有约束的等风险比例组合，该组合权数满足：2min(wσ-wσ)∑∑ititjtjtij≠=1,0≤w≤1（2）∑1titαProb(R<-L)≤t其中，R=wr为第t日组合期望收益，L是设定的损失水平。当资本市场不允许卖空时，t∑ititw≥0，若可以卖空，则可放开该限制。求解组合权数时，第t日的协方差矩阵Σ和资产收益R是两个重ittt要的参数。协方差Σ的估计是非常关键的问题，我们将分别用高频和低频数据估计Σ，并利用相应预测tt方法对其进行预测。资产收益R通常相关性较弱，难以进行预测，为控制预测R带来的模型风险，可以tt利用历史均值作为R的估计。得到Σ和R的估计后，利用序列二次规划（SQP）算法可以求解出组合权ttt数。三、动态协方差矩阵的估计和预测（一）高频协方差矩阵的估计令δ表示交易日内的取样间隔，则每日样本量M=[tδ]，当资产价格服从连续路径的Itô过程时，实现协方差是组合协方差矩阵的一致估计，其基本形式为：M'RCOV=RR（3）t∑j,tj,tj=1其中R是第t日第j个交易时刻的收益向量。已有研究大多采用RCOV估计高频协方差矩阵，并用j,t其计算组合权数。由于高频数据通常含有市场微观结构噪声和价格中的跳跃成分，使RCOV是协方差的有偏且不一致估计量，特别在采样频率非常高的时下，RCOV更主要地估计了噪声的协方差而不是资产价格的协方差。－118－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合为消除微观结构噪声的影响，Barndorff-Nielsen等提出一种多元核光滑协方差估计，该方法能减少微观结构噪声影响，是组合协方差的一致估计。多元核光滑协方差估计方法为：nhKCOV=k()Γ（4）t∑hH+1h=-n式中的k是核函数，Γ是第h个子区间中协方差矩阵的矩估计量。KCOV和RCOV的区别在于，hRCOV是直接用矩估计的方法估计协方差，当交易频率增加时，市场微观结构噪声会使RCOV是有偏和不一致的估计，并且交易频率越高，RCOV中噪声的成分越大。KCOV通过在局部窗宽对协方差进行核光滑，减少了微观结构噪声的影响，得到协方差矩阵的一致估计。因此二者得到的估计结果并不一致，通常KCOV小于RCOV。（二）高频协方差矩阵的预测计算动态组合权数，需要进一步对协方差矩阵进行预测。常用VARFIMA模型预测协方差矩阵，但VARFIMA模型不考虑各种资产收益之间的相互关系，模型的系数没有明确的经济含义，预测结果并不准确。此外单变量的ARFIMA模型已较多用于对单个金融资产波动的预测（吴有英等，2011），但多变量的VARFIMA随着资产数目增加存在“维数灾难”等问题。Bonato等提出用基于Wishart分布的自回归模型（WAR）预测协方差，与VARFIMA模型进行比较发现，WAR的预测精度更高。WAR模型对协方差矩阵有严格要求，要求协方差矩阵必须是对称正定矩阵。根据Barndorff-Nielsen，KCOV和RCOV都是对称正定tt矩阵，满足WAR模型的要求。P'令Σ表示用KCOV或者RCOV估计的协方差矩阵，可以分解为Σ=XX，X,i=1,2,...,p是tttt∑i,ti,ti,ti=1相互独立的多元正态随机变量，其动态特征可以用VAR（1）表示，即：P'Σ=XXt∑i,ti,t（5）i=1X=MX+ε,ε~N(0,Ω)i,ti,t-1i,ti,t式（5）称作WAR（1）模型。根据Gourieroux（2007），协方差矩阵的预测为：'̂Σ=MΣM+PΩ（6）t+1tWAR模型可以通过非线性最小二乘方法进行估计。估计出WAR（1）模型参数矩阵M后，利用（6）式可以得到协方差矩阵的预测。（三）基于日数据的动态协方差矩阵用日数据估计动态协方差矩阵常用的方法是指数平滑法和多元GARCH模型。指数平滑法计算量小，简单易行，多元GARCH计算比较复杂，但能够反映出各资产之间的动态相关性。指数平滑法协方差（EWMA）是(1996)提出的一种动态协方差估计，是利用指数平滑的方法得到协方差矩阵的预测。EWMA的计算公式为：n0/n0n0-1/̂̂Σ=λΣ+(1-λ)/(1-λ)RR-(1-λ)/(1-λ)λRR（7）t+1|tt|t-1t-1t-1t-1-n0t-1-n0其中，n为指数平滑的窗口长度，λ为平滑参数。(1996)指出，λ为时，回溯测验的效0果最好。多元GARCH模型根据协方差矩阵的设定不同可以分为BEKK，DCC等类型。这里我们用DCC-GARCH模型估计动态协方差。假设资产收益服从多元正态分布，模型的形式为：R|I~N(0,Σ)tt-1t（8）Σ=DCDtttt12122α其中D=diag(h.....h)，且h是第i个资产的条件方差，并且h=w+ε+h。t11,tnn,tii,tii,tiii,t-1iii,t-1β－119－
