第 37卷 第2期
2013年3月
江西师范大学学报(自然科学版)
Journal of Jiangxi Normal University(Natural Science)
Vo1．37 No．2
Mar．2013
文章编号：1000-5862(2013)02-0206-04
停止损失再保险与风险模型的有限时间破产概率
王丙参 ，魏艳华 ，戴 宁
(t．天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001；2．郑州大学数学系，河南 郑州 450002)
摘要 ：利用线性规划证明了停止损失再保险的最优性，在保费收取次数为负二项随机过程下，研究保险
公司利用停止损失再保险最小化其破产概率的问题，用鞅方法得到破产概率的解析表达式及上界．
关键词：再保险；停止损失序；负二项分布；破产概率
中图分类号：O 211．9 文献标志码：A
0 引言
当保险公司自身无力承担某保单风险，但又不
想失去此单业务时，再保险是其分散风险的有效方
法．因此，根据实际情况，建立具有再保险因素的风
险模型，进而研究再保险对破产概率的影响具有重
要现实意义‘l ．在经典风险模型中，假设保险公司
按照常数速率收取保单且每张保单的保费相等，但
在实际中，所收取保单过程常常是一个随机过程，而
非确定过程，目前许多学者对这方面进行了讨论，得
到了一些可靠性指标 引．本文首先利用线性规划理
论证明了停止损失再保险的最优性，在保费收取次数
为负二项随机过程下，研究保险公司利用停止损失再
保险最小化其破产概率，用鞅方法得到破产概率的解
析表达式及上界，给保险公司提供有价值的建议．
1 停止损失再保险的最优性
停止损失再保险承保保单约定损失超出指定免
赔额的超额部分，如果保险事故造成损失为 ，则再
保险人理赔支付为( — )+=max{X—d，0}，而原
保险人只支付剩余部分．可见，保险人只承担了风险
小于 d的部分，则其损失一定不会超过 d，因此这种
形式的保险保障称为停止损失再保险也合情合理，
纯保费7r (d)=E[( —d)+]称为停止损失保费．
定理 1 当保险事故损失x≥0时，某再保险
合同约定的理赔支付为i(x)，假定一 ，0≤l(x)≤
，则E[／(x)]=E[( —d)+] Var[X一，( )]≥
Var【X一( —d)+]．
文献[2]已利用随机序对定理 1进行证明，其
实定理 1也可采用线性规划法证明．
事实上，考虑数学规划问题：
max g(Y)= ( 一P— +y)一Ay，
y
s．t 0 ≤ Y ≤ ，
其中A∈R，显然g(Y)连续可导．由于11, (W)>0，
u”w)<0，所以 u(x)是严格凹函数，从而g(Y)也
是严格凹函数．
令g (Y)=0可得 (埘一P— +Y)一A=0，
于是 g(y)在 = —W+P+u (A)处取得最大
值．令 8= 一P一11, (A)，则 = 一 ，又因为
0≤Y≤ ，所以 =( 一8+)+．令d=6+可得数学
规划的最优解 =( —d)+．令， =(X—d)+，P=
h(I(X))为再保险保费函数．E[u(w—P—X+， )]一
E[ ( 一P—X+，)]={E[’M( 一P—X+， ]一
A 一 (P)}一{E[ (W—P—X+，)]一A (P)}=
{E[ ( 一P—X+， )]一AEI }一{E[u(w—P—
+，)]一AE，}=E[ ( 一P—X+， )一A， ]一
E[／／,( 一P—X+，)一A，)]≥0，所以 =(X—
d)+使期望效用达到最大．
注 1 期望效用最优准则的基本思想是决策的
优劣由期望效用函数值的大小决定．
2 建立模型
定义1 在Bernoulli试验序列中，若每次试验
事件A成功的概率为P，则恰好出现n次成功所需的
收稿日期：2012．12．15
基金项目：国家自然科学基金(61104045)和甘肃省自然科学基金(0961LIZE106)资助项目
作者简介：王丙参(1983一)，男，河南南阳人，讲师，硕士，从事随机过程和金融数学研究．
第2期 王丙参，等：停止损失再保险与风险模型的有限时间破产概率 207
失败次数 Y ～NB(n，P)，P(Y =|i})= c'n+k-lP ·
