1
第六章 库存论
• 库存论研究的基本问题是，对于特定的需求类型，讨
论用怎样的方式进行原料的供应、商品的订货或者产品
的生产，以求最好地实现库存的经济管理目标。因此，
库存论是研究如何根据生产或者销售活动的实际库存问
题建立起数学模型，然后通过费用分析求出原料、产品、
商品的最佳供应量（对库存系统）和供应周期这些数量
指标。
• 库存模型分为确定性和随机性两大类，供需完全可以
预测的模型称为确定型模型，否则就是随机型模型。
2
第六章 库存论
库存系统结构
• 一般库存系统的结构模式可以表示为如下图形式。由于
生产或销售的需求，从库存点取出一定数量的库存货物，
这就是库存系统的输出。由于库存货物的不断输出而减少，
则必须及时作必要的补充，这就是库存系统的输入。
补充 输出
• 需求（输出）的方式可以是均勺连续的或间断批量的，
需求的数量可以是确定性的或是随机性的。
• 补充（供给）的形式可以由经营单位向外订货或者自身
安排生产活动。
库存
3
第六章 库存论
库存控制策略
• 在库存控制中，需求是服务的对象，补充是控制的对象。
因此，根据对库存货物补充控制的不同方法，形成库存模型
不同的控制策略。最常见的存储策略有以下三种。
• t循环策略 每经过一个循环时间t就补充库存量 。这一方
法也称为经济批量法。
• (s，S)策略 每隔一定时间检查库存量Y，当库存量Y低于某
一规定的最低库存量s时就补充库存量S-Y，从而把库存量提
高到S，反之，就不作补充。
• (q，Q)策略 对库存进行连续性检查，当库存量减少到订
购点水平q以下，就即刻订货，且每次的订货批量都为 Q 。
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例1： 某轮胎公司作为一地区的分销商，它为附近1750家零售
店和汽车服务站提供10种不同尺寸的车用轮胎，必须为每一品
种保持一定量的库存。公司负责人为了减少库存的成本，他选
择了某种型号的轮胎进行调查研究，制定正确的库存策略。
调查的资料表明，该轮胎的固定售出速度为每个月500个
公司的库存方案就是每两个月向生产厂商订购1000个轮胎以满
足需要，下订单的９个工作日之后，新货准时到达。
问题：1000是否是一个正确的订购量？
经济订购批量模型
5
计算库存费：每单位轮胎库存费由两部分组成，第一部分是购
买轮胎所占用资金的利息，如果资金是从银行贷款，则贷款利息就
是第一部分的成本；如果资金是自己的，则由于库存轮胎而不能把
资金用于其他的投资，我们把此资金的利息称为机会成本，第一部
分的成本也应该等于同期的银行贷款利息。每单位轮胎300元，而
银行贷款年利息为15%，所以每单位轮胎库存一年要支付的利息款
为45元。第二部分由贮存仓库的租用费用、保险费用、损耗费用、
管理费用等构成，经估计每单位轮胎贮存一年要支付的费用占轮胎
进价300元的6%，这个费用为18元。把这两部分相加，可知每单位
轮胎库存一年的库存费为63元，即c1=63元/年·个。
计算订货费：订货费指订一次货所支付的手续费、电话费、交
通费、采购人员的劳务费等，订货费与所订货的数量无关。这里估
计的每次的订货费为c3=620元/次。
经济订购批量模型
6
模型的假定：
1.需求率固定，为常数；
2.无限供货率；
3.单位货物单位时间的库存费 c1 ；
4.每次的订货费 c3 ；
5.不允许缺货；
6.每期初进行补充，即期初库存量为Q 。
时间
t
0 T1 T2 T3
Q/2
库存量
Q
经济订购批量模型
7
单位时间内总费用=单位时间内的库存费用+单位时间内
的订货费用 +进价成本
单位时间内的库存费用=单位时间内购买货物所占用资金的
利息+贮存仓库的费用+保险费用+损耗费用+管理费用等
设每次的订货量为Q，由于补充的货物瞬间全部同时到位，
故0时刻的库存量为Q。到T1时刻库存量为0，则0到T1时间内的
平均库存量为Q/2。又设单位时间内的总需求量为D，(单位货
物的进价成本即货物单价为c)，则
经济订购批量模型
8
单位时间内的总费用
求极值得使总费用最小的订购批量为
这是库存论中著名的经济订购批量公式，在最优订货量下：
单位时间内的库存费用=
单位时间内的订货费用=
单位时间内的总费用=
两次订货间隔时间
经济订购批量存贮模型
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经济订购批量模型
Q
R
L
D
t
Ｌ—— 订货提前期（在下订单和收到货物之间的时间间隔）
D—— 单位时间的需求量
Ｒ—— 下订单时的库存水平，称为再订购点
10
经济订购批量模型
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订货周期
一年的库存费
一年的订货费
一年的总费用
在最优订货量下：
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例2:一家制造电视机的公司,自己生产扬声器安装在电视机产品
中,为保证电视机的生产计划,这家公司每天需要1000个可以安装的
扬声器,每次需要更多的扬声器时就会以每天3000个的速度生产,直
到满足订单需要.然后生产设备就会用于生产其他产品,直到再一次
需要生产扬声器.扬声器的生产速度是需求速度的三倍,故只有三分
之一的时间生产扬声器,试问:应如何评价公司管理扬声器库存策略?
