第二讲 排列与组合
课标要求 考情分析
1.理解排列和组合的
概念.
2.能利用计数原理推
导排列数公式和组
合数公式
1.以实际问题为背景，考查排列数、
组合数，同时考查分类讨论的思想及
解决问题的能力.
2.以选择、填空的形式考查，或在解
答题中和概率相结合进行考查
名称 定义 区别
排列
从 n 个不同元素
中取出 m(m≤n)
个元素
按照一定的顺序排
成一列
排列有序，
组合无序
组合 合成一组
1.排列与组合的概念
内容 排列数 组合数
定义
从 n 个不同元素中取出 m
(m≤n)个元素的所有不同
排列的个数，叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素
的排列数.用符号“ ”
表示
从 n 个不同元素中取出 m
(m≤n)个元素的所有不同组
合的个数，叫做从 n 个不同元
素中取出 m 个元素的组合数.
用符号“ ”表示
2.排列数与组合数
(续表)
(续表)
【名师点睛】
(1)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理
分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复
或遗漏.
(2)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分
组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
题组一 走出误区
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.
( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
题组二 走进教材
2.(教材改编题)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出
2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法
共有( )
种 种 种 种
答案：C
3.(教材改编题)已知某公园有 4 个门，从一个门进，另
一个门出，则不同的走法的种数为( )
答案：C
题组三 真题展现
4.(2021 年全国乙)将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花
样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名
志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，
则不同的分配方案共有( )
种 种 种 种
答案：C
5.(2020 年山东)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿
者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安
排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有( )
种
种
种
种
答案：C
考点一 排列问题
[例 1]有 3 名男生，2 名女生，在下列不同要求下，求
不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边的位
置，共____种排法；
(2)全体排成一行，其中男生必须排在一起，共____种
排法；
(3)全体排成一行，男生不能排在一起，共____种排法；
(4)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左到右的顺
序不变，共____种排法；
(5)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，
共____种排法；
(6)若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，
共____种排法；
(7)排成前后两排，前排 3 人，后排 2 人，共____种排
法；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 1 人，共___
种排法.
(3)12 (4)20 (5)78答案：(1)72
(6)72 (7)120
(2)36
(8)36
【题后反思】排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分
析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素
优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位
置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、
定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用
方法.
【变式训练】
1.用 1,2,3,4,5 这五个数字，可以组成比 20 000 大，并
且百位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有( )
个
个
个
个
答案：B
2.(2021 年福州期中)6 上分别写有数字 1,1,2,3,4,
5，从中取 4 一排，可以组成不同的四位奇数的个数
为( )
解析：尾数为 1 时，符合要求的四位奇数有
60(个)；尾数为 3,5 时，同样分情况讨论，以 3 在末尾为例，
1,1 被同时选中，再从 2,4,5 中任取 1 个，再与 1,1 排在前 3
综上，3 在末尾的奇数的个数为 9＋24＝33.同理 5 在
末尾的奇数的个数为 33.
所以可以组成不同的四位奇数的个数为 60＋33＋33
＝126.故选 B.
答案：B
考点二 组合问题
[例 某省市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其
中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
【题后反思】组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解
这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的
含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，用
直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【变式训练】
1.(2021 年潮州期末)高二年级要从 3 名男生，2 名女生
中选派 3 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，
)那么不同的选派方案有(
种
种
种
种
答案：D
2.若从 1,2,3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的
数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
种 种 种 种
解析：这 9 个整数中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同
的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，
66(种).故选 D.
答案：D
考点三 排列与组合的综合问题
考向 1 相邻问题
[例 3]北京 APEC 峰会期间，有 2 位女性和 3 位男性共
5 位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3
位男性领导人中有且只有 2 位相邻的站法有( )
种 种 种 种
解析：从 3 位男性领导人中任取 2 人“捆”在一起记
作 A，A 共有 ＝6(种)不同排法，剩下 1 位男性领导人
记作 B,2 位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在 A，
B 之间，此时共有 6×2＝12(种)排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)，
最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有
12×4＝48(种)不同排法.
答案：C
考向 2 相间问题
[例 4]某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类
节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的
排法种数是( )
解析：安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小
品 1，小品 2，相声”“小品 1，相声，小品 2”和“相声，
小品 1，小品 2”.对于第一种情况，形式为“□小品 1 歌
舞 1 小品 2□相声□”，有 ＝36(种)安排方法；同
理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，
三个节目形成 4 个空，其形式为“□小品 1相声□小品
2”，有 ＝48(种)安排方法，故共有 36＋36＋48＝
120(种)安排方法.
答案：B
考向 3 特殊元素(位置)问题
[例 5某省市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有
两个孩子共 8 人，他们准备甲、乙两辆汽车出去游玩，每
车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置)，其中 A
家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 个孩子恰
有 2 个来自同一个家庭的乘坐方式共有( )
种 种 种 种
解析：根据题意，分两种情况讨论：
①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩
子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选 2 个，
②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个
家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲车上，对于剩余的
两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，
故共有 12＋12＝24(种)乘坐方式.
答案：B
【反思感悟】解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类.
(2)按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，
即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
【考法全练】
1.(考向 1)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产
品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有
_______种.
答案：36
2.(考向2)(2021年广德模拟)将《红楼梦》《西游记》
《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《诗集》
和《戏曲论丛》7 本书放在一排，下面结论成立的是( )
A.戏曲书放在中间的不同放法有 7！种
B.诗集相邻的不同放法有 2×6！种
C.四大古典名著互不相邻的不同放法有 3！种
D.四大古典名著不放在两端的不同方法有 种
解析：对于 A，戏曲书只有一本，所以其余 6 本书可
以全排列，共有 6！种不同排列方法，A 错误；
对于 B，诗集共 2 本，把诗集当成一本，不同放法有
6！种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为 2×6！，
B 正确；
对于 C，四大古典名著互不相邻，那只能在这四本书
的 3 个空隙中放置其他书，共有 3！种放法，这四本书又
可以全排列，所以不同放法总数为 4！×3！，C 错误；
答案：B
3.(考向 3)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副
队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中
至少有 1 名女生，则共有________种不同的选法.(用数字
作答)
答案：660
⊙排列组合中的平均分配问题
[例 6]六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分
法？
(1)平均分成三堆，每堆两本；
(2)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本；
(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.
【反思感悟】(1)对于整体均分问题，往往是先分组再
排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都
是一种情况，所以分组后一定要除以 (n 为均分的组数)，
避免重复计数.
(2)对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均
匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应
除以 m！.
(3)对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进
行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计
数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还
是组合问题.
【高分训练】
1.教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大
学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任
教，现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到
3 所学校去任教，有________种不同的分派方法.
答案：90
2.某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进
行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分派方
法有( )
种
种
种
种
答案：D
