（抽样检
验）抽样方
法简单随
机抽样(抽
签法
统计
1.抽样方法：(1)简单随机抽样（抽签
法、随机数表法）常常用于总体个数较少
时，它的特征是从总体中逐个抽取；（2）
系统抽样也叫等距离抽样，常用于总体个
数较多时，它的主要特征是均衡成若干部
分，每部分只取一个；（3）分层抽样，主
要特征是分层按比例抽样，主要用于总体
中有明显差异，它们的共同点：每个个体
被抽到的概率都相等，体现了抽样的客观
性和平等性。
如（1）某社区有 500个家庭，其中高
收入家庭 125户，中等收入家庭 280户，
低收入家庭 95。为了调查社会购买力的某
项指标，要从中抽取一个容量为 100户的
样本，把这种抽样记为 A；某中学高中一
年级有 12名女排运动员，要从中选取 3人
调查学习负担的情况，把这种抽样记为 B，
那么完成上述两项调查应分别采用的抽样
方法：A为_______，B为_____。（答：分
层抽样，简单随机抽样）；
（3）某中学有高一学生 400人，高二
学生 300人，高三学生 300人，现通过分
层抽样抽取一个容量为 n的样本，已知每
个学生被抽到的概率为 ，则 n=_______
（答：200）；
（4）容量为 100的样本拆分成 10组，
前 7组的频率之和为 ，而剩下的三组
的频数组成等比数列，且其公比不为 1，
则剩下的三组中频数最大的一组的频率是
______（答：）；
（5）用简单随机抽样的方法从含有
10个个体的总体中，抽取一个容量为 2的
样本，则某一个体“第一次被抽到的概率”，
“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，
“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别
是______________（答：）；
2.总体分布的估计：用样本估计总体，
是研究统计问题的一个基本思想方法，即
用样本平均数估计总体平均数（即总体期
望值――描述一个总体的平均水平）；用样
本方差估计总体方差（方差和标准差是描
述一个样本和总体的波动大小的特征数，
方差或标准差越小，表示这个样本或总体
的波动越小，即越稳定）。一般地，样本容
量越大，这种估计就越精确。总体估计要
掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频
率分布直方图)。
频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看
出数据分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不出原始的
数据内容，把数据表示成直方图后，原有
的具体数据信息就被抹掉了。
频率直方图的作法：
（1）算数据极差
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是
频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一
般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。
组数的决定方法是：设数据总数目为 n，
时，分为组；时，分为组.
如（1）一个容量为 20的样本数据，
分组后组距与频数如下：(10,20],2；
(20,30],3； (30,40],4； (40,50],5；
(50,60],4；(60,70],2；则样本在区间上
的频率为
A．5%B．25%C．50%D．70%（答：D）；
（2）已知样本：，那么频率为 的
范围是
A．～．～
C．～．～（答：B）；
（3）观察新生儿的体重，其频率分布
直方图如图所示，则新生儿的体重在[2700，
3000]的频率为_______（答：）；
（4）如图,是一次数学考试成绩的样本
频率分布直方图（样本容量 n=200），若成
绩不低于 60分为及格，则样本中的及格人
数是_____（答：120）；
分数
频率/组距
0 2
0
4
0
6
0
8
0
10
0
8
5
(5)有同一型号的汽车 100辆,为了
解这种汽车每蚝油 1L所行路程的情况,现
从中随即抽出 10辆在同一条件下进行蚝
油 1L所行路程实验,得到如下样本数据
（单位:km）:,,,,
,,,,,，其分组
如下:
（1）完成上面频率分布表；
（2）根据上表,在给定坐标系中画出
频率分布直线图,并根据样本估计总体数
据落在[,）中的概率；
（3）根据样本,对总体的期望值进行
估计
解：（1）频率分布表：
分组 频数 频率
[,） 2
[,） 3
[,） 4
[,） 1
合计 10
（2）频率分布直方图：
估计总体数据落在[,）中的概
率为
（3）＝
因此，总体的期望值进行估计约
为 .
