预备知识
在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。
这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。
一. 两个原理
1. 乘法原理: 完成一项工作有 m 个步骤，第一步有 种方法，第二步有 种方法，…，
第 m 步有 种方法，且完成该项工作必须依次通过这 m 个步骤，
则完成该项工作一共有
…
种方法，这一原理称为乘法原理。
2. 加法原理: 完成一项工作有 m 种方式，第一种方式有 种方法，第二种
方式有 种方法，…，第 m 种方式有 种方法，且完成该项工作只需
选择这 m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有
+ +…+
种方法，这一原理称为加法原理。
二. 排列:
从 n 个元素里每次取出 r 个元素，按一定顺序排成一列，称为
从 n 个元素里每次取 r 个元素的排列，这里 n 和 Z。均为正整数(以
下同)。
当这 n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我
们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。
对于无重复排列，要求当 时 称为选排列，而当
r＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为
即将全排列看成选排列的特例。
利用乘法原理不难得到
由阶乘的定义
1n 2n
mn
1n 2n mn
1n
2n mn
1n 2n mn
r n
由阶乘的定义
将上面的 n 个不同的元素改为 n 类不同的元素，每一类元素
都有无数多个。今从这 n 类元素中取出 r 个元素，这 r 个元素可
以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这 r 个元素 dl
成一列，称为从 n 类元素中取出 r 个元素的可重复排列，排列数记
作 ，由乘法原理得
显然，此处 r 可以大于 n
例 3 将三封信投入 4 个信箱，问在下列两种情形下各有几
种投法?
1)每个信箱至多只许投入一封信；
2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。
解 1)显然是无重复排列问题，投法的种数为
2)是可重复排列问题，投法的种数为
三、组合
从“个元素中每次取出 r 个元素，构成的一组，称为从 n 个元
素里每次取出 r 个元素的组合。
设这 n 个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作
将一个组合中的 r 个元素作全排列，全排列数为
，
所有组合中的元素作全排列，共有
个排列，这相当于从 n 个元素里每次取 r 个元素的选排列，排列总数为
故有
性质(2)的左端表示
从
中取出 r 个的组合数。我们可以固定这 n 十 1 个元素中的任意一个，不妨固定
于是考察所有取 及所有不取 。的组合数，
前者即从 个中取 r—1 个的组合数，而后者即
从 个中取 r 个的组合数
类似于可重复排列，也有可重复组合，即从 n 类不同元素中每次取出 r 个元素，这 r 个
元素可以从同一类元素中取两个或两
例 4 掷两颗银子可以有多少种点子的排列?多少种点子的
组合?
解 每颗银子各有六面，分别刻有 1，2，3，4，5，6 个点，掷出的
结果可以重复。
四、较复杂的排列、组合问题
问题 1，不全相异元素的全排列
将一个包含 n
个元素的整体分成 r 个有序的部分，其中第一部分包含 个元
素，第二部分包含 个元素，…，第 r 部分包含 个元素，分法数
共有
种，上式称为多项式系数。
例 5 将 15 名新生平均分配到三个班级中去，这 15 名新生中
有 3 名优秀生。问：1)15 名新生平均分配到三个班级中有多少种
分法?2)每个班级各分配到一名优秀生有多少种分法?3)3 名优
秀生分配在同一个班级有多少种分法?
解 1)15 名新生平均分配到三个班级中的分法总数为
2)将 3 名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优
秀生的分法共 3!种。对于其中每一种分法，其余 12 名新生平均
1n
2n rn
到三个班级中的分法共有 种，由乘法原理不难得到每个
班级各分配到一名优秀牛的分法总数为
3)将 3 名优秀生分配在同一班级内的分法共有 3 种(因
有 3 个班级)。对于这每一种分法，其余 12 名新生的分法是将其
中的 2 名分配到已有 3 名优秀生的班级，而另二个班级各 5 名，因
此分法数为 种，由乘法原理得 3 名优秀生分配在同一班级的分法总数为
例 ：将 3 个白球、4 个红球和 4 个黑球排成一行．如果颜色相同的球彼此不加区别，
问有多少种排法？
解：有
种排法
问题 2，不全相异元素的组合
仍设 有 r 种不同元素，第一种有 个
元素，第二种有 个元素，…，第 r 种有 个元素，今从这 n 个元
素中，每次取 ，其取法总数为下列乘积
例 6 由 词中的字母，每次择取 4 个，共有几种
不同的选择法?
