第26卷 第3期 中 国 电 机 工 程 学 报 Feb. 2006 2006年2月Proceedings of the CSEE ©2006 . 文章编号：0258-8013 (2006) 03-0043-05 中图分类号：TM311 文献标识码：A 学科分类号：470⋅40 系统边际价格概率分布的实证分析 郑 华，谢 莉， 张粒子，程 瑜，申景娜 （华北电力大学电气工程学院，北京市 昌平区102206） Positivism Analysis on the Probability Distribution of System Marginal Price ZHENG Hua, XIE Li, ZHANG Li-zi, CHENG Yu, SHEN Jing-na (Electricity Market Research Institute, North China Electric Power University, Changping District, Beijing 102206, China)ABSTRACT: In the research of electricity price uncertainty, 1 引言 the probability density function (PDF) of system marginal price 在现货电能量市场中，系统边际价格（System (SMP) in the day-ahead spot market is one of focused and unMarginal Price，SMP）作为重要的价格信号，对各solved problems. To solve this problem, positivism analysis on SMP PDF is presented in this paper, which has discovered 市场成员的经济利益、资源配置乃至整个市场的稳that SMP belongs to super-gaussian distribution. Moreover, the 定都产生着重要的影响。然而，由于受到机组运行adaptive PDF is proposed. At first, this paper analyzes the 状况、网络约束情况、市场需求变化、发电商报价distribution characteristics of SMP data at the points of market 策略等诸多因素的影响，电价波动性较大，甚至出behavior, frequency distribution histogram and higher-ordered 现“价格钉”现象，使市场交易者不可避免地面临statistics information. According to the analysis result, SMP 着市场风险问题。对此，国内外许多专家和学者展probability density function is verified to be super-gaussian, not 开了深入的研究，文献[1-5]通过实例分析，验证了traditional gaussian. Based on that demonstration, new 电价的剧烈波动性；文献[6]采用序列运算理论，提super-gaussian PDF model is invented that is consistent with SMP出基于机组报价不确定性的电价概率模型；文献[7] true characteristics. Finally, the real data of New England electricity market testifies the validity of the proposed model. 对系统边际价格是否满足高斯分布提出了质疑，并建立了基于独立分量分析技术的系统边际价格的条KEY WORDS: System marginal price; Probability density 件概率求解模型；文献[8]针对电价波动剧烈的特function; Gaussian distribution; Super-gaussian distribution. 点，采用温度等短期信息求解电价概率。文献[9-11]摘要：该文针对系统边际价格的概率分布模型问题，展开实则进一步对电力市场中电价波动引起的风险问题进证分析，验证了系统边际价格概率分布的超高斯性，并提出行了有益的探讨。 了适合的电价超高斯型概率分布模型。首先，该文对多个典然而，作为电价不确定性研究的基础性问题，型电力市场中的日前现货电能量市场的系统边际价格的概率分布特性进行了市场行为分析、频率分布直方图和高阶统无疑，客观、准确的电价概率模型在电力市场研究计量等多角度的实证剖析，揭示出系统边际价格实际上并不中具有重要的理论意义和实用价值，但电价概率密满足传统的高斯分布假设，而是服从超高斯型概率分布的规度模型方面的研究却甚少，未见此方面报道。以往律。在此基础上，针对各典型市场的系统边际价格的实际概人们对电价概率的研究和应用多基于高斯分布的假率分布规律，该文提出了适用于系统边际价格的超高斯型概设[8,12]；或者直接采用各离散点的统计数据求解电率密度新模型。典型电力市场的实例数据验证了该文所建模价概率，不论是计算精度，还是求解难度均存在一型的有效性。 定的问题。 关键词：系统边际价格；概率密度函数；高斯分布；超高斯针对上述问题，本文进行了系统边际价格概率分布分布的实证分析，并提出了适用于系统边际价格的 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
