统计与决策 !""#年 $月（下）
证券的预期收益率和风险是证券投资分析的两个重要
指标。本文针对许多证券投资分析的教材和有关论文中利用
概率这个很难确定的量进行风险估计方法的不足，提出了三
种切合实际而且容易操作的风险估计方法，能够准确而且又
比较保守地估计出收益率的变化范围。
! 证券预期收益率的预测
%&% 预期收益率
假设某种证券在最近的 ’ 周内的收益率是 (%)(!，!)(’)其
中 (*+*,%)!)!，’-是第 *周的收盘价减去开盘价的比值，即：
(* ,
.%* /."*
."*
0%""1 +%-
这里)."* 是第 * 周第一天的开盘价或第 */% 周最后一天
的收盘价，.%*是第 *周最后一天的收盘价。
有了这些收益率的数据之后，如何计算这种证券的预期
收益呢？
证券的预期收益率是证券未来收益的具体表现，马科维
茨及其继承者都是以最近时期收益率的样本均值 %
’
’
* , %
!(*来
估计。然而，这种方法得到的估计值较为粗略，对收益率的变
动灵敏度几乎为 "，而且不能反映一些正处于成长上升阶段
或者衰退下降阶段证券的真正未来收益状况。有鉴于此，为
了弥补这些不足，我们针对证券收益率的变动情况给出估计
证券预期收益率的几个模型，并针对每个模型举出实例进行
分析。
%&! 指数平滑模型
当证券的收益率没有持续上升或者持续下降时，考虑到
新旧收益率数据对证券预期收益率的影响程度不同，我们用
下面的指数平滑模型来估计证券的预期收益率：
(2 *3% ,"(* 3+%/"-(2 *
(2 * ,
(% 3(!
!
4,(2’3%
"
$$
#
$$
%
+!-
式中，4 表示证券的预期收益率，" 表示加权系数，介于
" 与 % 之间，(2 %可以取前面几个收益率数据的算术平均值。
在这个模型中，加权系数 " 是由投资者自己决定的，一
般情况下，可遵循如下原则：
（%）如果收益率序列变化波动较大，则 " 应取大一点，比
如 "&56"&7，使模型的灵敏度高些，以便迅速跟上数据的变
化。
（!）如果收益率序列变化波动不大，比较平稳，则 " 应取
小一点，比如 "&%6"&8。
在实际操作过程中，可取几个 " 值进行比较，比较它们
的
9:;, %’ ! (*/(
2 * +8-
谁的 9:; 小，就以谁为准来估计证券的预期收益率。
%&8 差分———指数模型
差分———指数模型是一种较为精确的预测方法，在某种
角度上差分———指数模型预测方法比回归模型更好。差分指
数模型与指数平滑模型的综合运用，能够较好地克服滞后偏
差，而且能够较好地解决初始值的问题，其预测的灵敏度也
明显高于回归模型，对信息的捕捉能力较强。用这个模型预
测证券的预期收益率时，首先应对收益率序列数据进行分
析，以确定差分指数模型的类型。
%&8&% 对于线性函数 (<,"<3# 有
(2 *3%/(*,"+*3%-3#/"*/#,"
这是一个常数，与 * 无关。因而，如果收益率序列=(*>满足
"(*,(*3%/(*大体上与 * 无关，即"(*随 * 的变化不大时，则可用
一阶差分———指数平滑模型。其公式如下：
"(< ,(< /(</% +$-
"(2 <3% ,""(< 3+%/"-"(2 < +#-
(2 <3% ,"(2 <3% 3(< +5-
4,(2’3% ,"(2 ’3% 3(’ +?
