第 29 卷第 6 期 佳 木 斯 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) Vol． 29 No． 6
2011 年 11 月 Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition) Nov． 2011
文章编号:1008 － 1402(2011)06 － 0931 － 02
一类风险模型的破产概率的拉普拉斯变换
①
刘 湛1， 王后春2
(1．云南大学工商管理与旅游管理学院，云南 昆明 650091;2．安徽建筑工业学院数理系，安徽 合肥 230022)
摘 要: 考虑一类带常利率且带干扰的复合 Poisson 风险模型的破产问题．在索赔额分布具有
连续密度函数的较一般条件下，利用该模型的破产概率所满足的积分 －微分方程，给出此破产概
率拉普拉斯变换的显示表达式．
关键词: 带干扰的风险模型;利息力;布朗运动;破产概率;拉普拉斯变换
中图分类号: O211． 6 文献标识码: A
1 模型介绍
设保险公司在 t时刻的盈余值为
U(t)= ueδt + c∫
t
0
eδ(t－s)ds －∑
N(t)
k =1
Xkeδ
(t－Sk) + σ∫
t
0
eδ(t－s)dBs
(1)
其中 u≥0为保险公司的初始资金，c ＞ 0为保险公
司单位时间内的保费收入，δ≥ 0为利息力度，σ ＞
0 为一个常数; {Bt，t ≥ 0}为一标准布朗运动;
{N(t) ，t≥ 0}是参数为 λ的 Poisson过程且 N(t)
表示时间区间［0，t］上的索赔次数; {Xk，k = 1，2，
…}为非负独立同分布的随机变量序列，Xk 表示第
k次索赔额的大小，每个 Xk 都有相同的分布函数
F(x)且F(0)= 0;Sk表示第 k次索赔发生的时刻;
{N(t) ，t≥ 0}与{Xk，k = 1，2，…}相互独立;此
外，我们假定{Bt，t≥ 0}与{N(t) ，t≥ 0}及{Xk，k
= 1，2，…}相互独立．
破产时刻 T(u)定义为 T(u) = inf{t ≥ 0:
U(t)≤0}，若t≥0，U(t)＞ 0，则 T(u)= ∞;破
产概率Ψ(u)定义为Ψ(u)= P(T(u)＜ ∞ | U(0)
= u) ，显然 Ψ(0)= 1．
关于带利息且带干扰的复合 Poisson风险模型
的风险理论，已经得到一些满意的结果，见文献［1
－ 7］．文献［1 － 2］证明了在一定条件下破产概率
二阶连续可微，并就常数利息力的情形给出指数索
赔下破产概率的明确表示;文献［3］就扰动为几何
布朗运动和指数索赔的情形分析了破产概率的渐
近性质;文献［4 － 5］研究了具有贷款利息的扰动
复合 Poisson 风险模型的分红问题等;文献［6］给
出带扰动的两类索赔风险模型的罚金折扣函数的
拉普拉斯变换;文献［7］在带利率且带干扰的复合
Poisson风险模型中，将单险种推广为双险种后对
破产概率进行了研究．
对于模型(1) ，本文在文献［2］的基础上给出
在索赔额分布具有连续密度函数的较一般条件下
破产概率所满足的积分 － 微分方程，然后利用这
个积分 － 微分方程给出破产概率拉普拉斯变换的
显示表达式．
2 破产概率的拉普拉斯变换
下文假定函数在 0 处的导数指右导数;用
L(f(·) ，s)或 f^(s)表示函数 f(·)的拉普拉斯变
换，即 f^(s)= L(f(·) ，s)= ∫
∞
0
e－sx f(x)dx;记珔F(x)
= 1 － F(x)．
由文献［2］，我们可得下列引理:
引理 1 若 F(x)有连续的概率密度函数，则
Ψ(u)二阶连续可微且满足如下积分 － 微分方程
1
2 σ
2Ψ″(u)+ (δu + c)Ψ'(u)+ λ珔F(u)
= λΨ(u)－ λ∫
u
0
Ψ(u － x)dF(x) (2)
其边界条件为
Ψ(∞)= 0，Ψ(0)= 1，σ
2
2 Ψ″(0)+ cΨ'(0)= 0
定理 1 若 F(x)有连续的概率密度函数，则
Ψ(u)的拉普拉斯变换为
① 收稿日期:2011 － 11 － 03
作者简介:刘湛(1989 －) ，女，安徽无为人，云南大学工商管理与旅游管理学院 09 级硕士研究生．
佳 木 斯 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 2011 年
Ψ^ (s)= ∫
∞
s
b(y)e－∫
y
s a(x)dxdy，s ＞ 0 (3)
其中
a(s)=
1
2 σ
2 s2 + cs － λ － δ + λ∫
∞
0
e－sxdF(x)
δs
(4)
b(s)=
1
2 σ
2 s2 + 12 σ
2Ψ'(0)+ c － λF^(s)
δs
(5)
证 由分部积分法，并注意到对任意 s ＞ 0有
lim
u→∞
e－suΨ(u)= 0，lim
u→∞
e－suΨ'(u)= 0 得
L(Ψ'(u) ，s)= e－suΨ(u)| ∞u = 0 + s∫
∞
0
e－suΨ(u)du
= sΨ^ (s)－ Ψ(0)
L(Ψ″(u) ，s)= e－suΨ'(u)| ∞u = 0 + s∫
∞
0
e－suΨ'(u)du
= s2Ψ^ (s)－ sΨ(0)－ Ψ'(0)
L(uΨ'(u) ，s)= － dds∫
∞
0
e－suΨ'(u)du
