第四节 库存问题的基本模型
库存问题基本模型
单周期库存基本模型
多周期库存基本模型
边际分析法
经济订货批量模型
经济生产批量模型
价格折扣模型
期望利润最大法
期望损失最小法
确定最佳订货量可采用的方法
一、单周期库存模型
对于单周期需求来说，库存控制的关键在于确定订货批量。对于单周期库存问题，订货量就等于预测的需求量。
由于预测误差的存在，根据预测确定的订货量和实际需求量不可能一致。如果需求量大于订货量，就会失去潜在的销售机会，导致机会损失——即订货的机会（欠储）成本。另一方面，假如需求量小于订货量，所有未销售出去的物品将可能以低于成本的价格出售，甚至可能报废还要另外支付一笔处理费。这种由于供过于求导致的费用称为陈旧（超储）成本。显然，最理想的情况是订货量恰恰等于需求量。
为了确定最佳订货量，需要考虑各种由订货引起的费用。由于只发出一次订货和只发生一次订货费用，所以订货费用为一种沉没成本，它与决策无关。库存费用也可视为一种沉没成本，因为单周期物品的现实需求无法准确预计，而且只通过一次订货满足。所以即使有库存，其费用的变化也不会很大。因此，只有机会成本和陈旧成本对最佳订货量的确定起决定性作用。确定最佳订货量可采用期望损失最小法、期望利润最大法或边际分析法。
1. 期望损失最小法
顾名思义，期望损失最小法就是比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
已知库存物品的单位成本为C，单位售价为P。若在预定的时间内卖不出去，则单价只能降为S（S<C〉卖出，单位超储损失为C0=C－S；若需求超过存货，则单位欠储损失（缺货损失、机会损失）Cu=P－C。设订货量为Q时的期望损失为EL(Q)，则取使EL(Q)最小的Q作为最佳订货量。EL(Q)可通过下式计算：
式中：EL(Q)－－订货量Q时的期望损失值；
Co－－单位超储损失 Co=C－S ；
Cu－－单位缺货损失(机会损失) Cu=P－C ；
P－－单位售价；
C－－单位成本；
Q－－订货量；
p(d)－－需求为d时的概率 ∑p(d)=1；
d－－实际需求量。
例1 按过去的记录，新年期间对某商品挂历的需求分布率如 表所示。
表 1 某商品挂历的需求分布率
概率p(d)
50
40
30
20
10
0
需求d(份)
解：设该商店买进Q份挂历。
当实际需求d<Q时，将有一部分挂历卖不出去，每份超储损失 为 Co=C－S=50－30=20(元)；
当实际需求d>Q时，将有机会损失，每份欠储损失为
Cu=P－C=80－50=30(元)；
当Q=30时，则
EL(Q)=〔30×﹝40－30﹞×＋30×﹝50－30﹞×〕＋〔20×﹝30－0﹞×＋20×﹝30－10﹞×＋20×﹝30－20﹞×〕=280(元)
当Q取其他值时，可按同样方法算出EL(Q)，结果如表所示。
已知，每份挂历的进价为C=50元，售价P=80元。若在一个月内卖不出去，则每份挂历只能按S=30元卖出。求该商店应该进多少挂历为好。
选择期望损失最小的订货量。
上表的零对角线上方数值为机会成本Cu(d-Q)，下方为存储成本Co(Q-d)。
d<Q时
超储成本Co(Q-d)
d＞Q时
机会成本Cu(d-Q)
当Q=0时 (d>Q)
EL(0)=30×﹝10－0﹞×＋30×﹝20－0﹞×＋30×﹝30－0﹞×＋30×﹝40－0﹞×＋30×﹝50－0﹞×=300×
＋600×＋900×＋1200×＋1500×=855(元)
当Q=10时 (d<Q，d>Q)
EL(10)=20×﹝10－0﹞×＋30×﹝20－10﹞×＋30×﹝30－10﹞×＋30×﹝40－10﹞×＋30×﹝50－10﹞×=200×＋300×＋600×＋900×＋1200×=580(元)
