第28卷第5期控制与决策2013年5月文章编号:1001-0920(2013)05-0657-07随机退货环境下最优补货和处理控制策略娄山佐1,田新诚1,吕文2(1.山东大学控制科学与工程学院，济南250061；2.烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台264005)摘要:随机退货会导致库存增加,为了控制库存位于某一合理区间内,在假设库存水平的动态变化由布朗运动描述条件下,利用更新过程和鞅理论构建了提前期为随机时系统的期望折扣总费用(包括库存、短缺、补货和处理费用)模型,并在此基础上,采用交叉熵法确定最优的产品补充和退货处理策略.最后通过仿真实验分析了系统参数变化对最优控制策略和期望折扣总费用的影响.关键词:库存控制；退货处理；更新过程；布朗运动；Kella-Whitt鞅中图分类号:；文献标志码:AOptimalreplenishment-disposalcontrolpolicyunderstochasticreturnsLOUShan-zuo1,TIANXin-cheng1,LVWen2(，ShandongUniversity，Ji’nan250061，China；，YantaiUniversity，Yantai264005，China．Correspondent：LOUShanzuo，E-mail:Lshanzuo@)Abstract:,undertheassumptionthattheinventorylevelisexpressedasaBrownianmotion(BM),thetotalexpecteddiscountedcost(includinginventory,shortage,replenishmentanddisposalcost),:inventorycontrol；returnsdisposal；renewalprocess；Brownianmotion；Kella-Whittmartingale0引言的布朗运动(BM).下面,给出近年来与此有关的研究目前,许多企业都面临退货困扰,如Wal-Mart每成果.由于存在提前期,极大地增加了问题的求解难年的退货处理费高达6亿美元[1].退货不但在经济上度.文献[6-7]在假设提前期为零的条件下,利用脉冲造成巨大损失,而且在数量和时间上的高度不确定性控制法,分别研究了库存被控制在某一范围和趋近导致库存变化失去了单调性,从而很难有效地管理.给定目标值的最优策略问题;文献[8]在假设确定提近年来,该问题已引起一些学者的关注.由于建模的前期执行中,库存总高于订货水平的情况下,分析了复杂性,所做的研究大多集中在确定性[2]或动态确定退货处理和订货策略问题,但它仅能得到次优解.文性需求和退货环境下库存管理问题[3-4].献[9]假设在提前期执行中,若退货造成库存超出控现实中制阈值,且订单可取消的条件下,则给出了补货和订,需求和退货经常是不确定的.需求导致库存减少,而退货又造成库存增加单控制的联合最优策略.遗憾的是,它无法将库存控,它们共同作用下的库存水平呈现出随机波动的特点.当需求和退货到制在一定范围内.达强度较小时,库存变化表现为离散的跳跃运动,此为有效控制库存变化,本文在上述成果基础上,情况下常采用排队理论解决库存问题[5];当需求和退针对随机提前期研究了集成退货处理和产品补充控货到达强度较大时,库存水平变化可近似描述为连续制问题.在描述问题后,构建了系统期望折扣总费用收稿日期:2012-01-31；修回日期:2012-04-26.基金项目:国家科技重大专项基金项目(2010ZX04001-161)；国家863计划项目(2012AA041307)；“泰山学者”建设工程专项经费项目；济南市高校自主创新计划基金项目.作者简介:娄山佐(1964 ),男,副教授,博士,从事现代物流网络复杂特性分析、库存控制、智能算法等研究；田新诚(1965 ),男,教授,博士生导师,从事先进制造技术、机电一体化、复杂系统优化和控制等研究.
