《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布 单一总体参数的区间估计
总体、个体和样本 总体均值的区间估计
大数定律和中心极限定理 总体比例的区间估
三种分布 总体方差的区间估计
样本均值的抽样分布 两个总体参数的区间估计
样本比例的抽样分布 两个总体均值之差的
样本方差的抽样分布 区间估计
两个总体样本统计量的抽样分布 两个总体比例之差的
参数估计的一般问题 区间估计
估计量和估计值 两个总体方差比值的
点估计 区间估计
点估计量的评价准则
区间估计
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
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卢小广
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
总体、个体和样本
总体（Population）是指所研究的事物及其现象的全体，由该事物及
其现象的全部个体组成。
个体（Item Unit）是指构成总体的元素。
总体容量（Population Size）是指构成总体的全部个体的数量。
样本（Sample）是指从总体抽取的若干个体构成的集合。
抽样（Sampling）是指按照具体的抽样方法和抽样设计，从总体中抽
取若干个体的过程。
样本容量（Sample size）是指构成样本的全部个体的数量。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
总体、个体和样本
总体（Population）是指所研究的事物及其现象的全体，由该事物及
其现象的全部个体组成。
个体（Item Unit）是指构成总体的元素。
总体容量（Population Size）是指构成总体的全部个体的数量。
样本（Sample）是指从总体抽取的若干个体构成的集合。
抽样（Sampling）是指按照具体的抽样方法和抽样设计，从总体中抽
取若干个体的过程。
样本容量（Sample size）是指构成样本的全部个体的数量。
★ 讨论题 请用经济管理中的实例，解释上述的总体、个体和样本等
概念。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
大数定律和中心极限定理
1．大数定律
在对客观事物及其现象进行观测和实验中，随着观测或实验的次数增
多，事件发生的频率和均值逐渐地趋于某个常数。
（1）贝努利定理（Bernoulli Theorem）
（）
贝努利定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率。从而
以严格的数学形式表述了频率的稳定性特征，即n当很大时，事件发生
的频率与概率之间出现较大的偏差的可能性很小。由此，在n充分大的
场合，可以用事件发生的频率来替代事件的概率。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
（2）车比雪夫定理（Chebyshev Theorem）
设随机变量相互独立，且具有相同的有限的数学期望和方差，对于任
意正整数有
（）
称序列 依概率收敛于总体均值。即当n充分大时，车
比雪夫不等式几乎都是成立的；当n趋于无穷大时，n个随机变量的均值
趋于总体均值。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
2．中心极限定理
在客观现实中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综
合影响而形成的，任何一个因素在总的影响中的作用都是微小的，这种
随机变量往往近似地服从正态分布。
中心极限定理（Central Limit Theorem）反映了随机变量近似地服
从正态分布的特征。中心极限定理是大样本推断的理论基础。
独立同分布的中心极限定理是应用最多的一种中心极限定理。设随机
变量相互独立，服从同一分布，且具有相同的有限的数学期望和方差，
则
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
2．中心极限定理
在客观现实中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综
合影响而形成的，任何一个因素在总的影响中的作用都是微小的，这种
随机变量往往近似地服从正态分布。
中心极限定理（Central Limit Theorem）反映了随机变量近似地服
从正态分布的特征。中心极限定理是大样本推断的理论基础。
独立同分布的中心极限定理是应用最多的一种中心极限定理。设随机
变量相互独立，服从同一分布，且具有相同的有限的数学期望和方差，
则
（）
★ 讨论题 大数定律和中心极限定理对于参数估计的意义。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
三种分布
1．总体分布
