2011/12/7 第三章 利率和利率风险衡量 一、利率类型 国债利率（treasury rate）——政府使用其本国货币借款的利率。通常假设政府对其本国货币所对利率类型应的还款义务不存在违约可能，因此国债利率经 常被看做本国的无风险利率 本章利率期限结构 LIBOR利率——伦敦同业银行拆借利率，是一家 主要内容银行给其他大银行提供企业资金时所收取的利率。 久期 在某一家银行的存款可看成是给这家银行的贷款，凸性这家银行必须达到一定的信用级别才能接受以 LIBOR计息的存款，这一信用级别通常为AA级。LIBOR通常有1个月、3个月、6个月以及1年等几种 1 再回购利率（repo）——持有证券的投资商同意远期利率（forward interest rate）——由当前零现在将其证券出售给另一家公司，之后再以稍高息利率所隐含的将来一定期限的利率 的价格买回的合约。证券出售和购回的价差就是对方的利息收益，相关利率就是所谓的repo rate. 期限 N年零息利率 第n年远期利率 最流行的回购类型是隔夜回购（overnight repo）1 % 零息利率（2 % % zero-coupon rate）——N年期投资在0时刻开始投入资金在第N年后所得的收益率。也3 % % 叫零息票利率4 % % 5 % % 债券定价 远期利率的的计算公式 大多数债券是定期支付票息，到期支付本金（面 值）给持有者。而债券的理论价格就是对债券持RF R 2TT2 TR 1T1R (R R有 人在)将来所 收取的 现金流贴现后的总和。 21221TT12T1 其中，R1和R2分别对应T1和T2期限的零息利率 显然，若R2>R1，则RF>R2；反之亦反期限（年） 零息利率（%） 如果令R2接近R1，得到瞬时远期利率，R为期限为 T的零息利率 F R T TRωω 1
2011/12/7 假设一种二年期长期国债，本金100元，票息率解上式得到c=，即两年的平价收益率为6%，每半年支付券息一次， %，若连续计息则为% （债券的理论3e 0 .050 .5υ 价e 格 8 为 e υ e0 .0 6υ8 ) 1 00e 0υ .068 .3 9 υ 债券的收益率可以从上式通过迭代法进行求解 平价收益率——使债券价格等于面值的票息率。上例中如果每年支付的票息为c，则平价收益率为 （2ce 0. 050 .5υ e 8 e υ e0 .06υ82 .0) 1 00e 0 υ.068 υ 国债零息利率的计算 常用方法就是所谓的票息剥离法（bootstrip ①首先计算前3个债券的零息利率 method） 债券1的零息利率为 债券本金 期限（年） 年票息 债券价格 ln(14(100υ)/ )4 100 0 类似的可以得到债券2和债券3的连续复利率零100 0 息利率分别为%和% 100 0 ②计算第4个债券的零息利率 100 8 考虑到有三次支付票息，而6个月和1年的零息100 12 利率已经算出，利用计算结果得到 零息利率（%） 4e 11 0. 104690 .5υ 4 53 1 0υ4 9 6 υ 解得 i= ③同理可以得到2年期债券的零息利率为% 期限（年） 零息利率（%） 10 0 1 2 2
2011/12/7 二、利率风险的度量 久期 常用方法包括： 久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。 利率期限结构 久期（Duration）——测量债券持有者在收到现金久期 流支付之前，平均需要等待的时间长度。假设债券凸性 持有者在ti时刻收到的现金流为ci，且债券价格B和收益率y连续计息，则其关系可表示为 B n cƒe y ti 1iinyti久期的定义为iƒ D tcience y t 1iB tiƒ[] i1B14 久期的作用 债券的价格变动的久期表示 1.可以用简单明确的指标来衡量一个投资组合的根据债券价格定义，关于y求偏导得到 平均到期期限 2.久期可以直接用来衡量债券对利率变化的敏感性，可用久期免疫来管理利率风险 Bωω nƒ yty cte i1iii 由此得到债券价格和久期的关系 Bωyω BD BBω D y ω 说明债券价格变动比例等于债券久期和到期收益率变动量乘积的相反数，债券价格变动与久期之间是一个线性关系。 16 计息方式从连续复利计息变为一年计息一次的复经过修正，久期能够更敏感地反映债券价格变化利计息，则麦考雷久期的数学定义变为： 与利率变化的关系——修正久期越大，债券价格 对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的 D Bω 1Bω yυ y债券价格下降幅度就越大，而收益率下降所引起后来人们提出了修正久期，其数学定义如下的债券价格上升幅度也越大。 D* 1 D B1y ωy B υω3
