第四章 概率基础
第一节 概率含义和古典概型
第二节 概率的基本运算
第三节 概率分布
第四节 常见的概率分布
第一节 概率含义和古典概型
一、随机事件
（一）概念
1.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等
任何事件均可表示为样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.
例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件:
A＝“至少出一个正面”
＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；
B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}
C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH
再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”
＝{x:1000<x<T(小时）}。
可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率还应注意，同一样本空间中不同的事件之间有一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。
1.包含关系“ A发生必导致B发生”记为AB
A＝B AB且BA.
（二）事件之间的关系
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作AB
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
3.积事件 :A与B同时发生，记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件 ：AB＝
6. 互逆的事件 AB＝ , 且AB＝
频率与概率
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性
P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？
掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？
出现单数点的概率为多少？
向目标射击，命中目标的概率有多大？
二、随机事件的概率
（一）概率的统计定义（频率与概率）
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：(1) P(A) ≥0；(2) P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. ()
则称P(A)为事件A的概率。
2.概率的性质
(1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有
P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An);
(3)事件差 A、B是两个事件，则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(2) 单调不减性：若事件AB，则
P(A)≥P(B)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有
P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A);
(6) 可分性：对任意两事件A、B，有
P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.
解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
（一）古典概型中的概率
三、古典概型
设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有
P(A)具有如下性质
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
四、几何概型
定义：若几何型随机试验E的事件A的度量大小为 ，E的的样本空间的度量为 ，则事件发生的概率为
并称此概率为几何概型。
基本性质：
1）非负性； 0 P(A) 1
2）规范性； P()＝1
3）有限可加性；
若AB＝ ，则P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
4）完全可加性；
设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
例题(会面问题)两人约定在早上8点至9点在某地会面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
两人能会面的充要条件是
如图，问题转化为平面区域：
随机地投一点（x,y),则
故由公式有：
第二节 概率的基本运算
一、条件概率
例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;
（2）求第二次取到红球的概率
（3）求两次均取到红球的概率
设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球
S=
A
B
A——第一次取到红球,
B——第二次取到红球
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
“条件概率”是“概率”吗？
何时P(A|B)=P(A)?
何时P(A|B)>P(A)?
何时P(A|B)<P(A)?
概率定义
若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋
予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：
P(A) ≥0； (2) P(S)＝1;
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …,
有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例2.一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。
10
20
旧
30
40
新
白
红
设A--从盒中随机取到一只红球.
B--从盒中随机取到一只新球.
乘法公式
设A、BS，P（A）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A). ()
式()就称为事件A、B的概率乘法公式。
式()还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). ()
一般地，有下列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
()
例3 合中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
二、全概率公式与贝叶斯公式
例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
定义 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：
A1
A2
…
…
…
…
…
An
B
定理1、设A1，…, An是S的一个划分，P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS有
式()就称为全概率公式。
例5 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？
解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；
A2——从甲袋放入乙袋的是红球；
B——从乙袋中任取一球是红球；
甲
乙
定理2 设A1，…, An是S的一个划分，且P(Ai) > 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有
式()就称为贝叶斯公式。
思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？
答:
例题： 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为, , ，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知:P(B0)=, P(B1)=, P(B2)=
由Bayes公式:
例6 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为，发1的概率为。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率、和接收0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率、和接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?
)
B
A
(
P
＝
)
A
(
P
)
A
B
(
P
)
A
(
P
)
A
B
(
P
)
A
(
P
)
A
B
(
P
+
＝
＝
解：设A---发射端发射0，
B--- 接收端接收到一个“1”的信号．
0 ()
0 1 不清
()
()
()
1 ()
1 0 不清
()
()
()
第三节 概率分布
一、 随机变量
定义. 设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量
随机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示。
随机变量的特点:
1 X的全部可能取值是互斥且完备的
2 X的部分可能取值描述随机事件
EX．引入适当的随机变量描述下列事件：
①将3个球随机地放入三个格子中，
事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，
C={全有球}。
②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，
F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
随机变量的分类：
随机变量
二、离散型随机变量及其分布律
1、定义：若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称
P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )
为X的分布律或概率分布。可表为
X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，
或…
X x1 x2 … xK …
Pk p1 p2 … pk …
(1) pk 0, k＝1, 2, … ;
(2)
例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。
解 k可取值0，1，2
2. 分布律的性质
例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律
解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且
P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5},
(1-p)5
3、一般地，对离散型随机变量
X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, …
其分布函数为
例1 设随机变量X具分布律如右表
解
P
2
1
0
X
试求出X的分布函数。
例2 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数
解： F(x)=P{X≤x}
当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1
当0≤x≤1时,
特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观，
对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
三、连续型随机变量
（一）概率密度
1. 定义. 对于随机变量X，若存在非负函数 f(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有
则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.