解 此词中有 8 种字母，其中包括 3 个 a，2 个 m，2 个，以及
各一个，每次择取 4 个，故所求的取法数由
1n
2n rn
∴
例： 要求某学生会主席指定一个委员会，包括 5 名男
生和 3 名女生，在提供的候选人名单中有 10 名男生和 7 名女生。
问可能有多少个委员会可供他选择？
解 在某一委员会中，如果改变委员的顺序，结果仍相同，
因此，这是一个求组合的问题。从 lo 名男生中，主席能选出每组
有 5 名男生的组合数为
5．5 组合与排列个元素的整体分成 r 个有序的部分，其中第一部分包含 Rt 个元
素，第二部分包含 n2 个元素，…，第 r 部分包含 n r 个元素，分法数
共有
组合与排列研究事物的分组与排列，在计算概串方面，它们
可以用来决定一切可能情况的总数以及有利情况数。
定义 5—8 每一个集合可以由给定事物的部分或全体组成，
可以不管集合中事物的顺序则这一集合称作组合。
定义 5—9 事物的全部集合或部分集合的每一种不同的顺序
或排列即称为排列。
例 5—14 在 A，B，C，D 四个字母中求每组三个字母的(a)
组合数，(b)排列数。
解
(a)字母 A，B，C，D 每组可以取三个，不计顺序，有以
下取法：ABC，ABD，ACD 和 BCD。因此，共有 4 种组合，即
4 个物件中每次取三个共有 4 种组合。
(b)如果还考虑顺序，在字母 A，B，C，D 中每组有三个，
共有以下排列：ABC，ACB，BAC， BCA，CAB，CBA，
ABD，ADB，BAD，BDA，DAB，DBA，ACD，ADC，CAD，
CDA，DAC，DCA，BCD， BDC， CBD，CDB，DBC，DCB。
因此，共有 24 种排列：即从 4 物件中每次取三个共有 24 种排
2 3 2 5 2 3 4 12(1 )(1 )(1 ) 1 8 31 78 143x x x x x x x x x x x L
列。
例 5—15
排列数。
解
求四物件在每次取 4 件时的(a)组合数； (b)A，B，C，D 四个
字母的顺序数容易求出为 24，于是 4
物件每次取 4 件有 24 种排列。
为了求出计算组合数与排列数的简易公式，我们首先考虑一
个特例，求 n 个物件(例如字母)每组有 n 项的排列数。
把这些排列都写出来，我们就可以看到第一个字母有 n 种选
择；每一种选择对应于图 5—3 中的一个分校图，这里表示的是
n＝4 的情形。在选定第一个字母后(例如 A)，在第二个字母就
余下(n—1)种选择，于是对前面两个字母就有 n(n—1)种可能
的选择，与固 5—3 中从左边顶端发散的分技数一样多的选择。在
前两个字母选定以后，对第三个字母还有 n—2 种选择，于是对前
三个字母就有 n(n—1)(n—2)种选择。继续这一过程，我们看
到对第 n 个字母就只留有一种选择；因而 n 个字母有 n(n—1)
(n—2)·。2．1 种排列法。
用符号 nI(读作“n 的阶乘”)表示前面 n 个正整数的乘积，
即
n！＝n(n—1)(n—2)·．．2．1 (5—9)
用 Pn，n 表示 n 个物件每组有 n 个的排列数，我们已经表明
Pa，n＝n1 (5——10)
