第三章 效用函数
第一节 效用的定义和公理系统
一、引言
·为什么要引入效用
决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示；
后果价值待定：以效用度量。
1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数
值度量；
2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的
价值因人而异。
例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个
人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，
这是钱的边际价值问题。
例2：
2022/8/18 23:47
礼品a1
抽奖a2
10万元
25万元
0元
在各类决策中，常常面临着这种选择：风险小但期望收益也小；期望
收益大但风险也大！不同的决策人有不同的选择，相同的决策人在不
同的情境下选择也不同。那么在决策中如何描述或表达后果对决策人
的实际价值，以便反映决策人心目中对各种后果的偏好次序呢？
*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所
处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态
有关。
* 除风险偏好之外，还有时间偏好。
而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).
Daniel Bernoulli 在1738年指出：
若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的
决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，
且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各
种可能后果的偏好的期望值最高的行动。
决策的目标就是使期望效用极大化。
二、效用基本概念及符号
◦ 严格序>：a>b表示a优于b。满足传递性和非对称性。
◦ 无差异~：a~b表示a与b无差异。满足自反性、对称性和
传递性。
◦ 弱序≥：a≥b表示a不劣于b。满足可比性、传递性、与无
差异~的一致性和严格优于的一致性。
◦ 展望(prospect)（可能的前景）：各种后果(r种)及后果出
现的概率的组合，记为：Pj=<p1(j),c1;p2(j),c2;…;pr(j),cr>，
(j=1,2,…,m; m为行动的可能种数)
2022/8/18 23:47
◦ 复合展望：当无法确定采取某个行动时，
可随机选择一种行动，设选择行动aj的概率
为qj。则决策的展望就是一种复合展望，记
为P=<q1, P1; q2, P2;…;qm,Pm>。所有展望
（包括简单展望和复合展望）构成展望空
间。
2022/8/18 23:47
抽奖(lottery)与确定当量
若 ( ; )
则称 确定性后果 为抽奖的确定当量
效用的定义
◦ 若展望空间上的实值函数u对于展望空间P
的任意两个展望P1、P2，有P1≥P2 当且仅当 u
(P1)≥u(P2)，则称u为效用函数
三、效用存在性公理（理性行为公理）
◦ 连通性：任意两个展望的优劣都是可比的
◦ 传递性：展望的优劣满足传递性
◦ 复合保序性：展望的优劣关系是可以复合的，
且复合不会破坏原有的优劣关系
◦ 偏好的有界性：展望的优劣是相对的，没有无
限优的展望，也不存在无限劣的展望。
理性行为公理认为合乎理性的决策人在进
行价值判断时一定能满足这些公理。（实
际决策中是否存在某种悖论呢？）
2022/8/18 23:47
Allais悖论
2022/8/18 23:47
抽奖a1
抽奖a2
50万元
50万元
0元
250万元
抽奖a1
抽奖a2
50万元
50万元
0元
250万元
决策A决策A
抽奖b1
抽奖b2
50万元
0元
250万元
决策B
实际上决策B是在决策A的基础上同时减去了89%
的机会获得50万元，复合保序性没有得到满足
0万元
效用的公理化定义：在上述公理系统中，
若展望空间上存在实值函数u，有：
◦ 对展望空间中的任意展望P1、P2，P1>P2 当且仅
当 u(P1)>u(P2)
◦ u(P1+(1-)P2)= u(P1)+(1-)u(P2) (复合展望
的效用等于展望效用的复合)
◦ 对满足上述条件的实值函数u1, u2, 必有u1(Pi)=bu2
(Pi)+c, 其中b, c∈R1，b>0。（任意两个决策人
的效用是线性相关的）
◦ 则效用函数u（P）为（基数）效用函数
2022/8/18 23:47
四、效用函数—基数性和序数性
前述定义的效用是一种基数效用，不仅能够反映决
策者的偏好次序，还能够反映决策者的偏好强度。
但在实际决策中，有时只需要偏好次序而不一定需
要知道偏好强度就可以决策。此时只需要序数效用
就可以了。有关序数效用的应用在多属性决策中介
绍。
Hicks对效用函数的基数性和序数性的比喻：如果知
道两个人的身高，那么我们可以把高个儿排在第一
位；如果不知道他俩的身高也没关系，让他们比一
下就可以了。
2022/8/18 23:47