总体分布（Population Distribution）是指由客观存在的，构成总
体的个体所形成的频数分布，及其相关参数数值。例如，当研究某一企
业职工收入情况时，该企业全体职工的收入状况的频数分布，以及反映
该企业全体职工收入状况的均值、方差、偏态系数和峰度系数，从不同
角度综合描述了这一总体的分布特征。
我们往往是通过对构成总体的部分个体进行观察，即通过样本数据计
算的统计量，例如样本均值、样本方差、样本偏态系数和样本峰度系数，
以及样本的频数分布来推断总体参数，用样本分布来估计总体分布。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
2．样本分布
样本分布（Sample Distribution）是指由构成样本的个体所形成样
本的频数分布，以及计算出来的相关统计量。
样本中的个体都是来自于总体，具有总体的相关信息和基本特征，样
本分布是总体分布的一个映象，一个缩影。当样本容量充分大时，样本
分布趋近于总体分布。
样本分布是指某一个具体的样本中的个体数量特征。由于样本是随机
抽取的，每一次抽取的样本中的个体不尽相同，每一个具体的样本分布
也会与对应的总体分布存在或大或小的偏误，根据样本计算的统计量是
随机变量。
（随机抽取的）样本的分布与客观的总体分布之间的误差，需要借助
抽样分布概念。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
3．抽样分布
抽样分布（Sampling Distribution）是指从同分布总体中，独立抽
取的相同样本容量的样本统计量的概率分布。所以，抽样分布是样本分
布的概率分布，抽样分布是抽样理论的研究对象。
抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布，这是科
学地进行统计推断的基础。例如，在大样本场合，由中心极限定理有样
本均值趋于正态分布。
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抽样分布
3．抽样分布
抽样分布（Sampling Distribution）是指从同分布总体中，独立抽
取的相同样本容量的样本统计量的概率分布。所以，抽样分布是样本分
布的概率分布，抽样分布是抽样理论的研究对象。
抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布，这是科
学地进行统计推断的基础。例如，在大样本场合，由中心极限定理有样
本均值趋于正态分布。
★ 讨论题 为什么说抽样分布是抽样理论研究的对象，解释三种分布之
间的联系。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
样本均值的抽样分布
1．大样本场合下的样本均值抽样分布
在反复抽取容量相同的独立同分布样本条件下，所得到的样本均值的
概率分布称为样本均值的抽样分布。在样本容量充分大的情况下，即大
样本场合，样本均值依据中心极限定理趋于正态分布。
所谓独立同分布样本为从无限总体中随机抽取的等概样本，或从有限
总体中以放回方式，随机抽取的等概样本。
所谓大样本是指能够满足中心极限定理要求，使样本均值趋于正态分
布的样本容量。在统计实践中一般称样本容量大于30即为大样本这只是
一个粗略的经验数值。
有离散变量样本均值的计算公式
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
在样本容量充分大的场合下，样本均值渐进地趋于数学期望为总体均
值，方差为总体方差的n分之一的正态分布，即
样本均值的数学期望为总体均值，表明从平均的观点来看，用样本均
值估计总体均值不存在偏差，即具有无偏性；样本均值的方差为总体方
差的n分之一，表明只要总体方差是有限的，那么随着样本容量的增大，
样本均值的方差相应减小，用样本均值估计总体均值的误差也相应减小。
同时可以由总体方差和样本容量，精确地计算出这一样本均值的方差，
并且用这一样本方差度量使用样本均值估计总体均值的误差。
通过对样本均值的标准化处理，在用样本均值估计总体均值时，可以
使用标准正态分布来计算抽样误差出现的概率。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
例 在一次研究某一企业职工收入情况的调查中，准备从该企业随
机抽取100个职工个人的收入状况数据构成样本，以此推断该企业职工
平均月收入。
要求 若该企业职工平均月收入的总体均值为2000元，总体标准差为
为250元，试计算样本均值不小于1950元的概率。
解 根据中心极限定理，在样本容量充分大时，样本均值渐进地趋于
数学期望为总体均值，方差为总体方差的n分之一的正态分布，有本例
的样本均值渐进地趋于数学期望为2000元，标准差为25的正态分布，即。
代入正态分布概率计算公式，得
即样本均值不小于1950元的概率为%。（查表，教材324页）
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
