吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 第三章 状态空间模型和Kalman滤波 状态空间模型是处理含有不可观测变量的动态时间序列模型的典型方法，在计量经济学中具有广泛的应用。因为经济理论中经常包含不可观测的变量，例如持久收入、预期、事前实际利率(ex ante real interest rates)和预留工资(reservation wage)等。Engle和Watson(1981)用状态空间模型对工资率行为进行建模，Garbade & Wachtel(1978)和Antoncic(1986)分析了事前实际利率，Burmeister & Wall(1982)和Burmeister、Wall &Hamilton(1986)用状态空间模型估计了预期通货膨胀率，Kim和Nelson(1989)则用它来研究联邦储备的时变货币反应函数。Stock和Watson(1991)在他们的一致经济指标(coincident economic indicators)动态因子模型中也应用了状态空间模型。此外更多关于状态空间模型的研究和应用可以参见Engle和Watson 1981，Harvery1985,1989和1990，以及Hamilton1994a和1994b。 处理标准状态空间模型的基本工具是卡尔曼滤波(Kalman Filter)，它实际上是一个递归算法程序。卡尔曼滤波的原理是利用到t时期为止的可得信息，来计算不可观测成分或者状态向量在t时期的估计值。当模型中的冲击扰动和不可观测变量初始值的分布为正态分布时，在卡尔曼滤波的基础上可以用第二章提到的预测误差分解方法来计算似然函数。 本章介绍了状态空间模型和卡尔曼滤波，并给出了在具体研究中的应用。首先从节的时变参数模型开始，在节中讨论了一般的状态空间模型，并重点讨论了不可观测成分模型。节到节给出了状态空间模型和卡尔曼滤波在实际经济问题中的具体运用。 时变参数模型和Kalman滤波 考虑如下的回归模型，模型中回归系数具有时变性质： y=xβ+e,t=1,2",T () tttt β=μ+Fβ+v () tt−1te~i..(0,R) () tv~i..(0,Q) () t这里y是1×1的因变量；x是由的外生变量或前定变量组成的1×k向量；e和v独立。tttt我们进一步假设β是k×1，F是k×k，Q是k×k的向量或矩阵。例如当 μ=0且F=Itk时，β中的回归系数服从随机游走过程。如果F是对角矩阵并且对角线上元素的绝对值都t小于1，则回归系数服从平稳的AR(1)过程。把这个模型扩展都一般情形就是我们将在节要介绍的状态空间模型。 在和中，我们给当模型中的超参数 (μ,F,R,Q)已知时，在到t为止的可得信息的条件下推导参数β的其他两种方法。中给出了用广义最小二乘法(GLS)可以实现t我们的这一目标。但这种方法由于计算量大而使效率降低。这就促使我们在节中应用卡尔曼滤波来推导β。如果某些超参数未知，则必须在推导β之前先对未知的超参数进行tt 1
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 估计。节讨论了模型中未知超参数的极大似然估计。 β的广义最小二乘(GLS) t为了分析简单我们假设 μ=0。于是我们从方程()得到： β=Fβ+vtt−1t2=Fβ+Fv+vt−2t−1t" () t−2t−3t−4=Fβ+Fv+Fv+"+Fv+vt−1tt−1t−2t−3=Fβ+Fv+Fv+"+Fv+vt−1t由上式我们可以将β,β,",β表示成β和v,v,v,"的函数： 12t−1ttt−1t−2−t+1−1−2−+1β⎡⎤Fβ−(FvFv"F⎤⎡+++v)123⎢⎥⎢⎥−+2−1−2−+2βFβ−Fv+Fv+"+Fv234⎢⎥⎢⎥#=#⎢⎥−1−1βFβ−Fvt−1tt⎢⎥⎢⎥ββ⎣t⎦t⎦ () −t+1−1−2−t+1⎡Fβ⎤⎡⎤(Fv+Fv+"+Fv)t23t⎢⎥⎢⎥−t+2−1−2−t+2Fβ(Fv+Fv+"+Fv)t34t⎢⎥=−##−1−1FβFv⎢t⎥t⎢⎥β0⎣t⎦⎣⎦从()和()我们有： −t+1−1−2−t+1y⎡⎤⎡"⎤e⎡⎤xFxFxFxF⎡⎤111111v⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥2⎢⎥−t+2txF0xF"xF2⎢⎥2222⎢⎥⎢⎥#⎢⎥⎢⎥⎢⎥β⎥#=−+⎢ () ###%#t⎢⎥v⎢⎥⎢⎥t−1−1−1xF00"xF⎢⎥t−1t−1⎢t−1⎥⎢⎢⎥1⎢⎥v⎢⎥⎣t⎦⎢⎥⎢⎥x00"0⎣t⎦⎣t⎦⎣t⎦⎣将()表示成矩阵形式： * y=Xβ+ε ()’ tttt其中 ′ E[εε]=A(I⊗Q)A+RI=Ω () tttt−1ttt−1−2−t+1⎡xF"⎤xFxF111⎢⎥t+20xF"xF22这里 A= t##%#00"0⎣⎦对t=k+1,"T可以应用GLS来估计模型() ’，这里k是参数向量β的维数。但是这样t 2
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 有个主要的困难是每次应用GLS都必须计算t×t矩阵的逆矩阵： *−1*−1*−1 ′′ β=(XΩX)XΩy, t=k+1,k+2,",T () t|ttttttt这里β表示在直到t时期的可得信息的条件下对β的估计。 t|tt 下面将要讨论的Kalman滤波方法则可以不用计算这样大的矩阵求逆而很容易的估计模型参数。 Kalman滤波和β的估计 tKalman滤波是在可用信息集的基础上计算不可观测变量β的最优估计的一种递归算t法，它假设 μ,F,R和Q为已知的。Kalman滤波实际上给出了参数β的最小均方误差估计。t在可用信息集的基础上我们有基本滤波(basic filter)和平滑滤波(smooth filter)。基本滤波是指利用直到t时期未知的可用信息对β的估计，而平滑估计则是指利用所以样本信息(即直到tT时期未知的所有样本信息)对参数β进行的估计。 t在本书中采用用如下表示： ψ 信息集 β=E[β|ψ] β的条件(直到t-1期信息)期望估计 t|t−1tt−1t′P=E[(β−β)(β−β)] β的条件(直到t-1期信息)协方差矩阵 t|t1tt|t1tt|t−1tβ=E[β|ψ] β的条件(直到t期信息)期望估计 t|tttt′P=E[(β−β)(β−β)] β的条件(直到t期信息)协方差矩阵 tttt|ttt|ttyE[y|ψ]=xβ y的条件(直到t-1期信息)预测 t|t−1tt−1tt|t−1tη=y−y 预测误差 t|t−1tt|t−12f=E[η] 预测误差的条件方差 t|t−1t|t−1β=E[β|ψ] β的条件(直到T期信息全样本)期望估计 t|TtTt′P=E[(β−β)(β−β)] β的条件(直到T期信息全样本)协方差矩阵 tTtt|Ttt|Tt 假设在t时期开始x的信息可以得到并且在t时期末可以得到y的观测值，则Kalman滤波tt(基本滤波)由以下两个步骤组成： 1.预测(Prediction) 在t时期开始,我们想在所有可用历史信息(直到t-1时期未知的样本信息)的基础上形成对y的最优预测y，为了得到这个预测我们需要计算β。 tt|t−1t|t−12.更新(Updating) 在t时期末我们得到了y的实现后，可以计算预测误差η=y−y。这个预测误差tt|t−1tt|t−1中包含了β中没有的关于β的新信息。于是在得到y的实际观测后我们可以对β作出更t|t−1ttt3
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 准确的推导。利用直到t时期为止的可用信息对β做出新的预测β：β=β+Kη，tt|tt|tt|t−1tt|t−1这里K表示权重系数，用来度量预测误差η中所包含的关于β的新信息。 tt|t−1t为了使上面的说明更加具体，用以下6个方程描述基本滤波： Prediction β=μ+Fβ () t|t−1t−1|t1′P=FPF+Q () t|t−1t−1|t1η=y−y=y−xβ () t|t−1tt|t−1ttt|t−1′f=xPx+R () t|t−1tt|t−1tUpdating β=β+Kη () t|tt|t−1tt|t−1P=P+KxP () t|tt|t−1ttt|t−1−1这里K′=Pxf是Kalman增益(Kalman gain)，它决定了预测误差η中所包含的关于tt|−1tt|1t|t−1β的新信息的权重。给定模型中的超参数，方程()中的β与方程()的相同。 