统计与决策 !""#年 !月（下）
!""一般均衡由来
一般均衡相对于局部均衡而言。局部均衡是指单个市场
的商品和生产要素的供求同时在一个价格状态空间下供求
相等的情形；而一般均衡是指一个经济体系中所有商品市场
和生产要素市场在一组状态空间下供求相等的情形；两种均
衡的基础条件都是建立在生产函数和消费函数严格的凹凸
性保持技术条件上。但同时，应指出的是：一般均衡并不等于
单个静态商品市场和要素市场的总和，因为在同一状态空间
下，同一经济体系的不同商品市场和要素市场是互相影响
的。故而，对一般均衡的分析较之局部均衡而言，更为复杂和
不确定性因素更多。一般均衡理论的最初形式是由“洛桑学
派”的创始人瓦尔拉斯（法国人）在 $%&’($%&& 年提出的。但
均衡的存在性问题，直到 !" 世纪 #" 年代才由著名经济学家
阿罗和德布鲁利用复杂的数学工具角谷不动点定理证明得
出。期间经历了 $)$$ 年布劳威尔不定点定理的提出，瓦尔德
在 !" 世纪 *" 年代的证明努力，’" 年代中冯·诺伊曼和角谷
+,-./0-123对它的证明。因为，众所周知，瓦尔拉斯提出的方程
个数等于未知变量个数并不能确保方程解的存在。而在这之
后，!" 世纪 &" 年代、%" 年代中，由于拓扑理论和微分流形在
经济理论中的广泛应用，4/5526 和 78-569 利用 :9-;;<-1 流形
对一般均衡的 =>9;/.(/?-< 定理做了进一步深化和推广。
#""不动点定理概述
关于一般均衡的存在性的证明可以从不动点、序方法、
单纯形以及微分流形等角度来进行。其中，不动点定理是一
个既比较古老的问题，因为它的历史比较长；又比较有生命
力的领域，因为其阐述方式可以从微分流形以及分形等角度
来阐述。要完整剖析 @9-;;<-1 流形中的不动点定理，回顾不
动点定理的历史是必要的，有助于我们掌握其来龙去脉。
关于布劳威尔不动点定理的阐述，在张奠宙、顾鹤荣著
的《不动点定理》、江泽涵著的《不动点类理论》、王则柯著的
《单纯不动点算法基础》都有涉及，我们可以参见以下不同表
达方式：
（$）布劳威尔不动点定理 A$B：设 4 是 C1中的有界闭凸集，
映射 D：4!4 连续，则 D 在 4 上必有不动点，即"E"!4，使得
DE"FE"。
（!）布劳威尔不动点定理A!B：设 5 是 1 维实心球 41到自身
的连续映射，则存在 E!41，使得 5+E3FE。
（*）布劳威尔不动点定理A*B：
"定义 设 G 是拓扑空间，H 是 G 的子空间，如果存在
连续映射 9IG!H 使得 9（E）FE，#E!H，那么我们就称 H 为 G
的收缩核，并称 9为收缩映射。
#定理 71($不是 41的收缩核。即不存在这样的连续映
射 :：41!71($它使得 :+E3FE，#E!71($。
$（布劳威尔不动点定理）任何连续映射 5I41!41 都必
定有不动点。即必定存在 E"!41，使得 5+E"3FE"。
（’）布劳威尔不动点定理 A’B：设 5 是 1 维标准单纯形 71的
连续映射，则必有 E!71使得 EF5+E3。
以上关于布劳威尔定理 A#B的证明可以参见原文，比较上
述定理发现，尽管阐述方式不一，但是基本假定都一样，即空
间为闭凸的，映射为连续，且映射空间和象空间同一。张筑生
所给的之所以比较详细，是因为其首先给出了一压缩算子的
定义和一个证伪方式。
但布劳威尔不动点定理是针对欧氏空间凸集的单值自
映射 5IG!G 而言，而由欧氏空间凸集 G 的集值自映射 J：
G!K（G）生成的不动点称为角谷不动点，也即紧凸集的上半
连续的集值自映射必有不动点；并且角谷不动点可由单值自
映射的布劳威尔不动点导出。王则柯先生在《单纯不动点算
法》中给出了有关角谷不动点的两个定理以及两个推广定
简论不动点在一般经济
均衡证明中的应用
罗 猛，王 俊
（中国人民大学 财政金融学院，北京 $""%&!）
