西华大学硕士学位论文
西 华 大 学
硕 士 学 位（毕 业）论 文
题目：基于语言偏好关系多目标群组决策的研究与应用
研究生： 秦 丽
指导教师： 裴 峥
专业： 计算机软件与理论
研究方向： 智能信息处理
培养单位： 西 华 大 学
论文起止日期： 2008年1月至2009年5月
基于语言偏好关系多目标群组决策的研究与应用
计算机软件与理论
研究生 秦丽 指导教师 裴峥
多目标决策是指为达到多种目的或目标而在众多的可行方案中进行选择的过程。在现实生活中，我们经常会遇到需要进行多目标决策的问题，其核心思想是寻找满意解，而不是最优解。这是因为在复杂的决策环境中，目标之间往往是相互冲突和不可公度的，从而导致了最优方案的不存在。
当前基于偏好关系的多目标决策模型并不多见，与群组决策相关的模型更是少之又少。而在做重大决策的时候，一个人的智慧是远远不够的。因此，在本文中，我们探讨了一个基于语言偏好关系的多目标群组决策模型。
该模型有下面四个特点：
基于语言偏好关系。
在作决策时，人们很难用精确的数值描述偏好度。为此，我们引入语言偏好关系，决策者将以一种非常自然的方式表达对方案的偏好。
基于Pareto最优解
由于Pareto最优解的概念很符合多目标问题本身的特点，因此，在优化算法的选择上，我们采用具有Pareto思想的算法。目前比较流行的算法是改进的非劣分层遗传算法NSGA-II。运用该算法，可以得到分布均匀且散布较好的近似Pareto最优解集。
基于目标满意度
我们引入目标满意度的概念，是为了将大量的Pareto最优解集缩小到只有决策者满意的解的集合，从而减轻决策器的负担。
基于群组决策
因为多人决策更符合现实需要，所以我们的模型是在群组决策的基础上提出来的。运用聚合算子可以非常方便地聚合决策者们的观点。在模型中，我们采用IULOWA算子来聚合决策者的语言偏好。
此外，我们用NSGA-II算法解决具有离散性的问题，扩大了它的应用范围，提高了它的实用价值。我们还充分开发了诱导变量的新作用, 使它不但具有排序和计算W权重的任务，同时还用它来计算语言距离，处理联结的OWA对。为了减轻决策器的负担，提高决策速度，我们还研究了该模型的一些属性并给予了证明。在文章的最后，我们应用该模型解决了复杂零件协同制造中的资源优化配置问题，并得到了良好结果。
关键词：多目标群组决策， Pareto最优解， IULOWA算子，NSGA-II算法
Research and Application on Multi-Objective Group Decision-Making Based on Linguistic Preference Relations
Computer Software and Theory
：Qin Li Supervisor：Pei zheng
Multi-objective Decision-making is a means to achieve the best options in a large number of possible options. In real life, we often have the need for Multi-objective Decision-making. Its core idea is to find a satisfactory solution，rather than the optimal solution. Because，under the complex decision making environments, multiple objectives are always conflicting and noncommensurable, which often result in inexistence of optimal solution.
At present, Multi-objective Decision-making models based on Linguistic Preference Relations are rare，and the models related to Group Decision-making are extremely rare. However, faced with a major decision-making, a person's wisdom is far from sufficient. Therefore, we give a Multi-objective Group Decision-making Mode based on Linguistic Preference Relations.
The model has four characteristics, as following:
1. Based on Linguistic Preference Relations.
In making decisions, it is difficult to give a precise numerical preference. Therefore, we introduce the Linguistic Preference Relations. decision-makers will be a very natural way to express the preferences of options.
2. Based on Pareto Optimal Solution.
Because the concept of Pareto Optimal Solution is in line with the problem of multi-objective decision-making , In the choice of optimization algorithm, we have adopted the algorithm with Pareto thinking.
3. Based on Goal Satisfaction Degree.
The goal that we introduce the Goal Satisfaction Degree is to reduce the Pareto optimal solutions, so that the remaining solutions are satisfactory solutions of decision-makers. This will reduce the burden of decision-making.
4. Based on Group Decision-making.
Multi-person decision is in line with the realistic needs, so we put forward the model based on Group Decision-making. Because aggregation operators can easily aggregate the views of decision-makers, we use the IULOWA operator to aggregate linguistic preferences of decision-makers in the model.
In addition，we use the NSGA-II algorithm to solve problems with discrete, to expand its scope of application and to enhance its practical value. We also develop a new application of induced variables. We not only use it to sort and calculate the weight, but also use it to calculate the language distance and deal with the tied OWA pairs. In order to reduce the burden of decision-making devices and improve decision-making speed, we have also found some properties of the model and have given a proof. At last, we apply the model to solve a complex problem of optimizing the allocation of resources in collaborative manufacturing.
Key Words: Multi-Objective Group Decision-Making, Pareto Optimal Solution, IULOWA Operator, NSGA-II Algorithm
目 录
11绪论
多目标决策简介
国内外研究现状和发展趋势
论文内容安排及意义