EquallyweightedriskcontributionportfoliobasedondifferencefrequencycovariancematrixC=ρ，是n×n阶的时变相关系数矩阵，ρ是第i个和第j个资产之间的相关系数。并且：{}tijtijt11--22C=(diag(Q))Q(diag(Q))（9）tttt式（9）中的Q是n×n阶的对称正定矩阵，并且有Q=q，即ρ=q/qq。在DCC（1，1）模型{}ttijtijtijtiitjjt中：-'θθθθQ=(1--)Q+uu+Q（10）t121t-1t-12t-1-εi,tθθ这里，u是一个以元素为u=,i=1...n的标准化残差向量。Q是u的无条件协方差，和ti,tt12hii,t称作DCC模型的系数，分别代表t-1期标准化残差平方项和条件协方差对t期条件协方差矩阵Q的影响，t反映了相关性的持续性特征。与其他多元GARCH模型相比，DCC能够直接克服异方差性的影响，对参数向量进行了略减，可以用来估计多个资产之间的动态相关关系。四、动态投资组合的实证分析（一）样本数据处理本文采用的数据是沪深300指数中6只大盘股：中国石化、招商银行、中国联通、上海汽车、中海发展和宝钢股份的实时交易数据。数据期间为2005年1月4日至2009年4月30日，所有数据均来自CSMAR数据库。剔除样本股票中交易缺失的数据后，6只股票均有交易记录的天数为825天。在估计和预测波动时，采用滚动时间窗方法。以交易策略为每日更新组合权数为例：将全部样本划分为估计和预测两个部分，其中，估计窗口长度T=525，预测窗口长度N=300。第1次的样本区间为t=1,2,…,525，用该样本估计波动模型，预测第526天的波动，并计算该天组合中各资产的权数和组合收益。保持样本区间长度不变，将样本时间向前推移1天，得到第2次样本时间区间为t=2,3,…,526，重新估计波动模型，得到第527天的波动预测，用预测的波动计算组合权数和组合收益。重复以上步骤，直到t=301,302,…,825，计算第826天的权数和组合收益。这样，共得到300个投资组合的样本。由于投资者通常会在一段时间维持组合中各资产的比例，持有已有投资组合，因此我们还进一步计算了以周和月为时间长度调整投资组合的权数及组合收益。周和月各样本股票的收益率用移动加总法计dd算：R=R,d=5,d=22，样本股票的协方差是对每日协方差进行移动加总：t∑t+ii=1ddΣ=Σ,d=5,d=22。同样采用滚动时间窗口方法得到持有期为周或者月的组合样本。t∑t+ii=1α在等风险比例组合中，由于加入了损失约束：Prob(R<-L)≤，因此需要确定损失阈值L。考虑到t对收益R进行预测时，其预测误差会影响权数的计算，我们采用历史收益R的10%分位数作为阈值，即tt估计窗口的样本收益R小于-L的比例不足10%。首先用实现波动矩阵（RCOV）、核光滑矩阵（KCOV）、t指数平滑矩阵（EWMA）和多元GARCH（MGARCH）方法得到估计窗口中的协方差矩阵，并对协方差矩阵作滚动预测，用预测的协方差矩阵构建投资组合。（二）各投资组合的收益和波动分析样本区间中国股市经历了大幅度的下跌和一定幅度上涨，因此将整个预测时期划分为下跌和上涨两－120－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合个阶段，其中2007年12月24日至2008年11月20日为下跌时期，2008年11月21日至2009年4月30日为上涨时期。由于中国证券市场不允许主板市场股票做空交易，下跌时期的组合平均收益为负。为避免做空约束对分析的影响，我们进一步计算了放开做空约束时的组合权数。计算结果如表1所示：表1不考虑交易成本时投资组合收益和波动情况d=1d=5d=22组合类型平均收益组合波动平均收益组合波动平均收益组合波动下跌时期（2007/12/24—2008/11/20）不允许做空下跌时期（2007/12/24—2008/11/20）允许做空上涨时期（2008/11/21—2009/4/30）注：表中d=1,5,22分别表示组合权数调整的时间为日，周和月。－121－
