八年级 上册 湘教版
初中数学
初中数学
全等三角形
第5课时 全等三角形判定方法的灵活运用
第4章 三角形
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1.(2025湖南浏阳期中)如图,要测量河两岸相对的两点A,B之
间的距离,
全等三角形判定方法的灵活运用
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先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线
DE,使A,C,E三点在一条直线上,可以证明△EDC≌△ABC,得
到ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长.其中判定△EDC≌
△ABC的理由是 ( )
B
解析 在△EDC和△ABC中,
∴△EDC≌△ABC(ASA).故选B.
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2.(2025湖南师大附中模拟)如图所示,甲、乙两个三角形中,和
△ABC全等的是 ( )
A.只有甲 B.只有乙
C.甲和乙 D.都不是
B
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解析 甲的边a,c的夹角和△ABC的边a,c的夹角不对应,故甲
三角形与△ABC不全等;乙的50°角,70°角和夹边b与△ABC的
50°角,70°角和夹边b对应,故可利用“角边角”证明乙三角形
与△ABC全等.故选B.
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3.【新考向·条件开放题】(2024山东德州中考)如图,C是AB的
中点,且CD=BE,请添加一个条件:____________________,
使得△ACD≌△CBE.
AD=CE(答案不唯一)
解析 ∵C是AB的中点,∴AC=CB,
又∵CD=BE,AD=CE,∴△ACD≌△CBE(SSS).答案不唯一.
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4.如图,在Rt△ABC中,直角顶点A在直线l上,AB=AC,过点B,C
分别作直线l的垂线,垂足分别为点D,E.请你在图中找出一对
全等三角形,并证明.
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解析 △ABD≌△CAE.
证明:∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵CE⊥l,BD⊥l,∴∠CEA=∠BDA=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
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5.已知:如图,△ABC与△A'B'C'中,AC=A'C',AB=A'B',CD是△
ABC的中线,C'D'是△A'B'C'的中线,且CD=C'D'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
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证明 ∵CD是△ABC的中线,C'D'是△A'B'C'的中线,
∴AD= AB,A'D'= A'B',
又∵AB=A'B',∴AD=A'D',
在△ADC和△A'D'C'中,
∴△ADC≌△A'D'C'(SSS),∴∠A=∠A',
在△ABC和△A'B'C'中,
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∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
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6.(2025湖南永州月考)提出了这样一个问题:如图,
AD=AE,再添加一个条件,可以证明△ADB≌△AEC.
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一,
甲添加的条件是AB=AC,则△ADB≌△AEC的理由是______
____;
乙添加的条件是∠B=∠C,则△ADB≌△AEC的理由是______
____;
丙添加的条件是∠ADB=∠AEC,则△ADB≌△AEC的理由是
_______.
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(2)若添加的条件是OE=OD,证明:△ADB≌△AEC.
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解析 (1)SAS;AAS;ASA.
[详解]当AB=AC时,
在△ADB和△AEC中,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴此时△ADB≌△AEC的理由是SAS.
当∠B=∠C时,在△ADB和△AEC中,
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∴△ADB≌△AEC(AAS),
∴此时△ADB≌△AEC的理由是AAS.
当∠ADB=∠AEC时,
在△ADB和△AEC中,
∴△ADB≌△AEC(ASA),
∴此时△ADB≌△AEC的理由是ASA.
(2)证明:如图,连接AO,
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在△AEO和△ADO中,
∴△AEO≌△ADO(SSS),∴∠AEO=∠ADO,
∵∠AEO=∠B+∠BOE,∠ADO=∠C+∠DOC,∠BOE=∠DOC,
∴∠B=∠C,
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在△ADB和△AEC中,
∴△ADB≌△AEC(AAS).
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7.【新考向·新定义题】(2024四川遂宁中考,★★☆)如图1,△
ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,∠C≠∠C1,
我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2,在等腰
△ABC中,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等
三角形” ( ) D
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对 对 对 对
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解析 ∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC,∠B=∠C.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(SAS),∴AD=AE.
∵AB=AB,∠B=∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.
同理可得,△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”.
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”.
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△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”.
∴题图中的“伪全等三角形”共有4对.
故选D.
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8.(★★☆)下列条件:①AB=3,AC=4,BC=8;②∠A=60°,∠B=45
°,AB=4;③AB=5,BC=3,∠A=30°;④AB=3,BC=4,AC=5.其中能画
出唯一三角形的是_______(填序号). ②④
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解析 ①∵3+4<8,∴不能画出三角形,故①错误;
②∠A=60°,∠B=45°,AB=4,符合全等三角形的判定定理ASA,
即能画出唯一三角形,故②正确;
③AB=5,BC=3,∠A=30°不能画出唯一三角形,故③错误;
④AB=3,BC=4,AC=5,符合全等三角形的判定定理SSS,即能画
出唯一三角形,故④正确.
故答案为②④.
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9.(2025湖南岳阳期中,★★☆)如图,AD=CB,AB=CD,BE⊥AC,
垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证:
(1)△ABC≌△CDA.
(2)BE=DF.
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证明 (1)在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS).
(2)∵△ABC≌△CDA,
∴∠ACB=∠DAC,∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEC=∠DFA=90°,
在△AFD和△CEB中,
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∴△AFD≌△CEB(AAS),∴BE=DF.
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10.【学科特色·多解法】【学科特色·截长补短法】(2024贵
州遵义月考,★★☆)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在BC上,∠
1=∠2,P为AD上任意一点,连接BP,CP,求证:AB-AC>PB-PC.
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证明 【证法一】截长法:如图,在AB上截取AE,使AE=AC,连
接PE,
在△AEP和△ACP中,
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∴△AEP≌△ACP(SAS),∴PE=PC,
在△PBE中,BE>PB-PE,即AB-AC>PB-PC.
【证法二】补短法:如图,延长AC到点E,使AE=AB,连接PE,
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在△AEP和△ABP中,
∴△AEP≌△ABP(SAS),∴PE=PB,
在△PCE中,CE>PE-PC,即AB-AC>PB-PC.
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11.【新课标·推理能力】(2025山东德州月考)【阅读理解】
课外兴趣小组活动提出了如下问题:如图①,△ABC中,
AD是BC边上的中线,若AB=8,AC=6,求AD的取值范围.
小明的方法:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,请根据小明的
方法思考:
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(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,其理由是 ( )
(2)求得AD的取值范围是 ( )
<AD<8 ≤AD≤8
C
B
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<AD<7 ≤AD≤7
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”,可以考虑
延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结
论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
(3)如图②,AD是△ABC的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥
DF.求证:BE+CF>EF.
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解析 (1)B.
∵AD是△ABC中BC边上的中线,
∴BD=CD,在△ADC和△EDB中,
∴△ADC≌△EDB(SAS).故选B.
(2)C.
∵△ADC≌△EDB,∴BE=AC=6,由三角形三边关系得8-
6<AE<8+6,
∵AE=2AD,∴2<2AD<14,∴1<AD<7.故选C.
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(3)证明:如图,延长FD至H,使得DH=DF,连接BH,EH,
在△BHD和△CFD中,
∴△BHD≌△CFD(SAS),∴BH=CF,∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠EDH
=90°,
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在△EDH与△EDF中,
∴△EDH≌△EDF(SAS),∴EH=EF,
在△BEH中,BE+BH>EH,
∴BE+CF>EF.