62多目标决策的预备知识
多目标优化的基本概念
多目标遗传算法
模糊群组决策的基本概念
213多目标群组决策模型
优化器的设计
筛选器的设计
决策器的设计
小结
364多目标群组决策模型的应用
资源优化配置问题
优化器的设计
筛选器的设计
决策器的设计
小结
495总结与展望
总结
主要研究成果
展望
526 参考文献
577作者在读期间科研成果
588 声明
599 授权书
6010致谢
CONTENTS
11 Introduction
Introduction About Multi-objective Decision-making
Research Situation and Development Trends
Content Arrangements and Significance
62 Basic Knowledge of Multi-objective Decision-making
Basic Concept
Multi-objective Genetic Algorithm
Basic Concepts of Fuzzy Group Decision-making
213 Multi-Objective Group Decision-Making Model
Optimizer Design
Filter Design
Decision-making Design
The Brief Summarization
364 Model Application
Problem About Optimal Distribution of Resources
Optimizer Design
Filter Design
Decision-making Design
The Brief Summarization
495 Conclusion and Further Study
Conclusion
Main research results
Further Study
526 References
577 Academic Results
588 Announcement
599 Authorization
6010 Acknowledgments
1绪论
多目标决策简介
决策是指为达到某种目的或目标，而在众多的可行方案中进行选择的过程。它是日常生活的一部分。不论是对个人、企业、或是大型的工程系统和社会经济系统，几乎都存在决策问题。在社会瞬息万变的今天，面对国计民生、企业前途等重大的决策，一个人的智慧是远远不够的，它需要相关人员的群体智慧。如何解决决策者之间的分歧，并最终得到一致的决定是群组决策研究的一个重点，也是本文的一个研究方向。
人们所面临的决策问题可分为两种：单目标决策和多目标决策。所谓单目标决策即从众多的可行方案中，根据一个标准选择最好的或满意的方案；如果需按多个标准来选择的话，就是多目标决策。多目标决策问题有许多共同的特点，其中最显著的是:目标间的不可公度性和矛盾性[1]。所谓目标间的不可公度性是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以进行比较。目标间的矛盾性是指如果采用某一种方案去改进某一目标值，可能会使另一目标的值变好或变坏。由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性，因此，不能简单地把多个目标归并为单个目标，并使用单目标决策方法去解决多目标决策问题。 但是，在现实生活中，我们遇到的决策问题大部分又都属于后者。由于它的普遍性及复杂性，对多目标决策的研究显得尤为重要。
多目标决策问题的另外一个显著特点是无最优解。因此，在解决这类问题时，我们寻找得是令决策者满意的解。由于问题的复杂性及决策者对问题认识的模糊性，要想准确的表达偏好是不可能的事情，但是决策者可以轻松得给出类似于某目标比某目标重要或是某方案比某方案略好的具有模糊语言偏好的二元比较关系式即偏好信息。针对有不同类型偏好和不同性质的优化问题，存在着不同形式的模型和算法。目前还没有统一、系统的最佳方法。因此对具有偏好信息的多目标优化问题设计相应的优化模型是本文的研究方向。
国内外研究现状和发展趋势
多目标优化的思想可以说是萌芽于1776年经济学中的效用理论。1896年，经济学家Pareto首先在经济平衡的研究中提出了多目标优化问题，引进了被称为Pareto最优的概念。1947年，数学家Neuman和Morgenstern在对策论的著作中提及多目标决策问题，引起人们对多目标优化研究的重视。1951年，数理经济学家Koopmans从生产和分配的效率分析中考虑了多目标优化问题，引入有效解的定义并得到某些基本结果，他的工作为多目标优化学科奠定了初步的基础。20世纪60年代以来，人们设计了不少求解多目标优化问题的处理方法，并运用它们去解决各种实际问题，取得了一定效果。关于多目标优化的研究，不论在理论或应用方面都迅速、蓬勃地开展起来 [2-4] ADDIN 。
按照优化过程和决策过程的先后顺序，多目标优化问题被分为三大类：先验偏好多目标优化、局部偏好多目标优化和后验偏好多目标优化[2]。
1、先验偏好多目标优化是指在求解优化问题前，决策者事先提供足够的偏好信息。优化者根据这些信息构造优化评价函数或优化规则，将多目标优化问题转化为单目标优化问题，从而求得最优解。其求解过程如图。
Fig. The Model of Prior Preference
图 先验偏好模型
先验偏好多目标优化在多目标优化方法的发展初期得到了广泛的研究和应用。Zadeh[5]和Geoffrion[6]提出加权和法，该方法通过加权函数将多目标优化问题转换为以下形式的单目标问题进行求解（n为目标函数个数）：
(1-1)
其中权系数，用来表示各个目标的相对重要程度，一般满足。
加权和法是经典的有效的方法，根据单目标函数形式的不同，大致分为全局加权法[7-9]、简单加权和法 [10-13] ADDIN 和加权最大最小法 [14-18] ADDIN 。此类方法的优点是简单有效，缺点是需要决策者给出权重。当决策者对问题的认识不充分时，所给的权重会有很大的偏差。
目标规划法是由Charnes[19]等人提出的一种方法。该方法中决策者必须根据待求问题的情况给出每个目标的期望值，并将这些值作为附加约束条件加入原问题，从而使原问题转化为求目标函数值到期望值绝对偏差最小的问题[20]，即
(1-2)
其中，为决策者设定的对第i个目标的期望值。如果设定的期望值在可行域内，这种方法可以得到Pareto最优解，且求解效率较高，其缺点主要是需要决策者事先给出各目标函数的期望值，并需要对搜索空间的形状很了解。而且，这种方法对线性目标函数优化问题较为有效，但求解非线性优化问题的效率却不高。
此外还有层次分析法、字典排序法、模糊逻辑法、多属性效用理论等。
2、局部偏好多目标优化又叫交互式多目标优化，即人们通过优化者的求解和决策者的决择相结合的人机对话方式，采用优化阶段和决策阶段反复交替进行，使决策者对目标结果的偏好逐渐清晰的方法来获得最终的满意解。其求解过程如图：
Fig. The Model of Local Preference
图 局部偏好模型
交互式优化方法只搜索决策人关心的区域，具有计算量小，决策相对简单等优点。缺点是它要求决策者必须始终参与优化过程，对优化进行控制，这对于许多决策者来说无疑是不现实的。比较有名的交互式优化方法有Benayoun等人提出的STEM法、移动理想点法、基于目标间权衡的多目标决策方法等等。
3、后验偏好多目标优化是在决策者无法给出先验偏好信息和局部偏好信息下提出的一种算法。一般是先利用某种优化算法对多目标优化问题进行求解，然后，在Pareto最优解的解集中，根据决策者的偏好挑选满意结果。其求解过程如图。
Fig. The Model of Posteriori Preference
图 后验偏好模型
由于决策者是在优化器给出的优化结果中选择满意解，这就使得优化器的设计非常重要。如果没有有效的算法生成能覆盖整个优化问题全部特性的解，那么就有可能遗漏令决策者满意的解。近几年许多的研究者在这方面进行研究，并涌现出大量的有效的多目标优化算法。其中，多目标进化算法具有不依赖于问题模型、全局最优性、隐含并行性及解决非线性问题的鲁棒性强等特点，被广泛应用于多目标决策领域。
比较典型的算法有多目标遗传算法(MOGA)[21]、小生境Pareto遗传算法(NPGA)[22]、非支配排序遗传算法(NSGA[23]、NSGA-II[24])、强度Pareto进化算法(SPEA[25]、SPEA-II[26])、Pareto存档进化策略(PAES)[27]、多目标蚁群算法[28]、多目标粒子群算法[29]等等。
论文内容安排及意义
本文研究的主要内容如下:
第一章是绪论。首先叙述了多目标决策所涉及到的基本概念及多目标决策的特点。根据优化和决策的顺序，分别从三个方面综述了多目标决策的研究现状和发展趋势。并且总结了本文研究的主要内容及意义。
第二章是对多目标决策基本知识的介绍。主要从优化和决策这两个方面介绍本文所涉及到的基本知识。在优化方面，给出了多目标优化问题模型和pareto解的定义；对遗传算法和多目标遗传算法做了简单的介绍。从决策方面，主要介绍了语言偏好关系、聚合算子和语言量词。
