- 1 -
城市交通网络非稳定均衡分析
摘 要：通过对实际城市交通网络状态的分析，引入了非稳定均衡网络状态的概念。通过对
出行者出行选择行为的分析，引入了非稳定均衡网络状态的非线性互补问题模型和变分不等
式模型，并利用超级网络的概念证明了两者的等价性。分析了非稳定均衡态的变分不等式模
型解的存在性和唯一性，并针对路径和路段两种形式的变分不等式模型，给出了相应的修正
投影梯度求解算法。给出了算法的收敛性定理，并用算例验证算法的有效性。
关键词：均衡，变分不等式，超级网络，交通流分配
中图分类号： 文献标示码：A
1. 引言
交通网络的均衡分析，即交通流分配问题，是交通网络规划研究的核心与基础。自 1952
年Wordrop[1]提出著名的Wordrop两原则后，均衡配流的概念逐渐为大多数的研究者和工程
师所接受。所谓均衡配流，就是在已知出行需求条件下，按照一定原则，如Wordrop第一原
则，将需求加载上网的过程。通常情况下，配流时总假设所有的出行需求均被加载上网，没
有例外。但是这一点并不总合乎实际。事实上，出行者总是对可能出行的费用与被选目的地
的吸引力做出评价后，决定其是否出行、出行的方式、具体路线以及特定的目的地等。而一
般的配流研究常常忽略了对出行与否的考虑。
另外，近年来基于出行活动的交通流分配研究非常活跃，这一研究方向考虑了上述出
行与否的选择行为。但是该研究方向一般采用了自上而下的多层树状 Logit模型首先对出行
选择行为进行划分，然后进行网络流加载；这就造成了在进行出行与否选择上的判断依据不
足。缺乏合理的需求供给反馈机制和各种选择决策的网络融合，是这一方向的主要缺陷。
在给定出行需求条件下，如果某些出行起点的流量没有实际选择出行，而某些出行终
点的吸引量不足时，网络就会出现非稳定的均衡状态。那些未选择出行的流量总试图出行，
而在吸引量不足的终点，也会采取各种措施进一步增加吸引力。因此，网络上当前的流量均
衡是不稳定的。实际的网络流量状态往往就是处于这种不稳定的均衡态，且持续发生着改变。
研究非稳定的交通状态，不仅可以深化对实际交通状态的认识，也可以对网络的动向
作出预判，为合理的交通控制和管理提供实施依据。
对非稳定均衡交通流的研究始于 Pigou(1920)[2]和 Knight(1924)[3]利用拥挤道路对外部性
(externality)概念的阐述。虽然没有明确指出，但他们实际上利用了非稳定均衡向稳定均衡转
移的概念。随后许多交通配流的启发式算法也同样用到了非稳定均衡向稳定均衡转移的思
想，例如容限配流法和比例配流法。事实上，求解随机交通配流的相继平均法(Method of
Successive Averages, MSA)也可以解释为非稳定均衡向稳定均衡的趋近。明确提出非稳态均
衡概念，并加以研究的是 Nagurney 和 Zhang(1998)[4], 他们使用了不均衡(Disequilibra)而不
是非稳态均衡(unsteady equilibrium)的表述。上述研究均利用了非稳定均衡向稳定均衡转移
的思想，但是目的均是为了得到最终的均衡态流量模式。虽然 Nagurney 和 Zhang(1998)[4]
明确了网络中的非均衡态，但是其研究注重于投影动态系统(Projected Dynamical System,
PDS)对非稳定均衡向稳定均衡转移过程的模拟和最终均衡态的确定。仅就我个人的了解，
至今，还没有文献将交通网络中的非稳定均衡态作为研究的对象进行深入地分析，也没有文
- 2 -
献对起点流量未加载上网，而终点吸引力不足的网络均衡态做过深入分析。
本文将针对非稳定的交通网络均衡状态，给出一个等价的变分不等式模型(Variational
Inequality Model, VIM)。通过构建相应的超级网络(Supernetwork)，说明 VIM的含义及应用
前景。对 VIM进行定性分析，并给出求解算法。
本文的内容安排如下。第 2 部分对基础网络模型进行构建，包括：网络描述、建立基
本约束条件和相关费用函数、出行需求分析及出行选择行为分析。第 3部分利用超级网络概
念，建立 VIM，并分析 VIM与出行行为假设的一致性。第 4部分是 VIM的定性性质(解的
存在性与唯一性)分析。第 5部分给出 VIM的具体求解算法，并在第 6部分用一个算例进行
了验证。最后，在第 7部分对全文进行了总结，并分析了进一步研究的多个可行方向。
2. 基本网络模型构建
考虑一般网络 ],[ LNG = ，其中 N表示节点集合，L表示有向线段的集合。定义 a为
网络中的一条有向线段，p为连接一对起讫点对的有序列有向线段组成的路径。注意在超级
网络中，线段与路径不仅仅代表与实际运输网络相对应的路段和路线，也可能表示虚拟的路
段和路径——表示网络使用者的选择行为或判断行为。
令 rsP 表示联接 OD 对（Origin/destination） rs的路径集合，P 表示网络中所有路径的
集合，且设网络中存在的 J个 OD对组成的集合为Ω。同时，令 px 表示路径 P上的流量，