tt|t−1方程()－()可以直接推导。而为了得到平滑方程()－()我们需要考虑如下。假设Z和Z服从基于条件ψ的多元正态分布： 12t−1Z⎛μΣΣ⎞⎛⎞⎞⎛1|ψ~MVN, () ⎜⎜⎟t−1⎟⎜⎟ZμΣΣ⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠如果给定Z和ψ，则Z关于Z和ψ的条件分布为： 2t−112t−1Z|Z,ψ~N(μ,Σ) () 12t−11|211|2其中 −1μ=μ+ΣΣ(Z−μ) () 1|21122222−1Σ=Σ−ΣΣΣ () 11|211122221如果我们令Z=β，Z=y−y=η。于是我们有μ=β，Σ=P，Σ=f1t2tt|−1t|−11t|t−111t|t−122t|t−1和′Σ=Px。这样就可以得到方程()和()。关于Kalman滤波更详细的推导可参见12t|t−1tHamilton1993和1994a,b。 在方程()中，在给定直到t-1时期信息的条件下β的推导是β在t-1时期可用信息tt−1 4
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 的推导β的函数。也就是不确定的β是不确定的β和Q(β的冲击项的协方差)函t-1|t-1t|t−1t-1|t-1t数，见方程()。时变参数模型中的预测误差由两部分组成：一是在对β的推导过程中产t生的误差(即β−β)，另一个是y的随机扰动项e产生的，见方程()。于是在方程()tt|−1tt中，预测误差的条件方程是不确定的β和e的方差R的函数。 t|t−1t更新方程()表明了β实际上是β和包含新信息的预测误差项η的一个加权平t|tt|t−1t|t−1均。所包含的信息的权重K被称为Kalman增益。我们进一步考察Kalman增益会发现它是te的方差R的反函数；给定x它是β的函数。考虑简单情形，假设β和x是1×1的，ttt|t−1tt则Kalman增益为 2Px1t|t−1tK= () t2xPx+Rtt|−1t2其中Px是预测方差中由β引起的部分，R是预测方差中由于随机扰动项e所引起的t|t−1tt|t−1t部分。很容易发现： ∂Kt>0 2∂(Px)t|t−1t这意味着随着不确定项β的增加，相应需要给预测误差η中包含的新信息施加更高的t|t−1t|t−1权重。这一点是很显然的，因为β的增加可以解释为β中信息内容相对于η而言发t|t−1t|t−1t|t−1生了退化。 图有助于我们更加清楚地理解上述Kalman滤波的预测和更新步骤。横轴表示在每一期开始的x变量，纵轴表示在期末变量y的实现。 5
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 β,P,l(θ)=00|00|0⇓⇓ β=μ+Fβt|t−1t−1|t1′P=FPF+Qt|t−1t−1|t1⇓η=y−y=y−Hβ−Azt|t−1tt|t−1ttt|t−1t′f=HPH+Rt|t−1tt|t−1t⇓−1′β=β+PHfηt|tt|t−1t|t−1tt|tt|t−1−1′P=P+PHfHPt|tt|t−1t|t−1tt|ttt|t−1⇓⇓11n−1 ′l(θ)=−ln((2π)|f|)−ηfη∑t|t−1∑t|t−1t|t−1t|t−122图 Kalman滤波流程图 给定初始值β和P，基本滤波中的6个方程可以在t=1,2,",T进行迭代。在直到0|00|0t时期或t-1时期的可用信息条件下，我们可以得到β的最小均方误差估计，t=1,2,",T。t在方程()中，的平稳变量β的无条件均值和协方差矩阵可以作为这里的初始值β和t0|0P。平稳变量β的无条件均值的推导如下： 0|0tE [β]=μ+FE[β]+E[v] () tt−1t β=μ+Fβatsteadystate ()’ 0|00|0−1β=(I−F )μ () 0|0kβ的无条件协方差矩阵： t′Cov(β)=FCov(β)F+Cov(v) () tt−1t′P=FPF+Qatsteadystate ()’ 0|00|0′vec(P)=vec(FPF)+vec(Q) () 0|00|0vec(P)=(F⊗F)vec(P)+vec(Q) () 0|00|0 6