第三章提出多目标群组决策模型。分别设计了优化器、筛选器、决策器。
第四章将该模型应用于复杂零件的网络化制造中。
第五章是对全文的总结与展望。给出了全文总结以及本文的研究成果，并提出了进一步的研究设想。
本文研究的意义表现在以下两个方面：
一是理论上的意义：以往的多目标决策研究多集中在优化器的设计，对整体的解决方案则很少有人涉及。就算提起，也只是文字上的简单介绍。没有一个具体的步骤和例子，而且也仅局限在单人决策上。对于实际问题可操作性不强。本文探讨了基于群组决策的多目标优化完整模型，使得目前的多目标决策方法的研究进一步完善。
二是实践上的意义：本文用给出的模型处理了复杂零件协同制造中制造资源优化配置问题，得到了令人满意的结果。该模型可以作为决策部门在决策中的辅助工具，从而促进了科学管理水平的提高。
2多目标决策的预备知识
多目标决策的研究最早可追溯到18世纪。Franklin在1772年提出了对多目标问题如何协调的问题。Cournot在1836年从经济学角度提出了多目标问题的模型。Pareto在1896年首次从数学角度提出了多目标最优决策问题。多目标决策问题越来越受到人们的关注。
多目标决策问题一般由下面5个基本要素[1]组成：
1、决策变量。
2、目标函数。
3、可行解集
。
4、偏好关系。在像集上有某个二元关系反映决策者的偏好。
5、解的定义。如何在已知的偏好关系下定义在上的最好解。
其中前三个要素属于优化部分，后两个要素属于决策部分。
多目标优化的基本概念
一般地，多目标优化问题[1]可描述如下：
定义（多目标优化问题）
(2-1)
其中为维决策向量，其可行域为
与传统的单目标决策不同，在多目标决策问题中，通常不存在能使所有目标函数同时得到优化的最优解。这是由目标之间相互冲突所导致的结果。此时，需要考虑的是另一种形式的解——有效解（或非劣解）。下面是对有效解的定义[20]。
定义（可行解集） 可行解集定义为满足公式中约束条件的决策向量的集合，即
定义（Pareto占优或Pareto支配） 对于任意两个决策向量（这里讨论最小化问题，最大化问题类似）：
1) ；
2)
3) 。
定义（Pareto最优解）决策向量对于集合来说为占优的（也称非劣的、有效的或满意的）当且仅当： 。如果对于可行解集来说是占优的，则称为Pareto最优解，即不能再改善任何指标性能，否则就会引起其它至少一项指标性能的下降。所有Pareto最优解组成的集合称为Pareto最优集。
定义（Pareto最优前端） 设集合，为中非支配解的集合：
则称集合为的非支配解集，其对应的目标向量组成的集合被称为的非支配前端。对于来说，如果是Pareto最优集，则称其对应的目标向量组成的集合为Pareto最优前端/曲面（简称Pareto前端）。
由上述定义可知，多个目标之间的冲突或竞争导致多目标优化问题不存在单一的最优解，而是一个Pareto最优集。对于实际的应用问题，决策者需要根据对问题的了解程度和对目标函数的偏好，从Pareto最优集中挑选一个或多个解作为所求问题的最优解，从而形成最后的决策方案。因此，求解多目标优化问题的关键之一就是如何有效地获取Pareto最优解的集合。目前，多目标进化算法被广泛应用于求解Pareto最优解集合，并获得了很好的效果。
多目标遗传算法
遗传算法概述
遗传算法模拟了自然选择和遗传中发生的复制、交叉和变异等现象，从任一初始种群出发，通过随机选择、交叉和变异操作，产生一群更适应环境的个体，使群体进化到搜索空间中越来越好的区域，这样一代一代地不断繁衍进化，最后收敛到一群最适应环境的个体，从而求得问题的最优解[30]。
遗传算法的一般流程如下：
Fig. Flow Chart of Genetic Algorithm
图 遗传算法流程图
1) 编码与解码
编码是应用遗传算法时要解决的首要问题。在遗传算法中，对不同的具体问题进行编码，其编码的好坏将直接影响选择、交叉、变异等遗传运算。所谓编码就是把问题的可行解从解空间转换到遗传算法处理的搜索空间的转化方法。而由遗传算法解空间向问题空间的转换称为解码。
针对一个具体问题，如何设计一种完美的编码方案一直是遗传算法的应用难点。由于遗传算法应用的广泛性，迄今为止人们已经提出了许多种不同的编码方法，如二进制编码、格雷码编码、浮点数编码、多参数级联编码等等。
2) 适应值计算
在遗传算法中使用适应度这个概念来度量群体中个体的好坏。适用度较高的个体遗传到下一代中的概率就较大；而适应度较低的个体遗传到下一代的概率就相对较小。度量个体适应度的函数称为适应度函数，由目标函数所确定。适应度函数是非负的，任何情况下都希望其值越大越好。而目标函数有可能有正有负，即有时求最大值，有时求最小值，因此需要在目标函数与适应度函数之间进行变换。有时为了计算方便，也需要对适用度函数进行变换。因此，适用度函数在大部分情况下都不等于目标函数。
3) 选择
选择又称复制，是在群体中选择生命力强的个体产生新的群体的过程。遗传算法使用选择算子来对群体中的个体进行优胜劣汰操作。适应度高的个体被遗传到下一代的概率大，适宜度低的个体被遗传到下一代的概率小。选择操作的主要目的是为了避免有用遗传信息的丢失，提高全局收敛性和计算效率。
选择算子的好坏将直接影响遗传算子的计算结果。选择算子选择不当，会使遗传算法过早的收敛于局部最优解。在遗传算法的研究中，选择算子是一个很重要的研究方向。目前常用的选择算子有轮盘赌选择、随机竞争选择、最佳保留选择、均匀排序、最优保存策略、锦标赛选择、排挤选择等等。
4) 交叉
在生物的自然进化过程中，两个同源染色体通过交配而重组，形成新的染色体，从而产生出新的个体或物种。交配重组是生物遗传和进化过程中的一个主要环节。模仿这个环节，遗传算法中使用交叉运算来产生新的个体。所谓的交叉运算是指对两个相互配对的染色体按某种方式相互交换其部分基因，从而形成两个新的个体。
遗传算法中，在进行交叉之前要先对群体中的父辈个体进行配对。目前常用的配对策略是随机配对。交叉算子的设计和实现与具体问题密切相关。目前比较常用的交叉算子有单点交叉、两点及多点交叉、均匀交叉、随机交叉、算术交叉等等。
5) 变异
模仿生物遗传和进化过程中的变异环节，遗传算法中的变异是指以较小的概率对个体编码串上的某个或某些位置上的值进行改变，从而生成新个体。变异本身是一种随机算法，但与选择、交叉算子结合后，能够避免由于选择和交叉运算而造成的某些信息丢失，保证遗传算法的有效性。
交叉运算是产生新个体的主要方法，它决定了遗传算法的全局搜索能力；而变异运算是产生新个体的辅助方法，它决定了遗传算法的局部搜索能力。交叉算子与变异算子相互配合，共同完成对搜索空间的全局搜索和局部搜索。变异算子除了改善遗传算法的局部搜索能力外，还维持群体的多样性，防止出现早熟现象。常用的交叉运算有基本位变异、均匀变异、边界变异、高斯近似变异等等。
多目标优化算法概述
对于求解多目标优化问题的Pareto最优解，目前已有多种基于遗传算法的求解方法。下面介绍五种常用的方法[30]。
1) 权重系数变换法
对于一个多目标优化问题，若给其每个子目标函数赋予权重，其中为相应的在多目标优化问题中的重要程度，则各个子目标函数的线性加权和表示为
(2-2)
若将作为多目标优化问题的评价函数，则多目标优化问题就可转化为单目标优化问题，即可以利用单目标优化的遗传算法求解多目标优化问题。
2) 并列选择法
并列选择法的基本思想是，先将群体中的全部个体按子目标函数的数目均等地划分为一些子群体，对每个子群体分配一个子目标函数，各个子目标函数在相应的子群体中独立地进行选择运算，各自选择出一些适应度高的个体组成一个新的子群体，然后再将所有这些新生成的子群体合并成一个完整的群体，在这个群体中进行交叉和变异运算，从而生成下一代的完整群体，如此不断的进行“分割——并列选择——合并”操作，最终可求出多目标优化问题的Pareto最优解。
3) 排列选择法
排列选择法的基本思想是，基于Pareto最优个体，对群体中的各个个体进行排序，依据这个排序次序来进行进化过程中的选择运算，从而使得排在前面的最优个体将有更多的机会遗传到下一代群体中。如此这样经过一定代数的循环之后，最终就可求出多目标优化问题的Pareto最优解。
4) 共享函数法
求解多目标最优化问题时，一般希望所得到的解能够尽可能地分散在整个Pareto最优解集合内，而不是集中在其Pareto最优解集合内的某一个较小的区域上。为达到这个要求，可以利用小生境遗传算法的技术来求解多目标最优化问题，这种方法称为共享函数法，它将共享函数的概念引入到求解多目标最优化问题的遗传算法中。算法对相同个体或类似个体的数量加以限制，以便能够产生出种类较多的不同的最优解。对于一个个体X，在它的附近还存在有多少种、多大程度相似的个体，是可以度量的，这种度量值称为小生境数。小生境数的计算方法定义为
(2-3)
式中为共享函数，它是个体之间距离的单调递减函数。可以定义为个体，之间的海明距离。
在计算出各个个体的小生境数之后，可以使小生境数较小的个体能够有更多的机会被选中，遗传到下一代群体中，即相似度较小的个体能够有更多的机会被遗传到下一代群体中，这样就增加了群体的多样性，也增加了解的多样性。
5) 混合法
所谓的混合法就是上面几种方法的综合运用。目前较流行的几种多目标遗传算法均属于混合法。