Equallyweightedriskcontributionportfoliobasedondifferencefrequencycovariancematrix表1列出了四种投资组合在上涨和下跌时的日、周、月收益及波动。d=1时，下跌期间如果不允许作空，所有组合均得到负收益，其中KCOV即核光滑协方差计算的投资组合损失最小，且波动最小，而RCOV即实现协方差计算的组合损失最大。如果允许做空，则除了EWMA组合其它组合将得到正收益，KCOV组合的波动仍然最小。在上涨时期，收益最大的是KCOV组合，MGARCH组合的波动则最小。d=5时，下跌时期如果不允许做空仍然得到负收益，其结果与d=1时类似。如果允许做空，所有组合得到正收益，KCOV的收益最大，RCOV的波动最小。在上涨时期，收益最大的是KCOV组合，RCOV的波动最小。d=22时，下跌时期不允许做空时，KCOV的损失和波动均最小，允许做空时，EWMA组合收益最大，KCOV的波动最小。上涨时期，MGARCH的收益最大，KCOV的波动最小。投资者通过买卖行为改变组合权数会使组合收益发生变化，但也会产生相应的交易成本。DePooterˉ和Liu提出从换手率的角度考察组合更新时的交易成本。记R=wr是第t日投资组合的收益。组合t∑itit中第i个资产的收益为w(1+r)，该资产在投资组合中的实际权数取决于其收益在总收益中的比例，因此ititˉ实际权数为w(1+r)/(1+R)。投资者将根据第t天的信息预计t+1天的权数w。投资者改变第i个资itittit+1ˉ产的权数而产生的交易成本可以写为|w-w(1+r)/(1+R)|。这样，第t日组合资产的总交易成本为：it+1itittˉTC=|w-w(1+r)/(1+R)|（11）t∑it+1itittNˉˉ考虑交易成本的净收益为R=R-TC。表2报告了各投资组合的交易成本和净收益。ttt从表2来看，当d=22时，各组合的交易成本都大幅度下降。从各组合交易成本变化来看，上涨和下跌时期，RCOV和KCOV组合的长期和短期交易成本都小于其它组合，特别是上涨时期，RCOV和KCOV的交易成本显著较小。（三）各投资组合效用函数及成本分析在金融市场上，比较各种预测方法的一个途径是比较各种方法得到的效用函数的大小(West,1993)。二次效用函数是比较常用的效用函数，在一定条件下可以作为任意效用函数的近似(Chavas,2004)。在初始财福为W时，投资者的二次效用函数可以写为：02ˉˉU=W(1+R-/2(1+)(1+R))（12）t0ttγγ其中，是风险厌恶系数，体现投资者对风险的偏好或者厌恶程度。Fleming等和dePooter等在比较γ投资组合经济福利时，均使用1和10作为风险厌恶系数。考虑到投资者的风险偏好通常比较稳定，效用函数一般在长期更有意义，因此，我们计算了年化效用函数U。初始财富W假定为1，年化效用函数为：A0T-1252γ2ˉˉU=((1+R)-(1+R))（13）A∑t+1t+1T2(1+)t=0γNˉ为避免交易成本的影响，用净收益R可计算年化净效用函数：tT-1N252NγN2ˉˉU=((1+R)-(1+R))（14）A∑t+1tT2(1+)t=0γjjijjiii令U和U分别是两个不同组合的效用函数，e=U-U，其中i≠j。E是以e为元素的向量。ttttttti如果效用函数U高于其它组合的效用函数，则E应该小于0，反之E大于0。对E建立回归模型：tttt'E=AI+ε，其中I是元素为1的向量。系数A的估计可以用GMM方法得到。对模型的系数A进行检验，tt提出的假设为：H:A≤0，H:A>0，利用Engle和Colacito给出的t统计量进行检验。如果原假设被拒绝，01则意味着第i种组合的效用函数高于其它组合的效用函数。表3列出了各投资组合的年化总效用，年化净效用和检验结果。－122－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合表2投资组合的交易成本和净收益协方差估计d=1d=5d=22方法交易成本净收益交易成本净收益交易成本净收益下跌时期（2007/12/24—2008/11/20）不允许做空下跌时期（2007/12/24—2008/11/20）允许做空上涨时期（2008/11/21—2009/4/30）从表3来看，当d=1时，RCOV组合的年化总效用函数较大；KCOV组合的净效用最高，其原因在于KCOV组合的交易成本小于RCOV组合。d=5时，四种方法的年化总效用和净效用均没有显著差异。d=22时，MGARCH组合的总效用和净效用均较大。－123－