常记为 X～ f(x) , (-<x<+)
密度函数的几何意义为
2. 密度函数的性质
(1) 非负性 f(x)0，(-<x<)；
(2)归一性
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
设随机变量X的概率密度为
求常数a.
答:
(3) 若x是f(x)的连续点，则
设随机变量X的分布函数为
求f(x)
（4） 对任意实数b，若X～ f(x)，
(-<x<)，则P{X=b}＝0。于是
例.已知随机变量X的概率密度为
1)求X的分布函数F(x), 2)求P{X(,)}
第四节 常见的概率分布
一、贝努里(Bernoulli)概型与二项分布
1. (0-1)分布
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)
X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1
或
若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记作X~B（n,p),其分布律为：
2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.
例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.
(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.
(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:
例4. 某人射击的命中率为，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。
泊松定理： 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
解 设X表示400次独立射击中命中的次数，
则X～B(400, )，故
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－－(400)()()=…
上题用泊松定理 取 =np＝(400)()＝8, 故
近似地有
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝.
二、 泊松(Poisson)分布P()
X～P{X＝k}＝
k＝0, 1, 2, … (0)
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是
参数=np的泊松分布
例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。
解:由题意,
例6. 进行独立重复试验，每次成功的概率为p，
令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。
解:m=1时,
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P {第m+1次试验时成功并且在前m 次试验中成功了m-1次}
三、 均匀分布
若X～f(x)＝
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X～U(a, b)
对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
例.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.
15
45
解：设A—乘客候车时间超过10分钟
X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
四、 指数分布
若 X～
则称X服从参数为>0的指数分布。
其分布函数为
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)、求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)、已知该电子元件已使用了年，求它还能使用两年的概率为多少？
解
例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。
解
当t ≤0时，
当t >0时，
=1- {在t时刻之前无汽车过桥}
于是
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。
五、 正态分布
A
B
A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
若随机变量
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝ .
正态分布有两个特性：
(2) 的大小直接影响概率的分布
越大，曲线越平坦，
越小，曲线越陡峻，。
正态分布也称为高斯(Gauss)分布
标准正态分布
参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
分布函数表示为
其密度函数表示为
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。若
Z～N（0，1）,（)=,
P{<Z<}=()-()
=
注：(1) (x)＝1－ (－x)；
(2) 若X～N(, 2)，则
正态分布表
设随机变量X~N(-1,22),P{<X<}=?
例.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
本题结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为P{|X|≤3} ≈1，忽略{|X|>3}的值.
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.
正态分布表
14、 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,
故
则 Y~B(3,p)
其中
正态分布表
顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道．因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了—张奖券，到星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道．
明白了这一点就不难举出一大堆随机变量的例子．比如，你在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数X；一月内某交通路口的事故数X；用天平秤量某物体的重量的误差X；随意在市场上买来一架电视机，其使用寿命X等等，都是随机变量．
若把随机变量X取所有可能值的概率计算出来，列成一个表格，则很容易算出任何一个由X取值落在某一区域表示的事件，如掷骰子，至少掷出1点的概率。
关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件．例如，在特定一群人中，年收入十万元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，这看上去像是两个孤立的事件．可是，若我们引进一个随机变量的X： X＝随机抽出一个人其年收入，则X是我们关心的随机变量．上述两个事件可分别表为X＞10万和X＜万．这就看出：随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念之内．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量．