常用的几个多目标遗传算法
1) 多目标遗传算法（MOGA）
MOGA算法[31]是由Fonseca与Fleming于1993年提出的基于Pareto最优概念的演化算法。该方法中个体的Pareto秩按照以下公式计算：
(2-4)
其中是第t代种群中优于该个体的个体数目。当个体为无支配个体(最优个体)时，其秩为1。
MOGA算法适应度指派过程如下:首先根据个体的秩进行排序;然后按通常的线性插值的方法指派适应度;对等级相同的个体，平均它们的适应度，以使它们以相同的概率被选择。
Goldberg与Deb等人的研究表明，该方法可能由于选择压力过大而出现早熟收敛。为此，MOGA采用共享函数与小生境技术来提高种群的多样性，通过非劣最优域的大小与种群规模来确定共享半径或小生境参数，目标向量之间距离小于的解向量集合将共享适应值。MOGA算法的主要优点是执行容易且效率较高。其缺点是算法易受共享半径大小的影响。
2) 非劣分层遗传算法（NSGA）
Srinivas和Deb于1994年提出的非劣分层遗传算法也是一种基于Pareto最优概念的多目标演化算法。首先，找出当代种群中的非劣解并分配最高序号(如零级)，赋给该层非劣解集与当前种群规模成比例的总体适应值。为了保持解的多样性，所有该层非劣解基于决策向量空间距离共享此总体适应值。此后，该层非劣解集将不予考虑。然后，开始下一层非劣解集的搜索，在该层得到的非劣解集称为第二层，分配排列序号(如一级)，并赋给与该层种群规模(除去以上各层已被赋予适应度的非劣解)成比例的总体适应值，同样，必须在该层非劣解集中实行适应值共享。如此重复直到当前种群中最后一个个体被赋予适应度值[31]。
可以看出，NSGA算法的排秩方法不同于MOGA算法，前者排序序号是连续的，而后者是可以断序的。NSGA算法的适应度共享方式也不同于MOGA算法，前者是在设计向量空间共享适应度，而后者是在目标向量空间共享适应度。因为最高层非劣解集具有最大的总体适应值，因此，该算法易于使整个种群收敛于非劣最优域并均匀分布。
NSGA的优点是非劣最优解分布均匀，允许存在多个不同的等价解，缺点是算法效率较低，且对共享参数的依赖性较大。2000年Pratab A，Deb K等人改进了NSGA算法，提出了NSGA-II算法[24]，该算法排序速度更快，且避免了共享参数的确定。
模糊群组决策的基本概念
在社会瞬息万变的今天，面对国计民生、企业前途等重大的决策，一个人的智慧是远远不够的，它需要相关人员的群体智慧。如何解决决策者之间的分歧，并最终得到一致的决定是群组决策研究的一个重点。
语言偏好关系
在模糊环境中，我们假设存在一个有限的方案集和一个有限的专家集，每一个专家都提供他在上的模糊偏好，其形式可分为以下三种[32-33]：
1. 表示其总的偏好态度的模糊选择集。它被描述为一个上的模糊子集，为其隶属函数，表示x的偏好度，即x作为一个适合的方案被选择的程度。
2. 一个模糊效用函数。模糊映射把效用值空间（通常为实数空间）上的模糊子集与每一个方案x相联系，表示方案x的效用值和t相等的程度。
3. 模糊偏好关系。它被一个在上的模糊二值关系R所描述，也就是一个在上的模糊子集，其隶属函数为，表示方案优于方案的程度。
在有条件限制的模糊决策中，模糊偏好关系是个非常有用的工具。它以一种非常自然的方式表达专家对方案的观点。但是经常的情况是个体不能用精确的数值描述其偏好度，因此，一个更有效的方法是利用语言评估刻度，用语言评价来替代数值。在这里，我们用语言偏好关系来表示个体的观点，即用语言项代替数值来对问题进行评估。因此，在做决策时，一个事先就设置好的语言符号集是必不可少的。
我们考虑的是奇基数的全序符号集。中间符号表示“大约”，其它符号均对称的放在其两边。它上面的每一个符号的语义是由定义在区间上的模糊子集描述。因为语言评估仅是个体给的一个大约值，线性梯形隶属函数足以捕捉其模糊性，任何其它更精确的值是不必要也是不可能得到的。它可以用4元组来表示（前两个参数确定了隶属度为1的区间，后两个参数分别表示梯形分布的左右宽度）。例如，符号集，它中元素的各自相关语义[32-33]如下：
非常重要 （1，1，0，0）
比较重要 （，，，）
重要 （，，，）
一般 （，，，）
不重要 （，，，）
很不重要 （，，，）
特别不重要 （0，0，0，0）
以上七个语言符号的图形分布见下图。
Fig. Distribution of Linguistic Signs
图 语言符号分布图
该集合还必须有下面的几个属性：
1. 有序性：如果，则。
2. 补运算：。
3. 最大运算：如果，则。
4. 最小运算：如果，则。
下面，我们分析一下语言偏好关系矩阵的特点。
假设一个有限的方案集为，专家的模糊偏好态度为定义在上的语言偏好关系。表示方案优于方案的在语言评价上的偏好度，其中，那么：
1. 表示方案优于方案的最大偏好度；
2. 表示在方案和方案中，专家明显偏好方案；
3. 表示专家在偏好度上对方案和没有差别；
4. 若，则。
例如当时，专家给定的语言偏好关系矩阵为：
从上面的矩阵可以看出，语言项是关于对角线相互作用的。
聚合算子
在专家给出了偏好关系后，我们需要一种方法对专家们的偏好进行聚合，这就用到了聚合算子。下面介绍几种基本的聚合算子。
在文献[47]中，Yager首次提出了有序加权平均算子OWA，其定义如下：
定义（有序加权平均算子OWA）
设，有
(2-5)
其中是与OWA算子相关的加权向量，且是按从大到小的顺序排列后第大的数。
OWA算子的一个显著特点是需要聚合变量按值进行排序。该算子被许多文献研究[48-55]，并被应用到了非常广泛的领域[56-57]。
在文献[38]中，Yager和Filev介绍了一个更一般的OWA算子，称为诱导有序加权平均算子IOWA算子，其定义如下：
定义（诱导有序加权平均算子IOWA）
设为n个二维数组，有
(2-6)
则称函数IOWA是由所产生的n维诱导有序加权平均算子，简记为IOWA算子，称为的诱导值，其中，是中按从大到小的顺序排列的第i个大的数的下标，是与IOWA相关联的加权向量，且[34-39]。
IOWA算子中的参数对我们称为OWA对，第一个参数为诱导变量，其作用是对第二个聚合变量进行诱导排序。当有两个以上OWA对的诱导值一样时，这种现象称为联结现象。Yager和Filev[38]给出了一种解决方法，我们将在第三章中作详细的介绍。
徐泽水将IOWA算子从聚合纯数值推广到了聚合语言变量，给出了一个诱导不确定语言的有序加权平均算子IULOWA。我们将它的运算形式稍加改变，给出下面的定义：
定义（诱导不确定语言的有序加权平均算子IULOWA）
设为n个二维数组，有
(2-7)
其中，，，是中按从大到小的顺序排列的第i个大的数的下标，是与IULOWA相关联的加权向量，且[40]。
在用IULOWA算子聚合专家的偏好度的过程中，将会产生一些不属于语言符号集的语言项。为了不使聚合信息丢失，语言符号集被扩展为连续的语言项集合。如果，则称为实语言项；否则称为虚语言项。
群组决策中的语言量词
量词可以用于表示满足某一特定谓词的对象数目。经典逻辑只有两个量词：存在和所有。它们分别联系着两个连接词or和and。然而人类语言却有相当丰富和多样的量词，如：大约5、几乎所有、少数、许多、大部分、尽可能多、几乎一半、至少一半等。在填补形式系统和人类语言的间隙的尝试中，Zadeh提出了一个更可行的知识表达工具——语言量词的概念。
Zadeh认为语言量词的语义可以用模糊子集来表达。他把量词分为两种类型：绝对量词和比例量词。绝对量词用于表示那些本质上是绝对数目的个数，例如：大约2、比5多等，均紧密涉及到元素数目的概念，其模糊子集定义在非负实数上，表示数目r与量词的一致度。比例量词表示元素所占比例，如大部分、至少一半,用定义在上的模糊子集表示。对任意的，表示r符合量词所表达的意思的程度。
一个绝对量词，满足和；
一个比例量词，满足和。
自然语言中的量词均可被比例量词或绝对量词表示。
在功能上，语言量词通常分为三种类型：递增、递减和单峰。一个递增类型的量词有下面的关系：如果，则有。属于此类量词的有“大部分”、“至少一半”、“尽可能多”等。一个递减类型的量词所具有的关系为：如果，则有。属于这类量词的有少数、至多等。单峰类型的量词所具有的特点为：，其中。大约是这种类型的量词。
在上一节聚合算子的定义中，一个固有的问题是怎样获得相关的权重矢量。Yager建议用两种方法。第一种方式是用某种学习机制，通过对样本数据的学习来获得相关的权重矢量。第二种方式是给权重赋予某种语义。后者已经在多个领域中进行了应用，如：模糊领域、多值逻辑、证据理论、模糊控制设计等等。我们研究的是第二种方式[43-44]。
在进行决策时，我们用比例量词来指导聚合。当然，并不是所有的比例量词都有这种功能。我们选用的是具有非递减形式的量词，它们有下面的特点：
1. ；
2. ；
3. 。
例如所有、大部分、至少一半、尽可能多等都是这种量词。
这类量词的隶属函数可以表示为：
(2-8)
其中。
其相对量词“大部分”、“至少一半”、“尽可能多”的图形见图，它们的参数分别是（，）、（0，）和（，1）。
Fig. Linguistic Quantifier ‘Most’
图 语言量词“大部分”
此外，除了分段函数外，还有连续非递减函数RIM也是一种常见的关于量词隶属函数的表达形式。如：。