&
$
$
#
$
$
% -
上面公式中的"是差分符号。（$）式表示对线性序列作
一阶差分，构成一个较为平稳的新序列；（#）表示对这个新序
摘 要：收益与风险是证券投资的两个核心，任何机构和个人进行证券投资前，都必须计算证
券在一定时期内的收益率，并以此为基础来估计该证券的预期收益率。因此，证券的预期收益率和
风险是证券投资分析的两个重要指标。本文提出了三种切合实际而且容易操作的风险估计方法，能
够准确而且又比较保守地估计出收益率的变化范围。
关键词：预期收益率；风险；预测
中图分类号：@7% 文献标识码：: 文章编号：%""!/5$7?（!""#）"$/""8"/"!
证券投资预期收益率与风险的度量方法
刘小玲
（湘潭大学 资产处，湖南 湘潭 $%%%"#）
理 论 新 探
8"
万方数据
统计与决策 !""#年 $月（下）
列运用指数平滑法；（%）表示把经过一阶差分后的新序列的
指数平滑预测值与变量当前的实际值迭加，作为变量下一期
的预测值。对于这个公式的数学意义可作如下解释：
因为 &’()*+&’(),&’-(&’*!&’()(&’ +.-
但是，在 ’ 为当前值时，&’() 实际上还没有，因此，不能根据
（$）式来计算!&’()而进行估计。我们要用（#）式计算的预测
值! &/ ’()去估计（.）式中的!&’()，从而公式中的等号左边的 &’()
也要改为 &/ ’()，即（%）式：&/ ’()*! &/ ’()(0’。
)121! 对于二次函数 &/ ’*!’!("’(#有
$&/ 3*&/ 3(),&/ 3*!!3("()
$!&/ 3*$&/ 3(),$&/ 3*!!
这就是说，当收益率序列4&35的二次增量
$!&3*$&3(),$&3*&3(!,!&3()(&3
大体上与 3 无关时，那么可用二阶差分———指数平滑模型进
行预测，其公式如下：
!&’ *&’ ,&’,) +6-
!
!
&’ *!&’ ,!&’,) +)"-
!
!
&/ ’() *!!
!
&’ (+),!-!
!
&/ ’ +))-
&’() *!
!
&/ ’() (!&’ (&’ +)!
!
#
#
"
#
#
$ -
)1212 对于指数函数 &/ ’*78!3有
93*&/ 3() &/ 3 *7·8
!+3()-
78!3*8
!
它是一个常数，与 3无关，所以当收益率序列4&35的环比 93*&3() &3
大体上与 3 无关时，我们可以采用将函数两边取对数，然后
用一阶差分———指数平滑模型，即对 &/ ’*7·8!’两边取对数得
:;&/ ’*:;7(!’
令 :;&/ ’*&/ ’<，:;7*"，故可化为线性函数：
&/ ’<*!’("
由此可根据线性函数的方法进行计算。
! 投资风险的测定
证券的风险是证券未来收益的可能变动幅度，也指证券
预期收益率的可能背离程度。它可分为系统风险和非系统风
险。
系统风险是指由于某种原因而对市场上的各种有价证
券都会造成损失的可能性，如国家制定的经济政策，提高银
行的存款利率，实行企业国有化等。这时，市场上所有各种股
票的价格都会下降。
非系统风险是指由于某种原因对某一种证券造成损失
的可能性。例如某公司的经营管理不善，造成产品质量下降、
需求减少、产品大量积压、财务上出现困难等，这时公司的股
票价格就会下跌，收益就会减少。而其它公司并不受此牵连
而引起股票价格和收益的下降。
我们知道，对于证券投资者来说，仅仅知道证券的预期
收益率是不够的，只根据证券的预期收益率很难进行决策，
因为预测值不等于实际值，每一个预测值与实际值之间都有
一定的差距。实际值与预测值之间的这种差距被称为离差，
可用（&3,&/ 3）来表示。仅仅根据预期收益率来进行证券投资决
策，往往可能得到不希望的结果。经常可以看到这样一种现
象，即证券的预期收益率 &/ 3大于零，但是投资者还是赔了本。
为什么会出现这种情况呢？实际上是由于实际值与预测值之
间的不一致造成的。两者之间的不一致程度越大，出现上述
情况的可能性就越大，即投资者得不到预期收益的可能性就
越大。归根到底，这意味着投资的风险就越大。因此，证券投
资收益率的实际值与预测值之间的不一致程度就是衡量该
证券风险大小的指标。
那么，如何计算实际值与预测值之间的这种不一致程度
呢？最直观的方法是计算（&3,&/ 3），然后再求全部离差的平均
值，离差平均值越大，说明该证券的风险就越大，反之则相
反。这当然是一种很理想的方法，但不幸的是，离差的取值有
正有负，其平均值有等于 " 的情况，因而对证券投资决策毫
无意义。针对这个问题，笔者提出以下几种测定风险的方法，
能够较为理想地解决风险测定的问题。
!1) 利用标准差进行风险测定
假设某证券在过去的 = 周的收益率是 &)>&!>%>&=则在估
计证券的预期收益率时，可得到这些收益率的追溯预测值 &/ ?>
&/?()>&/?(!>%>&=>其中 ?*)>!>或 2 由所选的模型确定。
标准差是指其收益率对其预期收益率的可能偏离程度。
在统计学中，证券收益率的方差可表示为
@*&!* )=,?()
=
3 * ?
