利率衍生证券定价模型的比较 李彪 （天津大学管理学院，天津 300072） 摘要：本文着重于分析研究用于对利率依赖型证券进行定价的各种不同方法和不同模型，并在利率期限结构模型的数学形式基础上对各种定价程序和方法提供一个文献式综述。因而，本文可以被视为对具有显示表达式（在存在它们的情况下）的不同利率模型的参考或者对衍生工具定价和利率期限结构模型各自优缺点分析的参考。 关键词：利率；利率期限结构；衍生产品；利率波动；定价 1 引言 本文着重于分析研究用来对利率依赖型证券进行定价的各种不同方法和模型。在与本文相关的一篇论文中，Strickland（1996）检查研究了用于对利率期限结构进行建模的各种方法。本文则将Strickland（1996）的大部分研究成果作为已有结果，并将该文的研究结论扩展到对依赖于收益率曲线水平或者形状的各种利率衍生证券的研究中。写作本文的一部分动机是在利率期限结构模型的数学基础上对衍生证券的定价程序提供一个文献式综述研究。同样地，本文也可以被视为是对相关研究的更早的一篇文献综述Carverhill（1990）的扩展。就像相关的那篇论文Strickland（1996）一样，本文也可以被作为是对具有显示表达式（在存在它们的情况下）的不同利率模型的参考，或者可以被作为对不同衍生工具进行定价和对各定价模型进行各自有缺点分析的参考。本文主要是针对那些能够对折现债券期货和期权进行定价的模型进行分析的，因为在金融市场上许多利率衍生产品可以被分解成这两种衍生工具的投资组合。 本文采用于相关的那篇论文Strickland（1996）中的划分方法，对研究利率期限结构的文献进行了相同的类型划分。基本上，它们可以被概括分成三种主要的方法：第一种方法的利率期限结构模型中，仅有一个单一不确定性来源在驱动着收益率曲线的演变过程，代表性论文有Vasicek（1977）、Cox, Ingersoll和Ross（1985）；第二种方法中的利率期限结构模型包括两个状态变量，代表性论文有Longstaff和Schwartz（1991）、Fong和Vasicek（1991）；最后一种方法中的利率期限结构模型是对整个利率期限结构的动力学过程进行建模，并且以某种方式使得模型自动与初始观测到的收益率曲线相一致，这类方法的代表性论文有Ho和Lee（1986）、Black，Derman和Toy（1990）、Hull和White（1990a）、Heath, Jarrow和Morton（1992）。对上面这三种方法中的每一种，本文对模型中与状态变量相关的潜在假定进行了评论，同时，也解释了在这些假定的基础上如何对利率衍生证券进行定价。 2 利率衍生证券综览（Survey of interest rate securities） 在本节中，本文对最重要的利率型衍生工具进行了概述。所列出的各种上市证券包括各种最普遍的利率衍生产品以及与它们的标的工具相关的一些制度细节（institutional detail）。
本文将货币市场（money market）的债务工具和政府（government）的债务工具分开来进行处理，这两种类型工具之间的主要差别在于它们的违约风险不同，前者存在一定程度上的违约风险，而后者基本上没有违约风险。 政府证券债务工具（Government securities debt instrument） 所谓政府证券债务工具是指由政府发行的证券，在这其中通常所隐含的假定是发行者的违约概率为零。最基本的政府证券是政府债券，对它们的发行，在英国被称为“金边债券（Gilts）发行”，而在美国则称为“财政部发行的国债”（treasury issues）。并且，从这些债券的价格中，可以间接地得到无风险利率。付息的政府债券（国债）可以以债券面值或者本金的c%（息票率）的形式进行支付利息，但通常所采用的是一年分两次，每次间隔六个月，每次支付c/2的形式进行支付利息，并且在到期日将利息和本金一同支付。 在英国，大约有80种这样的付息债券，息票率在3%到15%之间，而到期日一直可到将来的30年后。此外，在英国也有一类指数联结证券（index linked bonds），它们的息票支付是与通货膨胀的测度大小相关的。而在美国，则有三种不同类型的国债发行：美国发行的短期国债（Us treasury bills）的到期期限一般在一年以内，而且属于仅在债券到期日发生唯一现金流的折现型工具；中期国债（Treasury notes）和长期国债（Treasury bonds）则是每半年支付一次利息，且发行的中期国债到期期限一般在7年以内，而长期国债可以任意期限发行，不过通常的最初到期期限都在10年以上。自从1985年2月份以来，美国财政部还发行了一种本息分离证券（STRIPS，separate trading of registered interest and principal of securities），这种证券是从所挑选出的到期期限在10年及其以上的中长期国债中衍生出来的。在美联储的账册上，这些标的中长期国债的本金和息票支付部分被分开来分别记账，由此得到的零息证券可以分割开来被投资者拥有，并且直到到期日才支付利息。期货和期权都是在政府债券的基础上进行交易的。伦敦国际金融期货交易所（LIFFE）的长期金边债券期货合约（long gilt futures contract）是英国最为流行的政府债券衍生产品合约（可参见Strickland（1992）中的有关这种合约的交易细节和实证分析），该种合约是一种在预先设定的日期进行买卖到期期限为20年，名义息票率为9%的债券的权利。这种长期金边债券期货合约的期权是采用与标的合约相同的方式来进行盯住市场，逐日结算的（marked-to-market）。期权也可以针对具体的金边债券进行交易，且这些债券都是从不同到期期限的具有代表性的金边债券种进行选择得到的。 货币市场工具 在这一类别的债务工具中，主要包括那些不是由政府发行，因而也不能被认为无风险的债券。最基本的货币市场工具是伦敦银行同业拆解利率（LIBOR, the London Interbank offer rate），这是一种在欧洲货币市场银行之间由存款交易确定的浮动参考利率。在任何一个时刻，都可以得到1个月、3个月、6个月和1年期限的LIBOR参考利率。这些利率指得是在即期市场进行借贷以及其后进行利息支付的利率。
远期利率协议（forward rate agreement, FRA）是投资双方之间的一种协定，用来保证在未来某个时刻开始的一段时间内的对名义金额的借贷利率。该合约唯一的现金流发生在合约到期时，且为名义金额的利息支付差额。这些协议的标的参考利率通常都是基于某种LIBOR利率的。基于3个月LIBOR利率的互换交易的期货合约在英国被称为“短期英国货币（short sterling）”期货，而在美国则被称为“欧洲美元”期货。同时，也可以以这些期货合约为标的工具进行期权交易。 上限利率协议（cap rate agreement）是最为流行的利率衍生工具之一，这些协议通常是由投资双方私下之间通过柜台市场（场外市场）（OTC, over-the-counter）进行交易，而不是通过交易所进行的。利率上限协定涉及到了对浮动贷款利率的利率变动进行约束，这个上限保证了贷款利率永远不会超过某个水平，因而所要偿付的利率将是市场利率（the prevailing rate）和上限利率（the cap rate）的较小者。上限利率通常是在3个月、6个月和1年的英国LIBOR利率的基础上协商确定的。例如，现考虑一个投资者，他有一项根据6个月LIBOR利率确定的金额为100百万英镑的浮动利率贷款。该投资者从一个金融机构买入了一个五年期利率上限协议，该协议就把他在将来五年内所要支付的利率上限限定在12%的利率水平上。原始贷款（original loan）的条款规定每6个月该投资者所要支付的利率被设定为与在该期期初的市场上的6个月LIBOR利率相等，其中，6个月的顺延（6 months in arrears）是指在6个月的期末。这个上限利率协议保证了如果任何时候6个月的LIBOR利率超过了投资者所要支付的12%的利率水平，则其差额就有该协议的背书者（the writer of the cap）来承担。由背书者（the writer）所承担的支付也是在6个月的顺延期内进行的。因而，采用这种方式投资者永远不会对他的浮动利率贷款支付超过12%的利息。