2．小样本场合下的样本均值抽样分布
在小样本场合，不满足中心极限定理对于样本容量充分大的要求，样
本均值不趋于正态分布，而是趋于t分布。
统计学家戈斯特（W. S. Gosset 1876-1936）在1908年以 Student
的笔名发表的一篇论文中，首次提出了t分布，从而这一小样本分布理
论被称为Student分布，简称为t分布。
设为来自正态分布总体的样本，有
（）
为T统计量，T统计量服从于自由度为n-1的t分布。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
式（）中的s2表示样本方差，有
（）
式（）存在着一个线性约束,T统计量服从自由度n-1为的t分布。
t分布的形状也是一左右对称的钟形图形，比正态分布扁平，并且受
到自由度数值大小的约束，自由度的数值越小，t分布越趋于扁平；自
由度的数值越大，t分布扁平的程度越小，并且随着自由度的数值增大，
t分布的形态逐渐趋于正态分布。
t分布的应用条件是总体服从正态分布。在总体方差未知时，t分布是
一种精确的估计方法，正态分布只是其近似的概率分布。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
例 假定某一企业职工收入情况服从正态分布中，从该企业随机
抽取了16个职工个人的收入状况数据构成样本，拟以此推断该企业职工
平均月收入。
要求 若该企业职工平均月收入的总体均值为2000元，样本标准差为
为250元，试计算样本均值不小于1950元的近似概率。
解 由于样本容量小于30，为小样本，此时的样本均值服从于t分布。
并且，已知样本容量为16，因此本例的样本均值服从于自由度为15的t
分布。有
即在样本容量仅为16的小样本条件下，该次调查的样本均值不小于
1950元的概率为%。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
样本比例的抽样分布
所谓的总体比例是指总体中具有某一属性的单位数与总体全部单位数
的比例。
样本比例抽样分布为在服从二项分布的总体中，重复抽取样本容量为
的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布。
样本比例的抽样分布就是样本比例的所有可能取值的概率分布。在大
样本场合，样本比例的抽样分布渐进地趋于正态分布。即
（）
样本比例的方差为
（）
即有，在大样本下样本比例渐进地服从于
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
样本方差的抽样分布
在反复抽取容量相同的独立同分布样本条件下，所得到的样本方差的
概率分布称为样本方差的抽样分布。
在服从正态分布的同分布总体中，样本方差与总体方差的比值服从于
自由度n-1为的卡方分布。即
（）
卡方分布仅在第一象限取值，所以分布的取值永远为正数。卡方分布
一般为右偏态的偏峰分布，偏倚形态取决于其自由度的数值，自由度的
数值越小，偏倚的程度越大，并且随着自由度的数值增大，分布的形态
逐渐趋于对称，正态分布是卡方分布的极限分布。
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
两个总体样本统计量的抽样分布
1．两个样本均值之差的抽样分布
在两个总体中，各自独立地反复抽取样本容量分别为和的独立同分布
样本条件下，所得到的两个样本均值和之差的概率分布称为两个样本均
值之差的抽样分布。在大样本场合，两个样本均值之差依据中心极限定
理趋于正态分布。
由于两个样本均值之差的数学期望为两个总体均值之差，即
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
两个样本均值之差的方差为这两个样本均值方差之和，有
（）
因此，这样的两个样本均值之差的抽样分布为
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
2．两个样本比例之差的抽样分布
两个样本比例之差的抽样分布是指在两个服从二项分布的总体中，各
自独立地反复抽取样本容量分别为和的独立同分布样本条件下，由所得
到的两个样本比例和之差的所有可能取值形成的相对频数分布。
在两个样本均为大样本的场合下，两个样本比例之差的抽样分布渐进
地趋于正态分布。这时有两个样本比例之差的数学期望等于两个总体比
例之差，即
（）
方差为
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
抽样分布
3．两个样本方差比值的抽样分布
在两个正态总体中，各自独立地反复抽取样本容量分别为和的独立同
分布样本条件下，所得到的两个样本方差和比值的概率分布称为两个样
本方差比值的抽样分布。两个样本方差比值的抽样分布服从于F分布。
F分布在形式上为两个独立的卡方分布除以各自自由度的比值。由式
（）可以给出两个样本方差和的卡方分布，再计算出这两者的比值，
即得到F统计量。
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