658控制与决策第28卷模型,并利用仿真实验分析了系统参数对最优策略和wMt(t)=('( ) )e W(s) sds+e W(0) 费用的影响 Wwt(t) t e sdL(s)(1)1问题描述0一零售商面临顾客对某种产品连续的需求和退是一个零均值鞅,这里'( )=logEexp X(1)=货 2 2=2 为X的特征指数.若过程无反射,则式.假设退货经简单处理(如擦洗)后如同新品一样能够满足未来顾客需要,则零售商库存水平动态变化过(1)不含最后一项.不失一般性,本文取 2=2,所以程可采用'( )= 2 .BM近似描述.若系统实施供应商管理库存策略,其目标是控制库存在某一合理区间内,即当大另外,为便于说明,采用如下标记:Ex[ ]=E[ j量退货使库存到达处理水平S时,则供应商将超出水W(0)=x].平Q的退货回收或运到其他零售商;当库存到达订货第1阶段费用模型的建立水平退货处理的存在导致库存变化不再具有连续性,r时,供应商开始备货,经过与库存独立的参数为 的指数分布提前期,若此时库存水平小于Q,则供为此,先构建库存水平变化过程函数.应商将库存补充到Q定义 ;若大于Q1=z1=infft>0:X(t)=S QorX(t),则将超出部分处理掉.假设供应商在提前期执行中仅备一次货,期间若=库存水平为零,则用户需求丢失.若每次退货处理和Xr Qg,若对某一n2f1;2; g, n已定义,令znn= i, n+1=infft>zn:X(t zn)=S Qor补货的固定费用分别为 u和 o,单位产品的退货处i=1理、补货和短缺费用分别为ku、ko和 ,单位时间每X(t zn)=r Qg zn,则 1; 2; 是独立同分布单位产品库存费用为的.h,则可确定S、Q和r,使系统的期望折扣总费用最小定义8.<由以上描述可知,若每次选择提前期结束后,库WQ+X(t);06t6z1;1(t)=存位于水平:Q时作为起始点,则它的变化是一个更新Q+X(t zn);zn<t6zn+1:过程显然,在时刻zn,W1(t)是不连续的,有W1(z.图1给出了一次循环库存水平的变化过程.n)2fr;Sg,右极限W1(zn+)=Q,不难证明,当t!1时,!1"#!2"#!3"#W1(t)是从Q出发的更新过程.S……定义停时TQ1=infft>0:W1(t)=rg,则T1=zN1,其中N1服从参数为p1的几何分布.据由BM理论[11]r可知,p1等于从水平Q出发的BM在到达水平S前到达r的概率,其值为t图p1=PQ(W1( 1)=r)=1一次循环库存水平的变化过程为便于分析,将一次循环分为3个阶段(e S e Q)=(e S e r)::1)从更新水平Q开始,至库存到达订货水平至此,0sT1时间的W1(t)描述了第1阶段库存r为止;2)从水平的变化过程.基于更新过程理论,可依据t2[0; 1]的r开始,至提前期结束或库存到达水平S为止;3)从水平Q开始,至提前期结束为止.在第W2阶段,若库1(t),给出此阶段所有费用函数.存到达水平S前提前期结束,则该次循环不包含第下面确定有关函数.因该阶段无反射,式(1)不含3阶段有最后一项,对停时 应用最优抽样定理得.另外,除退货处理时间点外,第1阶段库存变w 化可用1BM描述.第2和第3阶段,为避免提前期执行('( ) )EQe W1(t) tdt=0中库存是负的,库存变化用在0点反射BM(RBM)描EQ[e W1( 1) 1] EQ[e W1(0)]=述.e rEQ[e 1IfW1( 1)=rg]+2费用模型的建立及求解e SE建模工具是Q[e 1IfW1( 1)=Sg] e Q=Kella-Whitt鞅,它是有效解决Levy过程问题的方法e r r+e S S e Q:(2)[10].假设X是从0点出发,漂移和扩散参数分别为 和 2的BM,对应的RBM为W其中(t)=X (t)+L(t)r=EQ[e 1I,其中L(t)= lim[X(s)] 为局部时间W1( 1)=r];06s6t过程 ,则S=EQ[e 1IW1( 1)=S]:依据'( ) =0,求得 的两个根如下:
第5期娄山佐等:随机退货环境下最优补货和处理控制策略659pp 阶段库存水平的变化过程.1=[ + 2+4 ]=2; 2=[ 2+4 ]=2:将 1和 2分别代入式(2)得为了确定有关库存和短缺函数,先利用式(1)对T2应用最优抽样定理,得e ir r+e iS S e iQ=0;i=1;2;wT2解得('( ) )Ere W2(t) tdt=0wTE2r[e W2(T2) T2] e r+ Ere t dLr=e 1Q 2S e 1S 2Qe 1r 2S e 1S ;2(t):2r0(7) S=e 1r 2Q e 1Q 2re 1r 2S e 1S :2r其中因此,式(2)可表示为wEr[e W2(T2) T2]= E1Qe W1(t) tdt=0Er[e W2(Tb2) Tb2IfTb2<T g]+(e r r+e S S e Q)=('( ) ):(3)Er[e W2(T ) T IfT Tb2g]=对式(3)两边关于 求导,并令 =0得wE r[e W2(Tb2) Tb2IfTb2<T g]+E1Qe tW1(t)dt=0Er[e W2(T ) T ] [(Q r r S S) ( r+ S 1) ]= 2:Er[e W2(T ) T ]I另有fTb2<T g]=X1e SEr[e ( + )Tb2]+Er[e W2(T ) T ] 1=EQ[e T1]=EQ[e T1IfN1=ng]=Er[e ( + )Tb2]ES[e W2(T ) T ]:Xn=11故式(7)可简化为 1w[EQ(e In 1fW1( 1)=Sg)]EQ[e 1IfW1( 1)=rg]=Tn=1('( ) )E2 W2(t)re tdt=0 r=(1 S):(4) e r 1+ r( ) 1 S( )+下面构建费用函数模型.本阶段包含两种费用wT2: Ere tdL2(t):(8)01)退货处理期望折扣费用.其中定义Tu=infft>0:W1(t)=Sg;Ku表示每次库存到达水平S时的退货处理费用 1=Er[e ( + )Tb2]; r( )=Er[e W2(T ) T ];,即Ku= u+ kS( )=ES[e W2(T ) T ]:u(S Q);N(t)表示到t时退货处理次数.由上面分析可知,到T下面利用式(1)来确定式(8)的各项具体形式.1时的退货处理次数为N1 1,故该费用为首先,针对循环时间Tb2,应用最优抽样定理得wTwTb2C1D=K1uEQe tdN(t)=('( ) )Ere W2(t) tdt=X00hN1 1iKET2) Tb2ir[e W2(b] e r+uEQ(EQe Tu)=Ku S=(1 S):(5)wTbi=12 Ere tdL2(t):(9)2)库存期望折扣费用.0借鉴文献令'( ) =0中 取 b= + ,求得 的两根[12]求解思路,在N1服从参数为p1的几何分布条件下,该费用可表示为如下:wpTC1 1=[ +p 2+4( + )]=2;P=hE1Qe tW1(t)dt=w0 1 2=[ 2+4( + )]=2:hEQe tW1(t)dt=p1=0因式(9)对任意 及非负 均成立,故令 取 b, 分h[(Q r r S S) ( r+ S 1) ]=(p1 2):(6)别取 1和 2,可得第2阶段费用模型的建立Tb2e iS 1+ iEre btdL2(t)=e ir;i=1;2;为便于分析0,本阶段计时从第1阶段结束开始.解得定义RBM为W2(t)=r+X(t)+L2(t),其中L2(t)= 1= 2e 1r 1e 2r= 2e 1S 1e 2S:inf[r+X(S)] .定义Tb2=infft>0:W2(t)06s6tSg若 取 b, 取0,则得,T 表示参数为 的指数分布随机变量(即提前期),T2=bVT2T .因此,当t2[0;T2]时,W2(t)描述了第2
660控制与决策第28卷wTbE2re ( + )tdt=2)短缺期望折扣费用0wT2C2S= Ere tdL2(t)=(1 Er[e ( + )Tb2])=( + )=(1 1)=( + ):0从而 [e 1r e 1S ,可求得1 r( 1)+ 1 S( 1)]= 1:(16) 3)补货和退货处理期望折扣费用.2=Er[e T2]=Er[e Tb2由文献[13-14]可知,W2(t)是从水平r出发的IfTb2<T g]+Er[e T IfTb2 T g]=wRBM,若它与T 独立,则提前期结束时,W2(T )的密TbEr[e ( + )Tb2]+ E2re ( + )tdt=度函数为0( 1 + )=( + ):(10)g+r(x)= r 2e 2x;x>r;其次,针对循环时间T ,应用最优抽样定理得g r(x)= r( 1e 1x 2e 2x);0<x6r:wT('( ) )E re W2(t) tdt=其中0ppE 1=[ + 2+4 ]=2; 2=[ 2+4 ]=2;r[e W2(T ) T ] e r+wT r=( 1e 2r 2e 1r)=( 2 1); Ere tdL2(t):(11)0根据更新过程理论和PASTA原则,有下列关系 r= 2e 1r=( 2 1)::本阶段的补货和退货处理期望折扣费用,仅当Er[e W2(T ) T ]=wTT 小于Tb2的情况下发生,此时,W2(T )落在(0;S)之E re W2(t) tdt=Er[T ]=间,其值分别为0wT E