利率下限协议（Interest rate floors）和利率领式协议（Interest rate collars）可以采用与利率上限协议（caps）相类似的方式进行定义。利率下限协议（Interest rate floors）对投资者所要支付的利率设定了一个下限。如果市场利率低于这个下限，则借款者是以下限利率进行融资的。而利率领式协议则对投资者所要支付的利率同时设定了上限和下限。 利率互换（Interest rate swaps）是两个公司之间签订的私下协定，用以保证对某项名义金额的利息现金流按照预先商定好的规则进行互换。最简单的一类利率互换是对固定利息支付（比如说，每半年一次）与浮动利息支付（比如说，3个月或者6个月的LIBOR利率）。利率互换是按照期限在2年到10年之间的银行大屏幕报价（banker’s screens）来进行报价的。利率互换的报价利率是固定利息支付可以用相同时期的浮动利息支付LIBOR来进行互换的利率。在证券市场上，利率互换的期权也越来越广为流行，并将这些衍生工具称之为互换选择权或者掉期期权（swaptions），该类期权赋予持有者要求在未来的某个时刻进行某项利率互换的权利，却并不要求期权持有者承担任何义务。 3 利率衍生工具的纯折现债券衍生证券投资组合的分解 在本节中，本文将要说明许多复杂的利率衍生工具如何被视为纯折线债券期货和期权合
约的投资组合来进行定价和风险对冲。这也就使得我们在以后的部分中将注意力更多地放在那些能够对这些问题提供答案的模型上，因为它们甚或能使我们对复杂的利率衍生工具进行定价。 付息债券的欧式期权定价 当模型中仅存在一个不确定性因子时，可以推导得到折现债券价格之间的解析关系。Jamshidian（1989）提出了一种对付息债券期权进行定价的方法，这种方法是将对付息债券期权定价的问题视为对折现债券期权的投资组合进行定价。 现在考虑一个付息债券的欧式看涨期权，其执行价格（exercise price）为X，到期时间为T。令当利率水平为r时，s时刻到期，在时刻s（s>T，且i=1,2,...,n）支付利息ciii的折现债券在时刻T的价格为B(r,T,s,c,s)。如果B(r,T,s,c,s)>X也即式（1）成立，iiii则投资者执行期权。 ncP(r,T,s)>X （1） ∑iii=1*债券价格是短期利率r的减函数。令r可使得下面的式（2）成立，即 n*cP(r,T,s)=X （2） ∑iii=1n**如果在时刻T，r<r，则cP(r,T,s)>X；反之，如果r>r，则∑iii=1ncP(r,T,s)<X。 ∑iii=1*可令X=P(r,T,s)，那么在时刻T的期权支付为式（3a）： iin⎡⎤max0,cP(r,T,s)−X （3a） ∑ii⎢⎥⎣i=1⎦或者为式（3b）： ncmax[0,P(r,T,s)−X] （3b） ∑iiii=1式（3a）和式（3b）的结果就意味着付息债券的期权是与具有合适执行价格的各折现债券期权的投资组合相等价的。不过通常而言，期权的投资组合是叫投资组合的期权更为复杂，*但在这里它们二者由于都依赖于（r−r）的符号具有相同的支付而使得这个问题变得简单。 作为纯折现债券期权的利率上限协议（caps）、利率下限协议（floors）和利率上下限（collar）协议 一项利率上限协议在一段给定期间上将借款者的浮动利率限定在某个固定水平上，也即
上限利率。本文接下来将具体说明利率上限协议可以被解释为一系列的零息票债券的看跌期权，因而也就可以采用这种方式来对其进行定价。类似地，利率下限协议也就可以通过对折现债券看涨期权投资组合的溢价进行加和来估价。利率上下限协议则可以通过对由折现债券看跌期权和看涨期权组成的投资组合的溢价进行加和来估价。 现在考虑一项期权，该期权将时刻t和t之间的1美元的浮动利率水平的上限设定为利12率r。Δt是时刻t和t之间的差，r是在期间(t,t)内的时刻为t的利率。则该期权在时刻c12121t的支付为Δtmax(r−r,0)，而在时刻t该期权支付的折现价值由式（4）给出。 2c1Δtmax(r−r,0) （4） c1+rΔt而式（4）中的表达式又等价于式（5），即 11(1+rΔt)max(−,0) （5） c1+rΔt1+rΔtc因此，在时刻t和t之间设定利率上限水平为r的期权就等价于(1+rΔt)份欧式看跌12cc1期权，且其执行价格为X=，到期日为时刻t，而标的为面值1美元的在时刻t的c121+rΔtc折现债券。因而，更一般性的讲，利率上限协议是一系列折现债券欧式看跌期权的投资组合。 利率下限协议可以采用与利率上限协议相类似的方式进行定义，它是对投资者所要支付的利率设定一个下限水平，因而可以被解释为一系列零息票债券的看涨期权。现在考虑一项期权，该期权将时刻t和t之间的1美元的浮动利率水平的下限设定为利率r。则该期权12F在时刻t的支付为Δtmax(r−r,0)，而在时刻t该期权支付的折现价值由式（6）给出。 2F1Δtmax(r−r,0) （6） F1+rΔt而式（6）中的表达式又等价于式（7），即 11(1+rΔt)max(−,0) （7） F1+rΔt1+rΔtF因此，在时刻t和t之间设定利率下限水平为r的期权就等价于(1+rΔt)份欧式看涨12FF1期权，且其执行价格为X=，到期日为时刻t，而标的为面值1美元的在时刻t的F121+rΔtF折现债券。因而，更一般性的讲，利率下限协议是一系列折现债券欧式看涨期权的投资组合。 而利率上下限协议（collar）仅是具有相同的结算日（settlement date）和期间重置（reset intervals）特征的多头（long position）上限协议和空头（short position）下限协议。因而，这也就隐含着利率上下限协议的价格等于执行价格为X的系列看跌期权（put string）和执c行价格为X的系列看涨期权（call string）之间的价格差。 F
在下面的各部分中，本文将侧重于对利率期限结构衍生产品进行分析。对于在引言部分中所做的对利率期限结构研究文献分类中的每一类方法，Strickland（1996）研究分析了该类方法中的纯折现债券的定价。在本文中将侧重于对折现债券的期货合约和期权合约进行定价，这么做的理由已经包含在本节的分析中。 4 纯折现债券衍生产品定价的单因子模型 在本节的第一部分中，本文将着重于对基于标的变量显示建模的折现债券衍生证券进行估价，这也就是说将债券的价格水平作为标的变量，因而称这种方法为“直接方法（direct approach）”。在接下来的部分中，本文又着重分析了对作为瞬时利率函数的所有利率衍生证券定价公式的推导，并称这种方法为“间接方法（indirect approach）”。这两种方法之间的差别实际上仅是如何确定参数的问题，但却可以据此对研究利率期限结构的相关文献进行归类。 Black和Scholes（1973）模型 用于估价纯折现债券期权的最简单（且据说是应用最广的）的模型是Black和Scholes（1973）模型，他们认为债券价格服从对数正态分布，从而对其进行建模。Black和Scholes（1973）模型最初是作为对股票期权进行估价而提出的，并且假定标的证券的收益率方差是一个常数。另外，该模型还假定在时刻s支付1单位货币（unity）的折现债券在时刻t的净价（也就是扣除应计利息）为P(t,s)服从一个常见的几何布朗运动，且其常数漂移为μ，方差为σ，具体形式如下式。 dP(t,s)=μdt+σdz （8） P(t,s)式（8）中dz表示在较小的时间增量dt内的维纳过程增量。如果在期权的有效期内（其到期日为T），没有收到任何息票支付，则Black-Scholes模型可以得到执行价格为X的欧式看涨期权和看跌期权价格的解析解，如下所示： −R(t,T)(T−t)C(t,T,s)=P(t,s)N(d)eXN(d) （9） 12−R(t,T)(T−t)p(t,T,s)eXN(d)P(t,s)N(−d) （10） 212log(P(t,s)/X)+(R(t,T)+σ/2)(T−t)式（9）和（10）中，d=，d=d−σT−t。 121σT−t其中，R(t,T)是适用于与期权同时到期的无风险投资的当前利率水平。 如果在期权有效期（生存期）收到息票支付，则必须在上面的式（9）和式（10）中将这些息票支付的现值从债券价格P(t,s)中扣除，以使得标的的随机变量为债券的远期净价。如果期权是美式的，则还必须使用数值程序方法诸如二项式（二叉树）方法（binomial technique）（例如，可参见Cox, Ross和Rubenstein（1979））或者有限差分方法（例如，可参见Hull和White（1990b）），抑或解析近似方法（analytic approximation）（例如，可参见Barone-Adesi和Whaley（1987）等。然而，在利用这个模型对债券期权定价时还存在很多