= － ddsL(Ψ'(u) ，s)= － Ψ
^
(s)－ sΨ^ '(s)
利用以上三个式子，将(2)式的两端作拉普拉斯变
换，并注意到 Ψ(0)= 1，得
－δsΨ^ '(s)+ 1
2 σ
2s2 + cs － λ － δ + λ∫
∞
0
e－sxdF(x( ))Ψ^(s)
= 12 σ
2 s2 + 12 σ
2Ψ'(0)+ c － λF^(s) (6)
由(4) ，(5) ，(6)式得
Ψ^ '(s)－ a(s)Ψ^ (s)= － b(s) (7)
又任给 ε ＞ 0，有
e∫
s
ε
a(x)dx d
ds Ψ^(s)e
－∫sε a(x)d( )x = Ψ^ '(s)－ a(s)Ψ^ (s)
(8)
由(7) ，(8)式得ε ＞ 0，s≥ ε有
d
ds Ψ
^
(s)e－∫
s
ε
a(x)d( )x = － b(s)e－∫
s
ε
a(x)dx
解此方程得
Ψ^ (s)e－∫
s
ε
a(x)dx = Cε － ∫
S
ε
b(y)e－∫
y
ε
a(x)dxdy，s≥ ε (9)
其中 Cε 为常数．
对(9)式两端取 s→ ∞ 时的极限得
0 = Cε － ∫
∞
ε
b(y)e－∫
y
ε
a(x)dxdy (10)
由(9) ，(10)式得
Ψ^ (s)e－∫
s
ε
a(x)dx = ∫
∞
s
b(y)e－∫
y
ε
a(x)dxdy
故ε ＞ 0，s≥ ε有
Ψ^ (s)= e∫
s
ε
a(x)dx∫
∞
s
b(y)e－∫
y
ε
a(x)dxdy
= ∫
∞
s
b(y)e－∫
y
s a(x)dxdy，s≥ ε (11)
令 ε→ 0，由(11)式得(3)式成立．
参考文献:
［1］ Wang G． A Decomposition of the Ruin Probability for the Risk
Process Perturbed by Diffusion［J］． Insurance:Mathematics and
Economics，2001，28(1)．
［2］ Cai J，Yang H． Ruin in the Perturbed Compound Poisson Risk
Process under Interest Force［J］． Advances in Applied Probabili-
ty，2005，37(3)．
［3］ Cai J，Xu C． On the Decomposition of the Ruin Probability for a
Jump － diffusion Surplus Process［J］． North American Actuarial
Journal，2006，10(2)．
［4］ Wang C，Yin C． Dividend Payments in the Classical Risk Model
under Absolute Ruin with Debit Interest［J］． Applied Stochastic
Models in Business and Industry，2009，25(3)．
［5］ 王春伟，尹传存．绝对破产下具有贷款利息及常数分红界的
扰动复合 Poisson 风险模型［J］． 数学物理学报，2010，30A
(1)．
［6］ 赵永霞，王春伟．带扰动的两类索赔风险模型的罚金折扣函
数［J］．高校应用数学学报，2010，25(3)．
［7］ 聂高琴，刘黎明．一类带干扰的双险种风险模型［J］． 统计与
决策，2009，(17)．
Laplace Transform of the Ruin Probability in a Risk Model
LIU Zhan1， WANG Hou － chun2
(1． School of Business Administration and Tourism Management，Yunnan University，Kunming 650091，China;2． Dept． of Mathe-
matics and Physics，Anhui University of Architecture，Hefei 230022，China)
Abstract: In this paper，the ruin problem for the perturbed compound poisson risk model under constant
interest force was studied． Assuming that the claim size distribution has a continuous density function，the ex-
plicit expression for the Laplace transform of the ruin probability function was obtained using the integro － differ-
ential equation satisfied by the function．
Key words: perturbed risk model;interest force;Brownian motion;ruin probability;Laplace transform
239