Equallyweightedriskcontributionportfoliobasedondifferencefrequencycovariancematrix表3不同投资组合的年化效用函数d=1d=5d=22协方差估计方法λ=1λ=10λ=1λ=10λ=1λ=10总效应函数*******净效应函数*******注：*和**分别表示在10%、5%的水平下，年化效用函数高于其它组合的年化效用函数。（四）各投资组合Sharpe比例的比较不同的协方差计算的各资产波动及其收益并不同，投资者通常会对各种组合的收益和风险。Sharpeˉ比例是每单位波动得到的收益，用以反映风险与收益的平衡。记R为组合的平均收益，σ是组合收益的标准差，Sharpe比例可以写为：ˉSp=R/σ（15）显然，在多种投资组合中，投资者将选择Sharpe比例最高的。对Sharpe比例的检验方法有多种，Ledoit和Wolf(2008)提出一种当收益率序列具有相关性和厚尾特征时的检验方法，该方法比Memmel等(2005)检验方法具有更好的稳健性。按照Ledoit和Wolf的检验法（简称LW检验），记Sp，Sp为两种不同资产组itjt̂̂合的Sharpe比例，其差异为Δ=Sp-Sp。根据Ledoit和Wolf，T(Δ-Δ)~N(0,Ψ)，Ψ是Δ的协ijitjtijijijijij/̂ˉˉα方差，即有Ψ=limRR。因此，TΔ/Ψ~N(0,1)，置信水平为的右侧分位数为Z。αij∑∑isjtijij1-/2T→∞tŝ̂假设H:Δ≥0时，如果TΔ/Ψ<Z则拒绝H0，即可以认为第i种投资组合的Sharpe比例显著小0αijijij1-/2于第j种组合的Sharpe比例。由于目前中国市场没有引入做空机制，在下跌时期大部分Sharpe比例为负，不具有比较意义，因此表4给出了上涨时期和全样本时期的Sharpe比例。根据表4，当d=1时，投资组合KCOV的Sharpe比例显著大于其它组合的Sharpe比例，并通过了LW检验。d=5时，四个组合的Sharpe比例在统计上并没有显著的差异。d=22时，MGARCH和EWMA组合的Sharpe比例则显著大于其它组合。这意味着，每日更新组合时，高频数据提供的信息更多，RCOV或者KCOV的Sharpe比例更大，而更新组合周期加长时，特别当每月更新组合时，低频数据计算的投资组合则具有更大的投资价值。－124－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合表4不同投资组合的Sharpe比例全样本时期上涨时期协方差估计方法d=1d=5d=20d=1d=5d=********注：**、*分别表示在5%和10%的置信水平下接受LW检验的原假设，即该组合的Sharpe比例显著大于另外组合的Sharpe比例。由于整个样本期间，市场经历了上涨和下跌行情，当时间窗口发生变化时，Sharpe比例必然会随之变化。为了反映全样本期间的Sharpe比例变化情况，我们采用滑动平均的方法计算了动态Sharpe比例。记mmmˉm为平滑窗宽，R和σ分别是在区间[i,i+1,…,i+m]中组合的平均收益和方差。该区间的Sharpe比例Spiii可以写为：mmmˉSp=R/σ（16）iii图1绘制了窗宽m=100时，四个投资组合的Sharpe比例变化情况。从图1可以看出，当d=1时，KCOV组合的动态Sharpe比例显著大于其它3个组合的动态Sharpe比例，此时，EWMA组合的动态Sharpe比例最小。当d=5时，四种组合的动态Sharpe比例比较接近，其中KCOV仍然略高于其它组合，EWMA组合仍然较低。而d=22时，发生了较为明显的变化，RCOV组合的Sharpe比例低于其它组合，EWMM组合的动态Sharpe比例最大。因此，当频繁更新组合权数时，低频数据构建的组合Sharpe比例显著低于高频数据构建的组合，随着更新组合频率的降低，特别是每月才更新组合权数时，低频数据构建的组合有更高的Sharpe比例。五、稳健性分析α计算带有约束的等风险比例组合权数要求组合收益满足Prob(R<-L)≤。在前面的计算中，由于t组合的收益相关性非常弱，因此组合收益R采用历史收益确定，-L是采用了历史收益的下10%分位数。tR和L的确定对分析结论会产生影响，尽管为了控制参数风险，避免由于参数取值变化而引起结论差异，t利用Bootstrap的方法，通过随机抽样，比较了用四种协方差矩阵构建的组合。Bootstrap抽样通过四步完成：第一步根据四种协方差矩阵计算方法，生成协方差矩阵；第二步，以第一步的协方差矩阵和样本均值为参数，从多元正态分布中随机抽取6个收益序列；第三步，利用公式（2）计算－125－