(1一p) ，Ji}∈N．
显然矩母函数 My( )=E(e )=[p／(1一
qe‘)] ，利用 E矿 = ’(0)得EY=叼／p，Var(y)=
9／p ．在非寿险中常将 NB(n，P)推广为 NB(r,je)，
即P(Y=n)=c：+ [1／(1+ )] [卢／(1+ )] ，
n∈N，r>0， =q／p>0，此时r未必是整数，可取
小数．当投保次数Ⅳ～P(A)，EN=Vat(iV)，这意味
着投保集体同质，而在实际中，理赔经历往往具有正
向传染性，即一旦发生理赔便失去了保费优待条款，
从而以后更可能漫不经心，增加发生事故的可能性，
这时投保集体便非同质，这为负二项分布的应用创
造了条件 。。．如果第n次理赔发生的频率强度0 =
0+b(／7,一1)，b>0，已发生／／,次理赔再经过时间 发
生理赔的次数记为 Ⅳ，则 P(N =|j})=P⋯+ (h)=
e m _l 如果令P^ _e-hb，
口 = 训／b，则有
P(N ： )=(1一P^) e ”“ ·
+l(0 +1+6)⋯(0 “+( 一1)b)
b ．|i}! 一
(华+1)⋯(华+ 一1)
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — !—————一 e一。n+ + (1——P^ ) ：
l ■ 一 、 ^ ，
!
c： 一1P： (1一P^) ．
可见 Ⅳ 一NB(口 ，P )，即负二项分布是一种正
向传染模型，如在汽车保险中单个投保人的理赔次
数可能更加接近于负二项分布，因此汽车保险中在
拟合理赔次数时常用负二项分布．容易看出，负二项
分布的方差大于均值，二者差异越大则投保集体的
非同质性越显著．
定义2 设{N ，凡∈N}为取自然数值的随机
变量序列且 V n：>n ， ，一Ⅳn NB(n 一n ，P)，
则称{ ，n∈N}为参数为(n，P)的负二项随机过
程，简记为 NBRP(，l，P)．
显然负二项随机过程具有平稳独立增量．
模型1：设初始资本 Ⅱ≥0，给定概率空间( ，
n
P)，n(≥o)为整数，令 = +cN．一∑置， ：
M n 肼
∑墨，Js =c 一∑置，其中常数c(>0)表示每次
投保保费收入，{ ，n∈N}是Ⅳ P(n，P)，它表示
在时间[0，n]内的投保次数，{ ，凡∈N}是参数为
A的泊松过程(PP(A))，它表示在时间Eo，凡]内理赔
次数，X i．i．d．于 ，cdf为c(x)，EX=Ix1，Var(X)=
，E(e横)<∞，limE(rX)：O0，r<z<∞．随机过
程{ ，n≥0}，{M ，n≥0}与{X ，n∈N}相互独
． 立．为保证保险公司正常运营，假设0=cq／(p ，)一
1．>0，称为安全系数，否则，若0<0，由大数定律可
知，保险公司破产的概率为 1，没有讨论的必要．
注2 理赔额独立性假没在很多情况下并不满
足，如当地震、水灾发生时的理赔，丈夫和妻子的死
亡风险也存在明显的正相关，因为双方的任一方死
亡都会使对方过度伤心，并且物以类聚、人以群分，
即双方的环境和个性相似影响死亡率．独立性假设
只是使得数学上的处理比风险联合分布的其它结构
更容易．如果风险是正相依的：独立性假设可能会低
估资产风险，即低估保险公司破产概率，尤其极端正
相依时，总理赔额的风险最大．
模型2：在模型 1中，如果保险公司无力承担某
保单风险，可通过签订再保险合同将其所承受的部
分风险转给再保险公司．设 是保险公司承受的理
赔额，通过再保险方式，保险人赔偿0≤ ( )≤ ，
再保险人赔偿X—h(X)，考虑停止损失再保险，则
h(X)=mm(X，M)，其中M >0为自留额，并假定
保险公司按照期望保费原理厘定保费，保险人与再
保险人的安全系数分别为0和 且 0<}保险公司
签订再保险合同后在时刻n的盈余 =“+(c一
A( )) 一∑h(x )，S =(c—A( ))Ⅳn—
=1
n
． ∞
∑h(X )，其中A( )·(1+ )f。，(1一G( )) 为
再保险费，为保证保险公司的稳定经营，假定 cg 一
( )一AE[h(X)]>0．
定义3 记 T=inf{n： <0}，它表示当保险
