§2.２ 离散型随机变量的概率分布
一、离散型随机变量的概念
定义 如果随机变量X的所有可能的不同取值
是有限或可列无限多个，则称X为离散型随机变量.
设X所有可能的不同取值为 (k=1，2，… ，)，若
= , k=1，2，… (2－1)
则称(2－1)为X的分布律，也称为概率分布或概率函
数,即:（Probability Distribution)或
（Probability Function）．
分布律(2－1)也可用表格形式表示:
因此，分布律也称为分布列．离散型随机变量的分布
律通常用分布列形式表示．
注意：分布律(2－1)是指k=1，2，… ，时的一串
式子 = ．
例和例中的随机变量X都是离散型随机变
量．要掌握一个离散型随机变量的分布律，只需知道
X的所有可能的不同值 (k=1，2，…；)及X取各个值
的概率即可.
显然，分布律 具有如下两个性质：
1.（非负性） 0≤ =1，2，… （2－3）
2.（规范性） （2－4）
事实上, . □
当给定了 及 ( k=1，2，… )之后，我们就能描述离散
型随机量X的分布律，这是因为我们已经知道它取什么值,
以及以多大的概率取这些值，这也正是我们研究随机变量的
分布所需要的．
二、几种常见离散型随机变量及其分布律
1. （0－1）分布
定义 设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是
（0< <1） （2－5）
即
则称X服从（0－1）分布或两点分布
（Two-point Distribution）．
对于一个随机试验E，它只有两种可能的结果A和 ，即A
要么发生，要么不发生，则这种试验E总可以用（0－1）分布
来描述，这种试验在实际中很普遍．例如，抛掷硬币试验,
A = “出现正面”， “出现反面”；在射击试验中，
A=“命中目标”, “未命中目标”;它们都可用
（0－1）分布来描述．（0－1）分布是实际中
经常用到的一种分布．
2. 二项分布
设E为n重贝努利试验，用X表示n重贝努利试验
中事件A发生的次数，则X是一个随机变量,X所有可
能的取值为0，1，2，…n;由于各次试验是相互独立
的，因此由第一章（1－18）知
=P{A在n次试验中恰好发生 次}=
， =0，1，2，…n；
显然 （１） ≥0 ， =0，1，2，n…；
（２）
注意到 恰好是二项式 的展开式中出现 的
那一项,因此,称X服从的分布为参数是（ ， ）的二项分布.
定义 若随机变量X的分布律为
= ， =0，1，2，…； （2—6）
其中n为正整数，0< <1，则称服从参数为（ ，）的二项分
布（Binomial Distribution），记为 .
特别地，当n=1时， ，这就是（0－1）分布．
在实际中，把概率很小（一般要求在以下）的事件称
为小概率事件．由于小概率事件在一次试验中发生的可能性
很小，因此，在一次试验中，小概率事件实际上是不应该发
生的. 这条原则我们称它为实际推断原理．需要注意的是,实
际推断原理是指在一次试验中小概率事件几乎是不可能发生
的，当试验次数充分大时，小概率事件至少发生一次却几乎
是必然的．
在实际中，我们经常要计算n次独立重复的贝努
利试验中恰好有 次成功的概率 ,至少有
次成功的概率 等.当n很大时，要计算出它
们的确切数值很不容易．因此，人们希望能找到二
项分布的近似计算公式．法国数学家泊（Poisson，1781-1840）对此进行了研究，得到了如下二项分
布概率计算的逼近公式．
定理 （泊松逼近定理） 若 ，且
=λ（λ为常数），则对任意确定的自然数k，有
P{X=k}= ，
k= 0，1，2，… ， （2－7）
由于 n = λ为常数，当n较大时， 必定较小．因此,
由上述定理可知，当n较大， 较小时，有以下近似表达式
（其中λ≈n ） k= 0，1，2，…n, (2－8)
而 的值则可通过查本书附表1获得．
实际应用中， 当 ≥10且 ≤时， 即可用上述近似公
式计算；而当 n≥100且λ = n ≤10时，利用上述近似公式效
果更佳．如上例中
= ≈ ≈
二项分布是离散型分布中的重要分布, 应用十分广泛. 利用
泊松逼近定理，很自然引入另一个重要的分布—泊松分布．
3. 泊松分布
定义 设E是随机试验，X是定义在样本空间上的随机
变量，若X的分布律
= 0, 1, 2, …, （2－8）
则称X服从参数为λ的泊松分布（Poisson Distribution）,记
为 ．
在实际中，许多随机现象都可用泊松分布来描述．例如,
一批产品的废品数；一本书中某一页上印刷错误的个数；某
汽车站单位时间内前来候车的人数；某段时间内，某种放射
性物质中发射出的α粒子数等等，均可用泊松分布来描述.
泊松分布是概率论中的又一个重要分布，在随机过程中也有
重要应用．
4. 几何分布
定义 若X的分布律为
（2－9）
其中 0< <1， ，则称X服从参数为 的几何分
布（Geometrical Distribution），记为X～ ．
若令X表示贝努利试验中事件A首次出现所需要的
试验次数，则X服从几何分布．例如，向某一目标进
行独立射击，首次击中目标所需要的射击次数；从
含有正品和次品的产品中有放回地抽取产品，首次
抽到次品时取出的产品数等都服从几何分布．
