概率论与数理统计课件
作者:
王 力
WangLi
概率论与数理统计
第八章
假设检验
WangLi
第八章 假设检验
假设检验的基本概念
问题的提出
在前面的中，讨论过对总体分布中的某些未知参数或分布的形式作某种假设，然后通过抽取的样本，对假设的正确性进行判断的问题，称为假设检验问题.
同参数估计一样，假设检验是数理统计的主要内容之一.在实际中，有很多这样的问题需要人们去解决.
WangLi
例1 某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产情况下，每瓶抗菌素的某项主要指标服从均值为的正态分布.某日开工后，测得5瓶的数据如下：
，，，，，
问该日生产是否正常？
用X表示该日生产的一瓶抗菌素的某项主要指标.如果已知X~N(μ,σ2)随机变量服从分布，那么问题就是要检验假设“μ=23”是否成立.
WangLi
例2 为了研究一种新化肥对种植小麦的效力，选用13块条件相同面积相等的土地进行试验，各块产量如下(单位：公斤)：
施肥的：34，35，30，33，34，32；
未施肥的：29，27，32，28，32，31，31.
问这种化肥对小麦产量是否有显著影响？
用X与Y分别表示在一块土地上施肥与未施肥情况下小麦的产量.如果已知它们分别服从N(μ1,σ12)与(μ2,σ22)分布，那么问题就是检验假设“μ1= μ2”是否成立？
WangLi
例3 在齿轮加工中，齿轮的径向综合误差X是一个随机变量.在节例1中给出了测得的X的200个数据并作出了直方图，根据直方图，就可估计X服从正态分布.判断这个估计是否正确的问题就是检验假设“X服从正态分布”是否成立的问题.
WangLi
这些例子所代表的问题是很广泛的，其共同点就是先对总体分布中某些参数或对总体分布的类型作某种假设，然后根据抽取的样本值作出接受还是拒绝所作假设的结论.
今后，把对总体的分布所作的假设用H0表示，并称为原假设或零假设.
在对假设H0的检验中，需要从样本出发，建立一个法则，一旦样本值确定后，利用所制定的法则，即可作出是接受还是拒绝H0的结论，这种法则有时就称为一个检验.
WangLi
例1和例2这样一类假设是在总体分布类型已知的情况下，仅仅涉及到未知参数的统计假设，称为参数假设.
例3这样一类假设是在未知总体分布类型的情况下，对总体分布类型或者总体分布的某些特性提出的统计假设，称为非参数假设.
在例1~3中，只提出一个统计假设，而且目的也仅仅是判断这一个统计假设是否成立，并不同时研究其它统计假设，这类假设检验又称为显著性检验.
本章将讨论参数假设与非参数假设的一些显著性检验方法.
WangLi
对假设检验问题进一步深入讨论时，往往需要提出两个甚至多个统计假设，而且假设检验的目的是需要判断多个假设中哪一个是正确的.
例如，为了评价一个检验的好坏，除了要考虑原假设H0外，还需要同时考虑另外一个备选的假设H1，H1称为备择假设.
有两个假设的检验问题的一般提法是，在给定的备择假设H1下对原假设H0作出判断，若拒绝原假设H0，那就意味着接受备择假设H1，否则就接受原假设H0.实际上这类假设检验问题就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个接受哪一个的判断.
由于本书不考虑评价检验好坏的问题，对这类假设检验问题，不予讨论，也就是说只研究显著性检验问题.
WangLi
第八章 假设检验
假设检验的基本概念
假设检验的基本思想
根据贝努里大数定律，在大量的重复试验中，某事件A出现的频率依概率收敛事件A的概率，因而若某事件A的概率α很小，则在大量的重复试验中，它出现的频率应该很小.
WangLi
根据贝努里大数定律，在大量的重复试验中，某事件A出现的频率依概率收敛事件A的概率，因而若某事件A的概率α很小，则在大量的重复试验中，它出现的频率应该很小.
例如α=，则大约在1000次试验中，事件A才出现一次.因此，概率很小的事件在一次实验中实际上不可能出现.人们称这样的事件为实际不可能事件.
在概率统计的应用中，人们总是根据所研究的具体问题，规定一个界限α(0<α<1)，把概率不超过α的事件看成是实际不可能事件，认为这样的事件一次实验中是不会出现的.这就是所谓的“小概率原理”.