af 为线段 a上的流量。设网络中的线段和路径数目分别为 n和 np。则可将网络中的路径流
量和线段流量分别组合成列向量 npRx +∈ 和 nRf +∈ 。
下面的流量守恒条件必须满足
ap
Pp
pa xf δ∑
∈
= ， La∈∀ ， (1)
式(1)中，当线段 a 包含于路径 p 中时， 1=apδ ，否则， 0=apδ 。式(1)表示线段流量等于
所有包含该线段的路径流量之和。
如果 rsd 设为 OD对 rs之间的已知需求量，则下式成立
∑
∈
≥
rsPp
prs xd ， Ω∈∀rs ， (2)
式(2)中， 0≥px ， Pp∈∀ ；式(2)表示 OD 对 rs间的需求量大于联接该 OD 对的所有路
径上的流量之和, 即可能存在对应需求没有实际选择出行的情况。
定义 ac 为对应线段 a的延误费用， pC 为对应路径 p的延误费用。路段延误函数是可分
离的该路段上流量的增函数，具有如下形式
)( aaa fcc = ， La∈∀ ， (3)。
定义路段 a上的总的延误费用为 )(ˆ aa fc ，则有下式成立
)(ˆ aa fc = aaa ffc ×)( ， La∈∀ ， (4)
式(4)表示线段的总延误费用等于所有使用该线段出行者的延误费用之和。
与线段总的延误定义相仿，设路径 p的总延误为 pCˆ ，则下式成立
ppp xCC =ˆ , Pp∈∀ , (5)
- 3 -
式中，路径的延误 pC 表示该路径包含的所有线段的延误之和，即
apa
La
ap fcC δ)(∑
∈
= ， Pp∈∀ . (6)
设网络中有 m个出行起点，k个出行目的地，r与 s分别表示一个典型的出行起点或出
行目的地。设起点的出行需求与终点的流量潜在吸引量固定，起点 r的需求量表示为 qr，而
终点 s的潜在吸引量为 hs。一般情况下，假设总的需求与总的吸引量是平衡的，即
∑∑ =
s
s
r
r hq , (7)
同时下面的两个式子也成立：
∑=
s
rsr dq ， (8)
∑=
r
rss dh (9)。
对于每个出行起点，我们假设该点的所有被考虑的选择同一出行目的地的潜在出行者具
有一致的特征。他们均有一个决定是否选择该一目的地为出行终点的相同的最高费用标准，
对应起点 r和终点 s的最高费用标准值设定为 rsπ 。如果出行的总延误费用加上在对应终点
的拥挤引发的广义费用之和大于该起讫点对间的最高费用标准，出行者则不会选择对应目的
地为其出行终点。
在终点，由于吸引流量的增多，引发的出行满意度的下降，如购物的方便性、停车的
困难性以及可选资源的减少等等，可以用一个与该点吸引量相关的广义费用函数来表示。对
应终点 s，设相应的广义费用函数为 )(xss ρρ = 。 sρ 被假设为依赖于所有的网络路径流量
模式 x可以反映不同出行终点间存在的竞争。
上述对费用标准值 rsπ 和终点广义费用函数的设定，可以进一步扩展多用户的情况，但
是为了表述更加简洁，本文采用了上述较为简单的假设。很显然多种用户的情形更加符合现
实，例如对于上班的人而言其对应的 rsπ 值大于那些外出购物的人。对于上班族等具有很高
rsπ 值的出行者，可以简单的将其与其他的出行者分离，作为网络的背景流量事先加载上网。
广义费用函数 sρ 的性质影响到随后建立的 VIM的求解，本文简单的将其设定为依赖于网络
路径流量模式 x单调增函数。
下面分析出行者的出行选择行为。图 1是出行选择过程的一个简单的示意图。
- 4 -
图 1 出行选择行为示意图
Figure 1 The sketch of travel choice behavior
设已知网络目前流量模式 x , 在图 1中，处于起点 r的出行者首先决定其目的地，假设
其选定的目的地为 s，则与起讫点对(r, s)相关的目的地广义费用值 sρ 和出行最高费用标准值
rsπ 被确定。接下来，该出行者将评价连接起讫点对(r, s)所有可行路径的延误费用，得到其
中路径延误费用与 sρ 之和的最小值 rsC~ 。那些与 sρ 之和不等于 rsC~ 的路径被淘汰；接着将
rsC
~ 与出行最高费用标准值 rsπ 比较，如果 rsC~ 大于 rsπ ，用户将选择不出行；如果 rsC~ 小于
rsπ ，用户将选择其中的任意一条路径出行。用户的选择必将影响到现有的网络流量模式 x，
新的出行选择对应的新的网络流量模式 x~。新的 x~被反馈到网络中起点的出行者，出行者
将基于新的流量模式作出新的出行决策。
假设所有的出行者均是理性的决策者，在总的出行费用不高于与目的地相关的一个出
行费用最高上限值条件下，他们以个人的总出行费用最小化来决定出行与否；并且假设在所
有的出行者之间不存在合作，所有出行者的网络信息是完备的。下一节将基于上述假设构建
网络均衡态的互补均衡条件和 VIM。
3. 基于超级网络 VI模型
假设起点 r处的某出行者的目的地为终点 s，则对应的目的地广义费用值和出行最高费
- 5 -