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卢小广
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
估计量和估计值
1．估计量
估计量（Estimator）是指用于估计相关的总体参数的统计量。样本
均值、样本比例和样本方差都是估计量。
2．估计值
估计值（Estimate）是指估计量的具体数值。例如，通过样本的数据，
按照相关估计量的计算公式，所得出的样本均值、样本比例和样本方差
的具体数值就是估计值。
参数估计（Parameter Estimation）就是在样本数据的基础上，计算
估计量的具体数值——估计值，去推断相关的总体参数的方法和过程。
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
点估计
点估计（Point Estimate）是指用估计量的数值直接作为总体参数的
估计值的方法和过程。
在总体分布形式为已知，从该总体中抽取一个样本，对未知参数所作
的一个数值点的估计，称为参数的点估计。
点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法和最小二乘法
等。
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
矩估计法
矩估计法（Methods of Moment Estimation）是指用样本的矩，估计
总体的矩的参数估计方法。矩是在数学期望基础上定义的数字特征，可
以分为k阶原点矩和k阶中心矩两类。
（1）k阶原点矩（Moment of Order K About the Origin）是指随机变
量的k次方的数学期望，其中k为任意正整数，写为
（）
一阶原点矩就是随机变量的数学期望.
（2）k阶中心矩（Centred Moment of Order k）是指随机变量与其数
学期望之差的k次方的数学期望，其中k为任意正整数，写为
（）
二阶中心矩就是随机变量的方差.
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
点估计量的评价准则
在参数的点估计中，可以从一致性、无偏性和有效性三个方面对点估
计量进行评价。
1．一致性
一致性（Consistency）是指当样本容量趋于无穷大时，估计量依概
率收敛于总体参数。即
（）
则称为的满足一致性准则的估计量，一般称之为一致估计量。
一致估计量随着样本容量的增大，其数值越来越接近被估计的总体参
数。
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
2．无偏性
无偏性（Unbiasedness）是指估计量的数学期望等于未知的总体参数
真值。即
（）
则称为的满足无偏性准则的估计量，一般称之为无偏估计量。
样本均值是总体均值的一个无偏估计量。
（）
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参数估计的一般问题
2．无偏性
无偏性（Unbiasedness）是指估计量的数学期望等于未知的总体参数
真值。即
（）
则称为的满足无偏性准则的估计量，一般称之为无偏估计量。
样本均值是总体均值的一个无偏估计量。
（）
★ 讨论题 总体方差的最大似然估计量和矩估计量是否均为无偏估计量。
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
3．有效性
有效性（Effectiveness）是指采用均方误差对估计量精确程度的测
定，通常表现为两个估计量的均方误差之比。
均方误差就是一个测定估计量本身的离散程度，以及估计量数学期望
与总体相关参数的真值的偏倚程度的测度。
均方误差（Mean Square Error）是估计量与总体参数真值的离差的
平方的数学期望，有
（）
若将估计量的数学期望与总体参数真值的离差记为，称为估计量的偏
差，作为反映估计量与总体参数真值偏倚程度的测度。则可将式
（）写为
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
均方误差是由估计量的方差和偏差两部分组成。其中估计量的方差反
映的是估计量本身的离散程度；估计量的偏差反映的是估计量的数学期
望与总体参数真值的偏倚程度。
当两个估计量均为无偏估计量时，均方误差的式（）中的第二项
为0，只剩下第一项估计量的方差。这时只要比较估计量的方差就可以
对其有效性进行评价。
从计算均方误差的式（）可知，对于一个估计量的评价，需要综
合分析它对于相关总体参数的估计误差，不能简单地认为一个无偏的估
计量就一定优于一个有偏的估计量，还要具体度量有偏估计量的偏倚程
度，以及两个估计量的有效性。所以，有效性是评价估计量的一个综合
性的重要的准则。
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