摘 要：本文基于一般均衡及不动点理论L刻画了不动点定理在一般均衡存在性的应用证明。从
而，从中可以窥见主流经济学主线的历史变迁轨迹。
关键词：一般均衡；不动点；流形
中图分类号：J!! 文献标识码：H 文章编号：$""!(M’%&+!""#3"!("$$’("*
知 识 丛 林
$$’
万方数据
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理。
（#）角谷不动点定理 $%&’：设 ( 是 ) 维紧凸集，集值映射
*：(!+（(）上半连续，那么，必有一点 ,-!( 使得 ,-!*（,-）。
（%）角谷不动点定理 !：设 ( 是一个 ) 维紧凸集，集值映
射 *：(!+（(）满足条件：只要 ,!(，.!(（,，"），( 中与 , 距离
不超过 " 的集合，就有 *（.）"(（*（,），#），( 中与 *（,）距离
不超过 # 的集合，又设 / 是 ( 的一个单纯剖分，其网经
0123/#"，而 4：(!( 是 * 的基于剖分 / 的任一单纯逼近，,-
是 4 的一个不动点，那么，,-!(（*（,-），#），即 ,-与 *5,-6距离不
超过 #。
上一定理刻画了单纯逼近的布劳威尔不动点与它在原
集值映射下的象的位置关系。
（7）89:12 定理 $%&：设 ( 是 ;)中 ) 维紧凸集，<!=)>(。若
*?(!+5;)6上半连续，并且对每点 ,!$(，<!*（,）。那么，*在 (
有不动点。
（@）A1BB=CC 条件 $%&：设 *：;)!+（;)）上半连续，如果存在
,"!;)，%D"，&D" 使得只要 ,!(（,"，%），4!*（,），E!(（,，&），就有
（4F,）·5,"FE6D"，那么，*在 (5,"，%6有不动点。
同时，关于角谷不动点定理的文章还可参见 A=G391C (H
I0.>3 9)J ;K1=31B /29KB 的 L M=N=>9C O1B2=P) P4 >31
Q9RK>9)= *=,1J +P=)> /31PB10 4PB SP):1,F:9CK1J AKC>=4K)GT
>=P)2 5发表于 /31PB1>=G9C SP0UK>1B IG=1)G1 V" 5!""’6）以及
SC9KJ1 (1BN1 的《拓扑空间》（SC9KJ1 (1BN1 著，孙荣光 傅
熙来 译，河南教育出版社，’WW" 年 @ 月第 ’ 版，页码：!XW—
!#"）等文献。可见，角谷不动点定理比布劳威尔不动点定理
应用范围要相对广一些，因为其映射空间条件约束相对弱一
些。但是，对线性条件和凸性条件的需求仍使得这两个定理
在一定范围内不能适用。而微分拓扑理论和微分流形理论的
引入使得我们可以突破这种界限，参见以下不动点定理：
（W）IG39KJ1B 不动点定理 $’&：设 M 是中 (9)9G3 空间 Y 的
有界闭凸集，*?M!Y 是全连续映射。设下列条件之一满足：
’M 含有内点，且 *?$M!M（这里 $M 表示 M 的边界）
( *：M!M
则 *在 M 上有不动点。
这里的映射 *不必是线性的。
（’"）Z142G31>E不动点定理$!&：
’ Z142G31>E 不动点定理是关于可剖分空间自映射的不
动点定理存在性的判别定理，布劳威尔不动点定理可看作它
的一种特殊情形。
( Z142G31>E不动点定理：设 Y 是可剖分空间，4?Y!Y 是
连续映射。如果 Z546$"’，则 4 有不动点。
在这基础上，MK44=1 和 I3941B 在 ’W@# 年利用模 ! 拓扑
度和模截理论将微分拓扑原理运用到资产 [8\ 分析当中来；
而 [19)9RPUCP2 和 I3941B 于 ’WW" 年利用光滑流形上的类
SRF]9CB92 映射和 SRF允许映射概念证明了通常光滑条件下
的不动产 [8\ 的存在性；这些无疑都是对 <PB2KRFKC90 定理
的深化和发展。
首先，刻画阐述 <PB2KRFKC90 定理。其定理如下：如果 4?
