不完全市场中最优投资消费问题的研究
一和凌云 河南科技大学理学院 华中师范大学数学与统计学学院
周 毅河南科技大学现代教育技术与信息中心
摘要在本文中，我们主要考虑投资人在获得随机禀赋情况下进行投资以获得终端期望效用最大化的问题．将初始资产
与随机禀赋的持有分别看作是优化问题的变量，利用鞅，对偶理论求得问题的解。
关键词效应最大化随机禀赋鞅对偶不完全市场未定权益
中图分类号：F06 文献标识：A 文章编号：1006二7833(2008)叭-146-02
一、引言 记集合X(x，g)皇{腿可接受的，蜀可乃+<g、，>20}：。
数学金融学是一门用数学工具来定量研究金融问题的学科，主要 给定J和鼋，代理人的目标是获得他的终端财富的期望效应最大，
研究风险管理和效用最优化。最优投资与消费问题是微观金融学研 即下面的优化问题
究的内容之一，其模型建立了虚拟经济(iE券)与实体经济(储蓄、消
费)相联系的纽带，对实现投资、储蓄和消费的动态平衡具有很强的指
导意义。随着概率论和随机过程等近代数学理论的发展和应用，用随
机数学方法研究和解决最优投资与消费问题已成为数理金融学中定
量研究最活跃的领域之一。
在本文中，我们主要研究投资人在收到随机禀赋(如：未定权益的
红利)时的最优投资与消费问题，并运用对偶方法求解。
二、模型
设有抖l中资产(一种无风险证券和斫十风险证券)，利率为0，股
票的价格过程s=CO。；晨滤过概率空间(Q，{}’Ij邗。k。；T，P)中的一个半
鞅，T是有限的交割日期。
记∞l是等价局部鞅测度的全体，且假设翔t≠0 (1)
定义投资组合是(x冠c)，其eexCP是初始资产，日是§可积的可
料过程。表示组合中每种持有股票所占的份额。C是非负，单调不减
的，F．适应的积累消费过程。则组合的即时财富过程定义为：
X皇椰·劝，一C：气什，：H矗一G，O<t<T。 (2)
设x>O，记飞∞皇{X>O埘莆足(2)且石可}。 (3)
我们考虑投资人的效应函数U(O，∞)一取．假设函数U是严格凹
的且严格递增的连续可微函数，且满足lnada条件：
U'(0)皇liraU'(x)=oo，ff(oo)皇limtr(x)=o(4)
考虑代理人在r--0时刻的组合包括初始资产苫，数量是尹(曲m“的
未交易的欧式未定权益，其到期日是L未定权益的收益函数户U)w。一
是S广一可测的。
Ⅳ
定义未定权益的收益：<g。p皇舌口历。
tt(x,ql*--nlpE阿(-Vr+(q．，)J1，11．qj-n·(5)
x,xi．xx／)
。 。
为了解决原问题，需要考虑它相应的对偶问题。定义效应函数的
凸共轭函数如下：
lrll)皇Sllp{T．’{T}一¨‘}．，‘，，0。
J)0
易知，在条件(4)下，嘲共轭函数是一个连续可微，严格递减的严
格凸函数，并且满足以D)一∞，巩m)==0，以沪研oo)，职oo声矾0)，以及
下面的共轭关系成立：
cn}_m，。f”川+州，x'(··
记集合：成垒int{(x,q)CE“：XG，g)≠0)，int表示内部。则仅，D)∈
R，善>0 (6)
￡皇一{{一rlij}“1。弗+(口．／)·o．可{x口)E冀}，其中壤示相对内部。
觌yl={r。o。‘=J二：l嘣E支li}，盯是上鞅)。给定Ij：r){￡，
州Ⅳ{3Jr{锄)。}E[】．rI*+(¨，)}]：凹+妇．r)}，
VIx．qJi武，vA"jXf置叮}。
利用以上记号，定义(5)的对偶优化问题为；
V{，，l!鹩．E[『r㈣¨；rjec· (7)
于是我们得到以下结论：
定理l：假设条件(1)，“)，(6)成立，并且Ⅳ0，q)<oa，3G，q)e．tT,(8)
则有：(I)函数U，v分别在武，￡上取有限值。并且函数“，v是互为共
轭的： ．
吡_gJ2．j赡I'．I_rJ+母j+(g，r)；·t孔穹}{且
1’(Vl=。su“p{，帆-口卜习。一{¨“∽}8。 (9)
进一步，次微分a“：R一￡，即：Ou(x，q)C_g，O，g)∈成．00)
(m对于任意的(瑚∈庀O功∈叠(5)式和伪式分别存在唯一解
146 Business
china圈 万方数据
il-g}i∽r}。迸一步，如果∽r)∈o“Q，力，则
耳iJ：rJ=【j‘Io∽口J+《口．．，)I
E阻r，眇卅“．计”缸，)
kramkov(2004))而集合C0，D。研莆足Kramkov和Schachermaycr
(11) (2003)定理4，从而由该定理推出(13)式和(5)式存在唯一解；I以孽)与
(12) jf工叮jo于是有等式i，f五g)-；ft叮l一(口．．，’)成立·
证明：函数“在成上显然是严格凹的。由于矗是开集且j阮q)∈兵，
使得以，q)<oo，所以可以推出“在且上是有限的。
固定◇，，)∈￡，定义爿◇，r)皇{O，q)e．通：(珂+<q，，>≤l}，