EL(20)=20×﹝20－0﹞×＋20×﹝20－10﹞×＋30×﹝30－20﹞×＋30×﹝40－20﹞×＋30×﹝50－20﹞×=400×＋200×＋300×＋600×＋900×=380(元)
EL(30)=20×﹝30－0﹞×＋20×﹝30－10﹞×＋20×﹝30－20﹞×＋30×﹝40－30﹞×＋30×﹝50－30﹞×=600×＋400×＋200×＋300×＋600×=280(元)
最佳订货量为30份。
2.期望利润最大法
期望利润最大法就是比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量为最佳订货量。
设订货量Q时的期望利润为Ep(Q)，则：
式中：
Co－－单位超储损失 Co=C－S；
Cu－－单位缺货损失(机会损失) Cu=P－C
Q－－订货量；
p(d)－－需求为d时的概率 ∑p(d)=1；
d－－实际需求量。
d<Q时
利润Cud-C0(Q-d)
d≥Q时
利润为CuQ
例2 已知数据同例1，求最佳订货量。
3.边际分析法
假定原订货量为Q，考虑追加一个单位订货量的情况，由于追加了1个单位的订货，使得期望损失的变化为：
则
式中， Q*为最佳订货批量；
P(D*)为概率分布函数，确定了P(D*) 然后再根据经验分布就可以找出最佳的订货量。
例3 某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付＄2，树的售价为＄6。未售出的树只能按＄1出售。节日期间圣诞树需求量的概率分布如表所示（批发商的订货量必须是10的倍数）。试求该批发商的最佳订货量。
p(D)
概率
60
50
40
30
20
10
需求量
表 圣诞树需求量的概率分布
在这里，Co=2－1=＄1
Cu=6－2=＄4
所以， p(D*)=Co/(Co+Cu)=1/(1+4)=
查表5-4可知，实际需求大于50棵的概率为，再结合求D*的条件可以求出最佳订货量为50棵。
二、多周期模型
对于多周期库存模型，我们将讨论经济订货批量模型、经济生产模型和价格折扣模型。在介绍这些模型之前，先要对与库存有关的费用进行分析。只有在对费用分析的基础上，才能有明确的优化方向。
1.与库存有关的费用
与库存有关的费用分为两种，一种随着库存量的增加而增加，另一种随着库存量的增加而减少。正是这两种费用相互作用的结果，才有最佳订货批量。
随库存量增加而增加的费用：
※ 资金的成本
库存的资源本身有价值，占用了资金。这些资金本可以用于其他活动来创造新的价值，库存使这部分资金闲置起来，造成机会损失。资金成本是维持库存物品本身所必需的花费。
※ 仓储空间费用
要维持库存必须建造仓库、配备设备，还有供暖、照明、修理、保管等开支。这是维持仓储空间的费用。
※ 物品变质和陈旧
在闲置过程中，物品会发生变质和陈旧，如金属生锈，药物过时，油漆褪色，鲜货变质。这又会造成一部分损失。
※ 税收和保险
以上费用都随着库存量增加而增加。如果只有随着库存量增加而增加的费用，则库存量越少越好。但也有随着库存量增加而减少的费用，使得库存量既不能太低，也不能太高。
随库存量增加而减少的费用
※ 订货费
订货费与发出订单活动和收货活动有关，包括评判要价、谈判、准备订单、通讯、收货检查等，它一般与订货次数有关，而与一次订多少无关。一次多订货，分摊在每项物资上的订货费就少。
※ 调整准备费（Setup cost）
在生产过程中，工人加工零件，一般需要准备图纸、工艺和工具，需要调整机床、 安装工艺装备。这些活动都需要时间和费用。如果花费一次调整准备费，多加工一些零件，则分摊在每个零件上的调整准备费就少。但扩大加工批量会增加库存。
