非周期性环境的流行阈值共振
摘要：
关键词：共振，流行阈值，SEIR 模型，微扰理论，生殖值。
在一些一个流行疾病和一个季节性阶段接触率的自然周期之间的共鸣已经被深入的研究。本
文章没有集中在流行病的共振上而是新出现的疾病上的共振。周期性能在初始增长率上有重
要的影响从而影响流行阈值。当欧拉—洛特卡方程有一个复杂的根和虚部（即自然频率）接
近于接触率的角频率和实部接近于马尔萨斯参数。这是一种连续时间的工作模拟通过
Tuljapurkar 在离散人口模拟，反过来又是科尔在连续时间定期出生人口模型上的工作。我
们每周定期接触不同共振现象说明了几个简单的流行病模型，并解释了一些令人吃
惊的差异，例如在定期 SEIR 模型与指数分布的延迟之间和相同的模式，但与一个固定
的延迟。
1、说明
根据。。。我们至少知道传染性疾病可以在附近的一个地方性的稳定状态表现阻尼震荡。
事实上，在常微分方程系统的基础上用一个简单的模型，他们可以看出在这种流行的稳态上
的雅可比矩阵的特征方程有复杂的根可以确定一定的振荡“自然周期”。自 1970 年和特别是
自“混乱理论”的兴起，一个庞大的身躯文学已经表明在这种自然周期和季节性的定期接触率
之间或者另一种周期性因素能引起一些意想不到的动力学行为，即使在很简单的非线性数学
模型。第一，当线性方程的特征方程接近地方性的稳定状态有一个复杂的根 和虚
部 接近于角频率 接触率和一个实部 接近于 0（“简单的共振”），然后在接触率上相对
小的震荡能在患病率上引起大的震荡。第二，当 接近于一个有理数 小 P
和 q 和足够大的接触率的振荡幅度，患病率可以在一个次谐波频率上摆动。混乱也可能会出
现一定参数值范围。通过这种方式，这个理论可以尝试用来解释一些疾病的发病率时间序列
如麻疹，大约每两年在一些城市这个用于流行但是和疫情，因此认为有一个在流行的稳态附
近摆动的“自然阶段”接近于两年。在生态研究上，在波动的环境和一个非零的稳态附近的一
些自然周期震荡之间的类似的共振现象也已经被研究，例如。。
独立的从这一思路，从。。我们知道连续时间线性的人口模型的特征方程
（或是欧拉 - 洛特卡方程）也有复杂的根，就是引起“人口波动”。 洛特卡原以
为总是有这样无限的根并且提出了一些参数表明他们之中的一个“通常”有相关的
自然周期接近于一代人，这是在人群中的二，三十年的顺序。A. J. Coale 考虑了
定期出生率的情况并且当出生阶段接近于一代人注意到一个模型的增长速度显
着增加，这个现象他也叫做共振。相关研究侧重于振荡幅度的共鸣（而不是在共
振的增长速度）在连续时间线性模型中可以找到。对于在定期环境下的离散时间
（线性）的矩阵人口模型，共振被 Tuljapurkar 研究，并且：鉴于指数变换连接离散
时间和连续时间模型，当描述生长在一个稳定的环境的矩阵有一个复杂的特征值
和一个相关的角频率反正切 接近于 和一个不太远的谱半径
系数时共振。再次，重点在振荡幅度的共振上而不是在增长率的共振上。
通过线性化的非线性传染病模型接近无病的稳态（不是流行的稳态）产生的
数学模型跟上段中提到的人口线性模型十分相似，变量的年龄因为感染时间而替
代。因此，人们所期望的，共振的初始增长率（改变相当的流行阈值）也发生在
一个周期的环境。这可能是对新出现的疾病一些重要的后果。根据潜伏期，注意
然而对于许多空气传染的疾病，在两代抗感染药之间的平均时间一或者两周的顺
序。因此，如果接触率随一段时间以相同的顺序那么共振只可以预计先验，通常，
如果它是不同的每周。如果我们认为这可能是不同的接触率在本周日和周末期间，
这不是没有道理。对于上学的孩子，接触率可能在周末会下降。一点可以认为在
那些一周前被卖到市场的动物是一种传染病。
第二节回顾怎么样在计算连续时间线性定期进行的人口增长率模型。一个普
通的一阶微扰公式涉及生殖价值的概念（在一个周期的环境）被建立。但是对于
对于一个小的周期扰动模型与时间无关的系数，这个公式表明研究共振的增长速
度必须包括第二阶项。
第三节列出学习共振的三种不同的讨论方法。前两种方法，一个纯粹的数值
和其他部分的分析，都是基于我们先前的工作。第三个方法表明，作为一个预计，
共振的增长速度当欧拉 - 洛特卡方程有一个复杂的根和虚部接近于接触率的角
频率并且实部接近于马尔萨斯参数（还有一个技术条件）。
第四节应用三种方法到下面五种经典的疫情模型和定期接触率为了去表明
只有细微差别的模型如何能有相当不同的属性：