%+&3 ,&/ 3 -!
而标准差是方差的平方根，用公式可表示为：
&* )=,?()
=
3 * ?
%+&3 ,&/ 3 -!&
其中 & 代表风险，&3表示所观察到的收益率，&/ 3表示收益率的
预测值，对证券的风险进行估计后，就能确定证券的未来收
益率的变化范围，它是AB,&>B(&C，即未来收益率的最大值是
B(&，最小值是 B,&。
例：已知某股票在最近 . 周的收益率为 &)*)1%"D>&!*
!1"D>&2*!1%D>&$*212D>&#*$1!D>&%*#1$D>&E*%16D>&.*.1ED> 利用
差分指数平滑模型可以求出
&/ 2*!1#D>&/ $*21!%D>&/ #*$1)#D>&/ %*#12"D>&/ E*%1.)D>&/ .*.1ED
由此我们可以确定 ?*2，计算方差 &!可得
&!* )=,?()
=
3 * ?
% +&3 ,&/ 3 -!* ).,! +"1)D
!
("1"$D
!
("1"#D
!
(
"1)D
!
("1"6D
!
-* )% F"1"2!!D*"1""#$D
所以 &* &
!& * "1""""#$& *"1""E2#*"1E2#D
所以收益率的变化范围是AB,&，B(&C，即A)"1$$#D>))16)#DC，
未来收益率的最小值为 )"1$$#D，最大值为 ))16)#D。
!1! 利用平均差进行风险的测定
平均差的全称为“平均绝对差”，其计算公式如下：
G1H* )=,?()
=
3 * ?
% &3 ,&/ 3
平均差的数值越大，则说明投资的风险就越大，平均值越小，
则反映的投资风险就越小。式中 G1H 表示平均差，即风险>&3
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2)
万方数据
统计与决策 !""#年 $月（下）
表示所观察到的收益率数据， %& ’表示收益率的预测值( 求出
)(* 之后，就可以确定证券未来收益率的变动幅度，即+,-)(
*.,/)(*0，未来收益率的最大值为 ,/)(*，最小值为 ,-)(*(
例：已知某种股票在最近 1" 周内的收益率为 %12!3.%!2
43.%42!3.%$213.%#243.%52!3.%62-13.%72$3.%8243.%1"2-13(我
们可以利用指数平滑模型求出 %& ’得
%& 12!(#3.%& !2!($3.%& 42!(#!3.%& $2!($!3.%& #2!(1$3.%& 52!(413.
%& 62!(!#3.%& 721($13.%& 821(8!3.%& 1"2!(1$3。
由此，我们可以确定 92"，计算平均差 )(*(可得
)(*( 2 1:-9/1
:
’ 2 9
! %’ -%& ’ 2 11" ;"(#3/"(53/"(#!3/
1($!3/"(753/"(413/$(!#3/!(53/1("73/4(1$3<21(#!73
故收益率的变化范围是 +,-)(*(.,/)(*(0，即 +-"("173.