WangLi
假设检验的基本思想是以小概率原理作为拒绝假设H0的依据.
具体一点说，设有某个假设H0要检验，先假设H0是正确的，在此假定下，构造一个概率不超过 α(0<α<1)的小概率事件A.
如果经过一次试验(一次抽样)，事件A出现了，那么人们自然怀疑假设H0的正确性，因而拒绝(否定)H0.
WangLi
如果事件A不出现，那么表明原假设H0与试验结果不矛盾，不能拒绝H0，当然人们也没有理由肯定H0是真实的.
这时，需要通过再次试验或其它方法作进一步研究，不过，因为给出假设H0是经过周密的调查和研究才作出的，是有一定依据的，所以对原假设需要加以保护，也就是说拒绝它要慎重；而当不拒绝它时，一般实际上是接受了它，除非进一步的研究表明应该拒绝它.
WangLi
如上所述，在假设检验中要指定一个很小的正数α ，把概率不超过α的小概率事件A认为是实际不可能事件.这个数α称为显著性水平.
对于各种不同的问题，显著性水平α可以选取不一样.为查表方便起见，常选取α=，，等等.
WangLi
第八章 假设检验
假设检验的基本概念
假设检验中的两类错误
WangLi
从上面的讨论可以看出，处理假设检验问题的推理方法类似于数学中的反证法，即假设命题H0成立，如果推出了矛盾，则否定命题H0.
但是，这里又区别于数学中的反证法，因为在作出拒绝的结论时，所依据的矛盾并不是形式逻辑下绝对的矛盾，而是基于小概率原理，即认为在一次实验中小概率事件A实际不可能出现.
人们对假设H0作出判断的依据是在一次实验中看小概率事件A是否出现，而小概率事件A是否出现又是由一次抽样的结果来判断的，由于抽样的随机性，人们无论拒绝H0，还是接受H0，都不会百分之百正确，有可能犯以下两类错误：
WangLi
第一类错误是拒绝了真实的假设，即H0本来正确，却被拒绝了，这种“弃真”的错误称为第一类错误.
由于人们只在小概率事件出现时才拒绝H0，故犯这一类错误的概率为在H0成立的条件下，A出现的概率P(A|H0)，它不超过显著性水平α.
第二类错误是接受了不真实的假设，即H0本来不正确，却被接受了，这种“取伪”的错误称为第二类错误.犯第二类错误的概率为β.
WangLi
在进行假设检验时，应该力求犯两类错误的概率都尽可能地小.
然而，当样本容量n固定时，建立犯两类错误的概率都最小的检验是不可能的.
考虑到原假设H0的提出是有一定依据的，对它要加以保护，拒绝它要慎重，所以通常控制犯第一类错误的概率，即选定显著性水平α(0<α<1)，对固定的n和α建立检验法则，使犯第一类错误的概率不大于α.
WangLi
下面就对各种参数假设、非参数假设建立相应的检验法则，当然进一步的讨论会发现对同一个假设检验问题，使犯第一类错误的概率不大于α的检验法则是很多的，应该在这些不同的检验法则中寻求犯第二类错误的概率尽可能小的检验法，这就是最优势检验问题，本书不予讨论.
WangLi
第八章 假设检验
单个正态总体参数的显著性检验
由前面的论述可以看到，对假设H0的一个检验法完全决定于小概率事件A的选择.
下面对各种假设检验问题，分别通过各自选择的统计量，来构造相应的小概率事件A，从而给出具体的检验法.
WangLi
设x1,x2,…,xn为取自正态总体N(μ,σ2)的一个容量为n的样本，x、S2分别表示样本均值和样本方差； μ0,σ02为已知常数，σ02>0.
现在来讨论关于未知参数μ,σ2的各种假设检验法.
WangLi
第八章 假设检验
单个正态总体参数的显著性检验
u检验
WangLi
1.已知σ2=σ02，检验H0:μ=μ0
选择统计量
在H0成立的假定下，它服从N(0,1)分布.
对给定的显著性水平α，查标准正态分布N(0,1)表(附表2)得到临界值uα/2，使得
P(|u|≥uα/2)=α.
这说明A={|u|≥uα/2}为小概率事件(图).