—具有带有指数（即分布式指数）传染期的 SIR 模型，最初的增长速度是不
可能的共鸣。这里是强调这是在这个意义非凡的模型，最初的增长速度甚至完全
是与周期性因素的频率无关。这个模型负责常见的但是不正确的想法线性模型和
周期系数很容易处理通过一些平均的种类。
—具有恒定的传染期的 SIR 模型，共振是可能的。但是使用此参数值，共振
原来是很微弱的。
—具有指数潜伏和传染期的 SIR 模型，共振是不可能的，但是凡增长率取决
于周期性因素，不像第一个 SIR 模型。
—具有恒定的潜伏期和指数传染期的 SIR 模型，不像前面的模型，一个强
烈的共振是可能的。
—具有伽马的潜伏期和指数传染期的 SIR 模型，是对前两个模型的泛化，并
且表明共振变成不可能的因为潜伏期的分布逐渐从一步变化到一个指数。
一个关键点是与时间无关的欧拉 - 洛特卡方程可能有不超过一个复杂的实根其
他根，这个已经被。。注意到。当然，两种只是不同的时间分配的传染病模型花
了一个舱室可能有相当不同的定性性质已经被知道了很久，例如，从为自治区传
染病模型周期解的存在性研究。
总之，先验的生物合理的经验法则说当环境的频率接近于一些疾病的自然频
率共振的流行阈值很重要。显著地，它不适合最简单的模型，，具有分布式潜指
数和传染期的 SIR 和 SEIR 模型。这种经验法则必将被欧拉 - 洛特卡方程复杂的
根的研究所取代。一个相似的共振现象可能也基本再生数 上发生。原先为在
定期环境下传播的疾病的估计的 如学校应重新考虑。
第一个附录包含对总人口的生殖值在周期性环境指数增长的证明，我们一部
分的研究成果和一个经典的概括结果。费舍尔的人口模型与时间无关的系数。第
二个附录讨论为什么我们使用在生殖周期的环境价值的定义有比引进的定义有
更好的属性。
2、摄动理论：一阶公式
、作为一个初始特征值的增长速度
当在流行病模型上研究无病稳态的稳定性，第一件事要做的，就是这附近的稳态
模型线性化。由此产生的线性系统一般能被改写一个重构方程如下形式：
其中 是关于 的非负周期为 如果初始的系统的系数的周期 。注意一
个 列 向 量 ， 代 表 不 同 的 人 感 染 ， 而
是一个大小为 的矩阵。方程 代表受感染的单位时间内进入
车厢 在 时刻的新人数，并且 预计感染 种类的数量一个人在时间
每单位时间的产生在时间 变成感染和被被进入舱室的 。那么 是自感染开始的
时间。
为简单起见，我们将只考虑 的情况因为对于我们来说这足够作为例
子了。以此为例，当在时间 和自感染开始的时间 考虑单一的人口感染与恢复率
并且一个“有效的”接触率 （即该产品接触率和每接触传播的可
能性）。 和 假设都是关于 t 和 T -周期函数。另 是在
时间 内人口密度和感染年龄 。在线性近似于无病稳态， 是系统
的解决方案。另 是新感染者被感染的速度。那么 满足
（ 1 ）
这里， 是每年在时间 新感染的个体一直到 时间内的概率。最初
的 增 长 疫 情 利 率 是 一 个 独 立 的 实 数 这 样 积 分 方 程
有一个非平凡的非负 T –周期解 。接下来，也是一个独立的实数这样这里
存 在 一 个 非 负 非 平 凡 的 函 数 ， 这 是 T- 周 期 与 t ， 满 足
和 归 一 化 条 件
最后，增长率 也是一个独立的实数这样一个非负非平凡的函数 ，这是
T- 周 期 与 t ， 满 足 副 方 程
和 归 一 化 条 件
三重 根据理论。。。。
方程 被叫做“在时间 t 内个人年龄（自感染）x 的生殖值“。注意，
在人口模型上， 将成为成为生育率 是死亡率。截至到不同的
正常化，方程 为与费舍尔的周期系数模型的推广定义的模型与时间无关
的生殖值系数。注意与生殖价值观念的联系。
根 据 目 前 的 定 义 ， 可 以 看 出 总 人 口 的 生 育 价 值 满 足 2, 定 义 为
等于 。这是我们使用在生殖周期的环境价值的定义
、对于系统 2 增长率的一阶微扰公式
首先，我们考虑当 的情况，
和 两个方程关于 循环的。我们重新写 5 的第一个方程
，其中 是线性微分算子作用在周期为 T 的函数满足 5 的第
二 个 方 程 的 约 束 。 那 么 和
。让 是和 有关的三重。线性算子
的 微 扰 理 论 告 诉 我 们 和 有 关 的 主 要 特 征 值 是 这 样 的
， 其 中
注意，如果 那么 。
同样的，。。。。。。。。。