问题。首先，现金流是以一个恒定利率R(t,T)来折现的，而在同时又假定债券价格服从一个随机过程。而且，在期权的寿命期内所利用的利率也并非瞬时利率。其次，却可能是更重要的，该模型假定债券的波动是恒定不变的常数。虽然这个假定对于股票是合理的，然而，我们知道债券的价格波动随着债券接近于到期日而减弱，因为投资者都知道在到期日债券的价值一定等于债券的面值。而且，随着期权的到期日越接近于标的债券的到期日，这个问题就变得更为重要。不过，对于以长期债券作为标的的较短到期期限的期权，上述假定却并非完全不合理。当然，虽然该模型存在很多问题，但由于它的较强简易性，使得从业者还是更经常地利用Black-Scholes模型来对债券期权进行定价。 Margrabe（1978）模型 为了克服利用Black-Scholes公式对债券期权定价过程中存在的第一个问题，本文将要从以下几个方面来加以说明。首先，仍然在Black-Scholes框架下，这也就是说，标的工具是折现债券，且债券价格的演变可以通过采用式（8）中的扩散形式来加以描述。在这种框架下，可以将到期日为T，执行价格为X，并以到期日为s的折现债券作为标的的期权看成是一项选择权，而这项选择权是关于将一个面值X到期日为T的折现债券和一个该项期权作为标的的债券相互换的权利（例如，可参见Hull和White（1990a））。Margrabe（1978）对这个互换问题进行了求解，并确定了欧式债券期权定价的封闭型解。欧式期权的Margrabe公式是适用于T时刻执行的以到期日为s的折现债券期权的，具体形式如下。 c(t,T,s)=P(t,s)N(d)−XP(t,T)N(d) （11） 122log(P(t,s)/XP(t,T))+(σ/2)(T−t)P式（11）中，d=，d=d−σT−t。 121PσT−tP式（11）和式（9）的主要差别在于波动水平的输入变量σ。既然，因为两种资产P(t,T)P和P(t,s)都是时变的，则二者的方差对于期权的总体的波动就是很重要的。这个波动输入变量σ由下式决定。 P222σ=σ−2σσρ+σ （12） pP(t,s)P(t,s)P(t,T)P(t,T)式（12）中，σ是到期日为T的债券价格的波动，σ是到期日为s的债券价格P(t,T)P(t,s)的波动，而ρ是到期日为T的债券价格的维纳过程和到期日为s的债券价格的维纳过程之间的瞬时相关系数。 Schaefer和Schwartz（1987）模型 Schaefer和Schwartz（1987）提出了一个非常有价值的方法，该方法既保留了“基于定价（priced-based）”方法的特点又结合了即期债券价格波动的系统递减影响。他们采用一种很简单的程序来对债券期权进行定价，该方法通过假定债券收益率的标准偏差与其久期
（duration）成比例而考虑到了标的债券价格的变动特性。该模型具有很强的一般性考虑到了连续支付息票（利息）的情况，并且与Black-Scholes模型一样，将债券价格作为状态变量，而且这个债券价格的收益率标准差被设定为与久期测度成比例。这种修正使得该模型能够反映随着债券接近到期日债券收益率标准偏差的衰减。Schaefer和Schwartz（1987）假定时刻t的无违约风险债券价格服从一个几何扩散过程，具体形式如下： αdP(t,s)=μP(t,s)dt+kP(t,s)D(P,t)dz （13） 式（13）中，σ(P,t)是收益率的瞬时标准偏差，而μ是瞬时预期收益率，可能是随机α−1变动的。收益率的标准偏差σ(P,t)=kP(t,s)D(P,t)通过假定与它的久期测度成比例，使得该模型反映了债券接近于到期日时债券价格波动的衰减。其中，D(P,t)被设定为Reddington（1952）久期，该久期测度仅依赖于债券价格P(t,s)和t。式（13）中的α和k表示用来控制债券收益率对其价格水平敏感性的常数。 由Schaefer和Schwartz（1987）提出的债券期权定价模型假定短期利率r是恒定不变的，对此两位作者也承认这与长期债券价格的随机变动和相关实证证据（研究结果）是不相一致的。同时，也由这一点造成了债券价格不能保证在到期日一定收敛到自身面值的结果。最后，由上述假定得到的偏微分方程也受约束于通常的（端点）边界（terminal）条件和提前执行边界条件，但并不存在解析解，因此需要利用数值方法（例如，有限差分方法）进行求解。 另外一种更为流行的处理债券价格波动时变特性的方法是利用期权到期日（at the expiry date of the option）的远期债券价格作为Black-Scholes模型公式（也就是应用Black’s（1976）公式）中的标的变量。对Black-Scholes模型公式的这种特别改进虽然有助于波动问题的解决，但却不能得到一种综合方法（an integrated approach）。例如，上面所描述的方法假定债券的远期价格是服从对数正态分布的。因而，利率上限协议和利率互换经常采用这种方法来进行定价，因为前者将作为其标的远期零息收益率假定为服从对数正态变量，而后者将远期互换收益率作为标的变量。这就造成了“一种模型——一－种结果（解决一种衍生产品定价问题（one model——one product）”，彼此之间均不相容，这也就是说，改变量Δ（the deltas）不能累加。 利率依赖型证券的价格并不总是依赖于折现债券的价格，而是在很多传统的利率期限结构模型中，通常对于利率所服从过程的依赖程度更为重要。虽然到现在为止所讨论模型之间的差别仅是简单的确定参数（参数化）的问题，但这种模型方法的优点在于它将建模的重点放在了利率衍生工具的动力学过程上，因而受到了债券市场投资者的广为注意。为了与Strickland（1996）一文的研究保持一致，本文着重于在风险中性测度下对相关状态变量进行建模。 Merton（1973）模型 Merton（1973）模型是最早也最简单的利率期限结构模型，该模型对短期利率r作了算术布朗运动假定（也可参见Ingersoll（1987），该文对这个模型做了更为深入的处理），具体
形式如下。 dr=μdt+σdz （14） 式（14）中，过程的瞬时漂移μ和方差σ都是常数。在这个框架下，执行价格为X，时刻T到期的以到期日为s（t≤T≤s）折现债券作为标的的欧式看涨期权在时刻t的价格为式（15），具体形式如下。 C(t,T,s)=P(t,s)N(h)−XP(t,T)N(h−σ) （15） P式（15）中， log[P(t,s)/(XP(t,T))]σ(t)222Ph=+， σ=σ(s−T)(T−t) （16） Pσ(t)2P根据买权卖权平价关系原理，可以得到纯折现债券欧式看跌期权的价格服从下式，形式如下。 p(t,T,s)=C(t,T,s)−P(t,s)+P(t,T)X （17a） 对于Merton（1973）模型的动力学过程，式（17a）又等价于下式。 p(t,T,s)=XP(t,T)N(σ−h)P(t,s)N(−h) （17b） P到期日为T的折现债券价格P(t,T)和到期日为s的折现债券价格P(t,s)在理论上都可以根据Merton（1973）公式来进行求解。然而，该模型中的短期利率过程却存在许多明显的缺点，这些都已经在Strickland（1996）中进行了讨论，然而由于存在这些缺点也促使广大学者开始提出更加符合实际情况的短期利率过程。 Vasicek（1977）模型 Vasicek（1977）模型和Cox, Ingersoll和Ross（1985）模型是最为有名的两个利率期限结构模型。在这两个模型中，风险修正（risk-adjusted）的短期利率都被假定为不确定性的单一来源。具体形式如下： dr=α(γ−r)dt+σ(r,t)dz （18） 式（18）中，风险修正的短期利率过程的瞬时漂移项α(γ−r)表示以某种均值回复外力将短期利率过程拉回并保持在其风险修正的长期均值γ处，且该外力的大小与短期利率过程偏离长期均值的程度成比例。短期利率过程的瞬时波动由函数σ(r,t)表示。在Vasicek一文中，短期利率被假定为服从奥伦斯坦－乌伦贝克（Ornstein-Uhlenbeck）扩散过程，且该扩散过程的波动σ(r,t)由常数σ表示。虽然Vasicek并没有推导出债券期权的定价公式，但Jamshidian（1989）却在对瞬时利率作了相同的高斯（Gaussian）过程假定的基础上推导得到了一个纯折现债券欧式期权价格的封闭型解。执行价格为X，时刻T到期的以到期日为s（t≤T≤s）折现债券作为标的的欧式看涨期权和看跌期权在时刻t的价格分别由式（15）和式（17b）给出，且式（15）和式（17b）中的σ为下式。 P−α(s−T)υ(t,T)(1−e)σ= （19） Pα
