第35卷第1期中南大学学报(自然科学版)1 2004年2月.(NATURALSCIENCE)考虑通货膨胀影响的最优消费投资模型丁传明,邹捷中(中南大学数学科学与计算技术学院,湖南长沙,410075)摘要:最优消费投资问题是指投资者的资产在消费和投资之间进行分配,期望在时间区间[0,T]或[0,+∞)的消费效用或终值财富效用最大化。研究了在金融市场和消费市场上同时存在通货膨胀或通货紧缩情况下的最优消费投资问题,建立了通货膨胀折扣率的随机模型及最优消费投资模型,利用鞅方法和随机分析理论,求得了控制问题的值函数和具有反馈形式的最优消费投资过程。关键词:随机微分方程;随机控制;最优消费投资中图分类号:;O231;文献标识码:A文章编号:16727207(2004)01016704OptimalconsumptionandinvestmentmodelconsideringeffectofcurrencyinflationDINGChuanming,ZOUJiezhong(SchoolofMathematicalScienceandComputationalTechnology,CentralSouthUniversity,Changsha410075,China)Abstract:tilityin[0,T]or[0,∞).Thispapertreatstheproblemoftheoptimalconsumptionandinvestmentwhenthereisacurrencyinflationordeflationinfinancialmarketandconsumergoodsmar,optimalconsumptionandinvestmentformu:stochasticdifferentialequation;stochasticcontrol;optimalconsumptionandinvestment 通货膨胀或通货紧缩所表现出来的震荡是引起上涨,货币财富购买的消费品减少,降低了投资者的消费价格及商品价格上下摆动的重要因素。处于通消费效用。因此,人们通过降低自由支配的消费额、货膨胀周期时,股票价格持续上升,出现这一现象的增加投资来对付通货膨胀。可见,通货膨胀或通货原因是随着通货膨胀率的提高,证券分析人士抬高紧缩会直接影响人们的消费投资策略,应对原来的[115]了对公司收益的估计,推动了股票价格的上涨。通最优消费投资模型进行修正。在此,通过建立货膨胀降低了公司收益的实际增长,对股票价格产通货膨胀的随机模型,对证券价格进行折算,在投资生负效应。对于投资消费,随着通货膨胀提高,物价者消费效应与终值财富效应最大化的标准下,求得收稿日期:2003-04-10基金项目:湖南省自然科学基金资助项目(02JJY3001)作者简介:丁传明(1975-),男,山东济南人,中南大学博士研究生,从事金融数学的研究论文联系人:丁传明,男,博士;电话:07312655686(H),13332518008(手机);Email:dcmzyc@
·科学版) 第35卷168·中南大学学报(自然d最优消费投资公式。dXt=[r(t)Xt-C(t)]dt+(bi(t)-i=1ddj1 模型描述r(t)πi(t))dt+πi(t)σij(t)dWt。(8)i=1j=1其中:πi(t)(1≤i≤d)表示投资者在t时刻投资在第假设在一完备的金融市场上有d+1种证券(资i种证券上的金额;C(t)为消费率。产)。其中1种为无风险债券,d种为风险证券,风若证券投资过程π(t)及消费过程C(t)是有限可险证券价格Pi(t)(i=1,…,d)满足如下微分方程:d测过程,且满足:ppjddPi(t)=bi(t)Pi(t)dt+Pi(t)σij(t)dW(t),T2i=1πi(t)dt<∞,(9)∫0i=1Pi(0)=pi。1)T2局部无风险证券价格满足微分方程:C(t)dt<∞,(10)∫0dp0(t)=r(t)P0(t)dt,[7]则随机微分方程(8)有惟一的强解:P0=p0。(2)tts其中:i=1,…,k;0≤t≤T;pi>0;p0>0;W为给定Xt=exp(r(s)ds){x+exp[-r(u)du]·∫∫∫000一概率空间(Ω,Ft,t≥0)上的d维标准布朗运动;pp1p2pdT{π(s)[b(s)-r(s)·1]-C(s)}ds+ b(t)=(b(t)),b(t),…,b(t)),Ft,0≤t≤T}{pp为股票的平均升值率;{σ(t)=(σij)(1≤i,j≤d),ttTexp[-r(u)du]π(s)σ(s)dWs。(11)}Ft,0≤t≤T}为证券的风险扩散矩阵,过程{r(t),∫∫00Ft,0≤t≤T}为无风险利率过程。它们均为[0,T]×定义1 若π(t)及C(t)满足式(9)和(10)及使pΩ上可测、适应、一致有界的过程,并且σ(t)为满秩(11)中的财富过程Xt满足Xt≥0,0≤t≤T,则称其矩阵。对应的证券投资过程(π,C)为对X是容许的,用考虑通货膨胀折扣率为定义在概率空间(Ω,Ft,A(x)表示容许集合。t≥0)上的可测适应过程,服从以下随机微分方程:不妨假设此投资者有一效用函数u∶[0,∞)→sdS(t)=b(t)S(t)dt+3R,严格增,严格上凹,C且满足u(0)=0,u′(∞)dsiS(t)σi(t)dW(t), S(0)=s。