第四章 生存年金的精算现值
本章结构
年金简介（包括确定性年金和生存年金）
年付一次生存年金
年付多次的生存年金
第一节 年金简介
一、年金的概念和种类
二、确定性年金简介
三、生存年金简介
年金的概念和种类
概念
按一定的时间间隔支付的一系列付款
种类
确定性年金：支付与否、支付的数额都是确定的
不确定性年金：未来相应的时间点上的支付是否
发生不确定，由其生命状态决定
一、确定性年金（图示）
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
1 1 1 ---- 1 0 0---
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
1 1 ---- 1 1 1----
1 1 1 ---- 1 1 1----
期末付永久年金
期初付永久年金
期末付年金
期初付年金
一、确定性年金（期初付）
1. n年定期年金
公式：
含义：期初投资 元，则之后的n年里，每年年初
可得1元的收益。
终值
两者之间的关系
现值
公式：
一、确定性年金（期初付）
2.延期m年的n年定期年金
现值
终值
3.递增型n年定期年金
现值
终值
一、确定性年金（期初付）
4.递减型n年定期年金的现值与终值
现值
终值
一、确定性年金（期初付）
n年定期年金
现值：
终值：
一、确定性年金（期末付）
n年定期年金
现值
终值
一、确定性年金（连续型年金）
收付时间趋于无穷大
期初付永续年金
公式
含义：若期初投资1/d元，则每年期初可获得1元的收益。
期末付永续年金
公式
含义？
一、确定性年金（永续年金）
年金
有限年金
永续年金
现值
终值
现值
期末付
期初付
连续型
一、确定性年金（常用结论）
【例】一项年金在20年内每半年末付500元，设年名义利率为9%，求此项年金的现时值。
一、确定性年金（例题分析）
【例】某人以名义利率%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？
一、确定性年金（例题分析）
（1）
（2）
一、确定性年金（例题分析）
【例】有一企业想在一学校设立一永久奖
学金，假如每年末发出5万元奖金，问：在年实实际利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？
一、确定性年金（例题分析）
【例】A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？
一、确定性年金（例题分析）
一、确定性年金（例题分析）
二、生存年金
生存年金：在已知某人生存的条件下，按预先
约定金额进行一系列的给付的保险，
且每次年金给付必须以年金受领人
生存为条件；一旦年金受领人死亡，
给付便立即中止。
分类
期初付年金/延付（期末付）年金
连续年金/离散年金
定期年金/终身年金
即期年金/延期年金
二、生存年金（与确定性年金关系）
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
二、生存年金（与确定性年金的区别）
生存年金
支付期数是不确定的，它以被保险人生存为给付条件，被保险人一旦死亡，给付就终止
年金
确定性年金
支付期数是确定的，无论中间发生什么事情，支付时期都不可发生更改
二、生存年金（用途）
被保险人保费交付常使用生存年金的方式
某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在：
养老保险
伤残保险
抚恤保险
失业保险
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。
也就是上一章讲到的n年期生存保险。n年期生存保险的趸缴纯保费为
在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值，且将其称为精算折现因子。
精算折现因子的含义
(x)要在n年后生存时获得1元，此时需要存入 元。
与折现因子有何区别与联系？
二、生存年金 （一次性生存给付-精算折现因子）
【例】计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸缴纯保费。已知
假定i＝6％
假定i＝％
二、生存年金 （一次性生存给付例题分析）
精算积累因子
(x)现在存入1元，仅其n年后生存时才获得给付，则n年后生存时的给付额为 元。
二、生存年金 （一次性生存给付-精算积累因子）
年龄
x
x+t
x+n
现值
1
1
S
1
二、生存年金 （一次性生存给付相关公式及意义）
二、生存年金（精算现值的求法）
现时支付法
以生存给付事件为考虑线索
考虑未来连续支付的现时值之和
将时刻 t 时的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的现值相加或积分
总额支付法
以死亡事件发生为考虑线索
考虑年金在死亡或到期而结束时的总值
先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额现值，再求现值的数学期望。
两种方法是等价的（最终的结果相同）
掌握现时支付法的计算公式
第二节
年付一次生存年金
一、期初付年金及其精算现值(掌握现时支付法)
二、期初付年金精算现值与寿险精算现值
之间的关系
三、期末付年金及其精算现值
四、用换算函数计算年金精算现值(重点)
一、终身生存年金
-精算现值的总额支付法
步骤一：计算到死亡发生时间K为止的所有
已支付的年金的现值之和
步骤二：计算这个年金现值关于时间求和所得的
年金期望值，即终身生存年金精算现值
为何是
而不是
一、终身生存年金
-精算现值的现时支付法
步骤一：计算时间 K 所支付的当期年金的现值
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的
时间求和，得到精算现值
【例】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得1000元的生存给付，假设年利率为9%。计算这一年金的精算现值。
一、期初付年金及其精算现值
-终身生存年金
现时支付法：
一、期初付年金及其精算现值
-n年定期生存年金
一、期初付年金及其精算现值