式（19）中的υ(t,T)可使得下式成立。 2−2α(T−t)σ(1−e)υ(t,T)=var[r(T)]= r,t2α该模型中债券价格P(t,s)（s≥t）可由Vasicek纯折现债券价格公式得到（可参见Strickland（1996）第二节内容）。此外，为实现该模型需要估计的模型参数与Vasicek利率期限结构模型相同，有兴趣的读者可以参考Strickland（1996）相关部分的内容。上面对折现债券期权的分析并没有考虑到美式期权的提前执行特性。Carverhill（1992）利用Nelson和Ramaswamy（1990）提出的技术给出了一种二项式（二叉树）程序和技术来对美式期权进行定价，该方法在Vasicek框架下可以用来对美式期权进行定价。Hull和White（1990b）则说明了如何利用三叉树（trinomial trees）在相同Vasicek框架模型下来对美式债券期权和其他利率或有要求权进行定价。因为在三叉树上的每一个节点处债券价格都是解析可知的（由Vasicek债券定价公式），因而当对期权价格进行计算时，这个债券价格网格（lattice）仅可以在期权的有效期（the life of the option）内一直进行扩展，而不会在超出期权寿命期的债券的寿命期进行扩展。 Chen（1992a）则在相同的正态过程下侧重于对以纯折现债券作为标的的期货价格和以期货作为标的欧式期权进行分析，并对这两种衍生产品都推导出了一个封闭型解。到期日为T并以s时刻到期的纯折现债券为标的的期货在时刻t的价格为F(t,T,s)，具体形式由下FF式给出。 −rX(t)−Y(t)F(t,T,s)=e （20） F式（20）中， X(t)=φ(t,s)−φ(t,T) F2σα2Y(t)=R[s−T−X(t)]−(X(t)−X(t)−φ(T,s)) ∞F2α2−α(s,t)1−eφ(t,s)= α221其中，R是无到期日（永久）债券收益率，且有R=γ−ρα。 2∞∞而以时刻T到期的期货合约作为标的的欧式看涨期货期权在时刻t的价格由下面公式F给出。 C(t,T,s)=H(r,t)N(h)−XP(t,T)N(h−σ) （21） H式（21）中， 2σ2φ(t,T)X(T)2H(r,t)=P(t,T)F(t,T,s)e （22a） F
−2α(T−t)1−eσ=σ=[φ(T,s)−φ(T,T)] (22b) HF2α2σ2φ(t,T)X(T)2H(r,t)=P(t,T)F(t,T,s)e (22c) F在另外的一篇独立论文Chen（1992b）中，作者在离散盯住市场（逐日结算）（marking-to-market）情况下对期货价格推导得到了一个封闭型解，但该解略显冗长。然而，模拟结果表明在进行了符合市场实际的每日盯市假定后，除非投资者是高度风险规避的，否则离散盯市情况下的期货价格与连续盯市情况下的期货价格几乎没有差别。 Cox, Ingersoll和Ross（1985）模型 上面所讨论的Merton和Vasicek模型的标的过程都允许利率以正的概率出现负值，这是由于对短期利率波动假定的性质造成的。Cox, Ingersoll和Ross（1985）提出了一个模型，在该模型中短期利率的波动是与利率水平的平方根相关的。这就使得利率波动是条件异方差的，因而也就造成了短期利率水平处于高位时其自身的波动程度也就越强，而当短期利率水平处于低位时其自身的波动程度也就越弱，同时也就消除了利率出现负值的可能性。在某种程度上，该模型对利率波动的反映能力使得它能够对利率或有要求权诸如期权得到更符合实际的价值，因为这些利率衍生产品的价值是与利率波动密切相关的。Cox, Ingersoll和Ross在他们1985论文中提出的单因子利率期限结构模型的动力学过程由式（18）给出，且短期利率过程的波动σ(r,t)与自身利率水平的平方根成比例增长，即σ(r,t)=σr，且σ为一常数。 在上述短期利率过程的动力学过程下，欧式看涨期权在时刻t的价格由下式给出。 2θ(T−t)⎛4αγ⎞2φre2*C(t,T,s,X)=P(t,s)χ2r[φ+ψB(T,s)];,⎜⎟2σφ+ψ+B(T,s)⎝⎠ （23） 2θ(T−t)4αγ⎞2φre2*−XP(t,T)χ2r[φ+ψ];,⎟2σφ+ψ⎠式（23）中， 2θα+θA(T,s)⎛⎞2*θ=(α+2σ)；φ=；ψ=；r=lnB(t,s) ⎜⎟2−θ(T−t)σ(e−1)αX⎝⎠2且χ(.;p,q)是自由度为p、非中心参数为q的非中心卡方分布密度函数。纯折现债券价格可由Cox, Ingersoll和Ross（1985）中的公式给出，对此可参见Strickland（1996）中的第二节，并且A(t,s)和B(t,s)也可由这个公式进行定义。此外，对于纯折现债券的看跌期权可以应用式（17）得到。式（23）中的期权定价公式与Black-Scholes公式有类似的解释。在该式中的两项分别与标的工具的折现价值和执行价格的折现值与期权以实值（in-the-money）终结寿命期（finishing）的概率乘积相对应。虽然这个期权定价公式与Black-Scholes公式具有相同意义的封闭型解，但由于该模型的期权定价公式计算需要求解特
殊的累积分布函数（可参见Babbs, 1991），因此使得从业者大为批评因此而造成的解析易处理性的缺乏。 Sankaran（1963）利用累计标准正态分布函数（Schroder, 1989）对累积的非中心卡方分2布函数给出了一个有效的算法。根据这种算法，χ(z;υ,k)可以由下式来进行近似计算。 2χ(z;υ,k)=1−N(Q(z;υ,k)) 在该式中， h11−hp[1−h+(2−h)mp−[Z(υ+k)]2Q(z;υ,k)= h2p(1+mp)2−2h=1−(υ+k)(υ+3k)(υ+2k) 3υ+2kp= 2(υ+k)m=(h−1)(1−3h) Longstaff（1993）在相同的平方根过程下通过对Cox-Ingersoll-Ross的分析结果进行扩展研究，推导得到了付息债券欧式看涨期权和看跌期权的封闭型表达式。他所推导得到的表达式与本文节中的方法（的显示表述）是相一致的，即将对利率衍生产品期权定价的问题视为对折现债券期权的投资组合进行定价。 Nelson和Ramaswamy（1990）对Cox-Ingersoll-Ross扩散过程提出了一个二项式近似（binomial approximation）方法，该方法可以用来对美式债券期权进行定价。Tian（1992）也提出了一个二项式（二叉树）方法，该方法避免了多重跳跃行为，而这对于Nelson-Ramaswamy模型为在短期利率过程中引入均值回复行为则是很必要的，也因此增加了模型的数值求解的复杂性。 在更早的一篇论文Cox, Ingersoll和Ross（1981）中，他们给出了在时刻T到期以到期F日为s的折现债券为标的的期货合约的价格，并将其作为交付时（at delivery）折现债券价格的风险修正期望值，具体形式如下： *F(t,T,s)=A(t,T,s)exp(−rB(t,T,s)) （24） FFF式（24）中， 22αγσ⎛⎞2α*A(t,T,s)=A(T,s) FF⎜⎟2−α(T−t)F2α+σB(T,s)(1e⎝F⎠−α(T−t)FαeB(T,s)FB(t,T,s)= F2−α(T−t)F2α+σB(T,s)(1eF在证券交易所交易量最大的一些利率期权有短期国债期货期权、欧洲美元期货期权和伦敦同业拆解利率期货期权。Feldman（1993）在平方根过程下对以债券期货合约作为标的的