WangLi
u
O
φ(u)
α/2
WangLi
这说明
A={|u|≥uα/2}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值u.
如果
|u|≥uα/2
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.这种检验法称为u检验.
WangLi
例1 某测距仪在500m范围内，测距精度σ=10m.今对距离500m的目标，测量9次，测得平均距离x=510m.问该测距仪是否存在系统误差(α=)？
解 (1)用X表示测距仪对目标一次测量得到的距离，设X~N(μ,σ2).
由题设σ=10m，如果测距仪无系统误差，则应有μ=500.
于是我们的问题是检验假设“H0:μ=500”是否成立.
(2)计算统计量的值.
由n=9，x=510，μ0=500，σ0=10得
WangLi
(2)计算统计量的值.
由n=9，x=510，μ0=500，σ0=10得
(3)对给定的α=，查标准正态N(0,1)分布表(附表2)得到临界值
uα/2=
(4)由于|u|=3>=uα/2，所以拒绝H0，即认为该测距仪存在系统误差.
WangLi
通过上面的分析，可以把已知方差时对正态总体均值的显著性检验归纳为以下几个步骤：
(1)提出统计假设H0:μ=μ0；
(2)选择统计量
并从样本值计算出统计量的值u；
(3)对给定的显著性水平α，从标准正态N(0,1)分布表查出在H0成立的条件下，满足等式P(|u|≥uα/2)=α的临界值uα/2；
WangLi
(4)作结论：如果|u|≥uα/2，则拒绝H0；反之，可接受H0.
WangLi
今后，对统计假设的各种显著性检验问题都按照以上类似的四个步骤进行，只是在不同的问题中要选择不同的统计量，从不同的分布表中查找临界值来构造相应的小概率事件，从而决定具体的检验法.
人们注意到一个检验法则的本质，就是根据所选择的统计量及由此而构造的小概率事件，把样本空间划分为两个互不相交的子集W和W.
当样本值(x1,x2,…,xn)∈W时，拒绝H0；反之，则接受H0.人们称为的一个拒绝域或否定域.
实际上，为了给出原假设H0的一种检验法，只要给出它的一个拒绝域就可以了.
WangLi
对前面的u检验来说，拒绝域为
W={(x1,x2,…,xn):|u|≥uα/2}
其中
为简单起见，我们干脆说上述u检验的拒绝域为
|u|≥uα/2.
WangLi
在前面的假设检验问题中，当构造小概率事件时，利用了统计量u的概率密度曲线两侧的尾部面积.这样的检验称为双侧检验.
这里采用双侧检验有直观的解释：因为在任何情况下，x都是未知参数μ的无偏估计，所以当H0成立时，即μ=μ0时，x与μ0不应相差太大.
因此，对固定的样本容量n，如果|u|太大，则有理由怀疑H0的正确性，从而认为μ与μ0有显著的差异.
至于|u|大到什么程度才有足够的理由拒绝H0呢？这需要由给定的显著性水平α查得的临界值uα/2来决定.
WangLi
2.已知σ2=σ02，检验H0:μ≤μ0
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0:μ≤μ0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查标准正态分布N(0,1)表(附表2)得到临界值uα，使得
从而
WangLi
这说明
A={u≥uα}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值u.
如果
u≥uα
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受的拒绝域为u≥uα.
WangLi
注意：这里在构造小概率事件时，利用了N(0,1)分布概率密度曲线单侧的尾部面积(图).这样的检验称为单侧检验.
直观的解释：因为在任何情况下，x都是未知参数μ的无偏估计，所以当H0成立时，x比μ0的值就不应该大得太多.
因此，对固定的样本容量n，如果u太大，则有理由怀疑H0的正确性.
至于u大到什么程度才有足够的理由拒绝H0呢？这需要由给定的显著性水平α查得的临界值uα来决定.
WangLi
u
O
φ(u)
α
图
WangLi
例2 某厂生产一种灯管，其寿命X~N(μ,2002)(单位：小时)，从过去经验看μ≤1500h.今采用新工艺进行生产后，再从产品中随即抽25只进行测试，得到寿命的平均值为1675h小时。问采用新工艺后，灯管质量是否有显著提高(α=)？
解 (1)从过去经验看μ≤1500h，而测试的结果为x=1675>1500h，但人们只有在拒绝了假设
H0:μ≤1500
后才能作出灯管质量有显著提高的结论，故要检验假设H0:μ≤1500；
(2)计算统计量的值.