用标准值分别为 sρ 和 rsπ 。设连接起讫点对(r, s)的可行路径共有 j条，其中第 i条对应的出
行延误费用为 piC 。令 }{min
~
1 spi
j
irs
CC ρ+= = ， },
~min{ rsrsrs CC π= 。设 irsx 为起讫点对(r, s)
间可行路径 i上的从 r点出发以 s为目的地的路径流量。在上一节出行者选择行为的假设条
件下，网络的均衡状态应满足下面的互补均衡条件：
srji
xCC
xCC
i
rsrsspi
i
rsrsspi , },,1,2,{
0 if ,
0 if , Λ∈∀⎪⎩
⎪⎨⎧ =≥+
>=+
ρ
ρ
(10)。
图 2 简化的超级网络图
Figure 2 A simplified supernetwork
为了建立相应的 VIM并对上述互补均衡条件加以解释，下面建立对应的超级网络。图
2是一个简化的超级网络。节点 r和 s’分别代表一个典型的起点和终点，节点 s是对应终点
s’建立的虚拟终点。增加连接节点 r、s’与虚拟节点 s的有向连线，对应的路段延误费用分别
为 rsπ 和 sρ 。从图 2可知，如果出行者选择出行，将从 r点经由点 s’到达虚拟的目的地 s；
如果出行者选择不出行，可以被看作从 r点经由费用为 rsπ 的虚拟路段到达虚拟的目的地 s。
因此满足互补均衡条件(10)的非稳定均衡态可以被看作在上述超级网络中的类似用户均衡
的网络平衡状态。
但是上面构建的超级网络存在一个问题，现以图 3为例加以说明。 图 3是一个具有 9
个节点的超级网络，其中节点 1和 4是起点，8和 9是分别对应节点 5和 7的虚拟终点。图
中的虚线表示增加的虚拟路段。在该超级网络中从节点 1到节点 9共有 5条路径，其中路径
1-3-4-9包含了虚拟路段 4-9，这将不满足互补均衡条件(10)中对于可选实际出行路径的定义。
图 3中，节点 1与 8间的路径 1-3-4-8也同样不满足互补均衡条件(10)中对于可选实际出行
路径的定义。因此在类似图 2和图 3所建立的超级网络中，简单的利用用户均衡的网络平衡
状态，对非稳定均衡网络状态进行研究可能会导致不合理的结果。
- 6 -
图 3 具有 9个节点的超级网络
Figure 3 A supernetwork with 9 nodes
上述问题的解决办法是在超级网络中对所有起点也同时增加相应的虚拟节点，使得从任
意起点出发的虚拟路段均不为其他起始节点所利用。具体的实施参见图 4。
图 4 修正的简化超级网络示意图
Figure 4 The modified simplified supernetwork
图 4中节点 r和 s是对应起讫点 r’和 s’的虚拟节点，增加的虚拟路段有虚线表示。连
接 r与 r’的虚拟路段的延误费用设定为 0，连接 s’与 s的虚拟路段的延误费用设定为 sρ ，连
接 r与 s的虚拟路段的延误费用设定为 rsπ 。对应图 3的修正超级网络图见本文第 6节算例
分析中的图 5。显然在对原来的超级网络进行修正后，新的超级网络中的用户均衡的网络平
衡状态与互补均衡条件(10)所表述的非稳定均衡网络状态是一致的。
下面给出与互补均衡条件(10)等价的基于修正后的超级网络的非稳定均衡网络状态的
VIM，并证明两者等价性。
定理 1（非稳定均衡网络状态的 VIM）：非稳定均衡网络流量模式满足互补均衡条件(10)
及非负流量约束式(1)(2)，当且仅当其同时满足 VIM：
- 7 -
Π∈∀≥−Γ∑∑∑ irs
r s i
i
rs
i
rs
i
rs xxxx 0))((
** （11）
其中 },,, ; ;0 :{ israxfdxxx arsi
rsi
i
rsa
i
rs
i
rs
i
rs
i
rs ∀==≥=Π ∑∑ δ 。
式（11）中， )(⋅Γ irs 表示从基本交通网络修正后得到的虚拟起讫点 r 和 s 间路径 i 的广
义延误费用。当路径 i表示直接连接虚拟起讫点 r和 s的虚拟路径时， )(⋅Γ irs = rsπ ；当路径
i表示连接虚拟起讫点 r和 s的其他虚拟路径时， )(⋅Γ irs = )()( ⋅+⋅ spiC ρ 。式（11）中，变量
带有上标“*”表示该变量在网络的非稳定均衡状态下的取值。当路段 a 属于起讫点 r 和 s 间
的虚拟路径 irsp 时， arsiδ =1；否则， arsiδ =0。流量的约束可行集Π中包含了路径流量的非
负约束，以及对应式(1)(2)但稍有变动的约束。
下面证明定理 1。首先我们证明满足(1)(2)(10)也即满足（11）。
从式（10）易得：
0))()()(( **** =×−+ irsrsspi xxCxxC ρ , （12）
0))()()(( *** ≥−+ xCxxC rsspi ρ (13).
同时由于 0≥irsx ，可得
0))()()(( *** ≥×−+ irsrsspi xxCxxC ρ , (14)
合并式(12)和(14), 得到
0)())()()(( **** ≥−×−+ irsirsrsspi xxxCxxC ρ (15).
