第五章 平稳时间序列预测
本章论述平稳时间序列的预测，学习的重点是条件期望预测。
序言
预测就是根据现在与过去序列的样本取值，对未来某一时刻的随机变量进行估计。
问题的提出
可能的预测：（1）预测表达式是时间序列过去取值的线性组合；（2）具有最小的预测方差。
问题的求解
对于作一平稳的时间序列模型，我们都可以将它转化成移动平均过程：
由于是相互正交的，因而形成平面M的一组正交基。预测函数
（2）式意味着可由线性表出，因此可由正交基线性表出：
因而，求解的问题就转化为求解。而是在平面M上的正投影相对于平面M的一组正交基的坐标，比较容易求解。解之得 ：
注：由于该预测使得与的均方误差最小，因而将其称为最小均方误差预测。
综上所述，的最小均方误差预测
预测误差
预测误差为：
方差为：
由（7）式可以看出步线性最小方差预测误差的方差和预测步长有关，而与预测的时间起点t无关，这一点也体现了预测的平稳性质。同时预测的步长越长，预测误差的方差也越大，即预测的准确性越差。
表 各种预测方法及其特点
方 法
时间范围
适用情况
应做工作
定性预测法
短、中、长期
对缺乏历史统计资料或趋势面临转折的事件进行预测
需做大量的调查研究工作
一元线性回归预测法
短、中期
自变量与因变量两个变量之间存在着线性关系
为两个变量收集历史数据，此项工作是此预测中最费时的事情
多元线性回归预测法
短、中期
因变量与两个以上的自变量之间存在着线性关系
为所有变量收集历史数据是此项工作是此预测中最费时的事情
非线性回归预测法
短、中期
因变量与一个自变量或多个其它自变量之间存在着某种非线性关系
必须收集历史数据，并用几个非线性模型试验
趋势外推法
中期到长期
当被预测项目的有关变量用时间表示时，用非线性回归
只需要因变量的历史资料，但用趋势图作试探时很费时间
分解分析法
短期
适用于一次性的短期预测或在使用其它预测方法前消除季节变动的因素
只需要序列的历史资料
移动平均法
短期
不带季节变动的反复预测
只需要因变量的历史资料，但初次选择权数时很费劲
指数平滑法
短期
具有或不具有季节变动的反复预测
只需因变量的历史资料，是一切反复预测中最简单的方法，但建立模型所费的时间与自适应过滤不相上下
自适应过滤法
短期
适用于趋势形态的性质随时间而变化，而且没有季节变动的反复预测
只需要因变量的历史资料，但制定并检查模型规格很费时间
博克斯—詹金斯法
短期
适用于任何序列的发展形态的一种高级预测方法
计算过程复杂、繁琐
景气预测法
短、中期
适用于时间序列趋势延续及转折预测
收集大量历史资料和数据并需进行大量计算
灰色预测法
短、中期
适用于时间序列的发展呈指数型趋势
收集对象的历史数据
状态空间模型和卡尔漫滤波
短、中期
适用于各类时间序列的预测
收集对象的历史数据并建立状态空间模型
实际中预测值的计算
前面从理论得到时间序列的步最小方差预测包含无穷项求和，而实际中我们只可能有有限的数据，因此，只能用充分多项的有穷和近似，即
因为格林函数是指数衰减的，T的取值只要使小于允许的值即可。
（8）中的格林函数可递推计算；随机扰动项也可递推计算 。
第二节 条件期望预测
条件期望预测的实质：它是根据差分方程形式来进行预测，该算法直接从所建立的模型出发能够求出步线性最小方差预测的值。
条件期望
所谓条件期望，是指在一定条件下的期望值。例如，在已知的条件下，的期望值称为的条件期望，记为：或。它具有如下的性质：
性质1：
性质2：
性质3：
性质1表明：条件期望满足线性运算法则；性质2表明：现在或过去观察值的条件期望是其本身，未来取值的条件期望是其预测值；性质3表明：现在或过去的残差的条件期望是它的估计值，未来残差的条件期望则为零。
用模型的逆转形式进行预测
任一ARMA模型可用逆转形式来表示，即将xt表示为过去观测值的线性组合再加一个随机扰动：
用差分方程形式进行预测
AR（1），MA（1）的预测详见教材P130。
下面以ARMA (1, 1) 模型为例具体介绍预测方法。其他形式时间序列模型的预测方法与此类似。
设对时间序列样本{xt}, t = 1, 2, …, T，所拟合的模型是
上式中at需要通过递推计算。
······
即当 l>1时，预测值满足模型自回归部分差分方程
利用做为初始值，解此差分方程得预测值为
ARMA(m,n)模型的预测
①一步预测(l=1)
②二步预测(l=2)
③步预测
当时
当时
其中对于,。
滑动平均部分全部消失，预测值满足自回归部分的差分方程。
结论：对一般的ARMA(n,m)模型，自回归部分决定了预测函数的形式，而滑动平均部分用于确定预测函数中的系数。
ARMA(n,m)模型的预测区间
由于，所以的分布完全由所决定
按照原则，得到l步预测的%和%的预测区间分别为：
和
在实际计算过程中，理论上的用
预测的稳定性
格林函数与预测值满足同样的关系式，由第三章的内容可知格林函数描述了系统的记忆性，而预测所依赖的正是这种记忆性，因而预测值的变化趋势与格林函数的变化是一致的，预测的稳定性依赖于格林函数的稳定性或系统的稳定性。
实例
【例4-5】利用例4-1所建立的模型进行预测，详见教材P133、P134。