-延期生存年金
延期m年的终身生存年金
延期m年的n年定期生存年金
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
一般公式
n年定期变额生存年金的精算现值
终身变额生存年金的精算现值
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
等差递增生存年金
等差递减生存年金
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
等比例变额生存年金
应用场合：养老保险中，其给付额在一个基础水平上按一个规定比例增长，这个比例常是价格指数或社会平均工资指数
精算现值
其中：
【例】已知：
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，试分别
用总额法和现时支付法求该终身年金的精算现值。
90
91
92
93
100
72
39
0
28
33
39
－
例题分析
一、期初付年金及其精算现值 -变额生存年金
一、期初付年金及其精算现值 -变额生存年金
例题答案
二、 期初付年金的精算现值与
寿险精算现值之间的关系
年龄为x岁的人，投资1元能使其在生存期间每年得到利息额 d 的给付，一旦其死亡，便立即获得1元的死亡保险金
注：上述各式的成立不需要任何条件
三、期末付年金的精算现值
-终身生存年金
未来年金给付现值随机变量：
精算现值：
三、期末付年金的精算现值
-n年定期生存年金
未来年金给付现值随机变量：
精算现值：
三、期末付年金的精算现值
-延期生存年金
基本公式
与期初付生存年金的关系
三、期末付年金的精算现值
-变额生存年金
等差递增生存年金：
等差递减生存年金：
险种
期初付
期末付
终身生存年金
定期生存年金
延期终身生存年金
延期定期生存年金
四、用换算函数计算年金的精算现值
重点记住期初付的相关公式！
例
某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保单承诺从下一年开始，每年活着的话可以领到等额的给付。已知年利率为6%，依据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993，男女混合表）。计算每次领取的金额。
例答案
此例为期末付终身生存年金
这份生存年金的精算现值为10 000元，要求计算的是年金的每次给付额。
设每次年金给付额为P，则有
其中
所以
例
指出下列年金产品的类型，并写出其趸缴净保费的精算符号：
（1）王明在40岁时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内，如果他存活，则可以在每年年初领取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即停止。20年满期，保单自动中止，无论20年后是否存活，不再继续给付。
（2）对于（30）的从60岁起每年年初6 000元的生存年金。
（3）对于（35）的从60岁退休起的25年内，每年年初给付5000元生存年金。
例
某人在30岁时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。设年利率为6%，存活函数为：
计算这笔年金在购买时的精算现值。
例答案
这是一个延期20年的期末付终身生存年金产品
从存活函数可以看出，极限年龄为ω=100岁
生存概率为：
这笔年金的精算现值
例
某30岁的人投保养老年金保险，保险契约规定：如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金，即若被保险人在60-69岁间死亡，由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为止；如果被保险人在70岁仍存活，则从70岁起以生存为条件得到年金。如果年金每年年初支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%。依据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993，男女混合表），计算该保单的趸缴净保费。
例答案
这是一个定期确定的生存年金：在一定时期内年金的给付是确定的，无论被保险人是否生存，在这一时期以后的年金给付以被保险人生存为条件。
此年金的精算现值为
连续型给付年金与年付一次生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同
离散－求和连续－积分
连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
第三节 年付多次的生存年金
一、每年支付 h 次的期初付生存年金(重点)
二、每年支付 h 次的期末付生存年金
年付h次生存年金简介
在保险实务中，生存年金常常按月、按季度或半年给付一次，这时称为年付h次的生存年金。
推导思路
寻找与年付年金之间的关系
基本公式
UDD假定下的公式
近似公式（实际操作公式）
一、年支付h次的期初付生存年金
-终身生存年金
一、年支付h次的期初付生存年金
-定期生存年金
基本关系式
UDD假定下的推导公式
近似公式（实际操作公式）
一、年支付h次的期初付生存年金
-延期生存年金
延期终身生存年金（UDD假定）
延期定期生存年金 （UDD假定）
二、年支付h次的期末付生存年金
精算现值
例
现年35岁的人预购买如下生存年金，且均于每月月初给付，每次给付1000元，年实质利率为6%，且已知：
求下列年金现值：
（1）月付终身生存年金
（2）延期15年月付终身生存年金
（3）15年定期月付终身生存年金
例答案
例
某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年末给付10 000元。设预定利率为6%。依据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993，男女混合表），计算这一年金的精算现值。
例答案
这一保单包括年金于寿险两种保险形式，其精算现值是两种保险精算现值之和，即
其中
于是，该保单的精算现值为：
+=（元）
*