(6)为了了解高一学生的体能情况,某校
抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，
将所得数据整理后，画出频率分布直方图
(如图)，图中从左到右各小长方形面积之
比为 2：4：17：15：9：3，第二小组频数
为 12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是
多少？
(2) 若次数在 110以上（含 110次）为达
标，试估计该学校全体高一学生的达
标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位
数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形
的面积等于相应各组的频率，小长方形的
高与频数成正比，各组频数之和等于样本
容量，频率之和等于 1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积
的形式反映了数据落在各小组内的频率大
小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
,
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率
约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为 6，
12，51，45，27，9，所以前三组的频
数之和为 69，前四组的频数之和为
114，所以跳绳次数的中位数落在第四
小组内。
3、样本平均数：。
如有一组数据：x1,x2,…,xn(x1≤x2
≤…≤xn)，它们的算术平均值为 20，若
去掉其中的 xn，余下数据的算术平均值为
18，则 xn关于 n的表达式为
（答：）。
4、样本方差：；
样本标准差：。
如（1）甲、乙两名
射击运动员参加某大
型运动会的预选赛，
他们分别射击了 5次，
成绩如下表(单位：环)
分组 频数 频率
[,）
[,）
[,）
[,）
合计 10
9
0
1
0
0
1
1
0
1
2
0
1
3
0
1
4
0
1
5
0
次数
o
04
08
12
16
20
24
28
频率/组距
32
36
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有 1人入选，则入选
的应是 （答：甲）；
（2）已知实数的期望值为，方差为，，若，
则一定有
A．B．C．D．与无法比较大小（答：B）；
（3）某班 40人随机平均分成两组，两组
学生一次考试的成绩情况如下表：
则全班的平均分为_______，方差为______
（答：85,51）
提醒：若的平均数为，方差为，则的平
均数为，方差为。
如已知数据的平均数，方差，则数据的平
均数和标准差分别为
A．15，36B．22，6C．15，6D．22，36（答：
B）
5.茎叶图
(1)茎叶图的画法：
①将每个数据分为茎（高位）与叶（低
位）两部分，②将最大茎和最小茎之间的
数按大小顺序排成一列，③将各数据的叶
依先后次序写在其茎的左（右）两侧.
(2)茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：
一是从统计图上没有原始数据信息的损
失，所有数据信息都可以从茎叶图中得
到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，
随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效
数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组
的数据，两个以上的数据虽然能够记录，
但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
6.独立性检验
独立性检验是检定两个事件间是否独
立的统计方法，是卡方检验的一个应用.
卡方检验是对样本的频数分布所来自
的总体分布是否服从某种理论分布或某种
假设分布所作的假设检验.即根据样本的
频数分布来推断总体的分布，卡方独立性
检验的零假设是各事件之间相互独立.卡
方值永远大于零.χ2的两个临界值分别
是 ，与 .≤时，接受假
设即两事件无关.
相关系数是测定变量之间相关密切程
度和相关方向的代表性指标。相关系数用
符号“r”表示，其特点表现在：参与相关
分析的两个变量是对等的，不分自变量和
因变量，改变两变量的地位并不影响相关
系数的数值，因此相关系数只有一个；相
关系数有正负号反映相关系数的方向，正
号反映正相关，负号反映负相关；
回归和相关都是研究两个变量相互关
系的分析方法。相关分析研究两个变量之
间相关的方向和相关的密切程度。但是相
关分析不能指出两变量相互关系的具体形
式，也无法从一个变量的变化来推测另一
个变量的变化关系。回归方程则是通过一
定的数学方程来反映变量之间相互关系的
具体形式，以便从一个已知量来推测另一
个未知量。为估算预测提供一个重要的方
法。
相关性检验的步骤是：(1)做统计假设：
x与 Y不具备线性相关关系.(2)根据小概
率 与查出 r的一个临界值.（3）根据
样本相关系数公式计算出 r的值.（4）作
统计推断：如果表明 95%的把握认为 x与 Y
之间具备线性相关关系，如果接受假设.
提醒：A与 B有关并不意味着 A的发
生必然导致 B的发生.
7.回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个或
两个以上变量之间数量变化的一般关系进
行测定，确定一个相应的数学表达式，以
便从一个已知量来推测另一个未知量，为
估计预测提供一个重要的方法。在回归分
析中，由 X推算 Y与由 Y推算 X的回归方
程是不同的，不可混淆:.与相关分析相比，
回归分析的特点是：两个变量是不对等的，
只能用自变量来估计因变量，而不允许由
因变量来推测自变量,必须区分自变量,一
般说，事物的原因作自变量 X.
回归分析和相关分析是互相补充、密切
联系的。相关分析需要回归分析来表明现
象数量相关的具体形式，而回归分析则应
该建立在相关分析的基础上。依靠相关分
统计量
组别
平均分 方差
第 1组 80 16
第 2组 90 36
析表明现象的数量变化具有密切相关，进
行回归分析求其相关的具体形式才有意义。
如（1）在研究色盲与性别的关系调查
中，调查了男性 480人，其中有 38人患色
盲，调查的 520个女性中 6人患色盲，
（1）根据以上的数据建立一个 2×2的列联
表；
（2）若认为“性别与患色盲有关系”，则
出错的概率会是多少
解：（1）
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女 6 514 520
总计 44 956 1000
（2）假设 H：“性别与患色盲没有
关系”
先算出 K的观测值：
则有
即是 H成立的概率不超过 ,
若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的
概率为
（2）一台机器使用的时间较长，但还可
以使用，它按不同的转速生产出来的某机
械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺
点零件的多少，随机器的运转的速度而变
化，下表为抽样试验的结果：
转速 x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的
零件数 y（件）
11 9 8 5
（1）画出散点图（2）如果 y对 x有线性
相关关系，求回归直线方程；（3）若实际
生产中，允许每小时的产品中有缺点的零
件最多为 10个，那么机器的运转速度应控
制在什么范围内？
答案：（2）y=
（3）x小于等于
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