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 −1vec(P)=(I−F⊗F)vec(Q) () 0|0 这里′vec(ABC)=(C⊗A)vec(B)。 对于()中的非平稳β情形，不存在β的无条件均值和协方差矩阵。这种情形下初始值βtt0|0的选取为任意k×1向量(任意猜测wild gussing)。为了使这种猜想具有很大的不确定性，我们给P的对角元素以较大的值。例如如果P是一个很大的正定矩阵，更新方程()0|0t−1|t−1中的包含新信息的y的预测误差会占据绝大部分的权重，而β中所包含的信息则可以忽tt−1略不计。另一种情况是，如果假设β是一个未知的常数向量，我们可以将β中的元素视0|00|0为条件参数来进行估计。这种情形下，用极大似然估计MLE对超参数进行估计时，P应0|0取元素为0的k×k矩阵，因为β不再是随机变量。一旦这些参数和和其他超参数一起被0|0ˆˆ估计出来后，我们可以重新设定β=β和P=Cov(β)，从而再次运行Kalman0|00|0,MLE0|00|0,MLE滤波来推导β，=1,2,",T。 t平滑滤波估计(β)会给我们关于β的更加准确的估计，因为它与基本滤波相比利用更t|Tt多的信息。下面的两个方程可以对t进行逆向迭代，t=T−1,T−2,",2,1，进而得到平滑估计： Smoothing: −1′β=β+PFP(β−Fβ−μ ) () t|Tt|tt|tt+|tt+1|Tt|t−11′P=P+PFP(P−P)PFP () t|Tt|tt|tt+|tt+1|Tt+1|Tt+|tt|t这里β和P是平滑估计的初始值，它从基本滤波的最后一次迭代得到。方程()T|TT|T和()的推导方法与更新方程()和()的推导方法相同。 基于预测误差分解的极大似然估计 在前面的讨论中我们假设模型中的参数都是已知的，但事实上一些参数通常是未知的。在这种情形下我们必须首先估计这些未知参数。然后以参数的估计结果为条件再对状态变量β进行估计，t=1,2,".T。在第二章中我们讨论了基于预测误差分解的极大似然估计函数t的推导。也就是，当样本为正态分布时只要我们有预测误差和它的方差，对数似然值就很容易计算。对于给定参数的模型，Kalman滤波中的方程()和(式给出了如何计算预测T误差(η)和其方差(f)。此外，如果β和{e,v}是高斯分布，那么y在ψ上的条t|t−1t|t−10ttt=1tt−1 7
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 件分别也是高斯分布： y|ψ~N(y,f) () tt−1t|t−1t|t−1于是样本对数似然函数表示为： TT−1′lnL=−ln(2πf)−ηfη () ∑t|t−1∑t|t1t|t1t|t−122t=1=它可以关于模型中的未知参数进行最大化。 如果()中的β是非平稳的，对数似然函数从第τ+1(τ 1)个样本开始推导： tTT−1′lnL=−ln(2πf)−ηfη () ∑t|t−1∑t|t1t|t1t|t−122t=τ+1=τ+这里τ应该足够大。需要注意的是我们此时的Kalman滤波的初始值是任意值β和0|0P，且对于非平稳的β，P应具有较大的对角元素。滤波的递归程序从t=1开始，而对0|0t0|0数似然函数的计算则从t=τ+1开始。这是因为初始值β选取的任意性会影响对数似然0|0值，而从较大的t=τ+1开始可以最小化这种影响效应。 状态空间模型和Kalman滤波 状态空间模型 状态空间模型最初是Kalman1960为了解决工程控制问题而提出的，它是表示含有不可观测变量的动态系统的有用工具。读者可以参考Harvey1989和Hamilton1994a,1994b有关状态空间模型问题的扩展研究。状态空间模型由两个方程构成：转移方程(有时也叫状态方程)和量测方程。 量测方程：描述观测变量(或数据)和不可观测变量之间关系的方程。 转移方程：描述状态变量的动态行为的方程。转移方程是关于状态变量的一阶差分方程。 考虑如下的状态空间模型表示： 量测方程： y=Hβ+Az+e () ttttt转移方程： β=μ+Fβ+v () tt−1te~i..(0,R) () tv~i..(0,Q) () t′E(ev)=0 () ts这里y是t时期可观测变量的n×1向量；β是k×1维的不可观测的状态变量；H是tttn×k矩阵表示y与β之间的关系系数；z是k×1维外生变量或前定可观测变量； μ是ttt 8