※ 购买费和加工费
采购或加工的批量大，可能会有价格折扣。
※ 生产管理费
加工批量大，为每批工作做出安排的工作量就会少。
※ 缺货损失费
批量大则发生缺货的情况就少，缺货损失就少。
库存总费用
计算库存总费用一般以年为时间单位。归纳起来，年库存费用包括以下四项：
※ 年维持库存费（Holding cost）
以CH表示，是维持库存所必需的费用。包括资金成本、仓库及设备折旧、税收、保险、陈旧化损失等。这部分费用与物品价值和平均库存量有关。
※ 年补充订货费（Recorder cost）
以CR表示，与全年发生的订货次数有关，一般与一次订多少无关。
※ 年购买费（加工费）（Purchasing cost）
以Cp表示，与价格和订货数量有关。
※ 年缺货损失费(Shortage cost)
以Cs表示，反映失去销售机会带来的损失、信誉损失以及影响 生产造成的损失。它与缺货多少、缺货次数有关。
若以CT表示年库存总费用，则CT=CH＋CR＋Cp＋Cs
对库存进行优化的目标就是要使CT最小。
2.模型
经济订货批量模型（EOQ）
经济订货批量（Economic Order Quantity,EOQ）模型最早是由于1915年提出的。该模型有如下假设条件：
※ 假设条件
ⅰ、外部对库存系统的需求率已知，需求率均匀且为常量。 年需求率以D表示，单位时间需求率以d表示。
ⅱ、一次订货量无最大最小限制。
ⅲ、采购、运输均无价格折扣。
ⅳ、订货提前期已知，且为常量。
ⅴ、订货费与订货批量无关。
ⅵ、维持库存费是库存量的线性函数。
ⅶ、不允许缺货。
ⅷ、补充率为无限大，全部订货一次交付。
ⅸ、采用固定量系统。
Q 2
Q
库
存
量
时间
0
RP
LT
图6 经济订货批量假设下的库存量变化
在以上假设条件下，库存量的变化如图所示。从图可以看出，系统的最大库存量为Q，最小库存量为0，不存在缺货。库存按数值为D的固定需求率减少。当库存量降到订货点RP时，就按固定订货量Q发出订货。经过一固定的订货提前期LT，新的一批订货Q到达（订货刚好在库存变为0时到达），库存量立即达到Q。显然，平均库存量为Q/2。
※ 公式
最佳订货批量（经济订货批量）
在EOQ模型的假设条件下，式CT=CH＋CR＋Cp＋Cs 中
Cs为零，Cp与订货批量大小无关，为常量，因此，
CT=CH＋CR＋CP=H（Q/2）＋S（D/Q）＋pD （1）
式中:
S—为一次订货费或调整准备费；
H—为单位维持库存费，H=p•h，p为单位价，h为资金效果系数；
D—为年需求量。
年维持库存费CH随订货批量Q增加而增加，是Q的线性函数；年订货费CR与Q的变化呈反比，随Q增加而下降。不计年采购费用CP，总费用CT曲线为CH曲线与CR曲线的叠加。CT曲线最低点对应的订货批量就是最佳订货批量，如图所示。
曲线中斜率为零的点
图7 年费用曲线
为了求出经济订货批量(最佳订货批量)，即，求CT曲线的最小值，运用高等数学知识将式（1）对Q求导，并令一阶导数为零，可得：
式中，Q*为最佳订货批量或称经济订货批量。
（2）
此订货量是否为最佳批量，我们用二阶导数对其验证:
∵S、D、Q均为大于0的数，或（CT″）为正值，
证明了Q*即为使库存成本最小的经济订货批量值。
订货点RP可按下式计算：
RP=d·LT
d―单位时间内的需求量;
LT―订货提前期,常用日为单位.
在最佳订货批量下，
从式（2）中可以看出，经济订货批量随单位订货费S增加而增加，随单位维持库存费H增加而减少。因此，价格昂贵的物品订货批量小，难采购的物品一次订货批量要大一些.