解：（1）实际计算，见教材P135；
（2）软件中的预测
预测和模拟
（一）在估计的单方程基础上进行预测；
（二）合并成多方程模型进行预测（solve）；
（三）几种指数平滑预测法。
1．单个估计方程的预测有两种方法：其一，Dynamic法，利用滞后左手变量以前的预测值计算当前样本区间的预测；其二，Static法，使用的是实际值而不是预测值。
NOTE：两种方法在多步预测的第一步给出相同的结果，当方程中不含滞后被解释变量和ARMA项时，二者相同。
2．预测的标准差和置信区间。预测误差来源于：方程的新息（残差）未知；系数的不确定性。
3．预测精度与预测评价
预测研究的一个重要任务是为各具物色的不同预测对象寻找合适的预测方法，使得预测结果具有更高的可靠性和精确度。
预测精度的一般含义是指预测模型拟合的好坏程度，即由预测模型所产生的模拟值与历史实际值拟合程度的优劣。对于时间序列预测，研究者可以利用历史数据的一部分建立模型。然后预测其余的历史数据，以便更直观地研究预测精度。但对于预测用户而言，预测未来的精度是重要的，至于该预测模型过去的预测精度如何则没有什么意义。
在对话框中选择了Forecast Evaluation，并且被预测变量在预测期内有实际值，那么得到一个评价预测的统计结果。这个结果包括：均方根预测误差、平均绝对预测误差、平均相对预测误差和Theil不等系数及其分解。指标 表达形式如下：
①平方和误差：；
②平均绝对误差：；
③均方根误差：；
④平均绝对百分比误差 ：；
⑤均方百分比误差：；
⑥Theil不等系数 ：
4．预测图
第三节 实时修正预测
问题的提出
任何模型的建立都是依据当时的条件，即现有的信息量决定了模型的表达形式。随着时间的推移，不断地有新信息产生，原有的模型可能不能反应现实的情况，要想真实再现时间序列的变化趋势，有必要重新建立时间序列模型。然而，前面的学习发现，时间序列模型的建立过程比较复杂，有没有一种新办法能够解决无须重新建立模型就能够准确地刻划新形式下时间序列的变化趋势。回答是肯定的，实时修正预测就是在原先预测结果的基础之上，加进一些新的信息，就能得到与重新建立模型进行预测等价的效果。
具体做法
对于一个ARMA过程，由
（5）
得：
（6）
（7）
（6）式反应了在时刻，对未来进行步预测，为在新息产生条件下的预测结果；（7）式反应了在时刻，对未来进行步预测，为没有考虑新息时的预测结果；同时由（6）式和（7）式，我们还可以得到如下结论：
（8）
式中，为一步预测误差。（8）式表明：新的预测值是在旧的预测值基础上加一个修正项，而这一修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随预测超前步数而变化。
实例
【例4-6】对例4-5，假如我们已知道观测值，试计算和。
解：可列表计算
表 实时修正预测计算过程
超前期
1
2
3
……
格林函数
预测特性
95%置信区间 ±
t
Xt
249
原点
250
251
252
253
254
第四节 指数平滑预测——ARMA模型特例
1．问题的提出
由前面的讨论，我们已经知道，预测值实际上是过去的观察值及部分预测值的一种平滑，特别是超前一步预测值是，的一种平滑，那么指标平滑预测与ARMA模型预测之间到底存在着什么样的联系。
2．指数平滑预测
设有时间序列，对其未来发展变化趋势作预测。
①最朴素的动态思想认为现象的未来行为和现在的行为有关，因而用现在值作为下一期的预测；
②序列的预测值用平均值来代替；
③在取所有资料的平均数不尽合理时，利用了“移动平均数”；
④作同等的权重不合适，指数平滑法
作为权数，，
（9）
由于（9）中不再是加权平均数，因而用作为权数，这时有预测公式为：
（10）
（10）为著名的指数加权移动平均数（EWMA），它有两个极为重要的公式：
（11）
（12）
（11）式表明下期的预测值是本期实际与本期预测的加权平均数；（12）式使用的倍数的预测误差对模型加以修正。
3．指数平滑与ARMA模型的关系
结论：指数平滑预测与ARMA（1，1）模型在时的特殊情况下的预测等价。
【本章思考题】1．最小均方误预测的基本原理是什么？
2．条件期望的性质是什么？
3．如何进行条件期望预测？
4．指数平滑预测和ARMA模型的关系。
【作 业】P142：3、5
§8 应用案例
【例4-7】ARMA模型及其应用，资料来源于徐静：ARMA模型及其应用，《立信会计高等专科学校学报》，2001年第3期。
这是从几何角度解决了预测的问题，还可以从代数角度上解决，详见教材P128。
详见王振龙：《时间序列分析》P129。
①、②和③属于绝对指标，其它属于相对指标建议使用。
一般认为如果MAPE的值低于10，则认为预测精度较高。
根据均方误差的分解，还可以定义三个与希尔不等系数相关的指标。偏差率BP反映了预测值均值和实际值均值间的差异；方差率VP反映了它们标准差的差异；协变率CP反映了剩余的误差。值得说明的是：CP=1-BP-VP，当预测是比较理想时，均方误差大多数集中在协变率上，而其余两项都很小。
只要预测的步数没有改变，预测误差的标准差就不会发生变化。