对待聚合的元素进行降序排列后，与之相关的权重矢量可用下面的公式计算[58]：
(2-9)
其中，，且计算的权重满足。
该公式只与聚合元素的个数有关。对于两组不同的聚合，只要它们的元素个数相同，就会有相同的权重矢量。由此可以看出，该公式所计算的权重矢量不能灵活反映聚合元素的变化，因此，上述公式并不适应要求严格的聚合问题。
Yager在文献[58]中又给出了另一种计算形式。对待聚合的元素进行降序排列后，与之相关的权重矢量计算公式如下：
(2-10)
其中，，，为待聚合元素相关的重要度，且，计算的权重满足。公式(2-10)将重要度为零的元素与零权重联系起来，更适合于一般的决策问题。
在聚合算子中引入了诱导变量后，Yager又将公式(2-10)进行了扩展[37]。在聚合过程中，三元组中的表示聚合变量，表示与聚合变量相关的重要度，表示诱导变量。聚合元素按诱导变量的值从大到小排列后，权重矢量的计算公式为：
(2-11)
其中，，，表示其相关的变量在诱导变量中处于第k大的位置。
.在文献[39]中对公式(2-11)又做了一些调整，他将三元组变为二元组，使得诱导变量由与聚合元素相关的重要度来代替，即除用于计算权重矢量，还担任排序的功能。权重矢量的计算公式如下：
(2-12)
其中，，表示排序后第大的诱导变量。
我们认为，在聚合时，应该遵守这样一个规则，即如果聚合变量的相关重要度越大，则其权重值也应该越大。对上面的公式(2-12)来说，当既表示相关重要度又表示诱导变量时，有如下公式成立：
(2-13)
假设，则有：
(2-14)
其中，，，。
另外由
可以推出
(2-15)
如果有公式成立，则必有成立，所以在语言量词隶属函数的选择上，凸的单调递增函数一定能满足公式(2-13)。
因此，在用公式(2-12)计算权重时，等人建议[39]用凸的连续单调递增函数系
(2-16)
来表示指导聚合的量词的隶属函数。
\
3多目标群组决策模型
后验偏好多目标优化是在决策者无法给出先验偏好信息和局部偏好信息下提出的一种算法。一般是先利用某种优化算法对多目标优化问题进行求解，然后，在Pareto最优解的解集中，根据决策者的偏好挑选满意结果。近几年，大量优秀的多目标优化算法的出现，使得后验偏好模型的研究更具有实用价值。
本文研究了一种后验偏好的多目标群组决策模型。该模型由三大模块组成，分别为：优化器、筛选器和决策器。优化器产生均匀分布的近似Pareto最优解，筛选器负责筛选令决策者们满意的M-Pareto最优解，决策器在所有M-Pareto最优解中，聚合决策者们的偏好，选出令决策者均满意的方案。该模型的主要特点是解决了在多目标决策中进行多人决策的问题。
模型的结构如下图：
Fig. The Model of Multi-objective Group Decision-making
图 多目标群组决策模型
优化器的设计
由于决策者是在优化器给出的优化结果中选择满意解，这就使得优化器的设计非常重要。如果没有有效的算法生成能覆盖整个优化问题全部特性的解，那么就有可能遗漏令决策者满意的解。因此在参考了大量资料，对当前流行的几种优化算法进行比较后，我们选择了非劣分层遗传算法NSGA-II[24]，来计算近似Pareto最优解集。NSGA-II算法是NSGA算法的改进。该算法不但排序速度快，而且避免了共享参数的确定，这使得该算法更易被应用。
非劣分层遗传算法NSGA-II的基本步骤
NSGA-II的基本步骤[45]如下：
首先，对初始化种群进行非支配排序。处于第一层的个体是当前种群中不被支配的个体，从种群中去掉第一层个体后 ，第二层个体会变成当前种群中不被支配的个体。依次类推计算出当前种群中所有个体所在的层号。
第二步，计算种群中所有个体的拥挤距离。所谓拥挤距离是个体与它的邻居之间的距离，表示拥挤的程度。拥挤距离的引入保持了种群在进化过程中的多样性，保证了Pareto解集的均匀分布。
接下来，根据层号和拥挤距离，用锦标赛方法选择进行交叉和变异的个体。那些层号越小，同一层上拥挤距离越大的个体，被选择的机会也越大。
然后，对选择的个体进行交叉和变异。
最后，将当前种群和交叉、变异生成的个体合并，重新计算它们的层号和拥挤距离，根据层号和拥挤距离，选出下一代个体。
重复上面的步骤，直到满足终止条件。
具体实现[45]
1) 非支配排序
非支配排序的算法如下：
第一步：对当前种群中的所有个体作如下操作：
初始化集合。该集合包含被个体所支配的所有个体；
初始化变量。该变量表示支配的个体数目；
变量，如果支配，则；
如果支配，则；
如果，表示为无支配个体，属于第一层，即，。
第二步：初始化层计数器；
第三步：计算层个体，存放层的个体；
对每一个个体，，如果，则使，；
计数器加1；
。
2) 拥挤距离
在进行选择操作时，个体是否被选择，要根据所在的层号和拥挤距离。首先考虑层号，对于同一层的个体，再考虑拥挤距离。因此，所谓的拥挤距离，是同一层上个体于邻居的距离。对处在不同层次的个体，求其拥挤距离是没有意义的。
对层来说，表示该层的个体数目，拥挤距离的算法如下：
第一步：初始化，表示第个体的拥挤距离；
第二步：对每一个目标函数
根据函数的值，排序层上所有的个体，；
使边界个体的拥挤距离为无穷大，；
设置循环变量
， (3-1)
表示按照目标函数排序后，第k大的个体的函数值。
假设有个目标函数，拥挤距离的基本含义就是计算同一层上个体的维欧几里得距离。
3) 选择算子
若，表示；或者当处于同一层时，。运用选择算子，通过锦标赛的方式，胜出者被选择进行交叉、变异。
4) 交叉算子
交叉算子的公式如下：
(3-2)
表示第个孩子的第个组成部分，表示第个父亲的第个组成部分被选择。是随机数。
5) 变异算子
变异算子的公式如下：
(3-3)
表示参加变异的父亲的第组成部分，表示参加变异的父亲的第个组成部分的上界，表示参加变异的父亲的第个组成部分的下界。表示在0，1之间取值的随机数。
筛选器的设计
在多目标决策中，最优解是不存在的，我们要找的是令决策者主观满意的解。因为在优化分析中，满意解的引入不但可以使难以解决的问题简单化，而且更能满足实际要求。根据决策者对解的满意程度进行选择判断，尽管有时可能不满足Pareto最优性，但结果依然是可取的。
多目标优化问题的Pareto最优解是非常多的，面对众多的结果，决策者常常无从下手，无法直接选择最终解，因此需要对全部Pareto最优解进行一定的筛选，得到有代表性的子集，以供决策者选择。由于决策者在作决定时，只对令它满意的解感兴趣，所以筛选的依据就是寻找令决策者满意的解。
决策者可以根据实际情况，为每一个目标函数设定一个期望值，每个目标期望值都要等于或劣于其目标函数在系统约束下的最优值，并且要位于Pareto最优前沿以外。此外，决策者还需要给出每个目标函数取值的极限情况即容许度和模糊关系量词，如“比稍大”、“比稍小”或“大约等于”等等，利用这三者，可以建立“满意”的隶属函数。
不同的隶属函数可以表示决策者对目标的不同要求，比较常用的隶属度函数形式有：线性、幂指数、双曲线、反双曲线和分段线性函数等形式。然而由于幂指数、双曲线和反双曲线等形式会增加决策过程的非线性特点，造成求解的困难，因此，线性和分段线性函数是更为常用的隶属度函数形式。在本文中对于模糊目标主要采用是线性的隶属度函数结构。
三种模糊关系
在三种模糊关系[2]中，“”表示目标函数值“近似小于等于目标期望值”，意味着决策者允许目标值在容许度范围内，大于容许度极限值，小于目标期望值。该模糊关系用于求目标最大化问题。其相应的隶属度函数形式为
(3-4)
其图形如下：
Fig. Fuzzy Relationship
图 模糊关系
模糊关系“”表示目标函数值“近似大于等于目标期望值”，容许度区间为，此时的容许度极限值为，用于求目标最小化问题，其隶属度函数和图形如下：
(3-5)
Fig. Fuzzy Relationship
图 模糊关系
模糊关系“”表示“大约等于目标期望值”，这意味着目标函数值尽量接近，其隶属度函数和图形如下：
(3-6)
Fig. Fuzzy Relationship
图 模糊关系
目标期望值和容许度
在对优化算法得到的解集进行筛选过程中，尽管决策者可以用上述符号表示对Pareto最优解的满意程度，但是期望值和容许度却难以直接给定，因此可以利用单目标最优值和支付表来辅助决策者得到。决策者可以根据每个目标函数在系统约束下的理想最优解给定期望值。下面以模糊关系“”为例来说明如何确定目标期望值和容许度，由于“”属于最小化问题[2]，所以每个目标的理想最优值为
(3-7)
其中表示Pareto最优解集，为目标函数的个数。根据理想最优值可以确定每个目标的期望值。同时令
(3-8)
由此构建支付表如下：
表3-1 支付表
Table 3-1 Disbursement List
通过支付表，可以得到每个目标在以上所有理想最优解中的最大值
(3-9)
可以直接以此作为容许度极限值，也可以根据该值间接给定。
筛选方案
在多人决策中，对每一个目标，决策者们给出期望值和容许度，筛选器在语言量词“大部分”的指导下，用OWA算子分别聚合期望值和容许度，使每一个目标的期望值和容许度达到大部分决策者满意的程度。