订货点
注意单位统一
例4
S公司以单价10元每年购入某种产品8000件。每次订货费用为30元，资金年利息率为12%，单位维持库存费按所库存货物价值的18%计算。若每次订货的提前期为两周，试求经济订货批量、最低年总成本、年订购次数和订货点。
解：
p=10元/件，D=8000件/年，S=30元，LT=2周。
H则由两部分组成，一是资金利息，一是仓储费用，即H=10×12%＋10×18%=3元/（件·年）。
因此，
EOQ=√2DS/H=√2×8000×30/3=400（件）
最低年总费用为：
CT=p·D＋（D/EOQ）·S＋（EOQ/2）·H=8000×10＋（8000/400）×30＋（400/2）×3=81200（元）
年订货次数n=D/EOQ=8000/400=20
订货点RP=（D/52）·LT=8000/52×2=（件）
我们看一看最佳订货批量为400件时的CH和CR
CH=H·Q*/2=p·h·（Q*/2）
=10×（12%＋18%）×400/2=3×400/2=600（元）
CR=S·D/Q*=30×8000/400=600（元）
从计算结果可以发现，以经济订货批量订货时，年维持库存费和年补充订货费相等，此现象并非巧合，订货费和维持库存费相等时正好与最小总成本相对应。
例5 某企业每年需耗用1000件的某种物资，现已知该物资的单价为20元，同时已知每次定货成本为5元，每件物资的年维持库存费为20%。假定每年有250个工作日，订货提前期为10天。试求经济订货批量、订货点、订货次数。
解：D=1000件，p=20元，h=20%
Q*=√2DS/H=√2×1000×5/（20×20%）=50（件）
RP =d×LT=1000/250×10=40（件）
n=D/Q*=1000/50=20（次）
验证：
CH=H×Q*/2=P×h×Q*/2=20×20%×50/2=100（件）
CR=S×（D/Q*）=5×1000/50=100（件）
EOQ假设整批订货在一定时刻同时到达，补充率为无限大。这种假设不符合企业生产过程的实际。一般来说，在进行某种产品生产时，成品是逐渐生产出来的。也就是说，当生产率大于需求率时，库存是逐渐增加的。不是一瞬间上去的。要使库存不致无限增加，当库存达到一定量时，应该停止生产一段时间。由于生产系统调整准备时间的存在，在补充成品库存生产中，也有一个一次生产多少最经济的问题，这就是经济生产批量问题。
经济生产批量（Economic production lot，EPL）模型，又称经济生产量（Economic production quantity，EPQ）模型，其假设条件除与经济订货批量模型第八条假设不一样之外，其余都相同。
经济生产批量模型
补充率为无限大，全部订货一次交付。
Imax
Q
库
存
量
时间
0
RP
LT
T
tp
P
P-d
d
图8 经济生产批量模型假设下的库存量变化
上图描述了在经济生产批量模型下库存量随时间变化的过程。生产在库存为0时开始进行，经过生产时间tp结束，由于生产率P大于需求率d，库存将以（P-d）的速率上升。经过时间tp，库存达到Imax。生产停止后，库存按需求率d下降。当库存减少到0时，又开始了新一轮生产。Q是在tp时间内的生产量，Q又是一个补充周期T内消耗的量。
在图中，P为生产率（单位时间产量）；d为需求率（单位时间出库量），d＜P；tp为生产的时间；Imax为最大库存量；Q为生产批量；RP为订货点；LT为生产提前期。
在EPL模型的假设条件下，式（1）中的CS为零，CP与订货量大小无关，为常量。与EOQ模型不同的是，由于补充率不是无限大，这里平均库存量不是Q/2，而是Imax/2。于是：
CT=CH＋CR＋CP=H(Imax/2)＋S(D/Q)＋pD
问题现在归结为求Imax。由图5-8可以看出：
Imax=tp(P-d)