区间估计
区间估计（Interval Estimate）是在点估计的基础上，给出在一定
的置信程度下确定总体参数取值区间的方法和过程。
在点估计中，总体参数估计量的具体取值为一数值点，而样本是从总
体中随机地抽取出来的，其估计值是依抽样分布的随机变量，单一的数
值点不能全面反映抽样分布的状态，及其样本估计量的随机分布特征，
不能度量样本估计的精确程度，所以提出了区间估计问题。
建立在点估计基础上的区间估计，在给出了相关总体参数真值的估计
量的同时，还给出了一个通常以取值区间形式表述的数值范围，以及在
这个数值区间内包含总体参数的可靠程度。这种形式的参数估计就称为
区间估计。
/8:31 PM
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
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第6章 抽样分布与参数估计
参数估计的一般问题
在区间估计中，置信区间反映的是区间估计的精确程度，置信水平反
映的是区间估计的可靠程度，对于某一样本容量已定的具体样本而言，
这两方面是互为消长的。
当通过缩小置信区间来提高对总体参数的估计精确程度时，就需要降
低置信水平，降低对总体参数估计的可靠程度；若是要提高区间估计的
可靠程度，势必会增大置信区间，降低对总体参数估计的精确程度。所
以，需要根据具体情况和实际需要适当地选择置信水平的数值，进而确
定置信区间。
若既要提高区间估计的精确程度，又要提高区间估计的可靠程度，就
需要采取增加样本容量，以及通过更有效的抽样和估计方法来实现。
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第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
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卢小广
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单一总体参数的区间估计
总体均值的区间估计
1．在方差已知时，总体均值的区间估计
在方差为已知时，样本均值服从于正态分布，因而构建Z统计量。有
（）
根据区间估计的定义，构造总体均值的双侧区间估计置信区间，对于
给定的显著性水平，从式（）和式（）出发，有
（）
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第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
则有总体均值的双侧区间估计置信区间为
在对总体均值进行单侧区间估计时，有
（）
则总体均值的单侧区间估计置信区间为
或者
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第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
在式（）和式（）中出现的总体标准差与样本容量平方根的
商，称为样本均值标准差，反映了样本均值分布的离散程度。有样本均
值方差为
（）
样本均值方差含有总体方差和样本容量两个因素，它是在总体服从正
态分布时，度量使用样本均值估计总体均值时精确程度的测度。
由于样本均值标准差具有与变量一致的量纲，一般采用它作为度量估
计量精确程度的测度。
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第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 在某一企业职工收入情况的调查中，从该企业随机抽取100个
职工个人的收入状况数据构成样本，并且已知该企业职工平均月收入的
总体标准差为250元，样本均值为1985元。
要求 试计算给定置信水平为95%的该企业职工平均月收入的总体均值
的置信区间。
解 由本例给出的条件可知，这是一个双侧的区间估计问题。根据双
侧区间估计的式（），可计算得总体均值的置信区间为
即根据这次抽样调查的样本信息，可以认为该企业职工平均月收入的
真实数值将依95%的概率落在1936元到2034元之间。
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第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 某地对在该地就业的本科生在毕业一年后的月工资情况进行了
一次调查，搜集了36名同学的月工资数据，具体如表所示。并已知
在该地就业的本科生在毕业一年后的月工资的总体标准差为400元。
表 36名毕业一年本科生的月工资情况 元
由式（），可计算得总体均值的置信区间为
可以认为总体均值，即在该地就业的本科生在毕业一年后的月平均工
资的真实数值依95%的概率落在元到元之间。