2)!2)是连续奇映射(，那么 J1N!546^’)。
而 [B92209) 流形刻画如下：
（’’）) 维向量空间 ;)中全体 0 维线性子空间的集合记
作 [（A，_），它是 05)F06维光滑流形*，称为 [B92209) 流形。
（’!）定理 $7& [B92209) 流形 [B（8）是一个 B5)FB6维的紧实
解析流形$@&。
接下来，我们引用张筑生在《微分拓扑新讲》中给出的布
劳威尔不动点定理的模 ! 测度证明法，从而可以窥见 [B922T
09) 流形中的模 ! 测度与 <PB2KRFKC90 定理的关系。
（’X）布劳威尔不动点定理：连续映射 4?M)!M)必有不动
点。此定理可以归结为如此证明：任何连续映射 N?M)!I)F’都
不能使（N‘I)F’）^ =J?I)F’!I)F’。用反证法：假设存在满足上述条
件的连续映射 N，则由（如果 =J?A!A 是恒同映射，那么 J1N!
5=J6^’）可知 J1N!5N‘I)F’6^’（’）。另一方面，因为 a5>，,6^N55’F>6,6
将 N‘I)F’同伦于常值映射 N5"6，所以 J1N!5N‘I)F’6（!）。我们得到
互相矛盾的结果（’）和（!），从而可以得证。
!""不动点定理在不同市场均衡存在性的证
明中的应用
关于市场均衡存在性的证明方法可以有不动点定理、序
方法、线性方程组解、博弈组合以及算子算法等，其中不动点
定理是证明市场均衡存在的一个最重要的方法。并且，不动
点定理除了上述之外，还有其他众多的阐述。而不动点定理
既可运用到一般均衡的证明当中来，还可用来证明不完全市
场均衡存在性的证明，并且可运用到不同具体市场均衡存在
性的证明当中来，比如附息国债到期市场均衡，市场占有率
算法等。
我们引入张定胜在《高级微观经济学》中给出的竞争均
衡存在性的证明来剖析不动点定理是如何在一般均衡中得
’设 Y是可剖分空间，4?Y!Y是连续映射，规定 4的 Z142G31>E数 Z546为：Z546?^
J=0Y
b ^ "
!5F’6b>B54-b6
(奇映射，设 M是 ;I中的对称子集（即 M^FM），8是 ;>中的对称子集。映射 4?M!8被称为奇映射，倘若 45F,6^45,6c%,&M。
)设 A是光滑紧致流形，_是光滑流形，J=0A^J=0_c4&S"5Ac_6。如果 J1N!（对 .的模 !覆盖层数或模 !映射度，也即 d4F’!6不随 .&
_而改变（例如 _是连通光滑流形的情形），那么把 J1N!546?^J1N!叫做映射 4的模 !映射度。其详细阐述参见《微分拓扑新讲》，张筑生 著，北
京大学出版社，!""!年 7月第 ’版，页码：!"@F!’!。
*设 A 是一个 a9K2JPB44 空间，若 A 的每一点 U 都有一个开邻域 e"A，使得 e 和 ) 维欧氏空间 ;)中的一个开子集是同胚的，则称 A 是一个
)维拓扑流形，简称 )维流形。设 A是一个 )维拓扑流形，若在 A上指定了一个 SB微分结构 "，则称5Ac"6为一个 )维 SB微分流形，属于 " 的坐
标卡5ec+6称为该微分流形的容许坐标卡。当 B^f时，称5Ac"6为光滑流形。
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’’#
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以应用的。
命题 $ 假设 !%&’是定义在 &!(
)
**上的函数，满足连续、
零次齐次、瓦尔拉斯律等五项条件 +,-，那么方程组 .%&’/" 一定
有解。因此，对于任意的纯交换经济，如果
0
!1022"，每个消
费者 0的偏好3
0
是连续的、严格凸的和强单调的，那么一定存
在一个瓦尔拉斯均衡。
证明：首先将价格向量规范化。记 !/4&!(
)
* 5
!