如果假设未选择出行的出行者被安排在连接起讫点对的虚拟路径上，由第 2节对出
行选择行为的分析易知下式成立
⎩⎨
⎧
>=
=≥
0 if ,
0 if ,
*~
*~
i
rsrsrs
i
rsrsrs
xC
xC
π
π
(16)
式(16)中， i~ 表示连接起讫点对 r和 s的虚拟路径。同样由式(16)可以得到
0)))((( *
~~* ≥−− irsirsrsrs xxxCπ (17)
将满足式(15)的不等式与式(17)合并，并考虑约束(2), 即可得到
Π∈∀≥−−Γ∑ irs
i
i
rs
i
rsrs
i
rs xxxCx 0))()((
** (18)
进一步化简得到
Π∈∀≥−Γ∑ irs
i
i
rs
i
rs
i
rs xxxx 0))(((
** (19)
对上式针对所有的起讫点对求和，即得到 VIM（11）。
定理 1 中满足式(11)也即满足式(1)(2)(10)的证明也很简单。对于任意起讫点对 r 和 s，
首先令所有不是 r 和 s 间的路径流量等于均衡态解, 对式（11）进行化简，得到式(19)。经
进一步变形得到式(18)，为了保证不等号成立，可知式(18)前面的加和符号可以取掉，得到
Π∈∀≥−−Γ irsirsirsrsirs xxxCx 0))()(( ** (20)
按照对 )(⋅Γ irs 的设定，很容易将式(20)化为对应的式(10)或(16)。至此，定理 1得证。
- 8 -
4. VIM的定性分析
如果模型的解不存在，那么上面建立的 VIM是没有意义的。因此有必要研究 VIM的一
些定性性质，从而得出 VIM解存在和唯一的条件。这些定性性质同时也与求解 VIM的算法
的选取及算法的收敛性紧密相关。
首先回顾一下标准的有限维 VI问题的定义及相关的一些定性性质结论。
定义 1：有限维变分不等式问题，即 ),( KFVI , 就是确定一个向量 KX ∈* ，满足
, ,0**),( KXXXXF ∈∀>≥−< (21)
其中，F NRK → : 是一个给定的连续函数。K是一个给定的 NR 的闭凸子集，符号 >⋅⋅< ,
表示 NR 上的向量内积。
式(21)表示的 ),( KFVI ，称为标准的变分不等式问题(standard variational inequality
problem, SVIP)。关于 SVIP 有如下基本结论：当 F 在K上连续且K有界时，SVIP 有解；
当 F 在K上严格单调时，SVIP如果有解，则解唯一；当F 在K上强单调时，SVIP有唯一
解存在；当K无界时，如果F 在K上满足协强制条件，SVIP有解。
在给出本文 VIM的特性之前，首先我们将 VIM(11)转化为等价的基于路段的变分不等
式形式。等价于 VIM(11)的基于路段的 VIM如下：
0))((
'
*
''
*
' ≥−∑
a
aaa fffc ' ' Π∈∀ af (22)
其中 },,,' ; ;0 :{' ''' israxfdxxf rsia
rsi
i
rsa
i
rs
i
rs
i
rsa ∀==≥=Π ∑∑ δ 。在式(22)中路段的标示 'a
区别于式(11)中的路段标示 a，主要是为了强调式(22)是完全基于修正的超级网络的。两种
形式的等价性证明可参见文献[5]，主要利用了路段与路径的关联式(1)(6)。
在式(22)中，函数 )(' ⋅ac 有四种形式，分别为常数 0、常数π 、终点的广义费用函数 )(⋅ρ
及一般的路段函数 )(⋅ac 。显然当假定广义费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 连续时，由
SVIM的基本结论可以得到 VIM(22)解的存在性，这是因为常数函数是连续函数且集合 'Π 是
有界的。由式(6)可进一步得到 VIM(11)中的函数 )(⋅Γ irs 是连续函数，集合Π显然也是有界的，
因此 VIM(22)解的存在。
定理 2：设广义费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 连续，那么 VIM(11)(或等价的
VIM(22))至少有一个解存在。
在 SVIP中，只有当 F 在K上严格单调时，SVIP如果有解，则解唯一。对于基于路径
的 VIM(11)而言，由于不同的路径之间存在大量的共用路段，因此路径的广义延误费用函数
一般不具有严格单调的性质。因此 VIM(11)的均衡路径流量模式不一定唯一。只有在一些特
殊拓扑结构的网络中，如两分图(Bipartial Graph), 路径流量的唯一性才能得以保证。而对于
VIM(22)有如下定理成立：
定理 3：设广义费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 连续且严格单调，那么 VIM(22)
的解存在且唯一。
定理 3的证明：
定理中 VIM(22)解的存在性，见定理 2；仅需证明 VIM(22)解的唯一性。假设存在两个