经济生产批量模型
模型的假定：(P>D)
1.需求率为常数D（单位时间）； 2.生产率为常数P — 有限供货率；
3.单位产品单位时间的库存费 c1 ； 5.每次的生产准备费 c3 ；
5.不允许缺货； 6.每期初进行补充。
补充不是靠订货，而靠生产逐步补充，因此，补充数量不能同时到位
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库存量
时间t
生产
时间
不
生产
时间
平均库存量
最高库存量
P-D D
经济生产批量模型
设每次生产量为 Q ，生产率是 P，则每次的生产时间 t 为Q/ P ，于
是最高库存量为 (P-D) Q/ P。到T 时刻库存量为0，则0到T时间内的
平均库存量为 (P-D) Q/2P 。故单位时间的库存费为：
另一方面，设D为产品的单位时间需求量，则单位时间的生产准
备费(配置费用：运作准备生产系统时产生的生产费用)为 c3 D /Q
T
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使TC达最小值的最佳生产量
单位时间的最低总费用
生产量为Q＊时的最大库存量为
每个周期所需时间为
显然， 时，经济生产批量模型趋于经济订购批量
模型。
单位时间的总费用TC为：
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例2:一家制造电视机的公司,自己生产扬声器安装在电视机产品中,为
保证电视机的生产计划,这家公司每天需要1000个可以安装的扬声器,
每次需要更多的扬声器时就会以每天3000个的速度生产,直到满足订
单需要.然后生产设备就会用于生产其他产品,直到再一次需要生产扬
声器.扬声器的生产速度是需求速度的三倍,故只有三分之一的时间生
产扬声器,试问:应如何评价公司管理扬声器库存策略?
解：从题可知，年需求率D=250000，年生产率P=750000, c1=,
c3=12000
代入公式可得，
经济生产批量模型
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经济生产批量模型
生产周期
一年的库存费
一年的生产准备费
一年的总费用
在最优订货量下：
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经济批量折扣模型
经济批量折扣模型是经济订货批量模型的一种发展。在前面模型
中，单位货物的进价成本即货物单价都是固定的，而这里进价成本是
随订货数量的变化而变化的。
所谓货物单价有“折扣”是指供应方采取的一种鼓励用户多订货的
优惠政策，即根据订货量的大小规定不同的货物单价。通常，订货越
多购价越低。
模型中总费用依然由三项构成，即有:
式中 c 为订货量为Q 时的单位货物的进价成本，c1为订货量为Q 时
单位产品单位时间的库存费 ，此时， c ， c1 不再为常数,而是与Q有
关。
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模型的假定：
1.需求率固定，为常数；
2.无限供货率；
3.单位货物单位时间的库存费为 c1 （可能为Q的函数）；
4.每次的订货费为 c3 ；
5.不允许缺货；
6.每期初进行补充，即期初库存量为 Q；
7.单位货物的进价成本即货物单价为c(Q)
经济订货批量折扣模型
货物单价 c 为订货量 Q 的分段函数，即
c(Q) = ki， Q∈[Qi -1 ， Qi ) ，i = 1，2，…，n，
其中 Q0< Q1< Q2< … < Qn ， k1 > k2 > … > kn ， Q0 是最
小订购数量，通常为0； Qn 为最大批量，通常无限制。
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例4. 回到例1:制造商给分销商的折扣是:当订购量至少为750个
轮胎时开始有折扣,订购量在750-1749个轮胎之间时,分销商公司每个
轮胎的采购成本将降低1%,当订购量在1750个轮胎之上时,每个轮胎
将得到2%的折扣.
问:此时分销商该如何决策?
