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多协作中继功率分配下的吞吐量分析
唐兴伟，啜钢*
作者简介：唐兴伟，（1986-），男，通信与信息系统方向研究生，主要研究方向：协作通信，无线信道
（北京邮电大学信息与通信工程学院，北京 100876）
摘要：本文研究了协作通信中多个中继节点和多天线目的节点系统模型下，源节点及中继节
点之间如何进行功率分配，可使系统的吞吐量达到最大的问题，中继节点采用 DF（Decode and
Forward）中继模式。通过信道容量分析中断概率，进而得出三种功率分配方案下的吞吐量
的理论表达式，并说明了信息速率和信噪比对吞吐量的影响，给出了使吞吐量达到最大的最
优功率分配系数值，比较了不同条件下的方案优劣性。
关键词：通信与信息系统；协作通信；吞吐量；中断概率；功率分配
中图分类号：
Throughput Analysis in Multiple Cooperative Relays
Systems With Power Allocation
Tang Xingwei, Chuai Gang
(Information and Communication Engineering School, Beijing University of Posts and
Telecommunications, Beijing 100876)
Abstract: In order to improve the system performance and get the maximum throughput, this paper
proposed power allocation method in cooperative communication systems with multiple relay nodes
and multiple antennas at the destination. The relay protocol is “decode and forward” (DF). An
analytical outage probability through channel capacity, accurate theoretical expressions of
throughput(three power allocation methods) are derived. Also, the effect throughput on information
rate and signal-to-noise ratio is studied, and the optimal power allocation parameter is given.
Keywords:Communication and Information System; cooperative communication; throughput; outage
probability; power allocation
0 引言
目前，协作通信的研究方兴未艾[1]-[3]，其中，系统吞吐量是研究的热点之一。文献[4]
在多中继模型下给出了吞吐量的定义，文献[5]则分析了信息速率对吞吐量的影响，文献[6]-[7]
利用排队论对协作中继网络中的吞吐量进行了讨论，但他们并没有给出具体的表达式，难以
进一步的分析。文献[8]给出了在 MIMO 模型下吞吐量的近似，但其近似方案却要求高信噪
比。要提高吞吐量，一般方案是从增加协议和算法的复杂度入手，如通过改进的 ALOHA协
议提高协作系统的吞吐量[9]，在 MIMO 系统中加入预编码机制来提高吞吐量[10]，但其仅对
吞吐量的最大值进行了粗略计算，没有考虑到具体的参数对吞吐量产生的影响。文献[11] 通
过等效卡方分布法得出了精确的吞吐量的理论表达式，通过计算机数值计算给出了使吞吐量
最大的最优信息速率。
本文则在多协作中继多接收天线的两跳模型下，中继节点采用 DF中继模式，给出了吞
吐量在小信噪比情况下的理论近似分析。得出的吞吐量最优近似表达式后，可在一定的信息
速率 R和信噪比 SNR情况下，改变源节点及中继节点的功率分配系数以提高吞吐量，并通
过仿真给出使吞吐量最大的功率分配系数，降低了分析的复杂度，从而提高系统性能。
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1 系统模型
考虑具有一个发送节点，多个中继节点和一个目的节点的通信系统，如图 1所示。为方
便问题的研究，假设发送节点和中继节点都为单天线，而目的节点为多天线，那么中继节点
和目的节点之间可以形成一个虚拟 MIMO 系统，其中 S表示发送节点，D 表示目的节点，
ri表示第 i个中继节点，共有M个潜在中继结点。系统中的每一个用户都分配一个唯一的正
交的多址接入信道，采用 DF中继模式，并且假设所有的中继节点都是半双工工作模式。这
个过程分为两个阶段：在第一阶段，S通过广播信道广播信息，此时 ri只收不发；在第二阶
段，S 和 ri向 D 发送信息，然后 D 将两个阶段接收到的信息进行结合再解码。我们把第一
阶段叫做监听阶段 (Listening Phase)，第二阶段叫做转发阶段 /协作阶段 (Forward
Phase/Cooperative Phase)。
2N
图 1协同通信系统模型
2 中继节点的选取
源结点到第 i个结点之间的中断概率 rP 定义为信道容量 , is rC 小于某一给定的速率 R 下
的概率：
( ) ( )2, ,1 log 1 SNR2i ir s r s rP P C R P h R⎛ ⎞= < = + <⎜ ⎟⎝ ⎠ （1）
其中，SNR为源节点的发射信噪比， , is rh 为源节点到第 i个中继结点的信道衰落系数。
在中继节点的选取上，当中继节点的信道的功率增益 2, is rh 达到一个门限值
2
thh 时，就
把此节点作为发送节点的协作节点[12]，那么每一个节点能够被选中作为中继结点的可能性
为 { }2 2, is r thP h h> ，由式(1)可知 ( )2 22 1 SNRRthh = − 。