由Q=P·tp，可以得出tp=Q/P。所以，
CT=H(1－d/P)·Q/2＋S(D/Q)＋p×D ()
※ 经济生产量 EPL
求最佳生产批量：
（通过二次导数来验证是最优值）
式中：d—单位需求量；S—一次调整准备费用；
H—单位维持库存费；P—生产率（单位时间产量）
D—年需求量
※ 订货点
RP=d·LT
d—单位需求量；LT—生产提前期
例6 根据预测，市场每年对X公司生产的产品的需求量为20000台，一年按250个工作日计算。生产率为每天100台，生产提前期为4天。单位产品的生产成本为50元，单位产品的年维持库存费为10元 ，每次生产的生产准备费用为20元。试求经济生产批量EPL、年生产次数、订货点和最低年总费用。
解：这是一个典型的EPL问题，将各变量取相应的单位，代入相应的公式即可求解。
d=D/N=20000/250=80台/日
EPL=√2DS/H（1－D/P）
=√2×20000×20/(10)(1－80/100)
=√800000/2=632
年生产次数n=D/EPL=20000/632=
订货点RP=d·LT=80×4=320（台）
最低年库存费用
CT=H（1-d/p）Q/2＋S（D/Q）＋pD
=10×1-80/100×632/2+20×20000/632+50×20000=10012659(元)
EPL模型比EOQ模型更具一般性，EOQ模型可以看作EPL模型的一个特例。当生产率P趋于无限大时，EPL公式就同EOQ公式一样。
EPL模型对分析问题十分有用。由EPL公式可知，一次生产准备费S越大，则经济生产批量越大；单位维持库存费H越大，则经济生产批量越小。在机械行业，毛坯的生产批量通常大于零件的加工批量，是因为毛坯生产的准备工作比零件加工的准备工作复杂，而零件本身的价值又比毛坯高，从而单位维持库存费较高。
为了刺激需求，诱发更大的购买行为，供应商往往在顾客的采购批量大于某一值时提供优惠的价格。这就是价格折扣。下图表示有两种数量折扣的情况。当采购批量小于Q1时，单价为p1；当采购批量大于或等于Q1而小于Q2时，单价为p2；当采购批量大于或等于Q2时，单价为p3。
p3<p2<p1。
价格折扣模型
0
价
格
订货批量Q
Q1
Q2
p1
p2
p3
图9 有数量折扣的价格曲线
价格折扣对于供应厂家是有利的。因为，生产批量大，则生产成本低，销售量扩大可以占领市场，获取更大利润。价格折扣对用户是否有利，要作具体分析。在有价格折扣的情况下，由于每次订货量大，订货次数减少，年订货费用会降低。但订货量大会使库存增加，从而使维持库存费增加。
按数量折扣订货的优点是单价较低，年订购成本较低，较少发生缺货，装运成本较低，而且能比较有效的对付价格上涨。
其缺点是库存量大，储存费用高，存货周转较慢且容易陈旧。接不接受价格折扣，需要经过价格折扣模型计算才能决定。
价格折扣模型的假设条件仅有一条与EOQ模型假设条件不一样(条件(3)) ，即允许有价格折扣。
由于有价格折扣时，物资的单价不再是固定的了，因而传统的EOQ公式不能简单地套用。图10所示为有两个折扣点的价格折扣模型的费用。
年订货费CR与价格折扣无关，曲线与EOQ模型的一样。年维持库存费CH和年购买费CP都与物资的单价有关。因此，费用曲线是一条不连续的折线。
采购、运输均无价格折扣
图10 有两个折扣点的价格折扣模型的费用
三条曲线的叠加，构成的总费用曲线也是一条不连续的曲线。但是，不论如何变化，最经济的订货批量仍然是总费用曲线CT上最低点所对应的数量。
由于价格折扣模型的总费用曲线不连续，所以成本最低点或者是曲线斜率（亦即一阶导数）为零的点，或者是曲线的中断点。
求有价格折扣的最优订货批量可按下面步骤进行：
(1)取最低价格代入基本EOQ公式求出最佳订货批量Q*，若Q*可行（即所求的点在曲线CT上），Q*即为最优订货批量，停止。否则转步骤(2)。