欧式期权推导得到了一个封闭型定价公式，该表达式与式（23）相类似，也反映了标的合约的性质。 最后，Chen和Scott（1993）阐明了如何将Cox-Ingersoll-Ross单因子利率模型应用于对带有期货式保证金（futures style margining）的债券期货期权进行定价。由该债券期货合约期权所满足的偏微分方程与最原始的Cox-Ingersoll-Ross方程是相似的，其差别仅是由于该期权不需要任何的投资因而不含运输条款（the carry term for the option）。Chen和Scot（t1993）还提出Jamshidian（1989）一文中对付息债券期权定价的分解方法也可以在他们那篇文章的条件下得到应用。对著名的Cox-Ingersoll-Ross模型的改进在伦敦证券市场上具有很重要的意义，这是因为当前在伦敦国际金融期货和期权交易所（London International Financial Futures and Option Exchange, LIFFE）中有大量的以期货式保证金作为保证的期权（the futures style margining for options）存在。本文已经讨论过的与奥伦斯坦－乌伦贝克过程有关的Chen（1992b）一文中的期货价格盯市方法具有很强的一般性，足可以用来将其扩展到平方根过程中。 在本文的这一节中，已经描述了用于对利率期限结构衍生产品进行定价的两个单一因子模型和方法。第一种方法是建立在经典的Black-Scholes框架下，该方法将标的债券（价格）作为随机变量，并推导得到了任何债券衍生产品都满足的偏微分方程。然而，由于这类模型对短期利率恒定不变性质的假定与市场实际情况不一致，已经引发了对最初旨在用来解释利率期限结构模型的改进。折现债券衍生工具定价的单因子模型是很有吸引力的，对于从业者尤其如此，这是因为该类模型的解的封闭性质和模型所须估计参数的可观测性和相对较少的个数。然而，这类模型方法也存在缺点，包括模型所允许的可能利率期限结构的限制性质、长期利率是风险修正参数的确定函数的事实以及该类模型对利率期限结构变动和利率波动的假定与相关的实证证据（研究）不相符合（Strickland, 1993）。另外，这个方法不太适合对衍生证券投资组合进行综合处理（the integrated treatment），尤其是当投资组合中包含非标准交易（nonstandard deals）时。最后，该方法对于利率衍生证券定价存在的最大缺点源于模型自身的内在原因（stems from its origin）。具体来讲，这些衍生证券定价模型都是源于那些对利率期限结构模型的，而这些利率期限结构模型的提出则又是为了从理论上推导利率期限结构。因此，收益率曲线就是作为该类模型的输出结果（a product）而不是对模型的输入变量（an input）。换句话说，衍生证券是结合收益率曲线来实现定价的，但这个收益率曲线却与由市场价格所隐含的收益率不相同的。 5 纯折现债券衍生产品定价的两因子模型 单因子模型存在的相关缺陷促使广大研究学者开始提出更多因子的模型来描述利率期限结构的演变过程。这些模型允许更多可能种类的利率期限结构，也支持驱动利率期限结构演变过程的多因子模型的相关实证证据（研究结果）。 在本节中，本文着重于对当前很流行的一个两因子利率衍生证券定价模型进行研究，并
且得到了该模型纯折现债券和折现债券期权的封闭型解。由于在从单因子模型转变到多因子模型时计算累积分布函数存在很大的困难，本文也讨论了利用蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）来对多因子利率过程进行处理。这种很一般的模拟方法使得我们可以用来对其他的两因子利率期限结构衍生产品定价模型进行计算。 Longstaff和Schwartz模型 Longstaff和Schwartz（1992）提出了用来对利率敏感型或有要求权进行定价的广义均衡框架。在该文中，他们采用的两个状态变量与Cox-Ingersoll-Ross对连续时间经济建模的变量形式相同。该模型中的两个因子是短期利率r和短期利率变化的方差v，因而使得或有要求权的价格能同时反映当前利率的水平和当前的利率波动水平。在一定程度上，他们的研究动机是基于Dybvig（1989）一文的结论，即两因子模型的第二个因子应当选作第一个因子的方差，尤其是当我们对债券衍生产品定价感兴趣时。Longstaff和Schwartz（1992）一文是研究利率衍生产品定价的同一类诸多模型方法中的一个，该类方法可以认为是单因子Cox-Ingersoll-Ross模型的多变量形式。其他的涉及到这类模型的论文还有Beaglehole和Scott（1991）、Chen和Scott（1992）、Constantinides（1992）、Duffie和Kan（1993）等，其中，Duffie和Kan（1993）一文是对某些选定的固定到期期限的即期以多变量平方根过程进行建模。他们指出一般地可以通过作些基本变化（a change of basis）来使得其他模型中的状态变量与他们提出模型中的各到期期限的收益率相等价。 Longstaff-Schwartz提出的研究框架使得他们能够依赖于短期利率水平r及其波动υ的折现债券期权的封闭型表达式，而这其中，对后一个状态变量的引入相对于单因子模型而言是一个优势，因为利率波动是期权价值的基本决定因素。Longstaff-Schwartz第一次提出彼此之间独立演变的两个经济因子的动力学过程，并用来对物质投资（physical investment）的已实现收益率过程进行刻画，具体形式如下。 dx=(γ−δx)dt+xdz （25a） 1dy=(η−θy)dt+ydz (25b) 2在Longstaff-Schwartz框架下，均衡瞬时利率和该利率变化的方差是以状态变量x和y加权和的形式给出的，其中的权重是与物质投资的收益率过程的参数相关的，具体形式如下。 r=αx+βy （26a） 22υ=αx+βy （26b） 式（26）中，r和υ的形式使得作者可以将它们作为状态变量并用其来表示模型的结果。执行价格为X，到期时间为τ=T−t，并以到期日为s的折现债券为标的的看涨期权价值是一个相当复杂的表达式，该表达式涉及到了对双变量非中心卡方分布函数（the bivariate noncentral ch-square distribution fuction）Ψ的求解，具体形式如下。 C(t,T,s)=P(t,s)Ψ(θ,θ;4γ,4η,ω,ω)−XP(t,T)Ψ(θ,θ;4γ,4η,ω,ω) （27） 12123434式（27）中，
224ζφ4ζψθ=;θ=12α(exp(φτ)−1)A(s−t)β(exp(ψτ)−1)B(s−t) （28a） ζφζψ;3422α(exp(φτ)1)(τ)β(exp(ψτ)1)(τ)4φexp(φτ)A(s−t)(βr−υ)4ψexp(ψτ)B(s−t)(υ−αr)ω=;ω=12α(β−α)(exp(φτ)1)A(Ts)β(β−α)(exp(ψτ)1)B(Ts) （28b) 4φexp(φτ)A(τ)(βrυ)4ψexp(ψτ)B(τ)(υαr);34α(β−α)(exp(φτ)−1)β(β−α)(exp(ψτ)−1)ζ=κ(s−T)+2γlnA(s−T)+2ηlnB(s−T)−lnX22φ=2α+δ;ψ=2β+θ （28c） κ=γ(δ+φ)+η(θ+ψ)此外，式（27）中的到期日为s的折现债券价格P(t,s)和到期日为T的折现债券价格P(t,T)都可以由Longstaff-Schwartz债券定价公式给出。函数A(τ)和B(τ)的形式也在Longstaff和Schwartz（1992）一文中进行了定义，对此可参见Strickland（1996）。用来推导债券价格期限结构所需要的全部参数集合（the full set of parameters）也在Clewlow和Strickand（1994）一文中进行了讨论。累积分布函数Ψ(θ,θ;4γ,4η,ω,ω)是服从双变量12122非中心卡方分布的。而Longstaff-Schwartz模型的求解涉及到了对两个单变量非中心χ分布2函数进行双重积分（a double integral across the product of two univariate noncentral χ distribution functions），具体形式如下。 θθ−θuθ122122χ(;4γ,ω)χ(υ;4η,ω)dυu （29） 12∫∫00与大多数的多因子利率期限结构衍生产品定价模型相同，Longstaff-Schwartz模型可以求解所有的利率衍生证券的价格，但对少数几个利率衍生证券价格的求解计算所耗费的时间是相当长的（computationally expensive）。