(3)limu(c)=0。c→∞i=1s其中:{b(t),Ft,0≤t≤T}为t时刻通货膨胀的平均因为u′∶[0,∞]→[0,u′(0)]是严格单调下降ss升值率;{σ(t)=(σi)(1≤i≤d),Ft,0≤t≤T},为扩的,所以其存在反函数,定义为I∶[0,u′(0)]→散矩阵,它们均为[0,T]×Ω上可测、适应、一致有界[0,∞],并将其延拓:令I(y)=0(当y>u′(0)时)。的过程。假设投资者在初始时刻t拥有的财富为x,并假prpr利用通货膨胀率对证券价格进行折算,得到折设b(t),b(t),σ(t),σ(t)为常数或常数矩阵,那么算后价格qi(t)为:b(t),σ(t),r(t)均为常数或常数矩阵,投资者的目的Pi(t)是在容许集中选择合适的容许策略使消费效用和终iq(t)=, i=1,…,d。(4)S(t)值财富效用最大化,因此,定义其值函数为:[7]利用It^o公式,qi(t)满足如下随机微分方程:TpsV(t,x)=supE[exp(-βs)·dqi(t)=qi(t)[2(bi(t)-b(t))-π∈A(X)∫tdu(C(s))ds+exp(-βT)u(XT)]。(12)psσij(t)·σj(t)]dt+j=1其中:β为折扣因子。所对应的财富过程为:ddsspsj2qi(t)(σij(t)-σj(t))dW(t)=suX=x+r(X-C(s))du+(ib-r)·j=1∫∫00i=1dddjs(j)qi(t)bi(t)dt+qi(t)σij(t)dW(t)。(5)πi(u)du+πi(u)σi,jdWu。(13)j=1∫0i=1j=1其中:qi(0)=qi;qi>0;i=1,…,k;dpspsbi(t)2(bi(t)-b(t))-σij(t)·σj(t);(6)2 最优消费投资公式j=1psσij(t)2(σij(t)+σj(t))。(7)[10]投资者的财富过程满足如下微分方程:定义:
第1期 丁传明,等:考虑通货膨胀影响的最优消费投资模型·169·T12V(t,x)=exp(-βt)G(t,ξ(t,x)}。(29)tZsexp-θ(Ws-Wt)-‖θ‖(s-t),{}2为利用HJB方程来解随机控制问题,引进二阶(14)线形偏微分算子:ttζsexp[(β-r)(s-t)]Zs。(15)Lθ(t,y)θt(t,y)+(β-r)yθy(t,y)+-1其中:θσ(b-r1)≠0。(16)122‖θ‖yθyy(t,y)-βθ(t,y)。(30)对于(t,y)∈[0,T]×(0,∞),定义过程2(t,y)t[7]Ysyζs(17)利用Feynmankac定理,可得到G(t,y)和及函数S(t,y)分别是下面2个Cauchy问题的惟一解:T(t,y)G(t,y)E[exp[-β(s-t)]u(I(Ys))ds+LG(t,y)=-u(I(y)),G(T,y)=u(I(y));∫t(t,y)(31)exp[-β(T-t)]u(I(YT)],(18)TLS(t,y)=-yI(y),S(T,y)=yI(y)。(32)(t,y)(t,y)S(t,y)E[exp[-β(s-t)]YsI(Ys)ds+∫tS(t,y)其中:0≤t≤T,y>0。因为Ж(t,y),所以(t,y)(t,y)yTTexp[-β(T-t)]Yu(I(Y)]。(19)1,2Ж(t,y)满足Cauchy问题:其中:t≤s≤T。从定义可知,G和S均为G的有2Жt(t,y)+γyЖyy(t,y)+限函数,且Gt(t,y),Gty(t,y),Gyy(t,y),Gyyy(t,y)均(β+2γ-r)yЖy(t,y)-rЖ(t,y)+I(y)=0,存在并对(t,y)二元连续,同样对S成立。G,Gy,S,(33)Sy满足多项式增长条件:对某个K和α,α-αЖ(T,y)=I(y)。34)maxH(t,y)≤K(1+y+y)。12因为每个Ж(t,·)在(0,∞)上连续并且严格下其中:γ‖θ‖;0≤t≤T;0<y<∞。2降,将其延拓:定理2 在本文条件下,V(t,x)∶[0,T]×Ж(t,0)limЖ(t,y),1,2y→0(0,∞)→[0,∞]是属于C([0,T]×(0,∞))的函Ж(t,∞)limЖ(t,y)=0。(20)数,满足关于随机控制问题(12)所对应的HJB方y→∞所以,其存在反函数ξ(t,·)∶[0,∞]→程:[0,∞],1T2Vt(t,x)+max‖σπ‖Vxx(t,x)+{d2π∈R,c≥0Gy(t,y)=yЖy(t,y)(21)T1[(rx-C)+π(b-r1)]·Vx(t,x)+}ξx(t,Ж(t,y))=,(22)Жy(t,y)exp[-βt]u(C)}=0。(35)Жt(t,y)ξ(t,Ж(t,y))=。(23)Жy(t,y)其中:(t,x)∈([0,T]×(0,∞)),且具有边界条件:对于任意x>0,定义过程:V(T,x)=exp(-βT)u(x),(t,x)tηxξ(t,x)·ζs,(24)u(0)V(t,0)=u(0)-exp(-βT)+[](t,x)(t,x)βsCsI(η)25)u(0)和随机变量exp(-βt)。(36)β(t,x)(t,x)XTI(ηT)。