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%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 某进出口公司需要出口一批小型电机，其中有一个技术指标为
电机工作时定子线圈的最高温度，已知供货厂家该厂电机工作时定子线
圈最高温度的总体标准差为8℃，随机抽出49台电机进行实测，得到该
厂电机工作时定子线圈最高温度的样本均值为110℃。
要求 试计算给定置信水平为99%的该厂电机工作时定子线圈最高温度
的总体均值的置信区间。
解 采用式（）计算在单侧区间估计下的置信水平为99%的总体均
值的置信区间的上限。
根据样本均值为110℃，可计算出该工厂单侧区间估计下的置信水平
为99%的总体均值的置信区间的上限为
可以认为总体均值，即该工厂电机工作时定子线圈的平均最高温度依
99%的概率落在小于℃的区间以内。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
2．在总体方差未知时，总体均值的区间估计
在总体服从正态分布，但是总体方差未知时，新的统计量是服从自由
度为n-1的t分布的T统计量。有
（）
由式（）出发，则有在总体方差未知场合下，总体均值的双侧区
间估计置信区间为
以及在总体方差未知场合下，总体均值的单侧区间估计置信区间为
或
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 在一次对某品牌电视机的开关次数进行的破坏性测试中，随机
抽取了9台电视机进行测试，具体数据为19050, 18090, 23098, 18908,
16896, 20679, 21567, 17890, 20456，试估计该品牌电视机开关次数
的总体均值，及其在置信水平为95%下最低开关次数的单侧置信区间。
可以得到总体均值的单侧区间估计置信区间为
从而认为根据样本数据推断总体均值，即该品牌电视机的平均开关次
数的真实数值将依95%的概率不低于18400次。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 利用例中36名同学的月工资数据，
要求 在总体方差未知情况下，估计该地就业的本科生毕业一年后的
月平均工资在置信水平为95%下的置信区间。
由式（）可以得到总体均值的双侧区间估计置信区间为
可以认为总体均值，即该地区毕业一年后的本科毕业生的月平均工资
的真实数值将依95%的概率落在元到元之间。
在总体方差未知的场合，当样本容量充分大时，可以采用式（）
建立统计量，对总体均值进行区间估计。
假定样本均值已经服从正态分布的基础上，构造Z统计量，采用式
（）计算的总体均值的置信区间，要小于在样本均值服从t分布的
基础上, 采用式（）计算的总体均值的置信区间。
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%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
总体比例的区间估计
在大样本场合，可以认为样本比例的抽样分布渐进地趋于正态分布。
这时有样本比例渐进地服从于正态分布，其标准化后的随机变量渐进地
服从标准正态分布。有
（）
即有总体比例在显著性水平下的置信区间
（）
一般采用样本比例替代总体比例来计算其在显著性水平下的置信区间。
即
（）
/8:31 PM
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 某公司为了分析新产品的电视广告效果，随机访问了100名用
户，了解到其中有36人是通过电视广告了解该新产品的。
要求 试以95%的置信水平，估计通过电视广告了解该新产品的用户占
全 部用户的比例的置信区间。
由式（）得
即通过电视广告了解该新产品的用户占全部用户的比例的置信区间，
在95%的置信水平下为%到%。
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%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
总体方差的区间估计
在总体服从正态分布时，样本方差服从自由度为n-1的卡方分布，从
而可以利用卡方分布来构造总体方差的置信区间，确定一个卡方值，使
之对于给定的显著性水平，满足
（）
则有
（）
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
单一总体参数的区间估计
例 仍然利用例中36名同学的月工资数据。
要求 估计该地就业的本科生在毕业一年后的月均工资标准差，在置
信水平为95%下的置信区间。
由式（）可以得到总体方差的置信区间为
可以认为该地就业的本科生在毕业一年后的月工资标准差将依95%的
概率落在元到元之间。
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第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