Longstaff-Schwartz指出对累积分布函数的计算是相当麻烦的，因此很有必要利用数值方法来求解折现债券期权价格的偏微分方程，或者也可以将期权支付（the option payoff）在得到的联合密度函数上求积分。本文所参考的许多更早的研究多变量平方根过程类模型（multivariate class of square root models）都提出了减轻这种计算复杂性（computational burden）的方法。例如，Chen和Scott（1993）证明了折现债券期权定价公式的多变量积分可以简化为单变量数值积分，因而这就充分地减少了求解模型所需要的计算时间。Duffie和Kan（1993）也针对减少模型求解计算时间的相同目的，提出了一个很实际的有限差分算法（practical finite difference algorithm）。 在与本文相关的一篇论文Strickland（1996）中，还讨论了许多其他的两因子利率期限结构模型，包括Cox-Ingersoll-Ross（1985）模型、Brennan和Schwartz（1979）模型、Schaefer和Schwart（z1987）模型、Fong和Vasicek（1991）模型等。本文刚刚讨论过的Longstaff-Schwartz一文是在上面所列出的诸多文献中，唯一一篇以显示方式处理折现债券期权定价问题的文
章。为获得那些模型（那些模型与本文刚讨论过的Longstaff-Schwartz模型的区别在于对短期利率做了不同的随机过程假定）的欧式期权价格，本文利用蒙特卡罗模拟技术并结合上述那些论文中与债券定价有关的结果来实现。此外，本文还将利用Fong和Vasice（k1991，1992a, 1992b）的两因子随机波动模型来具体阐明这一点。 Fong和Vasicek（1991）模型 Fong和Vasicek（1991）从对两个随机因子短期利率和短期利率波动的直接刻画出发，在标准的无套利条件下推导得到了纯折现债券的价格，具体形式如下。 ⎧dr=α(r−r)dt+υdz⎪1 （30） ⎨υ=γ(υ−υ)+ξυ⎪⎩2式（30）中，r和υ分别是短期利率和短期利率波动的风险修正的长期均值，且式（30）中的两个过程的瞬时相关系数为ρ。 比如说，现在要对一个到期日为T并以到期日为s的纯折现债券作为标的的期权进行定价，我们就可以对r和υ的联合过程从其初始值(r,υ)开始进行模拟，模拟许多次直到期00权到期，并由此得到了一个m时间步模拟（time-step simulation）的配对值向量（vector of paired values）。接着，就可以利用在模拟期末得到的状态变量水平并通过Fong-Vasicek公式计算得到到期时间为s−T的折现债券价格的解析解，而期权的支付则可以利用在本次模拟中已实现的短期利率路径进行折现。对此，也可参见Selby和Strickland（1995）对Fong-Vasicek纯折现债券定价公式进行计算的序列解（a series solution）方法。他们的方法避免了需要直接计算由Fong和Vasicek提出的合流超线几何函数。最近Clewlow和Strickland（1996）利用控制变量描述了有效蒙特卡罗技术（efficient Monte Carlo techniques），并用来在Fong-Vasicek框架下对更宽范围内的利率衍生产品进行定价。 虽然对单因子扩散过程模型利用蒙特卡罗模拟相对而言也是很耗时（time consuming procedure）的程序，但当我们考虑更多因子状态变量的扩散过程模型时该技术方法就变得很有吸引力。很多利率衍生产品定价模型诸如Longstaff-Schwartz模型的解析解为计算累积分布函数都需要耗用大量的时间（a computational expensive procedure），既使是采用数值方法在两状态变量情况下（two state world）来求解偏微分方程都是很耗时的。两因子随机模型的优点在于它们的模型形式可以包含类似GARCH行为的利率变动（GARCH-like variation in interest rates）。然而，就从业者而言，在本节中所讨论的方法存在的主要问题与前面各节中所讨论的其他的单因子模型相同，也就是用来对折现债券衍生产品定价的模型所作的利率过程的假定都造成了这些模型不能对债券进行正确的定价（在与市场价格相比较时）。虽然本文已经在其他地方讨论了Longstaff-Schwartz模型（Clewlow和Strickland, 1994），然而对于那些考虑了多于一个不确定性来源的模型而言，其参数估计和计算时间仍然是一个有待解决的问题。 6 “期限结构一致性”模型
正如我们所提到的那样，在本文前面两节所概述的方法存在的严重的缺点，即由那些模型仅能给出有限的一族利率期限结构，而这是与市场上实际可以得到利率期限结构是不相一致的。由此，这些模型通过参照理论上的收益率曲线而不是实际上可观测到的收益率曲线来对利率衍生产品进行定价，使得最终得到的或有要求权价格忽略了影响利率衍生证券估价的主要信息。最明显的市场数据是即期或者远期利率期限结构和利率波动期限结构。在本节中，本文将要讨论一类属于可称之为“期限结构一致性”（term structure consistent）的方法以及一类旨在与观测到的利率期限结构保持完全一致的利率衍生产品定价模型。 Ho和Lee（1986）模型 Ho和Lee（1986）是第一个在预先给定的某个估价日所有零息票债券价格信息下对整个利率期限结构的动力学过程来构建模型的。该模型的风险中性连续时间极限可以通过下面的短期利率过程来进行刻画。 dr=θ(t)dt+σdz （31） 式（38）中，θ(t)是与时间依赖的漂移项（time-dependent drift term），能够反映初始的远期利率曲线的斜率f(0,t)和短期利率过程的波动参数，具体形式如下。 2θ(t)=f(0,t)+σt （32） t在上述这个框架下，可以证明纯折现债券价格和折现债券期权的解析解都是可以得到的（参见Hull和White（1991）），且该解析解为短期利率和初始收益率曲线的函数。在时刻T到期的，以到期日为s的纯折现债券为标的的欧式看涨期权和看跌期权在时刻t的价格可以由改进的Black-Scholes公式给出，具体形式如下。 c(t,T,s)=P(t,s)N(d)−XP(t,T)N(d) （33） 12p(t,T,s)XP(t,T)N(d)P(t,s)N(−d) （34） 21式（34）中， log[P(t,s)(XP(t,T))]σPd=+1σ2 Pd=d−1;σ=σ(s−T)T−t21P其中，参数σ(s−T)与到期日为s的债券远期价格（在时刻T）的瞬时收益率的方差相等价。Ho-Lee模型设定的优点在于它与在Black-Scholes模型分析中一样，期权估价与偏好是无关的。因此，为在这个框架下对期权进行定价，我们仅需要能观测到纯折现债券的价格和短期利率过程的波动σ。这些期权定价公式与Merton（1973）提出的模型定价公式相类似，对此本文在第四节已经进行了分析。而这些期权定价公式与Merton（1973）模型定价公式的区别在于二者在到期时刻s和T时的债券价值不同，其中，后者的债券价格是在短期利率的风险中性过程假定条件下经过理论推导得到的，而Ho和Lee模型中的债券价格是观测到的市场价格。Ho-Lee模型存在的主要问题已经在Strickland（1996）一文中进行了分析，但为便于理解，特在本文中概括如下：在未来的某个时刻所有可能的收益率曲线彼此之