解：已知 D = 6000个/年，c3 =620/次 , c1 =63元/个。
Q <750时， k1 =300元
750 ≤ Q < 1750时， k2 = 297元
1750 ≤ Q时， k3 = 294元
经济订货批量折扣模型
20
21
没有折扣的
总成本曲线
折扣1的总 成本曲线
折扣2的总成本曲线
总成本
（$）
0 750 1750 订货数量
经济订货批量折扣模型的总成本曲线
经济订货批量折扣模型
22
Q < 750时，
750 ≤ Q < 1750时，
1750 ≤ Q时，
其中只有 在其范围内。
经济订货批量折扣模型
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比较上面的数值，得一年的总费用最少为1810585元，因此，最佳
订货批量为 Q＊= 750。
经济订货批量折扣模型
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允许缺货的库存模型(供货无限、供货有限)
所谓允许缺货是指企业在库存量降至0时，不急于补充，
而是等一段时间，然后订货。假设顾客遇到缺货会耐心等
待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将所
缺的货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。
在允许缺货的情况下会导致额外的费用,即缺货费（指
库存货物供不应求时所造成的经济损失。如生产中断的经
济损失、失去销售机会的利润损失、没有完成合同的处罚
等）。尽管如此，允许缺货会降低库存费用，因此有可能
降低总费用．
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缺货且供货无限的模型
模型的假定：
1.需求率为常数D（单位时间） ；
2.无限供货率；
3.单位货物单位时间的库存费 c1 ；
4.每次的订货费 c3 ；
5.允许缺货，且最大缺货量为S；
6.单位时间缺少一个单位货物所产生的单位缺货费c2 ；
7.当缺货量达到S时进行补充，且很快补充到最大库存量。
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这种模型的库存状态图为 ：
时间
库存量
o
S
Q-S
最大缺货量
最大库存量
T
不缺
货时
间 t1
缺
货时
间 t2
缺货且供货无限的模型
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设每次订货量为 Q ，由于最大缺货量为S，则最高库存量
为 Q-S，故不缺货时期内的平均库存量为(Q- S)/2，于是，周
期T 内的平均库存量= (Q- S)t1/2T。由于t1 = (Q- S)/D，T= Q/D
， 则周期T 内的平均库存量= (Q- S)2/2Q。
又周期T内的平均缺货量= (St2 ) /2T。由于t2 = S/D，T=
Q/D，故周期T内的平均缺货量= S2/2Q。故单位时间的总费用
TC为：
缺货且供货无限的模型
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使TC达最小值的最佳订购量
订购量为Q＊时的最大缺货量
单位时间的最低总费用
订购量为Q＊时的最大库存量为
每个周期T所需时间
显然， 时，允许缺货订购模型趋于经济订购批量
模型。
缺货且供货无限的模型
29
缺货且供货有限模型
此模型与经济生产批量模型相比，放宽了假设条件：允许缺货。
与允许缺货且供货无限模型相比，补充不是靠订货，而是靠生产逐
步补充，因此，补充数量不能同时到位。开始生产时，一部分产品
满足需要，剩余产品作为库存。生产停止时，靠库存量来满足需要。
模型的假定：
1.需求率为为常数D（单位时间）；
2.生产率为常数P（单位时间）— 有限供货率(P>D)；
3.单位货物单位时间的库存费 c1 ； 4.每次的订货费 c3 ；
5.允许缺货，且最大缺货量为S；
6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费c2 ；
7.当缺货量达到S时进行补充，且逐步补充到最大库存量。
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缺货且供货有限模型
此模型与经济生产批量模型相比，放宽了假设条件：允许缺货。
与允许缺货且供货无限模型相比，补充不是靠订货，而是靠生产逐
步补充，因此，补充数量不能同时到位。开始生产时，一部分产品
满足需要，剩余产品作为库存。生产停止时，靠库存量来满足需要。
库存量
时间
O
S
V
最大缺货量
最大库存量
T
t1
t2
t3
t4
P-D D
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单位时间的总费用
TC =（单位时间的库存费）+（单位时间的生产准备费）
+ （单位时间的缺货费）+生产费用
=（平均库存量）×c1 +（单位时间的生产次数）×c3
+ （平均缺货量）×c2 +Dc
缺货且供货有限模型
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使单位时间总费用TC最小的最优生产量
最优缺货量
单位时间最少的总费用
缺货且供货有限模型
33
需求为随机的单一周期库存模型
单周期随机库存模型
这种库存管理模式的特点是：将单位时间当做一个订货周
期，只在订货周期的初始阶段制定一次库存方案，以满足整个
周期的库存需求，周期内的需求是一个随机变量。若未到期末
货已售完也不补充订货；若发生滞销，未售出的货应在期末处
理掉。
［例子］
季节性服饰，比如冬装一类的商品必须在季末以很大的折
