问题1、经过平面上一个已知点，作已知
圆的切线会有怎样的情形？
·O
50°
2、这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出
PA是⊙O的切线。
3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数
130°
问题2、
1、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？
O。
A
B
P
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，
则∠OAP= °,连接OP，可知A、B 除了
在⊙O上，还在怎样的圆上?
90
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
O · P
A
B
O
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间
的线段的长叫做这点到圆的切线长
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？
··
它们有什么区别与联系呢？
切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点
分别是圆外一点和切点，可以度量。
O P
A
B
比一比
O
A
B
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为
切点，把圆沿着直线OP对折,你能发
现什么?
1
2
折一折
%E5%88%87%E7%BA%BF%E9%95%BF%E5%AE%9A%E7%90%
请证明你所发现的结论。
A
P
O
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言
叙述你所发现
的结论
证一证
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相
等提供新的方法
O P
A
B
切线长定理
A
PO
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得
出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又
能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
C
。 P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
要我们构建基本图形。
想一想
探究：PA、PB是⊙O的两条切
线，A、B为切点，直线OP交于
⊙O于点D、E，交AB于C。
B
A
PO CE D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的
切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
P
AC
B
DO
例题讲解
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切
圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于
C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
C
· OP
B
D
A
E
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们
的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
A
PO
。
B
E C D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能灵活应用。
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个
思考：如何在三角形的铁皮上作一个面积最
大的圆呢？
O
EB
D
C
A
F
阅读课本97页，思考：
1、什么是三角形的内切圆？
2、什么是三角形的内心？
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
2.一个圆有无数个外切三角形；
3.三角形的内心就是三角形三条内角平
分线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
．o
外切圆圆心：三角形三边
垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。
三角形外接圆 三角形内切圆
．o
内切圆圆心：三角形三个
内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三
角形任意一边的垂直距离。
A
A
B
B
C C
例3、如图，△ABC中,∠C =90º ,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
O
EB
D
C
A
F
例1 △△ABCABC的内切圆的内切圆⊙⊙OO与与BCBC、、CACA、、ABAB分别相切于分别相切于
点点DD、、EE、、FF，且，且AB=9cmAB=9cm，，BC=14cmBC=14cm，，CA=13cmCA=13cm，，
求求AFAF、、BDBD、、CECE的长的长..
解:
设设AF=x(cm), BD=y(cm),CEAF=x(cm), BD=y(cm),CE＝＝z(cmz(cm))
∴∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
∵ ⊙⊙OO与与△△ABCABC的三边都相切的三边都相切
∴∴AFAF＝＝AE,BDAE,BD＝＝BF,CEBF,CE＝＝CDCD
则有则有
xx＋＋yy＝＝99
yy＋＋zz＝＝1414
xx＋＋zz＝＝1313
解得解得
xx＝＝44
yy＝＝55
zz＝＝99
例4 、如图，四边形ABCD的边
AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别
相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD
D
L
M
N
A B
C
O
P
证明：由切线长定理得
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC
，
DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+
MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、
BC是切线，点A、E、B为切点，
(1)求证：OD ⊥ OC
(2)若BC=9，AD=4，求OB的长.
OA B
C
D
E
· OA B
C
D
E
F
OA B
C
D
E
选做题：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B
为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