W2(t) tredt;C2o=0故式(11)可表示为Erfe T2[ o+ko(Q W2(T ))] IfW2(T 6Q)gg=wT h wrwQ ('( ) )Ere W2(t) tdt= 02 og dx+g+0r(x)r(x)dx+w wrr e rT+ Ere tdL2(t):(12)k o(Q x)g00r(x)dx+将 w1代入式(12),得Q (Q x)g+r(x)dxG(S)=E rre tdL2(t)=e 1r= 1;(13)0故由式 2fko[ re 1r ( r+ r)e 2r+(11)s(13),可求得 re 2Q]+ko[(Q r+ 11) re 1r r( )= ( e 1r 1e r)=[ 1('( ) )];同理( r+ r)(Q r+ 12)e 2r+ r 12e 2Q r( 11 12)]g=G(S);(17)S( )= ( e 1S 1e S)=[ 1('( ) )]:至此,式(8)右边各项的具体形式已确定C2u=.最后Erfe T2[ u+ku(W2(T ) Q)] I,将 1代入式(8),可得fQ<W2(T )<Sgg= tdL2(t)= 2 ug+(x Q)g+dxG(S)=Qr(x)Qr(x)dx+ku0[e 1r e 1S 1 r( 1)+ 1 S( 1)]= 1: 2 rf u(e 2S e 2Q)+ku[(S Q 12)e 2S+将式(8)两边对 求导,并令 =0得 1w2e 2Q]g=G(S);(18)TwE2re tW2(t)dt=0其中1G(S)=1 g+Sr(x)dx=1+ re 2S: S 1+Ere tdL2(t)+ 00r(0) 1 第3阶段费用模型的建立S(0) 与前面相同,本阶段从0开始计时.为构建库存 [ 1 1+ r(0) 1 S(0)]= 2:(14)其中变化过程函数,定义RBM为V(t)=Q+X(t)+L3(t), 0r(0)和 0S(0)是 r( )和 S( )关于 一阶导数在其中L3(t)=inf[Q+X(s)] .定义T1=infft>0:0点的值.06s6t本阶段包含以下3种费用V(t)=Sg, 1=
1=VT1T .若对某一n2f1;2;:n1)库存期望折扣费用 g, n已定义,令X
n= i,Tn+1=infft>
n:wTi=1C2VP=hE2re tW2(t)dt:(15)V(t
0n)=Sg
n, n+1=Tn+1T ,则 1;将式(14)代入,即可得其值. 2; 是独立同分布的.
第5期娄山佐等:随机退货环境下最优补货和处理控制策略661定义8一次退货处理,期望折扣费用为<wWV(t);06t6
1;3(t)=C3D=Ku+KTuE3Qe tdN(t)=:0V(t
n);
n<t6
n+1: hNX2 1i 易证Ku1+EQ(EQe T1i)=,当t!1时,W3(t)是从Q出发的更新过程.取i=1N2=minfn>1: n=T g,则它服从参数为Ku=(1 q2 3):(24)p2的几何分布,p2=PQ(T <T1)=1 EQ[e T1].故第3阶段时间其中:Ku与前面定义相同; 3=EQ[e T1],它等于 2T3等于
N2,且0sT3时间的W3(t)描述了该阶段库存的变化过程.同样中 取0后的值;q2=1 p2.,由t2[0; 1]的W3(t),可求出此阶段所有费用函数2)提前期结束时发生的期望折扣费用..按式与前面类似,当W3(t)从水平Q出发时,W3(T )(8)求解方法,对 1应用最优抽样定理得w 1的密度函数为('( ) W)EQe 3(t) tdt=0g+Q(x)= Q 2e 2x;x>Q; e Q+e S 2+ Q( ) wg Q(x)= Q( 1e 1x 2e 2x);0<x6Q: 1 2 S( )+ EQe tdL3(t):(19)其中0其中 Q=( 1e 2Q 2e 1Q)=( 2 1); 2=EQ[e ( + )T1]; Q( )=EQ[e W3(T ) T ]; Q= 2e 1Q=( 2 1);等于用Q分别取代 1和 r( )中r得到的值.令 2中 1和 2定义同上.的 =0,得到EQ[e T1],进而可求出p2值.据此,求得补货和退货处理期望折扣费用分别为据式(19),按与第2阶段相同方法,可得到wC3 o=E1Qe tdL3(t)=0EQfe T3[ o+ko(Q W3(T ))] IfW3(T )6Qgg=hw[e 1Q e 1S 2 Q( 1)+ 2 S( 1)]= 1; 3 og 0Q(x)dx+k0(Q x)g Q(x)dxH(S)= 0E1Qe tW3(t)dt=0 w3 Q[ o(e 1Q e 2Q 1)+ko( 1e 1Q [Q S 2+E1Qe tdL3(t)+ 0Q(0) 102e 2Q 11+ 12)]=H(S);(25)C3 2 0S(0)]= [ 2 1+ Q(0) 2 S(0)]= 2:(20)u=结合式(4)和(10)的求解方法,可得EQfe T3[ u+ku(W3(T ) Q)] IfQ<W3(T )<Sgg=hw =EQ[e T3]= =( + ):(21) 3 ug+x+k下面QQ(x)du(x Q)g+QQ(x)dxH(S)=,构建有关费用模型.