第二节 效用函数的构造
一、估计效用函数值的方法
概率当量法(Von Neumann, Morgenstern，N-M法)：设决
策系统的自然状态集Θ={1,…, n}、行动集A={a1, …,am}、
后果集C={cij=c(ai,j)}，最优后果为c*=max {cij}，最劣
后果为c0=min {cij}。则对于任意后果cij的效用值u(cij)，可
按以下步骤获得：
◦ 设u(c*)=1, u(c0)=0；
◦ 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p可调
◦ 反复向决策人提问，改变可调概率p，使得当p=pij时得
到如下的无差异关系：cij~<pij,c*;1-pij,c0>
◦ 测得后果cij的效用值为：
u(cij)=pij*u(c*)+(1-pij)*u(c0)=pij
2022/8/18 23:47
确定当量法（修正N-M法）：
◦ 设u(c*)=1, u(c0)=0；
◦ 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p为0-1间的给定值，如
p=
◦ 反复向决策人提问，改变cij得到如下的无差异关系：
cij~<p,c*;1-p,c0>
◦ 测得后果cij的效用值为：
u(cij)=p*u(c*)+(1-p)*u(c0)=pij
增益当量法：已知u(cij)和u(c0)，确定u(c*)的方法
损失当量法：已知u(cij)和u(c*)，确定u(c0)的方法
2022/8/18 23:47
如何选择估计方法
使用确定当量法时决策人对最优后果
（增益）的保守性和对损失的冒险性都
比概率当量法严重（Hershey,1982）
采用增益当量法与损失当量法时产生的
误差也比用概率当量法大
尽可能使用概率当量法
后果为离散型随机变量时，后果集中元素为有限个，
构造后果集上的效用函数有两个方面的内容，一是
确定各后果之间的优先顺序，二是确定后果之间的
优先程度。
步骤：
二、离散型后果的效用设定
例：看球的效用函数构造（不考虑经济
成本）
1. 构建问题的决策树，根据一般偏好，四种后
果的优劣是C2>C3>C4>C1；
2. 令u(C1)=0, u(C2)=1；
3. 询问1：“下雨看电视转播”的后果与“现场
看球”时有多大的概率下雨被淋相当？(例如：
，则u(C3)=)
4. 询问2：“天晴看电视转播”的后果与“现场
看球”时有多大的概率下雨被淋相当？(例如：
，则u(C4)=)
5. 一致性检验：用C3，C4加上C1(或C2)进行
校验，直至一致性得到满足。
2022/8/18 23:47
现场
看球a1
电视
看球a2
C4:天晴看电视
C3:下雨没被淋
C2:天晴未被淋
C1:下雨被淋
三、连续型后果效用函数的构造
若后果是连续型，则可通过分析u(c)的若干特征值，
求出特征点的效用后再连成光滑曲线。
例：试作出每天投入学习的时间t对应的效用曲线。
◦ 分析特征点：u(t=0)=0; u(t>TM)=0(TM=?)；状态导
入期（0～t0），效用增加较慢；状态稳定期(t0～
t1)，效用与投入学习的时间基本成比例关系；效
率下降，效用增加期(t1~tm)，效用是投入学习的时
间的单调增函数，但增长率小于状态稳定期且随
着时间的增加越来越小，最终达到零(t=tm)，此时
效用达到最大；当投入的学习时间大于tm时，将会
得不偿失，学习效率急剧降低，效用减少。
2022/8/18 23:47
2022/8/18 23:47
t0 t1 tm tM0 24
U(t)
Umax
t
四、效用曲线的解析函数近似
适用于规范化的效用曲线
规范化的效用函数是指0 ≦x ≦1，且
u(0)=0， u(1)=1的效用函数
幂函数
对数函数
第三节 风险与效用
一、风险的概念
风险：遇到破坏或损失的机会或危险。
◦ “风险”：以打鱼捕捞为生的渔民们在长期的
捕捞实践中，深深的体会到“风”给他们带来
的无法预测无法确定的危险，他们认识到，在
出海捕捞打鱼的生活中，“风”即意味着“险
”，因此有了“风险”一词的由来。
◦ 风险包含两个方面的内容：一是后果的损失严
重程度；二是损失出现的可能性大小。
◦ 参考：
2022/8/18 23:47
2022/8/18 23:47
二、风险的度量
◦ 方差：设某决策方案a的后果为收益y，y的概率密
度函数为f(y)，期望值为E(y)，则方差
可用来度量风险，方差越大风险越大。
◦ 协方差：若期望收益为决策人设定的目标收益c，
则可用协方差度量风险。
临界概率：小于目标收益的概率。
三、效用包含的内容
1、对风险的一种态度。
2022/8/18 23:47
U(t)
Umax=1
C(万元)
风险厌恶型
风险中立型
风险追求型
0 9 14 25
风险酬金k
2、对后果的强度偏好
3、可测价值函数
四、相对风险态度
1、效用函数反映的风险的局部测度
效用函数与决策人风险的态度关系为：
2、可测价值函数反映的偏好强度的局部测度
把决策人的可测价值函数所反映的在x处的偏
好强度即边际价值记作m(x),即：
m(x)<0时，可测价值函数v在x处凸，边际价值递增。
3、决策人真正的风险态度
从决策人的效用函数在x处的风险测度r(x)中扣除可
测价值函数在x处的边际价值m(x)，就可以得到决策
人在x处的真实的风险态度（称为相对风险态度），
即：