相异的解 1*f 和 2*f 满足 VIM(22)，得到
- 9 -
0))((
'
1*
''
1*
' ≥−∑
a
aaa fffc （23）
0))((
'
2*
''
2*
' ≥−∑
a
aaa fffc （24）
令 2*'' aa ff = ，代入式(23), 令 1*'' aa ff = ，代入式(24), 并将两式相加，得到
0)))(()((
'
1*
'
2*
'
1*
'
2*
' ≤−−∑
a
aaaa fffcfc （25）
上式中函数 )(' ⋅ac 有四种形式，分别为常数 0、常数π 、终点的广义费用函数 )(⋅ρ 及一般的
路段函数 )(⋅ac 。当 )(' ⋅ac 取常数 0和常数π 时，式(25)中的对应项值为 0；而当 )(' ⋅ac 取广义
费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 时，由定理的设定条件可知式(25)中其对应项的值大
于 0；因此，式(25)值应大于 0这与上面得到的结果产生了矛盾，因此满足假设条件的VIM(22)
的解是唯一的。
在本文给出的超级网络结构下，连接虚拟起讫点对的虚拟路段在 VIM(11)中作为路径出
现，而在 VIM(22)中作为路段出现，由定理 3易得该虚拟路段上的流量唯一，因此无论采用
那种形式，都可得到其上的唯一流量。如果利用 VIM(11)可得到一个均衡的路径流量模式时，
可以进一步通过式(1)得到网络中路段流量的唯一解。
定理 4：设广义费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 强单调，那么 VIM(22)的解存在且
唯一。
定理 4的证明类似定理 3，利用了在 SVIP中，当 F 在K上强单调时，SVIP有解存在
且唯一的结论。
Lipschitz 连续性对于设计 VIM 的有效求解算法非常必要，因此下面给出 VIM 的
Lipschitz连续定理。
定理 5：设广义费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 的一阶导数有界，那么函数 )(⋅ρ 和
函数 )(⋅ac Lipschitz连续。
定理 5的证明参见文献[5]，具体利用了中值定理。由常数函数的 Lipschitz连续性和定
理 5可知 VIM(22)中的函数 )(' ⋅ac 具有 Lipschitz连续性。简单的推理可知 VIM(11)中的函数
)(⋅Γ irs 同样具有 Lipschitz连续性。
5. 求解算法
求解有限维变分不等式的算法很多，在交通网络均衡的研究中较常用的是投影梯度法
和修正的投影梯度法。关于投影梯度法在网络均衡问题中的应用可以参阅文献[6][7][8][9]，
其中 Bertsekas和 Tsitsiklis(1989)[10]给出了投影梯度法的收敛条件：SVIP中的函数 F 需满足
强单调与 Lipschitz 连续。Korpelevich(1977)[11]在 SVIP 中的函数 F 需满足单调与 Lipschitz
连续条件下，提出了修正的投影梯度法，该方法在问题的解存在时收敛。
下面给出求解 VIM(11)的修正投影梯度法的具体步骤：
第 1步：初始化。选定初始值 srixirs ,, ,0 ∀Π∈ ，令迭代指标τ =1，设定参数α 使其满
足 ξα
10 ≤< 。其中ξ是使得式(11)中函数Γ = ΤΓ ),,( ΛΛ irs 满足 Lipschitz 连续的 Lipschitz
- 10 -
常数。
第 2步：构造与计算。通过求解下面的变分不等式问题：
Π∈∀≥−−Γ+∑∑∑ −−−− irs
r s i
i
rs
i
rs
i
rs
i
rs
i
rs xxxxxx 0))()((
)1()1(1)1( ττττ α （26）
得到 srix irs ,,,)1( ∀−τ 。
第 3步：修正。通过求解下面的变分不等式问题：
Π∈∀≥−−Γ+∑∑∑ −− irs
r s i
i
rs
i
rs
i
rs
i
rs
i
rs xxxxxx 0))()((
)1(1 ττττ α (27)
得到 srixirs ,,,∀τ 。
第 4 步：收敛性检查。如果 εττ ≤− −1xx （ε 为事先给定的迭代精度），则停止；否
则，令τ =τ +1，转第 2步。其中， τx 是由所有 τirsx 构成的列向量。
上述算法的第 2 和第 3 步中求解的子变分不等式实际上可以化为一般的二次规划问题
求解。由于问题的可行集是一个闭凸多面体，目标函数的 Hessian矩阵正定，因此子变分不
等式的解是存在且唯一的。直接运用非线性规划方法求解对应的二次规划问题，对于实际规
模的网络而言，也是非常困难的；因此有必要利用网络的拓扑结构，将模型按照起讫点对加
以分解，在各个 OD 对上求解一个简化的二次规划问题，具体实施参见文献[12][13]。与随
后将给出的 VIM(22)的修正投影梯度解法相比，上述基于路径的修正投影梯度法易于实现，