Equallyweightedriskcontributionportfoliobasedondifferencefrequencycovariancematrixα组合收益权数；第四步，重复以上步骤5000次，并分别计算-L为下10%，下5%分位数，取值为5%，10%时的组合权数。通过上述步骤，得到相关系数满足特定协方差矩阵，均值参数随机变化的样本，控制了计算组合权数时的参数风险。表5给出了5000次随机模拟得到的组合净收益（NR），λ为1和10时的年化效用函数（UA1和UA10）以及组合的Sharpe比例（SP）。从表5可以看出，通过随机模拟控制参数风险后得到的组合具有两个特征：（1）净收益、年化效用函数和Sharpe比例随着组合调整周期的增加而增大，也就是说频繁更新组合权数并不利于提高投资效率；（2）当d=1时，高频数据构造的组合RCOV和KCOV的收益、年化效用以及Sharpe比例均高于其它组合，而d=22时，低频数据构造的组合EWMA和MCOV则具有更高的投资价值。为进一步说明投资组合在不同调整周期下的表现，对四种组合的Sharpe比例进行核密度估计，得到的分布情况如图2所示：根据图2，当d取不同值时，各投资组合的Sharpe比例发生明显变化。随着d值的增加，EWMA组合的Sharpe比例分布向右移动，逐渐增加，而KCOV组合和RCOV组合的Sharpe比例则向左移动。因此，在权数调整周期发生变化时，有必要采用不同的协方差估计方法，以提高投资效益。α为进一步分析约束条件Prob(R<-L)≤对投资组合的影响，我们还比较了有约束和无约束情况下t的等风险比例组合效益。表6报告了下跌和上涨时期去掉损失约束后，分别利用四种协方差矩阵计算的投资组合收益和组合的波动。??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7??0图1各投资组合动态Sharpe比例－126－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合表5样本容量为5000时各投资组合的净收益、年化效用函数及Sharpe比例d=1d=5d=22协方差估计方法***********
Equallyweightedriskcontributionportfoliobasedondifferencefrequencycovariancematrix表6去掉损失约束条件后投资组合的收益情况d=1d=5d=22组合类型平均收益组合波动平均收益组合波动平均收益组合波动下跌时期（2007/12/24—2008/11/20）上涨时期（2008/11/21—2009/4/30）六、结论本文以带有约束的等风险比例组合为例，分别用高频数据和低频数据估计和预测协方差矩阵。通过模拟与实证分析，对四种协方差矩阵所构建的投资组合进行比较，得到以下结论：1.资产调整周期对协方差矩阵的选择具有重要意义。组合持有期较短时，高频数据构建的投资组合交易成本更小，组合收益更稳定，可以得到显著的额外收益，而随着持有周期的增加，低频数据得到的投资组合具有更大的投资价值。因此，在组合调整周期较长时，不妨使用EWMA等方法构建投资组合，可以简化计算工作量，节省组合管理成本。2.在投资组合频繁调整时，用高频协方差矩阵构建的投资组合优于低频数据。但在计算高频协方差矩阵时，应尽量避免市场微观结构噪声等的影响，使用渐进一致的估计方法，例如KCOV等。常用的实现协方差矩阵（RCOV）受到市场微观结构噪声的影响，构建的投资组合无论在上涨或者下跌时期表现均不如KCOV构建的投资组合。3.由于中国证券市场缺乏做空机制，在下跌时期组合的收益大部分为负。尽管无法避免市场整体下跌带来的系统风险，但不同的投资组合存在差异。在所有投资组合中，KCOV构建的组合波动最小，特别在－128－