44 中 国 电 机 工 程 学 报 第26卷 超高斯型概率分布模型。首先，本文通过进行市场具体来说，就各交易日的系统边际价格曲线来行为、频率分布直方图和高阶统计量等多角度的实看，低电价多发生在负荷需求较低的交易时段。如证分析，提出并验证了系统边际价格不满足传统的晚上22点到次日凌晨6点之间，此时上网机组的剩高斯分布假设，而是服从超高斯分布的概率分布规余容量较为富裕，相当于买方市场。但是，由于发律。并在此基础上，针对各典型市场的系统边际价电机组有最小技术出力等运行技术条件的限制，此格的实际概率分布规律，提出了适用于系统边际价时发电企业宁可以低于发电成本的价格发电，来保格的超高斯型概率密度模型。典型电力市场的实例持机组的连续运行，以避免由于机组启停所引起的数据验证了本文所建模型的有效性。更大损失，这使得该交易时段的系统边际价格往往 低于实际的发电成本。显然，此时机组运行技术约2 系统边际价格概率分布的传统模型 束和低报价策略对系统边际价格的影响较大。而在一般情况下，最常见到的分布就是满足拉普拉负荷需求较缓和的交易时段，系统边际价格会随着斯和高斯正态定律的分布，以下简称高斯分布（也负荷需求的增加而逐步上升，此时发电企业较少采称正态分布）。例如，在1000次抛币试验中正面出用策略行为，相应的系统边际价格多在均值加减一现的次数、房间里氧分子的准确数量、仪器测量误个均方差水平之间波动。而在高峰时段，由于负荷差等大多数随机现象都服从或近似服从高斯分布。需求较高或者网络约束的限制，发电供给或输电容在系统边际价格分布问题上，人们也沿用了高斯分量逐步变得紧张，此时的市场相当于卖方市场，发布的假设，即假定系统边际价格满足高斯分布。电企业伺机获取超额利润或来弥补在低电价时段的 设连续型随机变量损失，系统边际价格也往往高于实际发电成本，以x表示系统边际价格，传统模型定义电价满足高斯分布，即电价的概率密度函保障达到全天的目标收益。 数从分析中，可以得出：在不同的交易时段，报p(x)为 2价策略、机组技术约束、网络约束和市场供需状况1(x−m)p(x)=exp (1) 等因素所起的作用强度各不相同，非均衡地影响着s2pi2s2系统边际价格的变化规律。正是在这些非均衡的影式中 m为系统边际价格的样本均值；s为系统边响因素的作用下，使得系统边际价格出现了与高斯际价格的样本均方差。 分布不相一致的变化特点。因此，从影响因素的作系统边际价格的真实分布果真如此么？下文用特点来看，系统边际价格实际上已不满足高斯分将分别从市场行为分析、直方图和高阶统计特性等布的一般前提条件。 多个角度展开系统边际价格分布特性的实证分析。 系统边际价格分布特性的频率分布直方图分析 3 系统边际价格分布特性的辨识根据前一节对系统边际价格的市场行为分析， 我们发现系统边际价格与传统高斯分布的假设前提系统边际价格的市场行为分析 不相一致。但是，系统边际价格是否满足高斯分布根据中心极限定理，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这还需要进一步地定量分析。 个指标就服从高斯分布[13]。也就说，如果该指标服首先，为考察系统边际价格样本分布的数量规从高斯分布，则它的影响因素对它的影响应当是均律性，文中利用现有的实际数据，绘制出电价的频衡的，即任何一个因素对该指标的影响作用都不会率分布直方图。方法如下：设电价样本容量为n，相对于其它因素更加显著或者突出。将整个样本区间等分为l个长度为d的数值小区间， 然而，通过对实际数据的研究发现，影响系统位于第i（i=1,2,…, l）个等分数值小区间上的样本边际价格因素较多，包括系统运行状况、负荷需求、个数为vi，则该区间上的组频率为fi=vi/n，于是得各机组剩余发电容量、各市场参与者的报价策略等到如图1所示系统边际价格的频率分布直方图（简多方面因素，且相互交叠。而且，在不同的交易时称直方图）。该图横坐标为电价数值，纵坐标为fi/d。段，这些因素表现出不同的作用强度，使得系统边各电力市场的系统边际价格直方图和高斯分布曲线际价格的变化规律明显不同于高斯分布。 的对比见图2所示。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