乏皇 u elx．叮}。cIJ．口I=-11譬{￡丑r{王{Ⅳ．口}，使得
gs届+<g。pl，阮g)∈·(；·记c是乏的闭包。
利用上述定义，我们可以将函数U改写为：
u{x．g)_s叩E阳g)]， (13)
●EoⅥ’
于是s。n。p正p㈦]2翟Ⅲ：[卅_-g吒船，，．岫}，：川‘参看
Julien和Dmitrykramkov(2004))，进一步，我们可以断定
{；llp,qx,q)‘∞，：j，0， (14)
·，4●‘=^^，‘
为证明(14)式，不失一般性，假设￡是开集。此时，集合4以r)是￡
中的有界集，于是由函数U的凹性可以得到(14)式成立。又由于
^芒D{，‘『．J营E【977】二．1-々g云c．
习1．1，．r)皇{heL*．：3Y专刚B¨使得^sK}(参看Julien和Dmitry-
kramkov(2004))．
利用上述定义，将函数改写为“f”r)-。：孵．E旷i^1](15)
由于集合C，烈y'力满足Kramkov和Schachermayer(1999)定理
3·l的假设，如果V饥，)<∞，则由该定理可知(15)式存在唯一解iI)．，J，
以及(9)式的共轭满足；
山-，．J=耐掣E[。-{镏}]一：j=⋯supla(x．ql-ay-《∥)}
记：皇∥(；h。·)，：皇Ep∽a*i]’由K豫mkoV和sc“achenllay。
盯(2003)定理4也可以推出j；量：9，并且i还是优化问题
EK廿刚H叫的唯嘲。
由砷斗I’可雌蝻在啡矾坷澈得洒川。显
然，对于誓o‘也有下面式子成立。叼，+("，)=：=珏[；{x．口}；]07’
且(15)式的解满足：；I”，户i：F．f；I，口}1．08)
由-Y-r．?f；∽口11：f’f；j+；{五ql；，可以得到：
u(x,q)--衄，r卜x炒勺，r>， (19)
而由R0ck疵llar(1970)定理23．5可以知道上式等价于(Ⅳ，0u(xa)。
特别地，我们有
Ou(x，g)n￡≠0 (20)
反之，如果(，，，一∈￡并且满足(19)式，即，饥一∈￡nOu(x,q)，则有
E0，’(；·，．，‘0+；taj，，；t．r：r,I-U[fg‘·，．aj|]EJ’’I而‘J·r)j+913j叮’厅t·i。』'口’』J
=E∽¨．，，)+g“l‘q)h6ly．rMj∞，《=lr7l^I-1．，’lI )一￡jlgl工彳Jl|L ～ 、 7j
二v《，：rJ+口+(g．，。)一“I．T’q}=0
这就意味着(17)式，(18)式成立。
最后我们只需证明：a“伉q)c￡。A4"O,,r)eau(x，口)，由(20)K以及
06)
au(x，q)是闭凸集，而集合a“0，q)n￡中存在序列以，n)收敛到O们(参看
Julien和Dmitrykramkov(2004))，而任何集合王Ⅺ．，r_)都包含一个严格
。，竺√∞帕铲付酾婀过竺黧哺竺跏机娩协川1堋训蚓引绷“en和到(参看Rockafellar(1970)，Sectionl2)．而且事实上，(16)式qa函数v、．‘ ‘，
的定义域是￡的一个子集。专。0灯)∈爽，定义集合
BG，q)叁{Ur)∈c：刁—<q，，》sl，豸皇1．j ob．，r1·
I’V·‘*W，
记D是鸯的闭包。
显然可以得到：
嫣E[『，l：61]一懋E[『’㈨)]=，m。f。r(．，·r)7们，：o
又g∈c《x田)营E[gh卜l，v'h‘三o，(参看Julien和Dmitry·
圈Businesschina
Dmitrykramkov(2004))．Y-；黾Ou(x,q)c￡。
●考文献：
【I]JULIENFlUGONNICERariaDMITRYKRAMKOV(2004)．Optimalinvestmentviith
madomendowmtmtsinincompletemarkets．Ann．Appl．Probab．2MY---864．
12】KRAMKOV-D．O．andscHAcHERMAYER，w．(2003)Necessaryandsufficient
conditionsintheproblemof'optlmalinvcstracntinincompletemarkets．Ann．Appl．Probab．13
1504一1516．
【3]ROCKAFELLAR．R．T．(1970)．Convex0naIy西，．PrincetonUniv．press．
f4]KRAMKOV，D．O．aadSCHACHERMAYER，w．(1999)Tlleasymptoticd舶时dty
ofufilityfuncfonIMdoptimalinvestmentinincompletema&et●．Aria．Appl．Probab．9904
----950．
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