WangLi
(2)计算统计量的值.
由μ0=1500，σ0=200，n=25，x=1675，得
(3)对给定的α=，查标准正态N(0,1)分布表(附表2)得到临界值
uα==.
(4)由于u=>=uα，所以拒绝H0，即认为采用新工艺后，灯管质量提高了.
WangLi
3.已知σ2=σ02，检验H0:μ≥μ0
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0:μ≥μ0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查标准正态分布N(0,1)表(附表2)得到临界值uα，使得
从而
WangLi
这说明
A={u≤−uα}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值u.
如果
u≤−uα
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受的拒绝域为u≤−uα.
WangLi
注意：这里在构造小概率事件时，利用了N(0,1)分布概率密度曲线单侧的尾部面积(图).这样的检验称为单侧检验.
直观的解释：因为在任何情况下，x都是未知参数μ的无偏估计，所以当H0成立时，x比μ0的值就不应该小得太多.
因此，对固定的样本容量n，如果u太小，则有理由怀疑H0的正确性.
至于u小到什么程度才有足够的理由拒绝H0呢？这需要由给定的显著性水平α查得的临界值−uα来决定.
WangLi
u
O
φ(u)
α
图
WangLi
第八章 假设检验
单个正态总体参数的显著性检验
t检验
WangLi
1.未知σ2，检验H0:μ=μ0
选择统计量
在H0成立的假定下，它服从t(n−1)分布.
对给定的显著性水平α，查t分布表(附表4)得到临界值tα/2(n−1)，使得
P(|t|≥tα/2(n−1))=α.
这说明A={|t|≥tα/2(n−1)}为小概率事件(图8.).
WangLi
t
O
f(t)
α/2
WangLi
这说明
A={|t|≥tα/2(n−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值t.
如果
|t|≥tα/2(n−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.这种检验法称为t检验.
WangLi
由于这个检验法选择的统计量服从t分布，所以称为t检验.这里采用了双侧检验.
WangLi
例3 (节例1)某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产情况下，每瓶抗菌素的某项主要指标服从均值为的正态分布.某日开工后，测得5瓶的数据如下：
，，，，，
问该日生产是否正常？
用X表示该日生产的一瓶抗菌素的某项主要指标.如果已知X~N(μ,σ2)随机变量服从分布，那么问题就是要检验假设“μ=23”是否成立(α=).
WangLi
解 (1)根据题意，待检验的假设是H0:μ=23；
(2)由于σ2未知，故采用统计量
将n=5，x=，S2 =代入得
WangLi
(3)对给定的α=，查t分布表(附表2)得到临界值
tα/2(n−1)= =(4) =.
(4)由于|t|=>=tα/2(n−1)，所以拒绝H0，即认为该日生产不正常.
WangLi
2.未知σ2=σ02，检验H0:μ≤μ0
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0:μ≤μ0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查t分布表(附表4)得到临界值tα(n−1)，使得
从而
WangLi
这说明
A={t≥tα(n−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值t.
如果
t≥tα(n−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受的拒绝域为t≥tα(n−1).
WangLi
3.未知σ2=σ02，检验H0:μ≥μ0
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0:μ≥μ0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查t分布表(附表4)得到临界值tα(n−1)，使得
从而
WangLi
这说明
A={t≤−tα(n−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值t.
如果
t≤−tα(n−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受的拒绝域为t≤−tα(n−1).
WangLi
例4 设木材的小头直径(单位：厘米cm)X~N(μ,σ2)， μ≥12cm为合格.今抽出12根测得小头直径的样本均值为x=，样本方差为S2 =.问该批木材是否合格(α=)？
解 (1) μ≥12cm为合格，而今测得x=<12cm，这将引起人们对木材质量的怀疑，但由于不能轻率地说这批木材是不合格的，故令原假设为H0:μ≥12；
(2)计算统计量的值.
根据x=，μ0=12，S=10，n=12，得到
WangLi
(3)对给定的α=，查t分布表(附表2)得到临界值
tα(n−1)=(12−1)=(11)=.
(4)由于t=−<−=−tα(n−1)，所以拒绝H0，即认为该批木材是不合格的.