基于不同频率协方差矩阵的等风险比例投资组合下跌时期长期与短期表现均优于其它组合。参考文献[1]张蕊，王春峰，房振明，梁崴，2009，《考虑组合动态调整效率的相关性估计模型比较》，《中国管理科学》，第1期，1-6。[2]吴有英，马玉林，赵静，2011，《基于“已实现”波动率的ARFIMA模型预测实证研究》，《投资研究》，第10期，153-159。[3]Andersen,.,,,,2003,“Modelingandforecastingrealizedvolatility”,Econometri-ca,2(71),-625.[4]Barndor-Nielsen,.,,,,2011,“Multivariaterealisedkernels:consistentpositivesemi-definiteestimatorsofthecovariationofequitypriceswithnoiseandnon-synchronoustrading”,JournalofEconomet-rics,(162)–169.[5]Bonato,,,2011,“Aforecast-basedcomparisonofrestrictedWishartautoregressivemodelsforreal-izedcovariancematrices”,TheEuropeanJournalofFinance,8.[6]Campbell,Huisman,andKoedijk2001“,OptimalportfolioselectioninaValue-at-Riskframework”,JournalofBankingandFinance,(29)−3185.[7]DePooter,M.,,,2008,“PredictingthedailycovariancematrixforS&P100stocksusingintradaydata-butwhichfrequencytouse?”,EconometricReviews,–229.[8]Engle,R.,&Colacito,R.,2005,“Testingandvaluingdynamiccorrelationsforassetallocation”,JournalofBusiness&EconomicStatistics,24(2)-253.[9]Jean-PaulChavas,2004,“RiskAnalysisinTheoryandPractice”,AcademicPress,London.[10]Fleming,J.,,,2003,“Theeconomicvalueofvolatilitytimingusingrealizedvolatility”,JournalofFinancialEconomics,(67)–509.[11]Gourieroux,C.,,,2007,“TheWishartautoregressiveprocessofmultivariatestochasticvolatility”,JournalofEconometrics,50(2)–81.[12]Maillard,S.,,,2010,“Onthepropertiesofequallyweightedriskcontributionsportfolios”,Jour-nalofPortfolioManagement,36(4)–70.[13]LIU,Q.,2009,“OnPortfolioOptimization:Howandwhendowebenefitfromhighfrequencydata?”JournalofAppliedEconometrics,24(4),–582.[14]OLedoit,MWolf,2008,“RobustperformancehypothesistestingwiththeSharperatio”,JournalofEmpiricalFinance,5(5)-859.[15]RiskMetricsTM－TechnicalDocument,4thedition,1996,J,..[16]RoxanaHalbleib-Chiriac,ValeriVoev,2011“,Forecastingmultivariatevolatilityusingthevarfimamodelonrealizedcova-riancecholeskyFactors”,JournalofEconomicsandStatistics,231(1)-152.[17]Zhang,L.,2011,“Estimatingcovariation:Eppseffect,microstructurenoise”,JournalofEconometrics,160(1):,,：Covariancematrix；Equallyweightedriskcontributionportfolio；Robustanalysis－129－