(2)取次低价格代入基本EOQ公式求出Q*。如果Q*可行，计算订货量为Q*时的总费用和所有大于Q*的数量折扣点(曲线中断点)所对应的总费用，取其中最小的总费用所对应的数量即为最优订货批量，停止。
(3)如果Q*不可行，重复步骤(2)，直到找到一个可行的EOQ为止。
例7 S公司每年要购入1200台X产品。供应商的条件是：①订货量大于等于75单位时单价为元；②订货量小于75单位时单价为35元。每次订货的费用为8元；单位产品的年库存维持费用为单价的12%。试求最优订货量。
解：这是一个典型的数量折扣问题，可按这类问题的一般求解步骤求解。
1、当p=时，H=×12%=，S=8，D=1200。则
EOQ（）=√2×1200×8/=
因为只有当订货量大于等于75时，才可能享受单价为元的优惠价格，也就是说，是不可行的（即所对应的点不在曲线CT的实线上）。
2、求次低的单价，p=35时的情况。此时，H=35×12%=，S=8，D=1200。
EOQ（35）=√2×1200×8/=
当单价为35元时，经济订货批量取68单位，这与供应商的条件是不矛盾的，因而68 为可行的订货量。在这里，订货量大于68的数量折扣点只有一个，即75单位。因此应该分别计算订货量为68单位和75单位时的总成本CT(68)和CT(75)。
CT(68)=(68/2)×+(1200/68)×8+1200×35=(元)
CT(75)=(75/2)×+(1200/75)×8+1200×=(元)
由于CT(75)<CT(68)，所以最优订货批量应为75单位。
1、固定量系统
连续不断的监视库存余量的变化，当库存余量下降到某个预定数值--------定货点（Reorder point , RP)时, 就向供应商发出固定批量的定货请求，经过一段时间，我们称之为提前期（Lead time , LT) , 定货到达补充库存。
2、固定间隔期系统
每经过一个固定的时间间隔，发出一次定货，定货量为将现有库存补充到一个最高水平S
LT
3、最大最小系统
实质仍然是一种固定间隔期系统，只不过它需要确定一个定货点S 。当经过时间间隔 t 时，如果库存降到 S 及以下，则发出定货；否则，再经过时间 t 时再考虑是否发出定货。
LT
式中：EL(Q)－－订货量Q时的期望损失值；
Co－－单位超储损失 Co=C－S ；
Cu－－单位缺货损失(机会损失) Cu=P－C ；
P－－单位售价；C－－单位成本；
Q－－订货量；
p(d)－－需求为d时的概率 ∑p(d)=1；
d－－实际需求量。
期望损失最小法
比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
选择期望损失最小的订货量。
上表的零对角线上方数值为机会成本Cu(d-Q)，下方为存储成本Co(Q-d)。
d<Q时
超储成本Co(Q-d)
d＞Q时
机会成本Cu(d-Q)
思考题
1.库存问题的基本模型。
2.影响最佳订货量的决定因素是什么？
3.期望损失最小法和期望利润最大法的原理。
4.随库存增加而增加的费用有哪些？随库存增加而减少的费用有哪些？
5.库存总费用的计算公式。
6.经济订货批量模型的假设条件？
7.绘制经济订货批量假设下的库存量变化图，并说明其工作原理。
8.绘制经济生产批量模型假设下的库存量变化图，并说明其工作原理。
9.绘制有数量折扣的价格曲线，并说明其工作原理。
期望利润最大法
比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量为最佳订货量。
式中：
Co－－单位超储损失 Co=C－S；
Cu－－单位缺货损失(机会损失) Cu=P－C
Q－－订货量；
p(d)－－需求为d时的概率 ∑p(d)=1；
d－－实际需求量。
d<Q时
利润Cud-C0(Q-d)
d≥Q时
利润为CuQ