间都是平行的；未来的短期利率会以正的概率出现负值；在该模型中以数学公式形式确定的利率波动结构隐含着即期利率和远期利率都是等幅度变动的（all equally variable）。 Heath, Jarrow和Morton（1990a, 1990b和1992）试图通过对利率期限结构构建一族连续时间的随机过程来扩展Ho-Lee的早期研究工作，这族连续时间的随机过程既与在Ho-Lee模型中包含的观测到的初始利率期限结构数据相一致，又与描述利率波动的利率期限结构数据相一致。为对该利率期限结构的动力学过程进行建模，可以选用以下三种等价形式的公式化表述：债券价格、短期利率和远期利率。Heath-Jarrow-Morton选择远期瞬时利率来建模，这是由于出于对与零息票债券到期日相关波动的考虑，因而，可以将给定的初始远期利率曲线{f(0,s):s≥0}作为预先给定的信息。作为外生给定的远期利率曲线的动力学过程可由下式给出。 nttf(t,s)=f(0,s)+α(υ,s)dυ+σ(υ,t)dZ(υ) （35） ∑ii∫∫00i=1式（35）中，α(υ,T)是瞬时远期利率的漂移，σ是远期利率的波动，Z表示第iii（i=1,...,n）个维纳过程。此外，式（35）是以它的最一般形式进行表示的，其中，n个相互无关的布朗运动确定了远期利率曲线的随机波动。Heath-Jarrow-Morton（1992）证明了纯折现债券的价格满足一个随机微分方程，且该随机微分方程规定了第T个到期日债券瞬时收益率的漂移率（drift rate）等于即期利率加上一个期限溢价，而期限溢价又是远期利率漂移和波动的函数。同时，该折现债券瞬时收益率的波动也是远期利率波动的函数。可以证明Heath-Jarrow-Morton模型与在到期日收敛到债券面值的债券价格以及瞬时利率的行为也是一致的。通过应用Harrison和Kreps（1979）一文的研究结论，上述过程可以证明是无套利的，并且或有要求权的价值可以通过应用Harrison和Pliska（1981）的研究结果得到。由Heath-Jarrow-Morton给出的这类利率模型是非常的具有一般性，包括了很宽范围的期限结构一致模型。与在Black-Scholes一文中的分析一样，在对债券期权定价时漂移项起着一个十分重要技术角色（a technical role）。波动函数的选择则取决于研究使用者的判断。在选择的波动函数是常数的，或者是时间和远期利率的函数，有时会得到带有解析解的路径依赖（path-dependent）模型诸如连续时间的Ho-Lee模型、Vasicek模型或者Cox-Ingersoll-Ross模型。选择那些能够最佳地拟合历史利率期限结构变动或者市场期权数据的波动函数，一般会使得利率期限结构的演变是路径依赖的，且由于离散时间近似树的指数增长（the exponential growth in the tree of the discrete time approximation）而使得计算时间出现相当大的增加。总之，对于由那些波动函数会得到解析解以及如何选择这些波动函数的相关问题可以参见Strickland（1996）一文，该文对此进行了深入讨论。 Heath-Jarrow-Morton（1992）一文给出了两个例子来阐明或有要求权估价的原理，这两个例子从计算上讲都是很简单的。其中，第一个例子包括单一的不确定性来源，与本文已经研究过的连续时间的Ho-Lee模型等价；而第二个例子包括两个不确定性来源，可以根据如
下形式的一个随机微分方程（与式（35）等价）来进行表示。 −(λ/2)(s−t)df(t,s)=α(t,s)dt+σdZ(t)+σedZ(t) （36） 1122式（36）中，σ、σ和λ都是正常数，这使得波动函数可以以不同的方式来影响收益12率曲线，也允许收益率曲线出现“倾斜（tilts）”以及平行变动（parallel shifts）。到期时刻为T的欧式看涨期权和看跌期权的价值也可由式（33）和式（34）给出，且其中的σ可使得P下式成立。 2⎛4σ⎞222−(λ/2)s−(λ/2)T2λTλt2σ=σ(s−T)(T−t)+(e−e(e−e) （37） P1⎜⎟3λ⎝⎠通常，Heath-Jarrow-Morton模型依赖于波动函数的选择而是非马尔可夫型的（non-Markov），这就要求用来表示短期利率路径的二叉树是非重合的（nonrecombining）。波动函数的选择和设定将依赖于所要定价的衍生产品及其类型。模型中随机因子个数的增加使得利用蒙特卡罗模拟来实现计算结果变得非常合理。在实现对利率或有要求权定价模型和观测到的期限结构数据直接的拟合上，主要存在两种主要的方法。本文上面刚刚描述过的Heath-Jarrow-Morton（1992）的研究，提出了对利率或有要求权进行定价的无套利定价模型，其中该模型中的随机结构直接被施加在（远期）利率期限结构上。另外一种方法包括Hull和White（1990）、Jamshidian（1991）、Dybvig（1989）等，则包括与在第四节描述过的传统方法一样，首先对短期利率的一般过程进行描述，然后通过将该模型方法中的常数参数用时间的确定性函数（deterministic functions of time）来替代而有效地扩展了模型的参数化几何（expanding the parameterization set）。而且，这个时间依赖函数（time dependent functions）的选择应当使得对利率期限结构模型的求解与由市场数据给定的期限结构相符合。（实际上，上述这两种方法之间的差异仅仅是理论上的。然而，却会得到完全不同的形式。） Hull和White（1990）模型 出于对市场实际情况考虑的动机，Hull和White推导出了一个短期利率的两个单一状态变量模型（two one-state variable models）。他们试图在Vasicek和Cox-Ingersoll-Ross模型的解析易处理性和拟合观测到的期限结构数据模型的一致性之间寻求折衷处理，具体形式如下。 dr=[θ(t)−φ(t)r]dt+σ(t)dz （38） dr=[θ(t)−φ(t)r]dt+σ(t)rdz （39） Hull-White建议对三个时间函数θ(t)、φ(t)和σ(t)的选择应当使得由式（38）和式（39）所确定的模型能够拟合初始的利率期限结构、即期利率波动的期限结构和克服Black-Derman-Toy模型所存在的问题之一的瞬时即期利率的预期时变性。。对于由式（38）表示的“扩展的Vasicek”模型，到期日为T、并以到期日为s的纯折现债券作为标的的欧式看涨期权和看跌期权的价格可以式（33）和式（34）中的改进的Black-Scholes公式给出，且其中的σ可使得下式成立。 P
2T∂B(t,τ)⎡⎤22′σ=[B(t,s)−B(t,T)]σ(τ)dτ （40） P∫⎢⎥t∂τ⎣⎦对Hull-White模型的这种刻画可以得到服从正态分布的利率和服从对数正态分布的债券价格，由此产生的缺点在于利率可能以正的概率出现负值。该模型的优点是其欧式债券期权价格的解析易处理性。为求解债券期权的价格，研究者（或者模型使用者）首先应当用函数{B(t,s);s≥0}来拟合实证数据，一旦即期利率和即期利率波动的期限结构被建立后，这就是一个相对很简单的程序，然后再进行一个数值微分，接下来再进行一个数值积分。 而由式（39）所表示的第二个模型也即“扩展的Cox-Ingersoll-Ross”模型，允许短期利率的变动与其自身的利率水平相关，由此产生的影响是：消除了利率出现负值的可能性但却使得模型的求解不如像对Vasicek模型的扩展形式那样易于进行解析处理，这是因为该模型对期权定价问题的求解涉及到了利用数值程序来求解驱动债券价格工具演变的偏微分方程。对于该模型（式（39））的一个特例，Jamshidian（1993）引用了简单的平方根模型类2（θ(t)σ(t)是一个常数的情况），并且得到了折现债券期权价格的封闭型解。 本文在这里所讨论的两个“扩展”模型都认可观测到的（即期）利率波动和短期利率波动的未来期望，虽然后者通常被假定为一个常数且等于它自身的观测水平。可以证明，观测到的广义久期测度（the observed generalized duration measure）{B(0,s);s≥0}是一个偏微分方程的解，同样还被约束于随着时间以某种确定方式进行演变。这就隐含着一旦初始的即期利率波动函数被设定后，它接下来的演变过程就是确定的，甚至可能是以某种不符合使用者最初意愿（originally intended）（可参见Strickland（1993））的方式进行演变。 在利率期限结构建模的背景下，由Strickland（1996）讨论过的式（38）中的特例使我们不必利用刚讨论过的数值程序就可以对折现债券期权进行定价。这个模型就是所谓的“Hull-White”模型，它是扩展的Vasicek模型，其均值回复速度（the revision rate）α和瞬时标准偏差σ都是常数。短期利率过程可以由下面的扩散过程给出，具体形式如下。 dr=[θ(t)−αr]dt+σdz （41） 式（41）中的模型可以被视为带有时间依赖型漂移的Vasicek模型或者带有均值回复的Ho-Lee模型，因而，该模型在允许均值回复和解析易处理的同时还保留了与期限结构相一致的特性。该模型中纯折现债券的欧式看涨期权和看跌期权的价格也可以由式（33）和式（34）给出，且其中的σ可使得下式成立。 P2σ2−α(s−T)2−2α(T−t)σ=(1−e)(1−e) （42） P32α由此，可以看出由Jamshidian提出的折现债券期权定价公式正是在第四节讨论过的Vasicek过程，二者的差别仅是不同的（也就是说市场的和理论上的）债券价格。 Black, Derman和Toy（1990）模型 Black, Derman和Toy（1990）提出了一个与观测到的即期利率波动期限结构以及利率