公司破产时，即 为首次到达负资产，若 T=
inf{ }=+O0，可认为破产不会发生，则称 ( )=
P{T<ool = }为破产概率， ( ，t)=P{T<
t I = }为有限时间内破产概率，即在时间(0，t)
内保险人破产的概率．
注3 HI U．Gerber定义T=inf{n：U( )≤0}，
不过目前大多文献采用定义3的形式．
从定义3可知，对于 1≤ 2和0<tl≤t2<∞
有以下结论 ：
(i)Vt>0， ( 2，t)≤ ( l，t)；
(ii) ( )≤ ( 1)；
(iii) ( ，t1)≤ ( ，t2)≤ (配)；
· (iv)lim (t／,，t)= (“)．
‘—+∞
定理 2 矩母函数 (t)= (1o~x(t))， =
208 江西师范大学学报(自然科学版) 2013钲
EXEM．，Var( )=EM．Var(X)+(Ex) Var(M．)．
证 (t)=E(e )=E[E(e l )]=
E[E(e 1 =n)]l ：肌 =E[ (t)Mn]=
(1og Mx(t))， ( )=M (1ogMx(t))M x(t)／
M (t)，令￡=0得E =EXEM ．
因为 (0)= (O) x(0) + (0)‘
{ (0)一 (O) }，所以E =E (EX) +
EM．Var(X)，Var( )=E( )Var(X)+(E(x)) ·
Var(M )．
定理3 在模型1中盈余过程{S ，n≥0}具有
平稳独立增量 ，且 ．s(0)=0；EU ：u+cr~q／p—
A 1，Var( )=nC q／p +nA( + )，其中 1=
EX， =Var(X)，P+q=1．
证 显然盈余过程具有平稳独立增量；EU =
+cnq／p—A 1，Var( )= q／p +EM．Var(X)+
(Ex) Var( )=nc q／p +nA( + )．
3 破产概率
若理赔额 的矩母函数存在，通常称为轻尾分
布，反之，称为重尾分布．在假设 为轻尾分布的前
提下，可得如下定理．
定理 4 在模型 1中，对于盈余过程{S ，n≥
0}，存在函数g(r)=Ln[p／(1一qe一 )]+A』I (r)一
A，r≥0，使得E[exp(一rS )]=exp(ng(r))，且方
程 g(r)=0存在唯一正根 ，称 R为调节系数．
证 E[exp(一rS )] = E[exp(一crN )]·
E[exp(r∑
i=1五)]=( ) (A鸭(r)一A) ]=
exp[凡(h +A螺(r)一A)】=exp(ng(r))，
g(0)=0,g (r)= +A (r)>0，故
1 一 c ，
g(r)是下凸函数，因而方程 g(r)=0有 2个解 ，其
中r=0是平凡解．
又因 为 g’(r) =一 cqe ／(1一 qe一 ) +
AM (r)，且limg(r)=∞，g (0)=一cg／p+ <0，
故g(r)=0必存在1个非平凡根，即存在唯一的正
根 尺．
定理5 在模型2中，对于盈余过程{S ，n≥
0}，存在函数 g(r)：Ln[p／(1一qe ‘ )+
AMh( )(r)一A，r≥ 0，使得 E[exp(一rS )]=
exp(ng(r))，且方程 g(r)=0存在唯一正根 R．
证 E[exp(一ry )]=E[exp(一(C—A(M))-
)] 【exp(r (置))】=[ 扣
exp[(A ㈤(r)一A)n]=exp【n(h 知 +
AMh(鄹(r)一A l l=exp(r~g(r))，g(o)=0，g”(r)=
1 拿 ( c-a( +A ( )e ( )dG( )> ( 一口e— )) )2 。，l J 0伸、 u uu
0，故g(r)是下凸函数 ，因而方程 g(r)=0有 2个
解，其中r=0是平凡解．
又因为g (r)=一(c—A(M))qe一‘ 一 ‘肘 ’ ／(1一
qe一‘ 一 ”¨ )+A f ( )e ac(x)，且g (0) =
一 cg +A( )+AE[h(X)]<0及limg(r)=o。，故
g(r)=0必存在1个非平凡根，即存在唯一的正根尺．
对于盈余过程{S ，n≥0}，定义事件流 =
{ ，n≥0}，其中 = {S ，，n ≤凡}，事件流就
是信息流， 代数的递增意味着信息只能变多．显然