WangLi
第八章 假设检验
单个正态总体参数的显著性检验
2检验
WangLi
1.未知μ，检验H0:σ2=σ02
选择统计量
在H0成立的假定下，它服从2(n−1)分布.
对给定的显著性水平α，查2分布表(附表3)得到临界值
WangLi
使得
这说明事件
为小概率事件.
WangLi
x
O
f(x)
α/2
α/2
WangLi
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值2.
如果
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
WangLi
H0的拒绝域为
由于这个检验法选择的统计量服从2分布，所以称为2检验.
WangLi
这里采用了双侧检验.
直观地看：因为S2是σ2的无偏估计，所以在H0成立的条件下，S2/σ02与1相差不应太大.
对固定的n，2=(n−1)S2/σ02之值不应太大也不应太小.
至于2=(n−1)S2/σ02大到什么程度和小到什么程度才可以拒绝H0呢？这由上面的检验法找到的两个临界值21-α/2(n−1)与2α/2(n−1)来决定.
WangLi
不难看出，如果从2分布表(附表3)查出临界值
满足
那么，只要α1≥0，α2≥0，α1+α2=α，则事件
就是小概率事件.
WangLi
可见对不同的α1和α2可决定不同的检验法则.
因而，对同一个检验统计量，检验法则也是很多的.
上面采用α1=α2=α/2的形式主要是为查表方便，而且这种检验法也是较好的.
WangLi
例5 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(,)，某日抽取5根纤维，测得其纤度为,,,, ，问这一天纤度的总体标准差是否正常(α=)？
解 (1)用X表示这一天生产维尼纶的纤度，则
X~N(μ,σ2).
如果总体标准差正常，则应有σ2= .于是我们的问题是检验假设“H0:σ2=”是否成立.
(2)计算统计量的值.
根据n=5，x=，(n−1)S2=，得到
WangLi
(3)对给定的显著性水平α，查2分布表(附表3)得到临界值
(4)由于2=>=2α/2(n−1)，所以拒绝H0，即认为总体标准差有显著的变化.
WangLi
2.未知μ，检验H0:σ2≤σ02
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查2分布表(附表2)得到临界值2α(n−1)，使得
从而
WangLi
这说明
A={2≥2α(n−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值2.
如果
2≥2α(n−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受的拒绝域为2≥2α(n−1).
WangLi
例5 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过欧姆(Ω).今在生产的一批导线中取样品9根，测得S=欧姆.设总体为正态分布，问在显著性水平α=下能认为这批导线电阻的标准差显著地偏大吗？
解 (1)设这批导线电阻为X欧姆，则X~N(μ,σ2).按题意，我们要检验假设“H0:σ2≤()2”；
(2)计算统计量的值.
根据n=9，S=，σ02=()2得到
WangLi
(3)对给定的显著性水平α，查2分布表(附表3)得到临界值
(4)由于2=>=2α(n−1)，所以拒绝H0，即认为这批导线电阻的标准差显著地偏大.
WangLi
3.未知μ，检验H0:σ2≥σ02
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查2分布表(附表2)得到临界值21-α(n−1)，使得
从而
WangLi
这说明
A={2≤21-α(n−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值2.
如果
2≤21-α(n−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受的拒绝域为2≤21-α(n−1).
WangLi
例 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得平均成绩为分，标准差为15分，问在显著性水平下是否可以认为这次考试成绩平均为70分？给出检验过程.
WangLi
第八章 假设检验
两个正态总体参数的显著性检验
设总体X~N(μ1,σ12)，总体Y~N(μ2,σ22).
为取自正态总体X的容量为n1的一个样本，
分别表示它的样本均值和样本方差；
WangLi
为取自正态总体Y的容量为n2的一个样本，
分别表示它的样本均值和样本方差.
又设这两个样本相互独立，现在考虑以下参数的各种假设检验问题.
WangLi
第八章 假设检验
两个正态总体参数的显著性检验
t检验(续)
WangLi
1.σ12 ,σ22未知，但已知σ12=σ22，检验H0:μ1= μ2
选择统计量
其中
WangLi
在H0成立的假定下，
服从t(n1+n2−2)分布.
对给定的显著性水平α，查t分布表(附表4)得到临界值tα/2(n1+n2−2)，使得
P(|t|≥tα/2(n1+n2−2))=α.