且便于进行结果分析。
要保证上述算法具有收敛性，函数Γ需满足 Lipschitz 连续和单调性。而Γ的单调性一
般是不能保证的，见上一节对定理 3的分析。
如果将上述算法应用于 VIM(22), 则算法的收敛性是容易得到满足的，下面给出求解
VIM(22)的修正的投影梯度法的具体步骤：
第 1 步：初始化。选定初始值 ' ,'0' afa ∀Π∈ ，令迭代指标τ =1，设定参数λ使其满足
ζλ
10 ≤< 。其中ζ 是使得式(22)中函数 c = Τ),,( ' ΛΛ ac 满足 Lipschitz 连续的 Lipschitz 常
数。
第 2步：构造与计算。通过求解下面的变分不等式问题：
' 0))()(( '
'
)1(
''
)1(
'
1
'
)1(
' Π∈∀≥−−+∑ −−−− a
a
aaaaa fffffcf
ττττ λ （28）
得到 ' ,')1(' afa ∀Π∈−τ 。
第 3步：修正。通过求解下面的变分不等式问题：
' 0))()(( '
'
''
)1(
'
1
'' Π∈∀≥−−+∑ −− a
a
aaaaa fffffcf
ττττ λ (29)
得到 ' ,'' afa ∀Π∈τ 。
第 4步：收敛性检查。如果 εττ ≤− −1ff （ε 为事先给定的迭代精度），则停止；否
则，令τ =τ +1，转第 2步。其中， τf 是由所有 τ'af 构成的列向量。
定理 6：设广义费用函数 )(⋅ρ 和一般的路段函数 )(⋅ac 严格单调且对应的一阶导数有
界，那么上述的修正投影法收敛到 VIM(22)的唯一解。
- 11 -
结合定理 3和定理 5，利用 Korpelevich(1977)[11]给出的修正投影算法收敛性结论，易得
定理 6成立。
下面分析一下式(28)和(29)的具体求解。为了记述方便，将超级网络路段“ 'a ”省略其上
标，改记为“ a ”。将以单个路段为基础的量整合为所有路段集合上的向量，如将 Τ},,{ ΛΛ τaf
整合为向量 τf 。
式 (28)的实质就是求已知向量 )( )1(1 −− − ττ λ fcf 在集合 'Π 上的投影 )1( −τf 。令
)( )1(1 −− −= ττ λη fcf ，根据投影算子的定义，式(28)等价于求解如下的二次规划问题：
2)(
2
1)(min η−= ffZ 'Π∈∀ af ， (30)
且 )1( −τf = )(minarg
'
fZ
af Π∈
。
对于实际规模的网络而言, 直接运用非线性规划方法求解二次规划问题(30)是非常困难
的；因此有必要对问题(30)作一些修改，以充分利用现有的网络均衡求解算法。如果将问题
(30)的目标函数改为 fffZ Τ−= η2
2
1)( ，将不会改变问题(30)的最终解。进一步将目标函
数改为积分形式，则得到
∑∫ −=
a
f
a
a xxfZ
0
d)()(min η 'Π∈∀ af (31)
令 aaaa fft η−=)( ， a∀ ，式(31)可改写为
∑∫=
a
f
a
a xxtfZ
0
d)()(min 'Π∈∀ af (32)
如果将 )( aa ft ， a∀ ，看作路段的出行时间函数，问题(32)就成为一般的用户均衡交通流分
配问题。因此用户均衡交通流分配的求解的方法可以被方便地用来求解问题(32)。问题(29)
的求解分析与问题(28)的分析相似。经上述处理，基于实际规模运输网络上的 VIM(22)也可
以方便求解。
6. 算例分析
这一节我们将利用上一节给出的基于路径的修正投影梯度法求解一个算例。通过算例，
可以看出虽然函数Γ不一定满足单调性条件，但是算法仍然可能收敛。当然这一点已经在大
量的实践中被验证[5]。
- 12 -
图 5 修正的具有 11个节点的超级网络
Figure 5 The modified supernetwork with 11 nodes
图 5是在图 3的基础上经修正得到的具有 11个节点的超级网络。其中节点 10和 11是
对应起点 1和 4的超级网络起点，节点 8和 9是对应节点 5和 7的超级网络终点。图 5中路
段的标号已经表示在相应的路段旁。四对 OD对分别为：（10，8）、（10，9）、（11，8）及（11，
9）。网络中相关的路径共 12条，见下表：
表 1 路径列表
Table 1 List of paths
路径编号 路径中所含路段序列
1 5
2 1，3，8，11
3 1，3，6，9，10，11
4 4
5 1，2，13，15
6 1，3，6，7，13，15
7 1，3，6，9，14，15
8 12
9 16，9，10，11
10 17
11 16，7，13，15
12 16，9，14，15
下面给出两种假设条件下的图 5所示网络中的非稳定均衡态路径流量和广义费用。
第一种假设条件下的函数类型：路段 1，16，4，5，12，17 上的常数延误费用分别设