《统计学教程》
卢小广
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
两个总体均值之差的区间估计
1．两个总体方差已知情况下的估计
在两个总体方差已知时，由两个这两个总体独立抽取的样本均值之差
服从于正态分布，其标准差为
（）
样本均值之差经标准化后，服从于标准正态分布。
则有，两个总体均值之差在置信水平下的置信区间为
（）
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
例 某进出口公司需要出口一批小型电机，在A、B两个备选的小
型电机供货厂家进行了一次调查，在每家工厂随机抽出49台电机进行实
测，并且A、B两厂电机工作时定子线圈最高温度的总体标准差数据为已
知，其中A工厂为8℃，B工厂为6℃。
要求 试计算给定置信水平为99%的总体均值之差的置信区间。
根据样本数据计算得样本均值分别为A工厂110℃，B工厂114℃。
由式（）可得
即总体均值之差的置信区间为（,）,即A、B两厂电机工作时
定子线圈最高温度均值之差依95%的概率落在℃到℃以内。
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%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
2．两个相等总体方差未知情况下的估计
在两个总体方差未知，但服从正态分布，并且方差相等，则利用两个
随机样本的信息来联合计算这个相等而又未知的总体方差的估计量，为
（）
其总体均值之差在置信水平下的置信区间为
（）
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
例 某市采取随机抽样方法，在全市抽取100户城镇家庭进行生活
费支出调查，今年每户家庭生活费支出的样本均值为38900元，样本标
准差为580元；上年每户家庭生活费支出的样本均值为35800元，样本标
准差为570元。假定该市这两年城镇家庭生活费支出服从正态分布，并
且方差相等。
根据式（），有
即总体均值之差在置信水平下的置信区间为（,）。
该市这两年城镇家庭生活费支出均值之差，依95%的概率落在元
到元的区间内。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
3．两个总体方差不相等且未知情况下的估计
若有两个均服从正态分布的总体，总体的方差未知，并且不相等，按
照式（）构造的统计量近似地服从于自由度为f的t分布。有
（）
则有，两个服从正态分布的总体，总体方差未知且不相等，其总体均
值之差在置信水平下的置信区间为
（）
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
例 借用例中的基本数据，只是假定该两市城镇家庭生活费
支出服从正态分布，方差不相等。
要求 试计算该市这两年城镇家庭生活费支出均值之差，在95%置信水
平下的置信区间。
根据式（），计算出样本均值之差近似地服从的t分布的自由度。
即
两个样本方差数值水平非常接近，所以计算出来的自由度与两个相等
总体方差未知情况下的自由度基本一致，同为198。该市这两年城镇家
庭生活费支出均值之差，在95%置信水平下的置信区间与例在两个
相等总体方差未知情况下计算的结果一致。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
例 仍借用例中的基本数据，但将该市上年每户家庭生活费
支出的样本标准差改为410元，并且该市城镇家庭生活费支出服从正态
分布，方差不相等。
要求 试求该市城镇家庭生活费支出均值之差的95%在置信水平下的
置信区间。
仍根据式（），计算出样本均值之差近似地服从的t分布的自由
度。即
运用式（），可得该市这两年城镇家庭生活费支出水平的均值之
差，依95%的概率落在元到元的区间内。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
在两个不相等的总体方差未知情况下，当样本容量和均很大时，不论
总体是否服从正态分布，都可以依据中心极限定理，将两个样本方差和
作为总体方差和的估计值，这时总体均值之差在置信水平下的置信区间
近似为
（）
例 采用例中有关数据。
要求 试运用式（），计算甲乙两市城镇家庭生活费支出均值之
差，在95%置信水平下的置信区间。
甲乙两市城镇家庭生活费支出均值之差依95%的概率落在元到
元的区间内。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
两个总体比例之差的区间估计
在大样本的场合下，从两个服从二项分布的总体中得到的两个样本比
例和之差的抽样分布渐进地趋于正态分布，其标准化后的随机变量渐进
地服从标准正态分布。
一般情况下，两个总体比例和为未知，采用样本比例替代总体比例，
这时两个总体比例之差在显著性水平下的置信区间为
（）
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