定义（目标满意度）：由模糊关系、期望值和容许度所建立的隶属度函数，其值表示决策者对于目标优化完成情况的满意程度，称该函数为目标满意度。
当目标函数的取值劣于容许度极限值时，表示目标优化结果完全不满意；当达到或优于期望值时，表示优化结果符合决策者的意愿，是完全令人满意的；当目标值位于两者之间时，即，目标优化的满意与否需要决策者来综合判断给出[2]。
在有了目标满意度后，我们可以建立关于多目标满意度模糊优化模型。
(3-10)
其中表示Pareto最优解集。
对于该多目标优化模型，我们可以视情况将其转化为单目标优化模型，直接求出最满意的解。由于基于Pareto最优解的概念很符合多目标问题本身的特点，所以，在这里我们还是利用Pareto选择的思想，求出在Pareto解集上令决策者们基本满意的M-Pareto解集。
定义（M-Pareto最优解）：对于满足约束的点 ，如果并不存在另一个满足约束的解，使得，而且至少有一个不等式严格成立，那么就是多目标优化问题的M-Pareto最优解[2]。
定义（弱M-Pareto最优解）：对于满足约束的点 ，如果并不存在另一个满足约束的解，使得，那么就是多目标优化问题的弱M-Pareto最优解[2]。
如果所求得的M-Pareto解集数量过多，则说明决策者给的期望值过于宽松，不利于决策器的决策，所以需要重新给出。
决策器的设计
该模块的功能是聚合M-Pareto解集，找出令决策者们均满意的解。在这里我们采用的是IULOWA算子。运用该算子，我们可以聚合决策者们给的语言偏好关系。
问题模型
下面，我们给出一个问题模型[46]。
假设有语言项集；待聚合的方案集；决策者集合；由决策者给出的偏好关系矩阵：
其中，矩阵的元素表示决策者认为方案优于方案的程度。求最好的方案。
求解步骤
我们的求解方案如下：
第一步：求。
先用IULOWA算子，在比例量词“大部分”的指导下，求出所有的，即聚合
(3-11)
其中，该集合包含了所有决策者对方案优于方案的评价。所用公式如下：
(3-12)
其中，是OWA对， 第一个参数为诱导变量，第二个参数为待聚合的元素。
对于群组决策问题，从决策者重要性考虑，一般分为两种类型：无差别类型和有差别类型。类型不同，其诱导变量的含义也不相同。
在无差别类型中， 的语义是选择作为方案优于方案的评价的决策者的个数。
在有差别类型中，的语义是选择作为方案优于方案的评价的决策者的重要度之和。
对于OWA对来说，的值越大，表示决策者对的一致度越高，其在聚合时的权重也应该越大。所以在量词的选择上，我们选用了“大部分”，其对应的隶属函数采用的是
(3-13)
在这里，我们取。
权重的计算公式如下：
(3-14)
其中，，表示将诱导值从大到小排序后的第大元素。具体的内容，可以看参考文献[42]。
第二步：求。公式如下：
(3-15)
第三步：计算每个方案的总体评价。公式如下：
(3-16)
第四步：得出最好的方案。
(3-17)
联结OWA对的处理
当我们用IULOWA算子聚合语言项时，可能会遇到一种现象，即两个或多个OWA对的诱导变量相等。我们称这样的现象为联结现象，相关的OWA对为联结OWA对。
下面，我们介绍两种方法来处理聚合的元素为数值时的联结现象。
1) 第一种方法：
Yager等人建议对联结的OWA对，用均值替代原待聚合的变量。例如，有4个OWA对：，其中和发生联结现象。处理后变为。具体内容见参考文献[32]。
2) 第二种方法：
我们先对聚合的所有OWA对排序(联结的OWA对随意排序)，再计算权重矢量，求与联结的OWA对相关的权重的均值，并代替原权重值。还是用上面的例子。假设，权重矢量为。根据我们的思想，
权重矢量处理为。
上面的两种方法在处理聚合的元素为数值的联结现象时，本质是一样的。证明如下：
当为语言项时，我们可以做近似地处理。先对聚合的所有OWA对排序(联结的OWA对随意排序)，再计算权重矢量。然后分别用上述两种方法计算。
第一种方法：
第二种方法：
在本文中，诱导变量被赋予了特殊的含义，并担任与以往不同的职责，所以，在处理联结的OWA对时，我们也给出了更适合本文环境的处理方法。这里，我们先给定“语言距离”的定义。
定义 (语言距离)：表示语言项和之间的距离。
假设存在联结的OWA对和，是最大的诱导变量，其对应的OWA对是。如果，则排在的前面。我们的理由是，谁距离一致度最高的语言项越近，谁的权重就应该越大，排在前面的可能性也越大。这是符合人的一般思维的。该方法也适用于联结的OWA对大于2的情况。
当我们用这种方法来处理联结的OWA对时，可能遇到下面三种情况：
第一种，所有的OWA对都联结；
第二种，联结的OWA对与最大诱导值的语言项的距离也一样；
第三种，OWA对在最大诱导值处开始联结。
在遇到这三种情况时，我们用前面提到的两种方法处理。
运算性质
为了简化计算过程，我们给出三个运算性质，下面用到的表示决策者对方案优于的评价是的一致度。
性质 如果诱导变量，则有：
证明：不是一般性,假设，则
根据权重计算公式，我们可以得到这样的规律：。所以，
证毕。
性质 诱导变量有对称的性质。即：。其中，。
证明：如果决策者选择语言项作为方案优于方案的程度，根据语言偏好关系的特点，这个决策者一定选择作为方案优于方案的程度。
证毕。
性质 如果，那么。其中， ，。
证明：
因为，所以有：
根据性质2，有：
证毕。
有了上面的性质，我们可以非常轻松地解决在节中提出的问题。
过程如下：
1. 找出的OWA对。
2. 处理联结的OWA对：。
3. 计算权重：。
4. 求解。
5. 重复步骤1到4，我们得到：
6. 计算每一个方案的评价：
7. 最好的方案是。
小结
多目标群组决策模型由三部分组成：优化器、筛选器、决策器。本章我们分别对这三部分做了具体的介绍和设计。优化器主要的功能是从众多的方案中找出Pareto最优解，筛选器则是从Pareto最优解集中找出决策者满意的方案集，决策器是把满意的方案集进行聚合，找到令决策者们均满意的最好方案。
4多目标群组决策模型的应用
资源优化配置问题
随着经济发展地全球化，社会分工越来越细，一个产品的制造有的甚至需要多个国家多个企业合作完成。因此，对于企业来说，如何选择战略伙伴，如何优化资源配置是一个亟待解决的战略问题。对于复杂零件协同制造中资源优化配置问题是一个典型的多目标群组决策问题。下面给出一个具体的例子[59]，并运用我们在上一章中所提出的多目标群组决策模型来解决该问题。
一个具有5个作业的制造任务，可供选择的制造资源如下图：
Fig. Resources Allocation Chart
图 资源分配图
其中，五个作业可用的资源如下：
作业1={PMU11，PMU12，PMU13，PMU14，PMU15}；
作业2={PMU21，PMU22，PMU23，PMU24，PMU25，PMU26}；
作业3={PMU31，PMU32，PMU33，PMU34，PMU35，PMU36，PMU37}；
作业4={PMU41，PMU42，PMU43，PMU44，PMU45}；
作业5={PMU51，PMU52，PMU53，PMU54，PMU55，PMU56}。
资源优化配置的目的是要寻求一条最优的加工路线，使得加工成本最低，加工时间最少，加工质量最好。
该问题简单的说来就是从作业1到作业5，每个集合中找一个PMU，组成一条加工路线，使得该路线满足优化目标。其中，制作资源PMU完成相应作业所承诺的加工成本、加工时间以及加工质量如下表：
表4-1 G1中PMU的加工成本、时间和质量
Table 4-1 Processing Cost, Time, Quality of PMU in G1
G
G1
PMU
PMU11
PMU12
PMU13
PMU14
PMU15
C
1563元
1527元
1714元
1855元
1837元
T
2天
2天
2天
2天
1天
Q
%
%
%
%
%
表4-2 G2中PMU的加工成本、时间和质量
Table 4-2 Processing Cost, Time, Quality of PMU in G2
G
G2
PMU
PMU21
PMU22
PMU23
PMU24
PMU25
PMU26
C
1542元
1581元
1594元
1558元
1576元
1565元
T
2天
3天
1天
3天
2天
3天
Q
%
%
%
%
%
%
表4-3 G3中PMU的加工成本、时间和质量
Table 4-3 Processing Cost, Time, Quality of PMU in G3
G
G3
PMU
PMU31
PMU32
PMU33
PMU34
PMU35
PMU36
PMU37
C
1111元
1026元
1321元
1227元
1206元
1254元
1321元
T
3天
3天
3天
3天
4天
3天
3天
Q
%
%
%
%
%
%
%
表4-4 G4中PMU的加工成本、时间和质量
Table 4-4 Processing Cost, Time, Quality of PMU in G4
G
G4
PMU
PMU41
PMU42
PMU43
PMU44
PMU45
C
739元
741元
961元
708元
803元
T
3天
3天
2天
3天
3天
Q
%
%
%
%
%
表4-5 G5中PMU的加工成本、时间和质量
Table 4-5 Processing Cost, Time, Quality of PMU in G5