第3期 郑 华等：系统边际价格概率分布的实证分析 45 fi/d 为明确系统边际价格的概率分布类型，本文采用偏度和峭度这两个高阶统计量作为度量指标。根据概率论，当偏度和峭度中至少有一个与零相差较大时，则可以认为该随机变量不是高斯分布[14]。偏度Cskew(x)和峭度Ckurt(x)的具体定义如下： E3a[x−E(x)C] b d x 图 1 频率分布直方图skew(x)= (2) E23/2([x−E(x)])Fig. 1 Frequency Distribution Histogram E4[x−E(x) f(x) f(x) C]kurt(x)=−3 电价的频率分布直方图3 电价的频率分 布 直方图 E2{[x−E(x)]}2 2 >0,超高斯分布1 1 =0,高斯分布 (3) 高斯分布曲线高斯分布曲线 0 0 <0,亚高斯分布-4 0 4 8 x -4 0 4 8 x (a) (b) f(x) f(x) 式(2)、(3)中E(x)为样本期望；E2[x−E(x)]、 电价的频率分布直方图 电价的频率分布直方图 E340[x−E(x)]与E[x−E(x)]分别为样本的二阶中.6 10 0心矩、三阶中心矩和四阶中心矩。 .4 5 高斯分布曲线典型的高斯分布、超高斯分布和亚高斯分布曲 高斯分布曲线 0 0 线如图3所示。 -4 0 4 8 x -4 0 4 8 x (c) (d) f(x) 图2 (a),(b),(c),(d) 分别为新英格兰、英国、美国加州和澳大利亚的新南威尔士电力市场超高斯分布 SMP的频率分布直方图及高斯分布曲线 高斯分布 Fig. 2 (a),(b),(c),(d) SMP Frequency Distribution Histogram and Gaussian PDF data of New England, English, 亚高斯分布 California and New South Wales Electricity markets 由图2可知，系统边际价格的频率分布直方图0 与高斯分布曲线有较大差异，突出表现为：-5 电 价-3的 频 率 分 布-1直 方 图 1 3 x （图3 典型的高斯分布、超高斯分布和亚高斯分布曲线 1）“尖峰” Fig. 3 Typical curves of gauss, super-gauss and sub-gauss 在概率密度曲线的最大值附近，系统边际价格distributions 频率分布直方图的峰部明显陡峭，其陡峭程度比高文中对典型电力市场中的系统边际价格数据斯分布要剧烈得多。从图中还可见，系统边际价格进行统计分析，所得的相关统计数据如表1所示。 概率密度曲线的顶点，即系统边际价格概率密度最表1中的统计数据表明各典型电力市场的系统大点，其数值超出高斯分布的概率密度最大点的边际价格峭度值都远大于零，数值为几十甚至可达倍至4倍之多，这说明系统边际价格分布较高斯分到数千以上，且偏度也不为零。 布要更加集中，在最大可能值附近电价的发生几率表1 典型电力市场中系统边际价格的相关统计数据 远比传统假设要大得多。 Statistic data of smp in different electricity markets （2）“胖尾”市场名称 均值($/) 标准差 偏度 峭度 系统边际价格概率分布曲线的尾部较长，尤其新英格兰 英国 是右尾部，其观测点处已达到6倍均方差，也就说美国加州 具有明显的“胖尾”现象。新南威尔士 系统边际价格分布特性的高阶统计量分析 因此，可以得出结论：系统边际价格不服从高由以上分析可知，系统边际价格的实际分布特斯型分布，而是具有明显的超高斯分布特性。此外，性与高斯分布特性具有较大的差异。那么，系统边对比表1和图2可以发现，峭度值较大时，峰部较际价格到底属于何种分布，下文将对系统边际价格尖。美国加州市场的峭度值是4个市场中最小的一概率分布类型进行进一步地分析和确定。 个，其频率分布直方图也最平坦，从而说明频率分PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
46 中 国 电 机 工 程 学 报 第26卷 布直方图与峭度之间存在一定的联系。 Ckurt(xa)=Γ(1a)Γ(a)Γ2/5//(3/a)−3 (10) 4 系统边际价格概率分布的基本模型根据式(10)得到形如式(4)分布的峭度曲线如图 4所示。 前文分别从市场行为、频率分布直方图和高阶统计特性等方面分析并验证了系统边际价格的分布 Ckrut 40 类型，从而得出系统边际价格是服从超高斯分布的分布规律的结论。但目前在数学上超高斯分布并没20 有统一的概率密度表达式，使系统边际价格概率密度的研究遇到一定的困难。为解决该问题，本文构0 造了指数分布族形式的系统边际价格超高斯型概率0 1 2 3 a 密度函数的基本模型为 图4 系统边际价格概率密度函数族的峭度曲线图 Fig. 4 Kurtosis curve of smp probability density function f(x)=Aexp−Bax−x0 (4) family st0<a<2从而得到： 式中 x∈(-∞, +∞)；A、B、a分别与电价实际分布>0超高斯分布,0<a<2相关的正常数，值得注意的是式(4)的密度函数中，Ckurt(xa)=高斯分布,=2 (11) a直接影响概率密度的分布特性。 <0亚高斯分布,>2由于f(x)满足： 因此，通过适当选取参数a、A和B，就能够+∞建立系统边际价格的超高斯型概率分布模型。 ∫Aexp[Ba−x−x0]dx=1 (5) −∞推出 当u=x−x0时， 5 算例分析 +∞Aa∫exp[−Bx−x0] dx= −∞下面以新英格兰电力市场中的日前现货电能+∞2A∫A−Bauu=B−/aexp[]d1Γ(1/a)=1 (6) 量市场的系统边际价格实际数据为例，验证第4节−∞a所建立模型的有效性。数据为1999年5月1日至求得A=aB1/a /2Γ(1/a)。 2002年12月31日的各交易日的系统边际价格数为确保f(x)函数符合电价超高斯型分布的特据。本算例中新英格兰电力市场的系统边际价格的点，现对该密度函数进行峭度分析。 超高斯型概率分布模型为 因为 +∞f(x)=[−1x+] Ea(x)=∫xAexp[−Bx−x0] dx 当u=x−x0时， −∞据此得图5。图中实线是本文所建模型的模拟+∞分布曲线，虚线为实际数据的直方图曲线，具体概∫A(u+x0)e−Baxp[u] du= −∞+∞率比较见表2。由表2可以看出，在低电价情况下，∫Axexp[Ba−u] du=x0 (7) −∞本文模型较高斯模型相对误差略小。而随着负荷的 2+∞E22x−E(x)=E(x−0)=∫(x−x0)f(x)dx −∞ f(x) 当u=x−0时， 3+∞22A−32 A∫texp[−Bat] dt=BaΓ−∞aa (8) 4E4+∞41 x−E(x)=E(x−0)=∫(x−x0)f(x)dx −∞当u=x−0时， 0 -1 0 1 2 3 4 x 5+∞4a2A−a5A∫texp[−Bt]dt=BΓ−∞aa (9) 图5新英格兰电力市场系统边际价格的 概率密度函数对比图 将式(8)、(9)代入式(3)，得到系统边际价格的概Fig. 5 SMP probability density function curve of proposed 率密度函数model compare with histogram model in New England f(x)的峭度计算公式 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
第3期 郑 华等：系统边际价格概率分布的实证分析 47 表2 新英格兰电力市场系统边际价格的概率模型比较 Engineering Society Summer Meeting，2002 IEEE，Chicago IL，USA，Tab. 2 Comparisons of different SMP PDF models 2000． in New England [3] Mount Tim．Market power and price volatility in restructured markets 本文模型 高斯模型 SMP/($/MW实际 .h)for electricity[J]．Decision Support Systems，2001，30(3)：311-325． 概率 概率 误差(%) 概率 误差(%) [4] Carlo Botto．Price volatility-a natural consequence of electricity market P{X<10} deregulation and a trader's delight[R]．IEEE Proceedings of Power P{X<20} Engineering Society Summer Meeting，Edmonton Alta，Canada， P{X<30} 1999． P{X<40} [5] Li Ying，Peter C Flynn．Power price in deregulated markets[C]． IEEE P{X<50} Proceedings of Power Engineering Society General Meeting，Toronto P{X<60} Orit，Canada，2003． P{X<70} [6] 白利超，康重庆，夏清，等．不确定性电价分析[J]．中国电机工程P{X<100} 学报，2002，22(5)：36-41． 增长，电力和电量供给得逐渐紧张，由买方市场逐 Bai Lichao，Kang Chongqing，Xia Qing，et al． Analysis on the 步转向卖方市场，发电企业更多地采取了策略性报Uncertainty of electricity price[J]．Proceedings of the CSEE，2002， 22(5)：36-41． 价，电价也逐步由低电价向高电价转移，以获取超[7] 郑华，张粒子，谢莉，等．关于电力市场下系统边际价格概率模型额利润或弥补低电价时段的损失，此时的系统边际的新研究[J]．中国电机工程学报，2004，24(11)：74-79． 价格已不再满足高斯分布规律，而是遵循超高斯分 Zheng Hua，Zhang Lizi，Xie Li，et al．Study on the probability model of system marginal price in electricity market[J]．Proceedings of the 布规律。