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太原城市职业技术学院学报
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年第 8期 期
统计决策中样本容量的确定
胡 萍
（鞍钢职工大学，辽宁 鞍山 889":&）
;摘要<文章阐述了统计决策中样本容量的确定方法=主要有：区间估计中样本容量的计算，质量
控制中一次抽检方案的确定，抽样技术中样本的最优配置。
;关键词<统计决策；样本容量；确定
;中图分类号<>&8 ;文献标识码<? ;文章编号<8!@:A""9!B&""’C"8A""’’A"&
在质量管理中及统计决策时，如何抽取样本是一个很重要问题。样本容量过大会浪费人力、物力，增
加调查费用，容量过小，又会使调查结果误差增大。因
此，样本容量 D 的确定，必须在一定概率保证下进行。
既要考虑节省费用，又要保证调查结果的精度。减少统
计决策中的风险，提高质量管理水平。
一、参数区间估计中样本容量的确定
8E!已知时= 正态总体均值 " 的置信区间的样本
容量的确定
设随机变量 FGH（"=!），! 已知时，" 的置信度为
8""（8A#）I的置信区间是：B C
其中： — 可靠因数；
!— 标准差；
, — 必要样本容量；
!J — 允许误差。
因此得出：
该公式对正态总体、非正态总体大样本时均成立。
当总体为有限总体，抽样方式为不放回抽样时，确定 ,
要考虑有限修正系数。此时有：
,J H为总体 K的容量。
&E估计总体比例时，必要样本容量 ,的确定
由 !J 得：
,J "
为样本比例，是总体比例 L的有效估计量。L未
知时，可用 代替 L。
当有限总体为不放回抽样时，
,J
二、参数检验中，样本容量 ,的计算
8E两点错误与两种风险
在假设检验中，原假设为真而被拒绝称为犯弃真
错误，犯弃真错误的概率为 #，因此又称为犯 # 错误，
又叫生产者风险。若原假设不真而被接受，又称为犯存
伪错误，犯该错误的概率为 $，又叫犯 $ 错误。概率 $
又称消费者风险。
&E必要样本容量 ,的计算
在参数检验中，, 的大小同时影响犯 #、$ 错误的
概率。因此，必须同时考虑 #、$的大小来计算 ,。设 FG
H（"，!"&），"是未知参数。!"&已知，提出假设：
（""M "）
在给定犯两点错误概率 #、$后，同时给出 N"的一
个拒绝域 K#O，于是有：
该方程组相当于标准正态概率中的
利用标准正态分布表，对给定的 #、$可以查得：
=
于是，由方程组解得：
,J =5J
x!Z
21
a- n
s
, x +Z
21
a- n
s
Z
21
a-
Z
21
a- n
s
n= 2
22
1 2
D
- saZ
( ) 2212
22
1
2
2
1 s
s
a
a
-
-
+D- ZN
NZ
Z ( )pp -- 121 a
( )
2
2
1 12
D
-- ppZ a ( )
2
1
2 1
2
D
-- ppZ a
p
p
( )
( ) ( )ppZN
ppNZ
11
1
2
1
2
2
1
2
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-+D-
-
-
-
a
a
( )
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÷
ø
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m
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m
a
s
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s
m
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c
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xpcxp
n
c
n
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( )îí
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b
a
b
a
ZZp
ZZp
Z a = n
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0
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m-
Z b = n
c
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m-
( )
( )201
2
0
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-
- ZZ
ba
ba mm
ZZ
ZZ
-
- 01
î
í
ì
=
=
11
00
mm
mm
!
!
H
H ：
：
·’’·
三、质量管理中一次抽检方案的确定
!"一次抽检方案
在 #件产品中，规定抽取一个容量为 $的样本，及
一个可接受数量 %，如果在样品中发现次品数小于或等
于 %，接受这批产品，否则拒收。拒收的数目为 %&!。
’"一次抽检方案的确定
在质量管理中，既要考虑生产者风险，又要考虑消
费者风险。要把两种风险控制在最低限度。根据这一要
求，确定一次抽检方案。
在通常情况下，样本容量与批容之比 及不合格
品率 (往往很小，数理统计的理论证明：当 !)"!)，
(!)"!) 时，可用泊松分布近似计算产品的接受概率。
其概念为：
*（(）+
在这个公式中，对生产者风险 !，次品率 ( 称为可
接受质量水平。对消费者风险 "，相应次品率 (!叫批容
许次品率。
在给定的抽样方案中，对次品率为 ( 的产品批，经
检验后认为合格的概率为：
!,!+
对次品率为 (，经检验后被接收的概率为-
"+
当 !、"、()、(!给出后，一个抽检方案（$，%）就可由
方程组 决定。
四、分层抽样中样本单位的最优配置
在统计决策中，分层抽样是很重要的抽样技术。其
方法简便易行，精度较高。为了使抽样科学合理，在
!./0 年，内曼根据各层权数及各层层内方差大小来分
配各层抽取的样本单位数。这种方法称内曼配置。实际
上也是最优配置。计算公式：
其中，1 是层数，2 、3 分别为第 4 层的总体层权数
及方差。$ 为第 4层的样本容量。$为总的样本容量。
最优配置研究在给定费用条件下，如何使估计量
方差达到最小。在分层抽样中，最简单的是线性费用
函数：
4+!5’⋯⋯1
其中：6)为固定费用；6 为 4层单位费用。在分层
抽样中，费用函数为线性函数时，若 $ 与 2 3 7 成
比例，则在给定费用条件下，使总体均值估计方差 8 达
到最小值，则：
当给定费用 6及固定费用 6)时，则：
# 为第 4层的总体单位数。当各层单位调查费用
相等时，即 6 +6时，最优配置就是内曼配置。
五、几种方法的联系与区别
在参数检验中，$+ ，若令 9 +)，
"+#!,#)，则 $+ 5与区间估计中的样本容量计算
公式一致，而不论参数检验中 $、% 的确定，还是一次抽
检方案中 $、% 的确定，都要求使两种错误的概率 !、"
最小。前者用正态概率计算，后者再用泊松分布计算。
区间估计中，参数检验，抽样技术中必要样本容量的确
定都与误差有关。前者考虑最大允许误差，总体方差。
允许误差越大，$ 越小:总体方差越大，$ 越大。而后者
考虑分层抽样时参数估计量的误差最小时容量 $ 的确
定。第一、第二个内容用于统计推断，而第三个内容用
于质量控制，第四个内容用于抽样技术。每一种容量 $
的计算公式都有所不同，但在各自的适用范围内都是
最优的容量选取方法。
总之，以概率为基础，计算必要样本容量，是一种
科学的方法。有关容量的计算必须在抽样之前完成。要
适当选取置信水平及显著水平，减少风险，提高精度，
从而提高统计决策的质量及管理水平。
参考文献：
;!<周复泰 "应用数理统计 ;=<"北京 -高等教育出版社 5
!..>"
;’<周兆麟"数理统计;=<"北京-高等教育出版社5’)))"
;/<唐国光"概率基础;=<"北京-高等教育出版社5!..."
N
n
N
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