假设 , is rh 服从均值为 0，实部和虚部方差均为
2σ 的复高斯分布， , is rh 服从参数为 2σ 的
平坦瑞利分布，可得 ( ), 2is rE h π σ= ， ( )2 2, 2is rE h σ= ，则 2, is rh 服从均值为 22σ 的指数分
布：
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2
,
2
,
2
2
,2,
,
1 0( )
0
s ri
s ri
i
i
i
h
h
s r
s r
s r
e hp h
h
others
−⎧⎪⎪ >= ⎨⎪⎪⎩
（2）
其中 2 2, 2is rh σ= 表示
2
, is r
h 的均值/期望。
用 ( )sΒ 表示由被选中的中继节点组成的协作域， ( )sΒ 表示 ( )sΒ 中中继节点的个数
（ { }( ) 0,1,...,s MΒ ∈ ），则有：
{ }
{ }
{ }
( ) ( )
2 2
, ,
2 2
, ,
2 2
, ,
( )
2 2
0 0 ( ) ( )
, ,
( )
( ) 1
s r s rth thi i
s sthi i
M M
i j s r s ri i
i j i j
thi i
i j
h h
r s r s rC CR s h h
r
j j R s R s
r s r s r
R s
P h h
P s e e
P h h
Β Β − −
⊂Β
= = ⊂Β ∉Β
∉Β
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟Β = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅ < ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎩ ⎭
∏
∑ ∑ ∏ ∏∏
（3）
3 吞吐量理论近似
把图 1的后半部分看成是一个MIMO系统，则系统容量可表示为 ：
2
1 1 SNRlog det HH log det HH
2 2r r
H H
N N
tt w
PC I I
NN σ
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + = +⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎩ ⎭
（4）
其中，P为发射功率，Nt为源节点和中继节点的总个数(Nt=1,…,M,M+1)，1/2是因为节
点处于半双工工作模式；
rN
I 表示一个 r rN N× 的单位方阵， rN 为接收天线个数， Η是一
个 r tN N× 的信道矩阵， HH 表示 H 的共轭转置。为分析方便，设信号的每个分量是服从
均值 0 的独立同分布的高斯随机变量，则 H 的每一个元素服从均值为 0 的复高斯分布。由
于假设第一阶段和第二阶段的信道处于相关时间之内，所以将第一阶段源节点到中继节点的
信道等效到第二阶段考虑。
而吞吐量的定义[4],[5]为：
( )( )r1 P C R Rθ = − < ⋅ （5）
根据此定义，吞吐量是中断概率 rP 和信息速率 R的函数。由式(1)中断概率为：
( )rP P C R= < ，则在一定的信息速率下，求出中断概率后可进一步得出吞吐量。下面
讨论如何求系统吞吐量。
对式(4)考虑低信噪比情况下，
( )
1 1
2H
1 1
1 SNR 1 1log det HH log 1 log
2 2 2
1 1log tr log
2 2
r r
r
tr
N N
H
N i i
i it t t
NN
ij
i jt t
SNR SNRC I e
N N N
SNR SNRe e h
N N
λ λ
= =
= =
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + = + ≈ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ΗΗ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑∑
(6)
其中 iλ 是矩阵 HΗΗ 的特征值。由于 ( ) ( )0,1 2 1 0,1 2ijh N N= + − ⋅ ，故有 22 ijh 服
从 22χ 分布，则 2
1 1
4 log 2
tr NN
ij
i jt
SNRC e h
N = =
⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∑ 服从 22 r tN Nχ ⋅ ⋅ 分布。令
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4 log
t
SNRY C e
N
⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
，则有
( ) ( ) ( )
( ) 1 21 0
2
r t
r t
N N y
Y N N
r t
p y y e y
N N
⋅ − −
⋅= >Γ ⋅ (7)
其中 ( ) 1
0
t aa e t dt
∞
− −Γ = ∫ --Gamma 函数， ( ) ( ) 10
1,
x
t ax a e t dt
a
− −Γ = Γ ∫ --不完全 Gamma 函
数
( ) ( )
4 log
0
4 log 4 log , (8)
t
SNRR e
N
Y r t
t t
SNR SNRP C R P Y R e p y dy R e N N
N N
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞< = < ⋅ = =Γ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫
将图 1的前后两部分结合起来分析，则其整体的中断概率为
( ){ } ( ){ }
( )
|rc
s
P P C R s P s