!&$/$6为
一单纯形。依据条件，函数 .%·’仅在 ! 的内集上有定义。! 的
内集记为 !"/4&!(
)
**&!/$6。
（$）对于任意的 &!!"，构造一个映射不动点
对于任意的 &!!"，定义 3%&’/47!!5.%&’·7".（&）·7，对
于任意的 78!!6也即是，给定现行价格 &，所有使得超需求
向量的值最大的 7!! 组成它的一个映射。或者，3%&’/47!!5
7$/"，如果 .$（&）9:;<4.$%&’，···=.)%&’6。因此，如果 .%&’#"，那
么，3%&’$"!/!>!"，"! 表示 ! 的边界点的集合。如果 .（#）/
"，那么 3（&）/!。
（!）对于任意的 &!"!，构造一个不动点映射。对于任意
的 &!"!，定义 3%&’/47!!5&·7/"6/47!!：&$/"，如果 &?2"6注
意到如此构造的映射使得 "! 上的点不可能是不动点。因为
如果 &!"!，那么 &·72"，所以 &%3%&’。
（@）3%·’的一个不动点是一个均衡。假设 &A!3%&A’，由上述
第 ! 步可知 &A22"。如果 .（&A）#"，由第 $ 步可知，3%&A’$"!/
!>!"，不可能存在 &A!3%&A’。因此如果 &A!3%&A’，一定有 .（&A）/
"。
（B）不动点映射 3（·）是凸值的和上半连续的。首先证明 3
%·’是凸集，分两种状况即分别 &!!"和 &!"! 下，对于任意
的 7$=7!!3%&’，$!+"，$-，$7$*（$>$）7!!3%7’都成立。接下来，证
明 3%·’的上半连续性，考虑两个序列 &:&&=7:&7，这里，7:!3
%&:’ 在两种情况下即 &!!"和 &!"! 下都可证明 7!3 %&’成
立。
（#）不动点存在。角谷不动点定理推出任意一个从非空
凸紧集到自身的凸值，上半连续映射存在一个不动点。由于
! 是非空凸紧集，3%·’是一个凸值上半连续映射，所以存在一
个 &A!!，满足 &A!3%&A’。由第 @ 步可推出 &A就是均衡价格向
量。
张定胜在随后章节里给出了放宽条件的均衡的证明 +,-。
而关于不动点用以证明均衡存在性的阐述还可在王则柯、凌
志英编著的《拓扑理论及其应用》以及蒋殿春编著的《高级微
观经济学》中可见。前者给出了布劳威尔不动点定理在均衡
存在性中的应用证明 +B-，证明步骤和张定胜所采用的基本一
样；后者也给出了布劳威尔不动点定理在均衡存在性中的应
用证明+$"-，但证明稍稍简单一些，基本步骤仍基本一样。值得
注意的是，王则柯与凌志英在本书中还给出了不动点定理在
博弈论和非线性互补问题的应用证明 +B-。由于基本步骤基本
一样，这里不再一一赘述。另外，关于不动点定理在 CDE 模型
中的应用可参见何穗、王恩周的《一般经济均衡理论与现代
数学》，而不动点定理在附息国债到期市场均衡中的应用可
参见邓国华的《不动点理论与附息国债到期收益率的计算》，
不动点定理在市场占有率的应用可参见白先春和李杏的《均
衡市场占有率预测的不动点算法》。总之，不动点定理在不同
市场均衡中得以广泛应用，从而巩固了主流经济学的阵营；
更为重要的是，不动点定理提供了一种革命性的思想方法与
工具，极大地改变了经济学者在处理经济问题时的视角。
参考文献：
+$-李大华F应用泛函简明教程+G-F武汉：华中科技大学出版社，$,,,F
+!-尤承业F基础拓扑学讲义+G-F北京：北京大学出版社；$,,H，第 $ 版F
+@-张筑生F微分拓扑新讲+G-F北京：北京大学出版社；!""!，第 $ 版F
+B-王则柯，凌志英 F拓扑理论及其应用+G-F北京：国防工业出版社，
$,,$F
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VJSS3 ;)U CP)PJ;?0.;L0S)QF GP:SJ0;? X)0YPJK0LZ S3 [P13SM)U?;)U，
$,,,F
+\-王则柯F单纯不动点算法+G-F广州：中山大学出版社，$,]\F
+H-+美-(F纳拉西姆汉F实流形和复流形上的分析+G-F北京：科学出版
社，$,]\，第 $ 版F
+]-周毓麟F周毓麟论文集+G-F北京：科学出版社，$,,!F
+,-张定胜F高级微观经济学+G-F武汉：武汉大学出版社，!"""=第 $版F
+$"-蒋殿春F高级微观经济学+G-F北京：经济管理出版社，!"""F
（责任编辑 ^李友平）
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