G
G5
PMU
PMU51
PMU52
PMU53
PMU54
PMU55
PMU56
C
1100元
1210元
1044元
967元
1016元
907元
T
2天
1天
2天
2天
3天
2天
Q
%
%
%
%
%
%
PMU之间的运输费用如下：
表4-6 作业1和作业2之间的运输费用
Table 4-6 Transport Costs between Operation 1 and Operation 2
元
PMU21
PMU22
PMU23
PMU24
PMU25
PMU26
PMU11
197
156
176
183
104
164
PMU12
124
141
194
125
172
155
PMU13
126
197
107
177
120
183
PMU14
177
174
198
173
171
100
PMU15
193
172
134
110
134
134
表4-7 作业2和作业3之间的运输费用
Table 4-7 Transport Costs between Operation 2 and Operation 3
元
PMU31
PMU32
PMU33
PMU34
PMU35
PMU36
PMU37
PMU21
184
196
103
162
102
155
113
PMU22
148
122
110
110
110
130
159
PMU23
179
191
178
117
145
125
172
PMU24
124
166
134
138
176
191
155
PMU25
194
142
159
186
120
130
106
PMU26
178
168
192
113
126
139
186
表4-8 作业3和作业4之间的运输费用
Table 4-8 Transport Costs between Operation 3 and Operation 4
元
PMU41
PMU42
PMU43
PMU44
PMU45
PMU31
194
126
120
193
109
PMU32
109
110
194
174
181
PMU33
101
129
121
151
110
PMU34
137
150
197
154
119
PMU35
135
182
164
121
106
PMU36
108
131
143
180
150
PMU37
131
177
123
163
146
表4-9 作业4和作业5之间的运输费用
Table 4-9 Transport Costs between Operation 4 and Operation 5
元
PMU51
PMU52
PMU53
PMU54
PMU55
PMU56
PMU41
187
187
160
200
176
176
PMU42
176
136
188
158
168
200
PMU43
168
132
137
143
192
111
PMU44
132
190
172
131
197
106
PMU45
136
168
125
194
144
170
表4-10 作业1和作业2之间的运输时间
Table 4-10 Transport Time between Operation 1 and Operation 2
天
PMU21
PMU22
PMU23
PMU24
PMU25
PMU26
PMU11
4
2
3
1
3
4
PMU12
4
2
2
4
3
3
PMU13
4
4
4
3
5
3
PMU14
3
5
4
5
5
2
PMU15
2
1
4
3
3
4
表4-11 作业2和作业3之间的运输时间
Table 4-11 Transport Time between Operation 2 and Operation 3
天
PMU31
PMU32
PMU33
PMU34
PMU35
PMU36
PMU37
PMU21
3
4
4
4
2
4
4
PMU22
4
1
5
4
3
2
4
PMU23
5
4
3
4
4
4
4
PMU24
4
3
2
2
3
4
2
PMU25
2
4
4
3
4
2
1
PMU26
2
1
3
4
3
3
1
表4-12 作业3和作业4之间的运输时间
Table 4-12 Transport Time between Operation 3 and Operation 4
天
PMU41
PMU42
PMU43
PMU44
PMU45
PMU31
4
3
3
4
5
PMU32
5
1
5
4
4
PMU33
2
5
5
3
3
PMU34
1
5
1
1
5
PMU35
1
3
5
3
4
PMU36
5
4
4
5
2
PMU37
2
4
2
3
3
表4-13 作业4和作业5之间的运输时间
Table 4-13 Transport Time between Operation 4 and Operation 5
天
PMU51
PMU52
PMU53
PMU54
PMU55
PMU56
PMU41
1
4
1
2
3
5
PMU42
1
4
2
4
3
2
PMU43
2
4
2
1
4
1
PMU44
4
4
4
4
5
3
PMU45
2
4
4
2
2
4
优化器的设计
1) 编码方法
由于问题的定义域是离散的，所以在遗传算法NSGA-II中，我们采用整数编码，设是一个染色体，代表加工路线：
Fig. Processing Line of X
图 X的加工路线
其中，1表示作业1中的第一个PMU，即PMU11；3表示作业2中的第三个PMU，即PMU23；等等。
2) 优化目标
该问题的优化目标[59]为：
其中，表示PMU的内在加工成本；表示相邻PMU间的运输成本；表示PMU的内在加工时间；表示相邻PMU间的运输时间。
3) 遗传算子设计
因为问题本身的离散性，我们并没有采用NSGA-II中所介绍的交叉、变异算子，而用更适合本问题的算子。具体如下：
交叉算子：随机生成一个五位的随机数，
若，则：第一个孩子的第i位继承第一个父辈的第i位值，
第二个孩子的第i位继承第二个父辈的第i位值；
若，则：第一个孩子的第i位继承第二个父辈的第i位值，
第二个孩子的第i位继承第一个父辈的第i位值。
变异算子：随机生成一个五位的随机数，的位置进行变异。
4) 优化结果
遗产算法的参数设置：初始种群20，遗传代数200，交叉概率，变异概率。
用NSGA-II算法计算的结果示意图如下：
Fig. The Results
图 计算结果
去掉重复的解后，得到的近似Pareto最优解如下：
表4-14 近似Pareto最优解
Table 4-14 Approximate Pareto Optimal Solutions
序号
方案
目标C
目标T
目标Q
1
15736
6772
18
2
12436
6813
20
3
22246
6292
23
4
15246
6306
26
5
15436
6832
19
6
22226
6355
19
7
12236
6621
21
8
12546
6458
25
9
22436
6762
20
10
15446
6531
22
11
12226
6406
19
筛选器的设计
由于我们把该问题的每个目标都转化为求最小化，所以选用表示目标函数值“近似大于等于目标期望值”的模糊关系“”。接下来，我们对求得的11种方案进行筛选。
1) 目标期望值
目标C的最小值6292，对应的方案是22226；
目标T的最小值18，对应的方案是15736；
目标Q的最小值,对应的方案是12436。
我们统一把每个目标的最小值作为该目标的期望值。
2) 容许度极限值
由上面的三个方案建立的支付表如下：
表4-15 支付表
Table 4-15 Disbursement List
方案
目标C
目标T
目标Q
22246
6292
23
15736
6772
18
12436
6813
20
目标C的最大值为6813；目标T的最大值为23；目标Q的最大值为。
我们统一把三个目标的最大值作为所求的容许度极限值。
3) 目标满意度
由上面的结果，我们可以得到目标C的容许度区间（6292，6813）；目标T的容许度区间（18，23）；和目标Q的容许度区间（,）。
其隶属度函数如下：
4) 所求方案的目标满意度值
把所求得的11个近似Pareto最优解分别代入上面的隶属函数中，得到下面的隶属度表格：
表4-16 隶属度
Table 4-16 Membership degree
序号
方案
目标
目标
目标
1
15736
1
2
12436
0
1
3
22246
1
0
0
4
15246
0
5
15436
0
6
22226
0
7
12236
8
12546
0
9
22436
10
15446
11
12226
去掉不满意的方案即目标值为0的方案后，所剩下的方案如下：
表4-17 隶属度
Table 4-17 Membership degree
序号
方案
目标
目标
目标
1
15736
1
2
12236
3
22436
4
15446
5
12226
5) 求M-Pareto解集
根据M-Pareto解的概念，我们可以知道上面的5个解均为M-Pareto解。
决策器的设计