扣抛售，为下一季节腾出货位。
报摊销售日报是需要每天订货的，今天的报纸今天必须处
理完，与对明天报纸的需求无关。
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例（报童问题）： 某报童卖一种大型日报，当天的日报由配送员送到报
亭,当天未卖出的报纸第二天早上退还给配送员.报童为送来的每份报纸付
元,售出报纸的价格为每份一元;未售出报纸的退款为每份元.每日
售出该报纸份数的概率P( D )根据以往经验如下表所示。如果缺货所造成
的缺货损失为 元,试问报童每日应该从配送员那里订购多少张该种报
纸？
在这个问题中要解决最优订货量Q 的问题。如果订货量Q 选得过大，那么
报童就会因不能售出报纸造成损失；如果订货量Q 选得过小，那么报童就
要因缺货不能满足需求而造成损失。如何适当地选择订货量Q，才能损失
的期望值最小呢？
销售量 30 40 50
概率 P(D )
需求为离散随机的单一周期库存模型
需求量为离散型随机变量的情况：
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需求为离散随机的单一周期库存模型
模型假定:
（1）需求量为非负整数离散随机变量，且概率分布已知；
（2）一个周期内的订货数量Q一定，在每个期末，产品要
么被售出，要么被处理掉。
（3）若需求超过订货量，则导致订货不足损失（cu）
cu =零售价-进价+缺货费
注：这里缺货费不包括当前机会损失，即零售价-进价
（4）若订货量超过需求,则导致订货过剩损失（co）
co=进价-残值+【库存费】
（5）目标函数为总期望损失 最小
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需求为离散随机的单一周期库存模型
假设需求量为非负整数离散型随机变量Ｘ，且其取值 的概
率为 。在实际需求为x的情况下：
总损失的期望值为：
设使期望损失最小的订购量为Q*，则：
在多数应用中， 为下凸函数，则最小 对应的Q*是满足:
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需求为离散随机的单一周期库存模型
（1）情况一， ：订购Q +1个单位而不是Q个单位将使
得库存剩余增加一个单位，这会使得损失增加 。这种情
况发生的概率为 ，其中X是表示需求的随机变量。
（2）情况二， ：订购Q +1个单位而不是Q个单位将使
得库存剩余增加一个单位，这会使得损失减少 。这种情
况发生的概率为 。
（3）总之，订购Q +1个单位的损失比订购Q个单位的损失
有有 的概率多 ，有 的概率少 。
因此，订购Q +1个单位的损失比订购Q个单位的损失平均来
讲要多：
。
边际分析：
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需求为离散随机的单一周期库存模型
最优服务水平 (需求得到满足的概率)为
即最优订货量满足
由 得到：
由 得到：
更加正式的讲,我们证明了：
39
解：已知 cu = +=1，co ==，则有
故当Q = 50时，成立
因此,最优的订报量为每天50张, 最优服务水平为1．
需求为离散随机的单一周期库存模型
40
需求为连续随机的单一周期库存模型
假设需求量为非负连续型随机变量Ｘ，且服从概率密度为f(x)的
分布．在实际需求为x的情况下：
总损失的期望值为：
对上式求关于Q的一阶导数，并令其等于０，得
最优服务水平 (需求得到满足的概率)为
需求量为连续型随机变量的情况：
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例. 某化工公司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工
产品的合同。客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个
随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服
从以均值 =1000（公斤），标准差 =100 （公斤）的正态分布。
化工公司生产一公斤此种产品的成本为16元，根据合同固定售价为
20元。一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在
两个月内要老化，不能存贮至六个月后再供应给客户，只能以每公
斤6元的价格处理掉。化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使
该公司获利的期望值最大呢？
需求为连续随机的单一周期库存模型
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解：根据题意得 cu =20－16= 4，co = 16－6= 10，利用公式得
由于需求服从均值 =1000，标准差 =100 的正态分布，上式即为
通过查阅标准正态表，得
把 =1000， =100 代入，得
当产量为945公斤时，公司获利期望值最大，有的概率产品有剩
余，有1－ = 的概率产品将不满足需求。
需求为连续随机的单一周期库存模型
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需求为连续随机的单一周期库存模型
例：某时装专买店计划在冬季到来之前订购一批款式新颖的
皮装,已知皮装的进价每件1000元,估计利润率为40%,多进的货
如果卖不出去只能以进价的一半返还给厂家.假定这种皮装的
销售服从如下的均匀分布:
试确定最佳订货量
解：根据题意得cu =1000*40%=400，co = 1000－500=500，
由公式知
