经济学基础
三、解答题
1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。
3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。
5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。
6、求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。
8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。
10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。
11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。
12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。
13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。9/4
14、求对数螺线r=eaθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。
15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。
16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。
19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。
20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。
21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。
22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。
23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。
24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。
25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。
26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。
27、求对数螺线r=eaθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。
28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。
29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。
30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。
31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。
32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。
33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。
34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。
35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。
38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。
39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。
40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。
41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。
42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。
43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。
44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。
46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。
47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。
48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。
49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。
50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
四、证明题
1．证明不等式：
2．证明不等式
3．设，g(x)区间上连续，g(x)为偶函数，且满足条件
证明：
4．设n为正整数，证明
5．设是正值连续函数，则曲线在上是凹的。
6.证明：
7．设是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则
8．若是连续函数，则
9．设，在上连续，证明至少存在一个使得
10．设在上连续，证明：
11．设在上可导，且，证明：
解答题
1. 当X=1/5时，有最大值1/52. X=-3时，函数有最小值273. R=1/2
4. 在点(,-)处曲率半径有最小值3×31/2/25. 7/66. e+1/e-2
7. x-3y-2z=08. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/59. （-5/3，2/3，2/3）10. 2(21/2-1)11. 32/312. 4×21/2/313. 9/414.(a-e)15. e/216. 8a2/317. 3л/10
. 160л220. 2л2 . 7л2 a323. 1+1/2㏑3/2
-4/.
8a30. 5×21/2
31. （0，1，-2）32. 5a-11b+7c33. 4x+4y+10z-63=034. y2+z2=5x35. x+y2+z2=9
36. x轴： 4x2-9(y2+z2)=36 y轴：4(x2+z2)-9y2=3637. x2+y2(1-x)2=9 z=0
38. x2+y2+(1-x)2≤9 z=039. 3x-7y+5z-4=040. 2x+9y-6z-121=041. x-3y-2z=042. x+y-3z-4=043. 44. ==45. ==
46. ==47. 8x-9y-22z-59=048. (-5/3,2/3,2/3)49.
50.
四．证明题
1．证明不等式：
证明：令
则，
令得x=0
f(-1)=f(1)=,f(0)=1
则
上式两边对x在上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有于是
故
2．证明不等式
证明：显然当时，（n>2）有
即，
3．设，g(x)区间上连续，g(x)为偶函数，且满足条件
证明：
证明：
4．设n为正整数，证明
证明：令t=2x,有
又，，
所以，
又，
因此，
5．设是正值连续函数，则曲线在上是凹的。
证明：
故，曲线在上是凹的。
6.证明：
证明：
7．设是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则
证明：
在等式两端各加，于是得
8．若是连续函数，则
证明：
9．设，在上连续，证明至少存在一个使得
证明：作辅助函数，由于,在上连续，所以在上连续，在（a,b）内可导，并有 由洛尔定理
即
＝0
亦即，
10．设在上连续，证明：
证明：令
故是 上的减函数，又，
故
11．设在上可导，且，证明：
证明：由题设对可知在上满足拉氏微分中值定理，于是有
又，因而，
由定积分比较定理，有
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