这说明A={|t|≥tα/2(n1+n2−2)}为小概率事件(图8.).
WangLi
t
O
f(t)
α/2
WangLi
这说明
A={|t|≥tα/2(n1+n2−2)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值t.
WangLi
如果
|t|≥tα/2(n1+n2−2)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
H0的拒绝域为
|t|≥tα/2(n1+n2−2).
WangLi
例1 (节例2)为了研究一种新化肥对种植小麦的效力，选用13块条件相同面积相等的土地进行试验，各块产量如下(单位：公斤)：
施肥的：34，35，30，33，34，32；
未施肥的：29，27，32，28，32，31，31.
问这种化肥对小麦产量是否有显著影响？
用X与Y分别表示在一块土地上施肥与未施肥情况下小麦的产量.如果已知它们分别服从N(μ1,σ12)与(μ2,σ22)分布.
如果知道σ12=σ22，试检验假设
H0:μ1= μ2，α=.
WangLi
解 首先计算t的值.
因为n1=6，n2=7，x=33，(n1−1)S12=16，y=30， (n2−1)S22=24，所以
WangLi
对给定的显著性水平α=，查t分布表(附表4)得到临界值
tα/2(n1+n2−2)=(11)=.
由于|t|=>=tα/2(n1+n2−2)，所以拒绝H0，即认为该种化肥对小麦产量的影响是显著的.
WangLi
2.σ12 ,σ22未知，但已知σ12=σ22，检验H0:μ1≤μ2
选择统计量
其中
WangLi
并令
则
在H0成立的假定下，还有
WangLi
对给定的显著性水平α，查t分布表(附表4)得到临界值tα(n1+n2−2) ，使得
从而
这说明
A={t≥tα(n1+n2−2)}
为小概率事件.
WangLi
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值t.
WangLi
如果
t≥tα(n1+n2−2)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
H0的拒绝域为
t≥tα(n1+n2−2).
WangLi
3.σ12 ,σ22未知，但已知σ12=σ22，检验H0:μ1≥μ2
选择统计量
其中
WangLi
并令
则
在H0成立的假定下，还有
WangLi
对给定的显著性水平α，查t分布表(附表4)得到临界值tα(n1+n2−2) ，使得
从而
这说明
A={t≤−tα/2(n1+n2−2)}
为小概率事件.
WangLi
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值t.
WangLi
如果
t≤−tα(n1+n2−2)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
H0的拒绝域为
t≤−tα(n1+n2−2).
WangLi
4.σ12 ,σ22未知，n1=n2=n，检验H0:μ1=μ2
采用配对试验的t检验法.
令
zi=xi−yi，i=1,2,…,n
则z1,z2,…,zn独立同分布，zi~N(d,σ2)，其中
d=μ1−μ2 ，σ2=σ12−σ22.
于是z1,z2,…,zn可看作来自正态总体N(d,σ2)的样本.此时，检验μ1与μ2是否相等，就等价于检验假设
H0:d=0.
WangLi
可用统计量
其中
拒绝域为|t|≥tα/2(n−1).
WangLi
例2 为判断两种工艺方法对产品的某种性能指标有无显著性差异，将九批材料用两种工艺方法进行生产，得到该指标的九对数据如下：
yi
xi
WangLi
问：根据上述数据，能否说明在两种不同工艺方法下，产品的该性能指标有显著性差异(α=).
解 将九对数据作差zi=xi−yi，得
,,−,,−,,,,
由上可得
z=，S2=，
故
WangLi
对给定的显著性水平α=，查t分布表(附表4)得到临界值
tα/2(n−1)= =(8)=.
由于t=<=tα/2(n−1)，故不能认为在两种不同工艺方法下，产品的该性能指标有显著性差异.
WangLi
第八章 假设检验
单个正态总体参数的显著性检验
F检验(续)
WangLi
1.未知μ1, μ2，检验H0:σ12=σ22
选择统计量
在H0成立的假定下，
服从F(n1−1, n2−1)分布.
WangLi
对给定的α，查F分布表(附表3)得到临界值
F1-α/2(n1−1, n2−1)与Fα/2(n1−1, n2−1)
(如图)使得
这说明
A={F≤F1-α/2(n1−1, n2−1)}∪{F≥Fα/2(n1−1, n2−1)}
为小概率事件.