本阶段包含3种费用:1)库存期望折扣费用 3 Qf u(e 2S e 2Q)+ku[(S Q 12)e 2S+wT3 1C3 t2e 2Q]g=H(S);(26)P=hEQeW3(t)dt=0w其中 1whEQe tW13(t)dt=p2;(22)0H(S)=1 g+将式SQ(x)dx=1+ Qe 2S:(20)代入,即可得到该值.系统优化模型的建立和求解2)短缺期望折扣费用wT由问题描述知,一次循环的时间为T=T1+3C3S= EQe tdL3(t)=0T2+T3 IfTb2<T g,由RBM的强Markov性知,T1,w E1Qe tdL3(t)=p2=T2和T3是独立的,从而可求得0 =EQ[e T]= [e 1Q e 1S 2 Q( 1)+ 2 EQ[e T1]Er[e T2](1 4+ 4EQ[e T3])=S( 1)]=( 1p2):(23)3)退货处理和补货期望折扣费用 1 2(1 4+ 4 3);(27).根据提前期执行情况,又分以下两部分其中: 4=Pr(Tb2<T )=Er[e Tb2],它等于 1中: 取0后的值.将式(4),(10)和(21)代入,即得其值.1)提前期结束前发生的退货处理期望折扣费用.令N(t)表示到t时的退货处理次数.由上面分析根据一次循环费用和时间,确定期望折扣费用知为:,该阶段退货处理N2 1次,考虑到开始前发生的
662控制与决策第28卷1)提前期结束前,退货处理期望折扣费用E[N]=(E[N1] 1)+ 4E[N2]=CD1=(C1D+ 4 1 2C3D)=(1 );(1=p1 1)+ 4=p2:将式(4),(5),(10),(24)和(27)代入,即得其值.表1和表2表明:当 u和ku增大时,r和E[N]逐2)提前期结束时,补货和退货处理期望折扣费用渐减小,而TC逐渐增大.除此之外,为减少退货处理CU1=[(1 4) 1(C2o+C2u)+次数,每次的退货处理量(即S Q)也相应增大. 4 1 2(C3o+C3u)]=(1 );表1 u变化对应的最优控制策略和费用将式(4),(3),(17),(18),(25)s(27)代入,即得其值. urQSE[N]TC3)库存期望折扣费用=(C1P+ 1C2P+ 4 1 2C3P)=(1 );将式(4),(6),(10)(15),(22)和(27)代入,即得其值.)短缺期望折扣费用=( 1C2S+ 4 1 2C3S)=(1 );表2k将式u变化对应的最优控制策略和费用(4),(10),(16),(23)和(27)代入,即得其值.最后kurQSE[N]TC,系统最优期望折扣总费用模型为(r;Q;S)=CD1+CU1+CH1+CS1;:t:06r6Q6S:该模型是带约束条件r,Q和S的高度非线性函数,传统技术很难求解.交叉熵法是比较新的解决连续多极值优化问题的方法,基于罚函数思想,将约束表3和表4表明:当 o和ko增大时,r,Q和S逐问题转化为无约束问题.另外,为避免搜索陷入局部渐变小,E[N]和TC逐渐变大;但因 值较大, o和最优解ko对最优控制策略和费用影响不明显.,需将更新值进行修正,本文修正参数!取0:9.下面给出第m次迭代r,Q,S均值和方差的更新及修表3 o变化对应的最优控制策略和费用正公式[15]. orQSE[N]TC均值和X方差更新公式为;m=IfTCi;m6 mg#ki;mIfTCi;m6 mg;=1i= b22kI;m=fTCi;m6 mg(#ki;m ubk;m)Xi=1N表4ko变化对应的最优控制策略和费用IfTCki;m6 mg:orQSE[N]TCi=1均值和方差更新值修正公式为;m=!ubk;m+(1 !)uk;m; 2k;m=! b2k;m+(1 !) 2k;m;k=1;2;3:经过M次抽样和更新,uk;M(k=1;2;3)非常接近最优的由表5可知,h对最优控制策略和费用影响比较fr ;Q ;S g,故可视为最优解.3仿真实验及结果分析明显.随h的增大,r,Q和S均逐渐减小,而E[N]和TC相应增大.为分析参数变化对最优控制策略和总费用的影响,给出参数基本值如下: u=15;ku=5; o=6;表5h变化对应的最优控制策略和费用ko=3;h=3; =20; 1= 0:1; =0:01.每次仅改hrQSE[N]TC变一个参数值,其他取基本值.考虑空间限制,折扣系数 取固定值0:05.另外,为分析参数变化对退货处理的影响,表1s表中给出了一次循环退货处理期望次数,即