因此，此时的高斯分布模型的误差较大，CSEE，2004，24(11)：74-79． 而本文模型的误差较小，其能够较好的拟合实际系[8] Valenzuela J，Mazumdar M．On the computation of the probability 统边际价格的概率分布情况，从而也验证了本文模distribution of the spot market price in a deregulated electricity market[J]．IEEE Proceedings of Power Industry Computer 型所建的有效性。 Applications，2001．Sydney，NSW，2001． [9] 赵新宇，王锡凡，陈皓勇．火电厂投资风险决策的模型与整体框架6 结论 [J]．中国电机工程学报，2004，24(8)：7-11． Zhao Xinyu，Wang Xifan，Chen Haoyong．Strategy decision model and 本文对典型电力市场中的系统边际价格的概framework of thermal power generation investment[J]．Proceedings of 率分布特性进行了详细且系统地实证分析，并建立the CSEE，2004，24(8)：7-11． [10] 康重庆，白利超，夏清， 等． 电力市场中发电商的风险决策[J]． 中了相应的概率分布模型，是对系统边际价格概率分国电机工程学报，2004，24(8)：1-6． 布研究的新尝试。 Kang Chongqing， Bai Lichao，Xia Qing，et al． Risk decision-making 首先，本文对系统边际价格进行了市场行为分of generations in electricity market[J]．Proceedings of the CSEE， 2004，24(8)：1-6． 析，发现系统边际价格并不满足高斯分布的前提假[11] 周浩，康建伟，陈建华，等．蒙特卡罗方法在电力市场短期金融风设。然后，文中利用典型电力市场中系统边际价格险评估中的应用[J]．中国电机工程学报，2004，24(12)：74-77． 数据，分别从直方图和高阶统计量分析等角度对系 Zhou Hao，Kang Jianwei，Chen Jianhua．et al．Evaluation short-term financial risk in the electricity market by applying monte-carlo 统边际价格的概率分布特性进行了更深层次剖析，method[J]．Proceedings of the CSEE，2004，24(12)：74-77． 从而揭示出系统边际价格服从超高斯分布的规律。[12] Nogales F J，Contreras J，Conejo A J，et al．Forecasting next-day 在此基础上，本文构建了适用于系统边际价格的超electricity prices by time series models[J]．IEEE Transactions on Power Systems，2002，17(2)：342-348． 高斯型概率分布模型。实例数据验证了本文模型的[13] 复旦大学编．概率论[M]．北京：高等教育出版社，1987． 有效性和实用性。[14] 吴坚． 应用概率统计[M]．北京：高等教育出版社，2002． 目前，本文所作研究是系统边际价格概率研究 收稿日期：2005-09-28。 方面的初步尝试，仍然存在一定的不足，例如低电 作者简介： 价点处的概率模型的准确性有待提高。 郑 华（1971-），男，博士，主要研究方向为电力市场运营模式及 价格机制； 谢 莉（1972-），女，博士研究生，主要研究方向为电力市场报价参考文献 策略与风险管理方面的研究； 张粒子（1963-），女，博士，教授，博士生导师，研究方向为电力市场和电力系统分析相关理论及其应用； [1] Joskow P，Kahn E．A quantitative analyss of pricing behavior in 程 瑜（1978-），女，博士研究生，主要研究方向为电力市场中销california’s wholesale electricity market during summer 2000 售电价理论研究； [R]．Power Engineering Society Summer Meeting， Vancouver BC，Canada，申景娜（1973-），女，博士研究生，主要研究方向为电力系统分析2001． 与运行。 [2] Benini M，Marracci M，Pelacchi P，et al．Day-ahead market price （编辑 王彦骏） volatility analysis in deregulated electricity markets[C]．Power PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