在这里，我们对上面得到的5个方案进行聚合，最后得到我们想要的方案。我们在决策的时候，所用到的方案一律用上表中的序号表示。在决策时，采用有7个语言项的集合S作为决策者们的评价标准，决策者集合，
由决策者给出的偏好关系矩阵如下：
我们按照第三章中决策器的设计步骤来聚合这五个M-Pareto解集。
1. 找出的OWA对。
2. 处理联结的OWA对：。
3. 计算权重：。
4. 求解。
5. 重复步骤1到4，我们得到：
6. 计算每一个方案的评价：
7. 最好的方案是。
到这里，该问题已被解决。我们找到令决策者们都感到满意的最好方案是，即五个M-Pareto解中的第三个方案22436。这个任务的最满意的加工流程是：
小结
在本章第一节，我们提出了一个复杂零件资源优化配置的问题。对这样的一个多目标决策问题，如果没有辅助工具，决策者将很难做出抉择。现在，本文中所提的模型解决了这个难题。
首先，我们对该问题进行数学建模。接着，用NSGA-II算法计算出Pareto最优解集。因为，我们将该问题转化为求最小值问题，所以分别计算每个目标的最小值，并根据这些最小值构建支付表。以支付表为依据，决策者们给出每个目标的期望值和容许度。在这里，我们统一以最小值作为期望值，以最大值为容许度，对每个目标建立基于目标满意度的隶属函数。接着，求所有的Pareto最优解的隶属度。去掉不满意的解即隶属度为0的解后，得到决策者基本满意的Pareto解集。再根据M-Pareto解的概念，求出M-Pareto解集。决策者们给出关于M-Pareto解的语言偏好关系矩阵。决策器用IULOWA算子对这些偏好关系进行聚合，最终，得到令决策者们都满意的最好解。
该模型可以帮助决策者提高决策的准确度和决策效率，且适用范围较广，有一定的应用前景。
5总结与展望
总结
决策追求一次成功率，机不可失、时不再来。一项关键决策的失误不仅会造成财富的浪费，有时还会阻碍社会健康、协调地发展。面对复杂多变的环境，决策者不仅要做正确的决定，而且还要做及时的决定。而在现实生活中，我们遇到的决策问题大部分又都属于多目标决策，这更增加了决策的难度。由于它的普遍性及复杂性，对多目标决策的研究显得尤为重要。
所谓多目标决策是指为达到多种目的或目标而在众多的可行方案中进行选择的过程。它普遍存在于我们的现实生活中。对于这样的一个问题，要想找到最优的解决方案是不可能的，因为各个目标之间往往是相互冲突和不可公度的，因此满足所有目标要求的方案是找不到的。决策者所能做到的就是在各个目标之间进行折中，通过牺牲某个或某些目标的性能来改善其它目标，所以寻找令决策者满意的解就成为了解决该问题的主要任务。又由于决策者的不确定性使得该问题成为一个非常复杂和特殊的问题。
当前基于决策者满意度的多目标优化决策模型并不多见，与群组决策相关的模型更是少之又少。在做一个重大决策的时候，决策者往往不止一人，所以一个多目标群组决策模型是我们所迫切需要的。因此，在文中，我们研究了一个基于偏好关系的多目标群组决策模型。
该模型有四个特点：
1) 基于语言偏好关系。
在有条件限制的模糊决策中，模糊偏好关系是个非常有用的工具。它以一种非常自然的方式表达专家对方案的观点。但是经常的情况是个体不能用精确的数值描述其偏好度，因此，一个更有效的方法是利用语言评估刻度，用语言评价来替代数值对问题进行评估。例如：方案1比方案2“重要”，方案2比方案3“更重要”，由此，我们可以知道方案1“非常重要”，方案3“非常不重要”等等。
基于Pareto最优解
自从Pareto首次提出Pareto最优解的概念以来，多目标优化算法就日新月异地发展起来。目前，学者们对非劣分层多目标遗传算法NSGA-II的评价比较高，本文所提模型的优化部分就是采用的NSGA-II的思想。目的是为了得到分布均匀，且散布较好的近似Pareto最优解集。
基于目标满意度
由优化算法得到的Pareto最优解的数量是非常多的。决策者们要在众多的解中进行决策，将是一件很不轻松的事情。于是，我们引入了目标满意度的概念。决策者们给出各自的目标期望值和容许度。对这些期望值和容许度进行统一后，对每个目标，我们都建立目标满意度的隶属函数，并求解所有Pareto最优解的隶属度。去掉满意度为0的不满意解，剩下的进行聚合。
基于群组决策
在决策阶段，我们的设计方案是针对多人决策，这更符合现实需要。在决策时，聚合算子采用的是IULOWA算子，这是一个聚合语言偏好的IOWA算子。我们充分开发了诱导变量的作用，使之不但具有排序和计算W权重的任务，还担任了处理联结的OWA对的任务。
文章的最后，我们应用该模型解决了复杂零件协同制造中的资源优化配置问题，并得到了很好的结果。
主要研究成果
研究了一个基于偏好关系的多目标群组决策模型。
以往的多目标决策研究多集中在优化器的设计，对整体的解决方案则很少有人涉及。就算提起，也只是文字上的简单介绍。没有一个具体的步骤和例子，而且也仅局限在单人决策上。对于实际问题可操作性不强。本文给出了基于偏好关系的多目标群组决策模型，使得目前的多目标决策方法的研究进一步完善。
将NSGA-II算法应用到具有离散性的问题。
现实生活中，我们所遇到的问题一般都具有离散性，将NSGA-II用于解决具有离散性的问题，扩大了它的应用范围。
开发了诱导变量的新用途。
在决策器的设计阶段，我们赋予诱导变量新的内容，它不但具有排序和计算W权重的任务，同时还用它来计算语言距离。
给出了新的关于联结对的解决方案。
在用IULOWA算子聚合时，经常会遇到联结的OWA对，我们给出了一个更适合于该模型的新方案。
研究了该模型的一些属性。
我们在文章的最后一段，研究了该模型在决策阶段的一些属性，并给予了充分的证明。这些属性可以帮助决策器减少工作量，提高计算速度。
展望
经过近三年的学习和研究，我们发现多目标决策有着广阔的研究空间，其模型和理论研究还不完善，仍然存在很多有意义的地方值得深入探讨和研究，具体包括以下几个方面：
1) 本文利用了遗传算法来寻找覆盖整个多目标决策问题的近似Pareto最优解集。虽然NSGA-II算法是目前比较好的优化算法，但是仍然可能存在遗漏和分布不均匀的情况。那么如何能够找到真正完整的最优解集是目前流行、也是比较困难的问题。
2) 在决策器进行决策的过程中，对决策者的依赖性很大。如何减少对决策者的依赖，是一个进一步研究的问题。
3) 对筛选器的设计还不太完善。虽然给了决策者们关于期望值和容许度的参考值，但是，还是会出现所给的期望值和容许度过于宽松的情况。为了得到适合决策器决策的较少的解，让决策者们反复给出期望值和容许度并不是一件值得提倡的方法。
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7作者在读期间科研成果
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8 声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西华大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确地说明并表示谢意。
本学位论文成果是本人在西华大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果归西华大学所有，特此声明。
作者签名： 年 月 日
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9 授权书
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2、不保密□，适用本授权书。
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10致谢
我要感谢我的导师裴峥教授，感谢他三年来给予我学术上的精心指导及生活上的关心和帮助，感谢他带领我进入了科学研究的神圣殿堂。本论文就是在裴老师的悉心指导下完成的。从论文的选题，内容的指导以及论文的撰写，无一不渗透着导师的心血，正是导师的悉心教导才使得我对课题有了深刻的了解，才使我真正领悟到了学术研究的真谛。导师严谨的治学态度、渊博的学识、敏锐的思维、忘我的工作精神及谦和正直的为人都给我留下深刻印象，除了做学术外，我还看到了优秀学者的人生境界，这些都是我今后学习和工作的楷模。
我要感谢三年来曾经教导过我的师长；感谢杜亚军教授、彭宏教授对我的学位论文提出的宝贵修改意见；感谢我的同门给予我的支持与帮助，他们敏捷的思维给我提供了丰富的源泉。
感谢数学与计算机学院2006级研究生班的所有同学，尤其是寝室的姐妹李西慧、骆迪、吕彦廷，一起互帮互助的三年研究生生活将令我永生难忘。
感谢四川省青年科技基金（基于逻辑系统的文字计算及其网络文本信息检索，-037，起止年限：2006年6月至2009年5月）和四川省重大科技专项（无线电信号智能分析处理系统，2008GZ0118）的支持。
感谢我的家人，感谢我的爸爸、妈妈对我多年来始终如一的关心和爱护，感谢他们在我受到挫折时给予我的理解和鼓励，他们是我顺利完成硕士学业的最大动力。
最后，我要衷心感谢我的丈夫夏祥龙和孩子夏静怡。研究生三年是我们一起渡过的最艰难的时期，我没有一天尽到做妻子和母亲的职责，但他们依旧爱我如生命。正是这种爱支撑着，让我不惧任何险阻，一直努力向前。
谨以此文献给他们！