WangLi
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值F.
如果
F≤F1-α/2(n1−1, n2−1)或F≥Fα/2(n1−1, n2−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
H0的拒绝域为
F≤F1-α/2(n1−1, n2−1)或F≥Fα/2(n1−1, n2−1).
WangLi
x
O
f(x)
α/2
α/2
WangLi
例3 (节例2)为了研究一种新化肥对种植小麦的效力，选用13块条件相同面积相等的土地进行试验，各块产量如下(单位：公斤)：
施肥的：34，35，30，33，34，32；
未施肥的：29，27，32，28，32，31，31.
问这种化肥对小麦产量是否有显著影响？
用X与Y分别表示在一块土地上施肥与未施肥情况下小麦的产量.如果已知它们分别服从N(μ1,σ12)与(μ2,σ22)分布.
如果知道σ12=σ22，试检验假设
H0:μ1= μ2，α=.
WangLi
解 首先计算统计量F的值.
因为n1=6，n2=7，(n1−1)S12=16，(n2−1)S22=24，所以
对给定的显著性水平α=，查F分布表(附表5)得到临界值
WangLi
和
由于<<，所以接受H0，即认为该种化肥对小麦产量的影响是不显著的.
WangLi
2.未知μ1, μ2 ，检验H0: σ12≤σ22
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查F分布表(附表F)得到临界值Fα(n1−1, n2−1)，使得
从而
WangLi
这说明
A={F≥Fα(n1−1, n2−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值F.
如果
F≥Fα(n1−1, n2−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
WangLi
如果
F≥Fα(n1−1, n2−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
H0的拒绝域为
F≥Fα(n1−1, n2−1).
WangLi
3.未知μ1, μ2 ，检验H0: σ12≥ σ22
选择统计量
并令
则
WangLi
在H0成立的假定下，还有
对给定的显著性水平α，查F分布表(附表F)得到临界值F1-α(n1−1, n2−1)，使得
从而
WangLi
这说明
A={F≤F1-α(n1−1, n2−1)}
为小概率事件.
将样本值代入到统计量
的表达式中算出统计量的值F.
如果
F≤F1-α(n1−1, n2−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
WangLi
如果
F≤F1-α(n1−1, n2−1)
则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝H0；否则，接受H0.
H0的拒绝域为
F≤F1-α(n1−1, n2−1).
WangLi
正态总体参数显著性检验法表
u≤−uα
H0:μ≥μ0
|u|≥uα/2
H0:μ=μ0
X~N(μ,σ2)
σ2已知
U 检验
u≥uα
拒 绝 域
条 件
H0:μ≤μ0
假 设H0
统 计 量
名称
WangLi
正态总体参数显著性检验法表
t≤−tα(n−1)
μ≥μ0
|t|≥tα/2(n−1)
μ=μ0
X~N(μ,σ2)
σ2未知
t
检验
t≥tα(n−1)
拒 绝 域
条 件
μ≤μ0
假 设H0
统 计 量
名称
WangLi
正态总体参数显著性检验法表
t≤
−tα(n1+n2−2)
μ1≥μ2
|t|≥
tα/2(n1+n2−2)
μ1= μ2
X~N(μ1,σ2)
Y~N(μ2,σ2) σ2未知
t 检验
t≥tα(n1+n2−2)
拒 绝 域
条 件
μ1≤μ2
假 设H0
统 计 量
名称
WangLi
正态总体参数显著性检验法表
2 ≤ 21-α(n−1)
σ2 ≥ σ02
2 ≤ 21-α/2(n−1)或
2 ≥ 2α/2(n−1)
σ2=σ02
X~N(μ,σ2)
μ已知
2检验
2 ≥ 2α(n−1)
拒 绝 域
条 件
σ2≤σ02
假 设H0
统 计 量
名称
WangLi
正态总体参数显著性检验法表
F≤F1-α(n1−1, n2−1)
σ12≥σ22
F≤F1-α/2(n1−1, n2−1)或
F≥Fα/2(n1−1, n2−1)
σ12=σ22
X~N(μ1,σ2)
Y~N(μ2,σ2) μ1,μ2未知
F检验
F≥Fα(n1−1, n2−1)
拒 绝 域
条 件
σ12≤σ22
假 设H0
统 计 量
名称
WangLi
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WangLi