(26)证明 由式(36)表示的边界条件显而易见。下其中:0≤t≤T。面证明式(35)。由式(29)知,要证明HJB方程(35)(t,x)(t,x)定理1 对于Cs和XT,有:成立,考虑到:Gy(t,y)=yЖy(t,y))及T(t,x)V(t,x)=1E[exp(-βs)u(C(s))ds+∫tξx(t,Ж(t,y))=,Жy(t,y)(t,x)exp(-βT)u(XT)](27)只需证明下式成立:且其对应的财富过程为:Gt(t,ξ(t,x))+Gy(t,ξ(t,x))ξt(t,x)+(t,x)xs(t,y)=Ж(x,ηs)。(28)1T2rxξ(t,x)-βG(t,ξ(t,x))+max[‖σπ‖·d其证明和文献[7]中定理的证明类似。π∈RT由(ξx(t,x)+π(b-r1)ξ(t,x)]+27)式可得到:
·中南大学170·学报(自然科学版) 第35卷max(u(c)-cξ(t,x))=0。(37)c≥0dT-1参考文献:最大化π∈R,c≥0,得到π^=-(σσ)(b-r)·ξ(s,x)及c^=I(ξ(t,x)),则式(37)左边可化为:[1] :theξx(s,x)continuoustimecase[J].ReviewofEconomicsandStatistics,tyf=G(t,ξ(t,x))+G(t,ξ(t,x))tξ(t,x)+1969,51:ξt(t,x)[rx-Iξ(t,x)]ξ(t,x)-γ-[2] ξx(t,x)continuoustimemodel[J].JournalofEconomicTheory,βG(t,ξ(t,x))+uIξ(t,x)。(38)1971,3:373413.将ξ(t,x)用y替代,则式(38)可变化为如下表[3] timefinance[M].Oxford:Basil达形式:Blackwell,1992.[4] aratzasI,[M].f=Gt(t,y)-βG(t,x)+ryЖ(t,y)-yI(y)+2NewYork:Springer,(I(y))-yЖt(t,y)-γyЖy(t,y)+ryЖ(t,y)。[5] aratzasI,LehoczkyJP,(39)consumptiondecisionsfora“SmallInvestor”onafinitehorizon结合Cauchy问题(31),可将式(39)变换为[J].SIAMJControl&Optimal,1999,25(6):=-y(Жt(t,y)+γyЖyy(t,y)+(2γ-r-β)·[6] aratzasI,定理3 证券投资过程[M].NewYork:SpringerVerlag,1988.(t,x)(ξ(s,Xs)t,x)t-1πs-(σσ)(b-r)(t,x)[8] 费为银.最优消费投资的动态经济模型研究[J].应用概率统ξx(s,Xs)计,1999,15(1):3542.和消费过程FEIWe(t,x)(t,x)ssCI(ξ(s,X))consumptionandinvestment[J].JournalofAppliedProbability是随机控制问题(12)的最优消费投资策略。andStatistics,1999,15(1):3542.(t,y)(t,x)(t,x)证明[9] 只需证明Xs为πs及Cs所对应[J].JofEconomicDynamicsandControl,1997,21:753的财富过程。对式(28)应用It^o公式,并利用782.(t,x)(t,x)(t,x)Tdηs=(β-r)ηsds-ηsθdWs[10] 杨云红.高级金融理论[M].武汉:武汉大学出版社,2001.和式(33),得到YANGYun[M].Wuhan:(t,x)(t,x)(t,x)(t,x)dXs=Жt(s,ηs)ds+Жy(s,ηs)dηs+WuhanUniversityPress,2001.(t,x)2(t,x)(t,x)(t,x)γ(ηs)Жyy(s,ηs)ds=(rXs-Cs)ds+[11] (t,x)(t,x)Tstochastiesandportfolioconstraints[J].ApplMathOptim,(b-r1)πsds+(πs)σdWs。(39)(t,y)2002,46:5578.式(37)即为式(13)的微分形式,由此可见Xs为[12] iouiA,(t,x)(t,x)πs及Cs所对应的财富过程。证毕。ticinterestrates[J].JournalofEconomicDynamics&Control,2001,25:18411865.[13] ANGYung 结 论portfolioruleswithportfolioconstraintsandstochasticincome,durabilityandhabitformation[J].JournalofMathea.利用鞅方法和动态规划方法解决了投资者的maticalEconomics,2000,33:135153.最优投资策略问题,尤其是考虑了通货膨胀的变化[14] ornR,[J].SIAMJControl对投资策略的影响。Optim,2001,40(4):.当处于通货膨胀周期时,投资者可以根据本[15] UWen