例 某公司为了分析新产品的电视广告效果，在A市随机访问了
600名用户，其中有216人是通过电视广告了解该新产品的；在B市随机
访问了500名用户，其中有120人是通过电视广告了解该新产品的。
要求 试以95%的置信水平估计A市与B市通过电视广告了解该新产品的
用户占全部用户的比例之差的置信区间。
由式（）得
即A市与B市通过电视广告了解该新产品的用户占全部用户比例之差的
置信区间，在95%的置信水平下为%到%。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
两个总体方差比值的区间估计
当这一比值趋近于1时，表明两个总体方差和的数值很接近；反之则
表明两个总体方差和的数值存在较大差异。
当两个均服从正态分布的总体的参数都为未知，有
（）
可得出置信水平的两个总体方差比值的区间估计
（）
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
两个总体参数的区间估计
例 假定某纺织厂织布车间停机台数服从正态分布。在工艺调整
之前和调整之后，各抽取了容量为21和31的两个独立样本，计算得样本
标准差为36和26。
要求 试计算工艺调整前后该企业织布车间停机台数方差之比，在置
信水平为90%时的置信区间。
由式（）计算得
即该企业织布车间停机台数工艺调整前后方差之比依90%的概率落在
到的区间内。
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%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
第6章 抽样分布与参数估计
Excel 应用
《统计学教程》
卢小广
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
Excel 应用
例 利用例某地对在该地就业的本科生在毕业一年后的月工资
情况的调查的数据中前18名毕业生的数值，进行相关的参数估计，假定
该总体服从正态分布，具体数据如表所示。
表 18名毕业一年本科生的月工资情况 元
要求
（1）计算样本均值和样本标准差。
（2）求给定置信水平为95%的总体均值的置信区间。
（3）求给定置信水平为95%的总体方差的置信区间。
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%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%E5%BA%94%E7%94%A8%5C%E7%AC%AC6%E7%AB%A0%20%E4%BE%8B%E9%A2%98%E5%8F%8AExcel%20%E5%BA%94%E7%94%
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
Excel 应用
例 仍然利用例某地对在该地就业的本科生在毕业一年后的月
工资情况的调查的数据，假定前18名毕业生的数值和后18名毕业生的数
值分别来自两个独立总体的样本，并且这两个总体均服从正态分布。
要求
（1）假定这两个总体的方差相等，求给定置信水平为90%的两个总体
均值之差的置信区间。
（2）求给定置信水平为90%的两个总体方差之比的置信区间。
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第6章 抽样分布与参数估计
小结与练习
《统计学教程》
卢小广
《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
本章小结
本章从抽样分布和参数估计两个角度，介绍了大数定律和中心极限定
理，正态分布、t分布、卡方分布和F分布，总体参数的点估计和区间估
计，以及点估计的一致性、无偏性和有效性，和不同条件下的区间估计
方法。
本章的重点是样本的抽样分布和总体参数的区间估计。
本章的难点是大数定律和中心极限定理对于抽样分布和参数估计的意
义，点估计量的评价准则和区间估计方法的正确运用。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
思考与练习
1、 什么是总体、样本、样本容量、估计量、估计值？
2、 什么是点估计和区间估计？
3、 什么是总体分布、样本分布和抽样分布？
4、 什么是大数定律和中心极限定理？
5、 样本均值和样本方差有那些分布？
6、 什么是点估计的矩估计法和最大似然法？
7、 什么是点估计量的一致性、无偏性和有效性？
8、 解释置信区间和置信水平的联系。
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《统计学教程》
第6章 抽样分布与参数估计
思考与练习
习题：
教材160页 9、12、13、15。
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第6章 抽样分布与参数估计
结 束
《统计学教程》
卢小广