Β
= < Β Β∑ (9)
为 了分析方便，鉴于信道的模型都是平坦瑞利信道，所以可以假设节点数相同的情况
下信道的中断概率是一样的。则式(9)可以改写成
( ){ } ( ){ }
( )
( )
( ) ( )( )( )
2 2
, ,
2 2
, ,
0 0 ( ) ( )
| 4 log , 1 1 (10)
1
s r s rth thi i
s r s ri i
i i
h h
M M
h hs
rc M r
s s R s R s
SNRP P C R s P s C R e N s e e
s
− −
Β
Β = Β = ⊂Β ∉Β
⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎜ ⎟⎜ ⎟= < Β Β = ⋅ Γ ⋅ ⋅ Β + ⋅ −⎜ ⎟⎨⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎬⎜ ⎟⎜ ⎟Β + ⎜ ⎟⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎩ ⎭
∑ ∑ ∏ ∏
式(10)中的信道容量采用式(6)所表示的信道容量公式，此时式(6)中的矩阵Η是虚拟的
MIMO信道的信道矩阵，矩阵Η中也包含了源节点到目的节点的信道信息。
结合公式(5)，可得系统吞吐量的表达示为
( )
( ) ( )( )
( )
2 2
, ,
2 2
, ,
0
( ) ( )
4 log , 1
1
1 R (11)
1
s r s rth thi i
s r s ri i
i i
r
M s h h
M
s h h
R s R s
SNRR e N s
s
C
e e
θ Β − −
Β =
⊂Β ∉Β
⎛ ⎞⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟Γ ⋅ ⋅ Β +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Β +⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎧ ⎫⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⋅ −⎪ ⎪⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎩ ⎭⎝ ⎠
∑
∏ ∏
4 功率分配对吞吐量的影响
在以上讨论的吞吐量公式中，基于源节点和所有的中继节点看成一个整体，在这个整体
中的节点间功率是平均分配的。现在讨论比较符合协作通信的功率分配方案。
源节点与中继节点功率按比例分配
假设源节点和中继节点的总功率为P，其中分配给源节点的功率即第一阶段所用的功
率为 Pα ，分配给中继节点即第二阶段所用的功率为 (1 )Pα− ，而每个中继节点的功率再平
均分配，则每个中继节点的功率为 (1 ) /P Mα− 。将第一阶段源节点的发送情况等效到第二
阶段来考虑，则矩阵Η还是由前后两部分组成。假设矩阵Η的第一列为源节点到目的节点
的信道信息，其余的为中继节点到目的节点的信道信息，即
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( ) ( )( ), 1, 2,..., ; 1, 2, ..., 1ij rh i N j sΗ = = = Β + ，则有 ( )1 1, 2, ...,i rh i N= 表示源节点到目的
节点的信道信息， ( )( )1,2,..., ; 2,..., 1ij rh i N j s= = Β + 表示中继节点到目的节点的信道信息。考虑
功率分配有[13] ，
( ) ( )
4 1
log 1
0
1 4 1 , (12)
log 12
t
r
R
SNR e N
Y rN
t
RP C R p y y N dy
SNR e N
α
α α
⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞−< = ⋅ ⋅Γ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠⎝ ⎠∫
式(12)是在中继节点个数至少为 1的情况下的公式。此时系统吞吐量理论表达式为，
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
, ,
2 2
, ,
4 1
log
0 0
( ) ( )
1 4 11 ,
log2
R (13)
1
r
s r s rth thi i
s r s ri i
i i
R
SNR e sM s
Y rM N
s
h h
h h
R s R s
RC p y y N dy
SNR e s
e e
α
α α
θ
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ Β⎝ ⎠Β
Β =
− −
⊂Β ∉Β
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ ⋅ ⋅Γ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ Β⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅⎧ ⎫⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟−⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎝ ⎠
∑ ∫
∏ ∏
下面图 2是在此功率分配方案下系统吞吐量的MATLAB仿真曲线。
1
COOPERATIVE thoughput: Relay No=4 R=2bps/Hz
α
th
ou
gh
pu
t
图 2信噪比对功率分配系数的影响
图 2表示是 0到 20dB区域内几个随机产生的信噪比(从下到上信噪比逐渐增大)，功率