4("4730。所以未来预期收益率的最大值是 4("473，最小值
是-"("173。
!(4 利用公式 !29=>
1!’!:
? %’ -%& ’ @来测定风险大小
例：已知某种股票在最近 7 周内的收益率为 %121(53.%!2
!("3.%42!(53.%$24(43.%#2$(!3.%52#($3.%625(83.%727(63，要确
定未来收益率的风险程度，我们可以利用指数平滑模型计算
收益率的预测值得：
%& 42!(#3.%& $24(!53.%& #2$(1#3.%& 52#(4"3.%& 625(713.%& 727(63.
计算 %’ - %& ’得出以下序列："(13."("$3."("#3."(13."("83."3
所以 !29=>
1!’!:
?"(13."("$3."("#3."(13."("83."3@2"(13
故未来收益率的变化范围是+,-!.,/!0，即+1"(("730，
未来收益率的最大值是 11("73，最小值是 1"(773。
! 结束语
笔者提出的三种切合实际而且容易操作的风险估计方
法，能够较准确而且又比较保守地估计出收益率的变化范
围，给许多投资者解决了一个令他们头痛的问题。另外，笔者
改变了以前证券投资领域的许多学者利用收益率的数学平
均值进行收益率估计的原始方法，大大提高了收益率的变动
灵敏度，能够使预测值跟上收益率原始数据的市场变化，从
很大程度上提高了预测的质量。
参考文献：
+10胡健颖，冯泰( 实用统计学 +A0( 北京B北京大学出版社.1885(
+!0暴奉贤，陈宏立( 经济预测与决策方法+A0( 广州B暨南大学出版
社.1881(
+40沈恒范( 概率论与数理统计+A0( 北京B高等教育出版社.188#(
+$0肖海泉( 证券投资学+A0( 北京B人民出版社. 1886(
+#0吴晓求( 证券投资学+A0( 北京B北京理工大学出版社.1884(
+50屠新曙( 证券的风险度量模型与组合投资优化理论+A0( 北京B中
国财政经济出版社. !""4(
（责任编辑 C亦 民）
" 简单的理论介绍
传统的时间序列分析集中于拟合一次条件的情形，比如
一个 ),;D<过程可以表示为：
EF2""/"1EF-1/⋯/"D/#F;G< ?#F@HI:;".$!<
可以拟合一次条件。
相反，),JK 和 L),JK 模型引入了二次条件，从而能够
更好的衡量风险和不确定性。一个 ),JK;D<模型可以定义为：
EF2$F#F
$F!2M"/N1EF-1!/⋯/NDEF-D!
其中，M""".NO""，?#F@HPP*;".1<.#F与?"1@相互独立。这个
模型是如何将二次条件纳入考虑之中的呢？实际上，这个模
型可以重新表示为：
EF!2M"/N1EF-1!/⋯/NDEF-D!/QF;GG< QF2$F!;#F!-1<
并且可以证明是?QF@白噪声序列。因此，一个 ),JK;D<模型可
摘 要：在现代时间序列分析中，各种软件程序扮演了越来越重要的角色，而 R)R 是其中最重
要的软件之一；),JK C L),JK 模型也越来越多的被人们用于分析包含了风险和不确定性的时间序
列，比如在外汇市场中 ),JK C L),JK 模型的结果被认为是作出决策的重要依据。本文就该如何运
用 R)R 来拟合 ),JK C L),JK 模型进行了较为详细的介绍。
关键词：),JK C L),JK；R)R；条件异方差
中图分类号：S!$# 文献标识码：) 文章编号：1""!-5$76（!""#）"$-""4!-"!
在 #$# 中拟合 $%&’()$%&’ 模型
刘 娜
（厦门大学，福建 厦门 451""#）
理 论 新 探
4!
万方数据