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 k×1维的，v也是k×1维的。矩阵H的元素可以是外生变量数据或者是常数参数。通常不tt能保证矩阵()和()R和Q的正定性，所以一般将()和()用如下的形式转换表示： * β=μ+Fβ+Gv ()’ tt−1t**v~i..(0,Q) ()’ t**这里G是k×g的；v是g×1维(g≤k)。用这种方法表示转移方程可以保证矩阵Q的正t**定性。()中矩阵Q和()’中Q的关系为QGQG′=。 在计量经济学中，一般的动态线性模型的状态空间表示中包含ARIMA(autogressive integrated moving-average)过程和特殊的经典回归模型。下面举例说明。 。 (1) AR(2)模型 2y=δ+φy+φy+w w~i..(0,σ) () t1t−12t−2tt量测方程： β⎡⎤0,t*y=δ+[10] () ⎢⎥tβ0,t−1⎣⎦转移方程： ββ⎡⎤⎡⎤φφw⎡⎤⎡⎤0,t0,t−112t=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1000,−1⎣⎦0,2⎣⎦⎣⎦⎣⎦δ*其中 δ=。 1−φ−φ12(2) ARMA(2,1)模型 y=φy+φy+w+θw () t1t−12t−2tt−1量测方程： β⎡⎤1,ty=[1θ] () ⎢⎥tβ2,t⎣⎦转移方程： ββ⎡⎤⎡⎤φφw⎡⎤⎡⎤1,t1,t−112t=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1002,⎣⎦2,−1⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3) 不可观测成分(UC)模型 不可观测模型的典型应用是将对数实际GDP分解成两个独立成分：随机趋势成分和周期成分。 9
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 y=y+y () t1t2ty=δ+y+e () 1t1,t−1ty=φy+φy+e () 2t12,t−122,t−22t2e~i..(0,σ),i=1,2,E[ee]=0 () iti1t2s2这里(1−φL−φL)=0的根落在单位圆外。 12通常一个动态系统存在多种状态空间表示方法。在这个例子中，按照将y或y(还是将两1t2t者同时)视为状态变量，至少可以有三种不同的状态空间表示。 表示1： 假设我们将y视为不可观测的状态变量，这时需要对模型进行一下变形而使模型中不2t含y。对()中的y取一阶差分，在这个转换的基础上我们可以得出系统的状态空间表1tt示： Δy=Δy+Δy==>Δy=δ+Δy+e () t1t2tt2t1t量测方程： y⎡⎤2,tΔy=δ+[1−1]+e () ⎢⎥t1y2,t−1⎣⎦转移方程： yy⎡⎤⎡⎤φφe⎡⎤⎡⎤2,t2,t−1122t=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1002,−1⎣⎦2,2⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示2 如果我们想将y作为不可观测的状态变量，这时需要对原始模型变形从而消去模型中1t2的y。将()两边同时乘以(1−φL−φL)： 2t122(1−φL−φL)y=(1−φL−φL)y+(1−φL−φL)y () 12t121t122t==>y=(φy+φy)+(y−φy−φy)+e () t1t−12t−21t11,t−121,t−22t量测方程： ⎡y⎤1t⎢⎥y=[1−φ−φ]+φy+φy+e () t121,−11t−12t−22⎢⎥⎢⎥y1,t−2⎣⎦转移方程： 10