是 停此时刻，即71为停止的规则，只需观察盈余
过程到 时刻就可判断随机事件 {T<几}是否发生．
定理6 {M (凡)=exp(一R )， ；n≥0}
是鞅．
证 显然 (n)是 可测的，
E[M (n)]=exp(一Ru)<+∞，V ，0≤ <n，
E[g (n)l ]=E[exp(一Ru+尺 )I．乡 ]=
E[exp(一Ru+ 5 一 (Js 一．s ))l ]=
(v)E[exp(一R(S 一S ))]=Mu( )，
显然结论成立．
由于R是使得{M ( )， ；n≥0}为鞅的唯一
实数，所以命名 为调节系数．鞅意味着随机过程
{M (n)， ；n≥0}为均值相等过程，即存在等价
鞅测度使得盈余为0．显然由鞅理论及控制收敛定
理可得如下结论．
定理 7 在模型 1和模型2中，令 R为调节系
数，V ≥0，则有
( )= E[exp(一RU(T))l T<∞]‘
推论1 (i)若0—0，则 (11,) 1；若 ≤0，
则 ( )=1，即在不考虑投资收益的情况下，保费
期望收入小于等于理赔支出，则保险公司一定破产，
只是生存长短有区别；
(ii)若T<∞，则 (T)<0，从而(1)式的分母大
于或等于1，即Lundberg不等式 (u)<e 成立；
(iii)若理赔额不超过 b，则 ( )≥一b，即
( )≥e ¨，因此制定理赔上限可降低破产概
率下限；
第2期 王丙参，等：停止损失再保险与风险模型的有限时间破产概率 209
(iv)若 一∞，则(1)式的分母有1个有限的极
限厂且f>1．当11,取大值时，有 (M)一e-Ru／f~也称
为破产概率的渐近逼近公式，即提高初始资本可降
低破产概率．
显然，破产概率 (Ⅱ)随调节系数 的增大而减
小，但刚箍保单保费的增大而增大，随着自留额增加
而增大，随着理赔额增大而减小，不过增加自留额会
降低期望盈余，只能在盈余和破产之间找到适合自
己的平衡点，因此合理厘定保费和选取恰当自留额
至关重要 ．保险公司的本质就是通过风险交换，
使得投保人风险可控且保险人赚取适当的利润，从
而达到整个社会帕累托最优．若保险公司破产概率
高，则不能给投保人安全感，即投保人不会投保，进
而保险业萎缩，因此，这时保险人必须采取措施降低
破产概率，如再保、提高保费或者设法吸收一些额外
的资本金(发行新股、政府注资等)．
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The Stop·Loss Reinsurance and the Finite Time Ruin Probability of Risk Model
WANG Bing．c ，WEI Y-an．hua ，DAI Ning
(1．School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu 741001，China；
2．Department of Mathematics，Zhengzhou University，Zhengzhou Henan 450002，China)
Abstract：A concision proof of optimal reinsurance theorem by linear programming is given．The insurance for taking
negative binomial random process of risk model is discussed．A problem for minimizing the ruin probability by stop—
loss reinsurance，the upper boundary and analyze expression of ruin probability are given in terms of the martingale
method．
Key words：reinsurance；stop—loss order；negative binomial distribution；ruin probability
(责任编辑：曾剑锋)