期限结构相匹配的马尔可夫模型，且通过与从业人员的交流表明该模型在当前的证券市场上是很流行的。( Black和Karasinski（1991）也提出了一个类似的模型)。与最初的Ho-Lee模型一样，该模型也是通过在离散的二叉树网格（discrete-time binomial lattice framework）框架下，并从数学运算的角度来描述整个期限结构的演变过程而提出的。虽然这意味着该模型就其对短期利率的演变过程假定而言是相当不透明的，但可以证明该模型的连续时间极限可由下面的随机微分方程给出，具体形式如下。 ⎡′σ(⎤t)dlogr(t)=θ(t)−logr(t)dt+σ(t)dz （43） ⎢⎥σ(t)⎣⎦该模型的这种表述使得我们可以更好地理解隐含在模型中的假定条件。Black-Derman-Toy模型包含两个时间函数θ(t)和σ(t)。其中，θ(t)的选择应当使得模型可以拟合即期利率期限结构；而σ(t)的选择应当使得模型可以拟合即期利率波动的期限结构。在这个模型中，短期利率的变化是服从对数正态分布的，由此产生的优点是利率不可能出现负值。一旦两个时间函数θ(t)和σ(t)的形式被选择确定，未来整个的短期利率波动就被确定下来了。但该模型的一个不利后果是对于波动函数σ(t)的某种设定形式，也就是如果未来的短期利率波动是时间衰减的，则短期利率就是均值减弱（mean-fleeting）而不是均值回复的。该模型的优点在于波动的单位是以百分数计的，这与市场惯例相符合。不幸的是，由于短期利率波动是服从对数正态分布的，因而折现债券的价格和折现债券期权的价格的解析解都是不能得到的，相反却需要利用“试错程序”（’trial and error’ procedure）来推导得到能正确生成市场利率期限结构的短期利率树。不过，Jamshidian（1991）给出了一个很优雅且能够进行快速计算的程序（an elegant and computationally fast procedure），利用该程序可以计算短期利率树，并使得对它的实时实现（real time implementation）成为可能。 虽然本文刚描述的这类模型很有吸引力，但它们也并非没有缺点。尽管由于系数的时间依赖性（time dependency of coefficients）使得模型存在很大的自由度（a large amount of freedom），但这也会造成模型的估计问题。在任何日期我们都必须估计利率期限结构函数、波动期限结构函数和波动的时间路径函数。然而，就如同一个传统的期权定价模型中的隐含波动一样，当我们考虑更晚某个日期的期权市场价格时，并不能保证上述这些重新估计的三种函数与以前估计的函数一样。尤其是在某种程度上独立地选择能够拟合利率期限结构的波动函数会造成对利率期限结构形状中所包含的预期利率波动信息的忽视。凸性（convexity）考虑或者其他更正式的分析都会非常容易地得到关于到期日的即期利率凸性(the concavity of spot rates with respect to maturity)和利率的未来波动（the prospective volatility of interest rates）之间的关系。最后，将利率和利率波动期限结构由模型参数所隐含的那些模型扩展到它们由市场数据所隐含的模型，并不意味着后一种情况下的模型就是以某种改进的方式来描述实际的随机利率演变过程的。实际上，这仍然是一个有待解决的实证问题。 7 概要和结论（summary and conclusions）
本文主要着重于用来对纯折现债券衍生产品进行定价的许多不同方法，原因是许多更复杂的利率衍生产品可以被视为这些债券工具的投资组合。本文所研究的单因子模型可以分为两组：将折现债券价格作为标的变量进行显示建模的那些模型和考虑将某种重要利率服从某种随机演变过程的形式来进行建模的那些模型。这类模型的优点是在计算上相对容易，但其缺点是为实现计算上的简便而对标的过程做了不符合市场实际情况的假定。而那些很受实证证据（研究）所支持的是由多个不确定性因子在驱动利率期限结构的均衡模型也遭受到的实际情况是，虽然这些模型能够产生更丰富种类的可能利率期限结构，但它们也是根据一个理论上的收益率曲线而非实际观测到的收益率曲线来对折现债券衍生产品进行定价。一旦这些随机过程的参数被确定后，即期利率波动的收益率曲线也在该模型内确定下来。 最近有关这方面的研究主要集中在在预先给定的可交易工具的价格下旨在构建与初始观测到的期限结构完全一致的模型。在实现这个目的方面，主要存在两种流行的方法。第一种方法是直接在收益率曲线上对利率期限结构演变的随机性质进行假定，支持者是Heath-Jarrow-Morton。第二种方法则是允许传统模型中的恒定参数是时间依赖的，因而有效地增加了模型的参数化处理（the parameterization of the models）。这种模型通过允许随机过程的漂移项是时间依赖的可以用来拟合利率期限结构。如果短期利率波动也被设定成时间依赖的，则利率波动的期限结构也就可以被设定为一个拟合函数。 最后，对上面描述的各种方法的性能好坏的量化比较则是将来的进一步研究方面，将在接下来的一篇论文中作详细讨论。 参考文献： [1] Babbs, S. (1991) A Survey of Alternative Models for Pricing Interest Rate Derivatives, Paper presented at the 4th Annual Options Conference, Financial Options Research Centre, University of Warwick. [2] Barone-Adesi, G., and Whaiey, . (1987) Efficient analytic approximation of American option values, J. Finance, 42, 301-20. [3] Beagiehole, . and Tenney, . (1991) General solutions of some interest rate contingent claim pricing equations, J. Fixed Income, 1, pp. 69-83. [4] Black, F, and Karasinski, P. (1991) Bond and option pricing when short rates are lognormal. Financial Analysts J., July-Aug., 52-59. [5] Black, F. and Scholes, M. (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities, J. Political Economy, 81, 637-59. [6] Black, F, Derman, E. and Toy, W. (1990) A one-factor model of interest rates and its application to treasury bond options. Financial Analysts J., Jan.-Feb., pp. 33-39. [7] Brennan, , and Schwartz, . (1979) A continuous time approach to the pricing of bonds, J. Banking & Finance, 3, 133-55.
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