第四章 数列
第一讲 数列的概念与简单表示法
课标要求 考情分析
通过日常生活和数
学中的实例，了解
数列的概念和表示
方法(列表、图象、
通项公式)，了解
数
列是一种特殊函数
1.本讲主要以数列的概念、通项公式的
解法为主，因此要把握好由关系式求
通项公式的方法.
2.能结合通项公式或简单的递推关系
去分析数列的性质，如单调性、
性等，并能利用性质解题.
3.本讲内容在高考中以选择、填空的形
式进行考查，难度为低档
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
1.数列的有关概念
概念 含义
通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系
能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列
的通项公式
前 n 项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列
的前n项和
(续表)
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公
式
法
通项
公式
把数列的通项用公式表示
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an
，an－1)等表示数列的方法
2.数列的表示方法
分类标准 类型 满足条件
项数
有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间
的大小关系
递增数列 an＋1≥an
其中n∈N*递减数列 an＋1≤an
常数列 an＋1＝an
3.数列的分类
【名师点睛】
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
(2)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不
仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺
序有关.
(3)与项数的概念，数列的项是指数列中某一确
定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
题组一 走出误区
1.(多选题)下列命题正确的是( )
A.所有数列的第 n 项都可以用公式表示出来
B.依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止
一个
答案：BD
C.若an＋1－an>0(n≥2)，则数列{an}是递增数列
D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，
都有an＋1＝Sn＋1－Sn
题组二 走进教材
2.(教材改编题)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝
4an＋1，则a3＝________.
答案：21
3.(教材改编题)如图 4-1-1，根据下面的图形及相应的
点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an＝________.
图 4-1-1
答案：5n－4
题组三 真题展现
4.(2021年北京)设数列{an}是递增的整数数列，且
a1≥3，a1＋a2＋a3＋…＋an＝100，则n的最大值为( )
答案：C
答案：10
考点一 由数列的前几项求数列的通项
[例 1](1)已知数列的前 4 项为 2,0,2,0，则依此归纳该
数列的通项不可能是( )
答案：C
(2)(2021 年千阳月考)已知数列 9,99,999,9 999，…，写
)出{an}的通项公式(
解析：数列 9,99,999,9 999，…，
可以表示为10－1,102－1,103－1,104－1，…，
∴{an}的通项公式：an＝10n－正确.
答案：C
＝10n－1 ＝10n－2
＝10n－1 ＝10n＋1
替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.
【题后反思】由前几项归纳数列通项的常用方法及具
体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、
归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方
法.
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项
的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对
值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母
各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交
【变式训练】
写出下列各数列的一个通项公式：
考点二 由 an 与 Sn 的关系求通项
[例 2](1)(2021 年广州质检)已知Sn为数列{an}的前n
项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为
________.
(2)记 Sn为数列{an}的前 n 项和.若 Sn＝2an＋1，则
S6＝________.
答案：－63
【题后反思】数列的通项an与前n项和Sn的关系是
①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并
入n≥2时的通项an；
②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的
形式表示.
示：在利用数列的前n项和求通项时，往往容掉先
求出a1，而直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形
式，但它只适用于n≥2的情形.例如[例2]第(1)题求出an＝
2n(n∈N*).
【变式训练】
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}
的通项公式an＝________.
解析：a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合
上式，∴an＝4n－5.
答案：4n－5
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项
公式an＝________.
考点三 数列的函数属性
考向 1 数列的单调性
[例 3](1)若an＝2n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，
且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为______.
解析：若数列{an}为单调递增数列，则an＋1＞an，
即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞2n2＋λn＋3，
整理得λ＞－(4n＋2)，∵n≥1，∴－(4n＋2)≤－6，即
λ＞－6.
答案：(－6，＋∞)
答案：BCD
考向 2 数列的
[例4]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，
a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 022＝( )
解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，
a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，
故数列{an}是 6 的列，且每连续 6 项的
和为 0.故 S2 022＝337×0＝ 正确.
答案：D
【题后反思】
(1)解决数列问题的方法：先根据已知条件求出
数列的前几项，确定数列的，再根据求值.
(2)判断数列单调性的方法：①作差(或商)法；②目标
函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等
函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数
列中去.
【考法全练】
列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A.(3，＋∞)
C.(1，＋∞)
B.(2，＋∞)
D.(0，＋∞)
答案：D
⊙由数列的递推关系求数列的通项公式
考向1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
________.
考向2 形如an＋1＝anf(n)，求an
[例6]若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝_______.
考向3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
[例7]数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个
通项公式为 an＝________.
解析：法一(累乘法)：
an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
法二(迭代法)：
an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝
33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故
数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.
答案：2×3n－1－1
【反思感悟】由递推关系求数列的通项公式的常用
方法
【高分训练】
1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项
公式an＝( )
－1 －1＋1
－1 (n－1)
解析：法一： ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
答案：A
又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的
等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.故选A.
法二：∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4
＝15.由a1＝1，排除D；由a3＝7，排除B；由a4＝15，排
除C.故选A.
答案：C
3.在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列
an＝________.
答案：2n(n＋
1)(n∈N*)