定为：0，0，20，50，45，40; 路段 11，15上的终点广义费用函数为 )(10 aa fc += ; 其
- 13 -
他一般道路上的路段延误费用函数设为 )(10 aa fc += 。第一种假设条件下所有起讫点
对间的流量均设为 10。设定算法中的参数α =, ε =。经过 1080 次迭代后算法
收敛，计算的结果见表 2。
表 2 第 1种假设条件下求得路径流量和广义费用
Table 2 The flow and cost on paths under the first assumption
路径编号 1 2 3 4 5 6 7
路径流量 0 10 0 10 0 0 0
路径费用 50 36 20
路径编号 8 9 10 11 12
路径流量 0 10 0
路径费用 45 40
表 2 的结果显示，各个起讫点对间的流量均选择了费用最小的路径出行。由于 OD 对
(10,9)间的最高出行费用标准值较低，因此对应的路径 5、6和 7上的流量均为零，OD对(10,9)
间的出行者均选择了不出行。
第二种假设条件仅对第一种假设条件中路段 4 和 5 上的常数延误费用作了修改，将其
值均设定为 35。算法在迭代运算 1040次后收敛，得到表 3所列的计算结果。
表 3 第 2种假设条件下求得路径流量和广义费用
Table 3 The flow and cost on paths under the second assumption
路径编号 1 2 3 4 5 6 7
路径流量 0 0 0
路径费用 35 35
路径编号 8 9 10 11 12
路径流量 0 10 0
路径费用 45 40
在第 2种假设条件下提高了 OD对(10,9)间的最高出行费用标准值，可以看到路径流量
状态与第一种假设下的情况相比发生了显著变化。OD 对(10,9)间原先未出行的出行者现在
有部分选择了出行；同时由于降低了 OD 对(10,8)间的最高出行费用标准值，因此对应 OD
对间出现了部分选择不出行的潜在出行者。计算的结果表明网络中非稳定均衡状态确实存
在，并且出行者出行与否的最高费用标准高低对网络的最终状态有显著影响。
7. 结束语
针对城市交通网络中的非稳定均衡态，本文建立了其对应的变分不等式模型，给出了
具体的模型解法，并结合算例分析了研究交通网络中的非稳定均衡态的重要意义。虽然本文
的研究还只是对非稳定均衡网络态的一个初探，仅仅揭示了这一现象内涵的冰山一角，但是
仍可以看到这一研究方向的广阔前景。非常直观的几个未来研究方向包括：非稳定均衡网络
- 14 -
中广义费用函数的研究；模型向多种用户类型多种运输方式方向的扩展；非稳定均衡在区域
综合运输网络的表现；该研究成果在交通规划中的应用性研究等。
参考文献
[1] Wardrop J G . Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research[J]. Proceedings of the Institute of Civil
Engineers, Part II, 1952, pp. 325-378.
[2] Pigou A C . The Economics of Welfare[M]. Macmillan, Londom, England, 1920.
[3] Knight F H . Some Fallacies in the Interpretation of Social Cost[J]. Quarterly Journal of Economics, 1924, 38,
582-606.
[4] Nagurney A and Zhang D . Network Equilibria and Disequilibra[J]. Presents in: Marcotte, P., and Nguyen, S.
(eds), Equilibrium and Advanced Transportation Modelling, Kluwer Academic Publishers, Boston,
Massachusetts,USA, 1998, 201-243.
[5] Nagurney A and Dong J . Supernetwork – Decision-Making for the Information Age[M]. Edward Elgar,
Cheltenham, UK·Northampton, MA, USA, 2002.
[6] Nagurney A and Zhang D . Projected dynamical systems and variational inequalities with applications[M].
Kluwer Academic Publishers, Boston, Massachusetts, USA, 1996.
[7] Nagurney A . Network Economics: A variational Inequality Approach[M]. Kluwer Academic Publishers,