分配系数α 与系统吞吐量的关系。从图 2 可以看出，在一定的信噪比和信息速率下，吞吐
量随功率分配系数α 的变化存在极大值。并且当信噪比 (0,20]SNR dB∈ 时， ( ), α ∈ ，
此时功率得到了最优分配，吞吐量达到最大。随着信噪比增大，功率分配系数α 减小，但
减小的幅度越来越小。我们可以参照图 2得出的最优功率分配，调整实际系统的功率分配系
数，使吞吐量达到最大，从而提高系统性能。由图 2还可以看出随信噪比的变大，吞吐量有
增大的趋势。
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源节点与中继节点功率最优分配
上节讨论了一种功率分配方案，但除去源节点，中继节点的功率仍是平均分配的。将第
一阶段源节点的发送情况等效到第二阶段来考虑，设各中继节点有不同的功率分配因子
iα ( )1,2,..., , 1i M M= + ，其中 1α 是源节点功率分配系数。
在图 1的系统模型下，系统工作在 DF中继模式下，并且中继节点能够正确解码、再译
码．则目的节点D处的接收信号Y可以写成[14]：
' ' '
0 0 0Y X W A W W= Η ⋅ + = Η ⋅ ⋅ Χ + = Η ⋅Χ + (14)
其中，Η表示第二阶段MIMO信道矩阵，表征了第二阶段的多径瑞利衰落；X表示发
送数据向量； 0W 表示每个接收天线的噪声，其元素为服从均值为 0的独立同分布的复高斯
随机分布，A表示功率分配因子。通过对变换后的MIMO信道矩阵 'Η 作奇异值分解(SVD)
分析[14] ，可得单位带宽下的信道容量(频谱利用率，单位为 bps/Hz)为
( )
0
2 21
2
1
log 1
M
i i
i w
P s
C
α
σ
+
=
⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (15)
结合中断概率与吞吐量的定义，此时系统吞吐量为
( )( ) ( )
0
2 21
r r 2
1
1 P C R R= 1 P log 1 R R
M
i i
i w
P sαθ σ
+
=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= − < ⋅ − + < ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ (16)
考虑在中继节点上的功率分配的最优值，以系统吞吐量为标准，即
( )
0
2 21
r 2
1
max( ) max 1 P log 1 R R
M
i i
i w
P sαθ σ
+
=
⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= − + < ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭
∑ (17)
上式应满足
1
1
1
M
i
i
a
+
=
=∑ ，和0 1ia≤ ≤ 两个约束条件。
对于该式无法表示出的功率分配因子 iα 闭式，可用计算机数值计算来进行分析。按系
数的作用范围分为两部分 1α 和 iα ( )2,..., , 1i M M= + ，这样可以先对第一部分进行分配，
然后利用前一部分的结果进行另一部分的分配，重复前述过程，直至求得最优解。最后统计
出功率分配因子 1α 出现在各区间的概率，如图 3。从中可以看出，对于源节点的功率分配系
数 1α 主要集中在 ( ), 的区间，相比于源结点与中继节点功率按比例分配方案，源节点
的功率分配系数有了更大的变动范围，并且最优的源节点功率分配系数在大部分情况下比按
比例分配时小。
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0 1
0
α1的概率分布柱状图
α1
概
率
分
布
图 3源节点功率分配系数分布柱状图
吞吐量比较
基于图 2的仿真结论，针对源结点与中继节点功率按比例分配方案，取源节点功率分配
系数α =。再结合源结点与中继节点功率最优分配方案得到的一组 iα ( )1,..., , 1i M M= + 的
解，仿真得到三种方案的吞吐量，如图 4。图中假设三种方案总有一条直达链路。
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
SNR
th
ou
gh
pu
t
COOPERATIVE thoughput: Relay No=4 R=2bps/Hz
平均功率分配
按比例功率分配 alpha=
最优功率分配
图 4三种方案吞吐量与信噪比的关系
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由图 4可知，最优功率分配方案的系统吞吐量最优，其次是源结点与中继节点功率按比
例分配，源结点与中继节点功率平均分配方案最差。尤其当信噪比较小时，按比例分配的吞
吐量比较明显地大于平均分配的吞吐量，最优分配方案的吞吐量也相对最高。随着信噪比逐
渐增大，平均分配的吞吐量增大趋势明显，而按比例分配和最优分配的吞吐量增大比较缓慢。
当信噪比 14SNR dB≥ 时，三种方案的吞吐量已趋于饱和。当 ( )0,10 dBSNR∈ 时，最优功率
分配下的系统吞吐量比按比例分配的吞吐量要稍大；当信噪比 10SNR dB≥ 时，两种方案的
吞吐量已经相差很小了。这是因为在 SNR比较大的情况，信道条件比较好，每一链路的信
道增益基本相同，按比例分配方案几乎成为了最优功率分配方案。
5 结论
本文提出了一种协作通信系统中源节点与中继节点的功率分配使系统吞吐量达到最优
的方案。并从理论和仿真两个方面对其进行了分析，通过计算机数值计算，给出了一定信噪
比下使吞吐量达到最大时的各节点的功率分配系数。结果表明最优功率分配方案在信噪比较
小时能提高系统吞吐量，信噪比较大时对吞吐量改善不明显。说明，在一定的信噪比和信息
速率下，对节点功率分配进行调整，可使吞吐量达到最大，进而提高系统性能。
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