第5期娄山佐等:随机退货环境下最优补货和处理控制策略663由表6可知,当 增大时,为避免缺货造成较大而利用交叉熵法,确定了模型最优解.最后,通过仿真费用,r和Q逐渐增大,TC随之增加,退货处理水平S实验分析了系统参数对最优控制策略和费用的影响,也逐渐增大,相应的E[N]逐渐变小.揭示了漂移参数(它近似反映单位时间系统的平均净需求)和随机提前期影响的复杂性,进而为随机退货表6 变化对应的最优控制策略和费用环境下有效管理库存,提供了理论和方法支持. rQSE[N]TC在本文基础上,还可从以下两个方向展开研究:)需求和退货到达强度随时间发生变化;2)利用价格对需求和退货的影响,考虑定价和订货联合控制策略问题.通过进一步研究,以期更好解决该问题.参考文献(References)由表7可知,当 逐渐减小时,r和Q逐渐增大,E[N]逐渐减小,直至接近为[1]ChenJ,;而S和TC的变化不chainwithcustomerreturnsandprice-dependentstochastic再具有单调性,它们先减小,然后又增大.demandusingabuybackpolicy[J].EuropeanJof表OperationalResearch,2011,212(2): 变化对应的最优控制策略和费用[2]TengHM,HsuPH,ChiuYF, rQSE[N]TCdecisionswithreturnsandexcessinventory[J].Applied ,2011,217(22):9009-9018. [3] [J].EuropeanJof ,2012,216(1):105-112.由表[4]SaadanyA, 的增大,S逐渐减小;而r,Q,withreturnssubassembliesmanageddifferently[J].E[N]和TC的变化,不再具有单调性.IntJofProductionEconomics,2011,133(1):119-126.表[5]FlapperS,GayonJ, 变化对应的最优控制策略和费用inventorysystemwithreturnsunderimperfectadvance rQSE[N]TCreturninformation[J].EuropeanJofOperationalResearch,,218(2):[6]OrmeciM,DaiJG,:theconstrainedaveragecostcase[J].,2008,56(3):618-629.总之[7]CadenillasA,LaknerP,,随机退货环境下参数 和 的影响比较复mean-revertinginventory[J].OperationsResearch,2010,杂,用传统库存管理知识,很难对它们进行合理解释,58(6):1697-1710.采用多组数据进行试验后,可得到同样结论.究其原[8]PinceC,GürlerU,因,在于 和 对最优控制策略和费用的影响,除与它replenishment-disposalpolicyforaninventorysystemwith们自身大小有关外,还与系统其他参数相对大小有关.autonomoussupplyandfixeddisposalcosts[J].EuropeanJ4结论ofOperationalResearch,2008,190(2):421-442.现实中[9]BermanO,PerryD,(s;r;S)diffusion,受存储空间和资金限制,人们经常面临将库存控制在某一合理区间问题.由于随机退货环境inventorymodelwithexponentialleadtimeandorder下库存变化不具有单调性,再加上提前期的随机性cancellations[J].StochasticModels,2008,24(2):191-211.,它们共同作用造成了模型构建非常困难,从而导致此[10]AsmussenA,-dimensionalmartingalefor问题在理论上缺乏研究Markovadditiveprocessesanditsapplications[J].,2000,32(2):376-393.本文在假设库存水平动态变化由BM描述的条[11]KarlinS,件下,针对随机提前期,利用更新过程理论和Kella-Processes[M].:AcademicPress,Whitt鞅,构建了系统期望折扣总费用模型.因它是控1974.制策略高度非线性函数,传统优化技术很难求解,因(下转第670页)