Boston, Massachusetts, USA, 1993.
[8] Nagurney A and Siokos S . Financial networks: Statics and dynamics[M]. Springer, Berlin Heidelberg, New
York,1997.
[9] Bertsekas D P and Gafni E M . Projection methods for variational inequalities with application to the traffic
assignment problem[J]. Mathematical Programming Study, 1982, 17,139-159.
[10] Bertsekas D P and Tsitsiklis J N . Parallel and Distributed Computation[M]. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1989.
[11] Korpelevich G M . The Extragradient Method for Finding Saddle Points and Other Problems[J]. Matekon,
1977,13, 35-49.
[12] Sheffi Y . Urban Transportation Networks – Equilibrium Analysis with Mathematical Programming
Methods[M]. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,1985.
[13] Jang W, Ran B, and Choi K . A discrete time dynamic flow model and a formulation and solution method for
dynamic route choice[J]. Transportation Research Part B, 2005, 39,593-620.
Unsteady Equilibrium on Urban Traffic Network
He Shengxue
Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai (200093)
Abstract
Through analyzing the flow state of the urban traffic network, the conceptual unsteady equilibrium is
proposed. Through analyzing the choice behavior of travelers, the nonlinear complementarity problems
and variational inequality model of unsteady equilibrium are introduced. The equality between them is
proved using supernetwork conception. Some qualitative properties of the solution to variational
inequality model are provided, notably, existence and uniqueness results. Two algorithms relating to the
variational inequality model based-on path and the variational inequality model based-on link
respectively are presented. The convergence result for the modified projection method for the models is
also given. The first algorithm is applied to numerical examples for illustrative purposes. Several
research directions in the future are given out at last.
Keywords：Equilibrium，Variational Inequality，Supernetwork，Traffic assignment
作者简介：何胜学, 男, 1976- , 陕西三原人, 上海理工大学管理学院, 博士研究生, 研究方向:
交通运输规划与管理。