2011/12/7 久期的应用 久期的应用 例：一只修正久期为10的债券在9%收益率上售价年份 现金流 现值 权重 年份×权重 100元。若收益从9%上升到%，请计算债券价 5 格变动的百分比。 5 债券价格变动的百分比=-10×(%-9%)=-1% 5 5 5 105 合计 130 某一面值100元的债券，票息利率为10%有效期3年，每6个月付息一次，票息5元。该债券按连续复利计息的年收益率为12% 久期的应用 根据表中的数据发现债券价格为，久期为价格变动的近似百分比 ，即ΔB=×Δy=Δy 现在，如果假设收益率增加了10个基点注意：修正久期仅仅提供了收益率较小变动情况下(%)，可以验证久期对债券价格变化估计的精确性：的价格变动的情况，至于收益率较大变动的情况， 则需要凸性修正。 根据计算公式可以得到ΔB=，即债券价格会下降到 如果收益率只是变动了100个基点，则上式可变为根据收益率变化计算债券价格 ： BBω D * ( 1)υD*% 5 (e 0 .1210 .5υ e 0. 12 1 eυ e0 .12υ υe 0 .1212 .5υ 1 ) 因1υ 此0，修0正 e久期可0 解.1释2为1当收3益.0率 变 动 1009个基3点 .9υ63 时价格变化百分比的近似值。 22 久期和债券期限 久期与利率变化的关系 久期衡量的是债券的平均到期时间，它和债券的实际到设面额为1000元的3年期债券，每年支付一次息期时间之间既有联系又有区别。 票，年息票率为10%，此时市场利率为12%，则1.零息债券：它的久期等于它的实际到期时间。 该种债券的久期为： 3 D P V1001ƒ.12it() 3t BCn n υn ƒ 3i13 2 υ.73100 υ2.息票债券：它的久期一般不超过债券的实际到期时间 i1。 如果其他条件不变，市场利率下跌至5%，此时n该种债券的久期为： D PƒV(C nδPV3Cƒυn ƒƒti 10001 ni)t1i(1i)(i) PVC B Bn3t B υƒn 3 υi 13i 2 . 1 υ4
2011/12/7 如果其他条件不变，市场利率上升至20%，此时从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率久期为： 3 1001ƒ的下降而上升，随着市场利率的上升而下降，这说明两者存在反比关系。 .2iƒt1000 3it υ 3i 1 3 100 υ此外，在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。那些分期付息的金 i1如果其他条件不变，债券息票率为0，那么：融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等 数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要 1高。 31000000 11υ.1υ2 .12 t3 3 3 金融工具到期期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高，其久期越短 久期的应用 三、凸性（convexity） 债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影在现实中，债券价格变动率和到期收益率变动 响也越大，因此风险也越大。在降息时，久期大之间 并不是线性关系，久期只不过是用线性关的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券系进行近似估计。在收益率变动较小，这种近似比较准确，如果收益变动比较大，一阶近似就会下跌的幅度也较大。因此，投资者在预期未来降产生比较大的误差，此时就需要进行二阶项的调息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息整。这个二阶项就是凸性。 时，可选择久期小的债券。 一个债券组合的久期为组合中各债券久期的加权平均值。D n wƒiDi i27 久期与凸性的关系 凸性的应用 凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸利用泰勒级数展开，可以得到债券价格变化的更性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期精确的表达式 度量债券的利率风险所产生的误差越大。理论上 说，久期等于债券的价格-收益率曲线的斜率，B∋ B y 1∋ω22By2 ( y)2 误差 项∋ ω 凸性则衡量了曲线的弯曲程度，表示的是价格 -收益曲线的斜率的变化由此可以得出 凸性的定义可以表述为 B∋ |B 1ω ∋1 2ωB 1 ω2By ∋yB2y2B()ωn2ytC 1 2Bωcte iiiBωƒi 1 D * y 1y2B 2C∋( y) ∋5
2011/12/7 例：一只修正久期为10、凸性为180的债券收益率增加100个基点，请计算债券价格变动百分比 BB∋ 1 0 υ 0 2υ 91υ 6