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 ⎡y⎤δ100⎡y⎤e⎡⎤⎡⎤⎡⎤1t1t−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=0+100+0 () 1,−11,2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥001001,2⎣⎦⎣⎦1,3⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示3： 假设我们想将y和y都作为不可观测的状态变量，从而都纳入状态向量之中，这种情1t2t形下有： 量测方程： ⎡y⎤1t⎢⎥y=[110] () t2⎢⎥⎢⎥y2,t−1⎣⎦转移方程： ⎡y⎤δ100⎡y⎤e⎡⎤⎡⎤⎡⎤1t1t−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=0+0φφ+ () 2,122,−12⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥001002,−1⎣⎦⎣⎦2,2⎣⎦⎣⎦⎣⎦注意 将一个非平稳的时间序列分解成随机趋势成分和平稳成分时，通常要遇到的是模型的识别问题，关于方面的详细阐述见Nelson和Plosser1982。在前面的不可观测成分模型中，我们假设两种成分的冲击e和e是相互独立的，这种假设未免过分苛刻。我们在这里用简1t2t单的框架内(结构模型中)考察这个问题，即y由一个随机游走成分和一个白噪声成分组成： ty=y+y () t1t2ty=y+e () 1t1,t−11ty=e () 2t2t2222E(e)=σ,E(e)=σ,E(ee)=σ () 1t1t1t21222假设模型中的三个参数σ，σ和σ未知。如果分解的序列y和y可观测，则模型中的12121t2t参数很容易估计。然后，事实上只是这两个成分的和y是可观测的。于是参数的估计必须t在可观测的序列基础上进行。我们很容易发现y是一个自回归单整移动平均(ARIMA(0,1,1))t过程(简化使模型)： Δy=e+e−e () t1t2t2,t−122==>Δy=ε+θε,E(ε)=σ () ttt−1tε222这里θ和σ是σ，σ和σ的函数。()－()给出的结构式模型中比简化式模型中ε1212 11
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 多了参数，所以这就产生了识别问题。我们可以估计简化式模型然后由估计结果直接估计结构式模型中的参数。但是，除非结构式模型中有识别性假设，进而使两种模型中具有相同的参数个数，否则上述方法不肯能。如果结构式模型无法识别，那么这种分解就是不可能的。 (4) 时变参数模型 我们在节讨论的时变参数模型也是一般的状态空间模型的特殊形式，其中量测方程()中的H用外生变量或前定变量矩阵代替。具体的例子如下： t2y=βx+βx+"+βx+e,e~(0,σ) () t1t1t2t2tktkttt2(β−δ)=φ(β−δ)+v,v~i..(0,σ),i=1,2,",k () itiii,t−1iititiE(ev)=0,i=1,2,",k () tis这里x，i=1,2,",k是前定变量或外生变量。 it量测方程： β⎡⎤1t⎢⎥β2t⎢⎥y=[xx"x]+e () t1t2tktt⎢⎥#⎢⎥β⎣kt⎦(y=xβ+e) tttt转移方程： *β⎡⎤φ0"0β⎡⎤v⎡⎤δ⎡⎤⎡⎤11,t−111⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥*"βvδ2,t−12222⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥#⎢⎥##%###⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥*β00"φβvδ⎢⎥k,t−1⎣kt⎦⎣k⎦⎣kt⎦⎣k⎦⎣⎦ (β=μ+Fβ+v ) ()’ tt−1t*这里δ=δ(1−φ),=1,2,",k.比较量测方程()’和()，会发现时变参数模型是状态iii空间模型的特殊情形，其中H=x=[xx"x]。这里x应该与e无关。如果时变参数tt1t2tkttt模型中包含观测变量向量z，则z可能和x相关。 ttt 练习：考虑如下的回归模型，其中两个回归系数是时变的(随机游走)其余系数是常数。 y=β+βx+βx+e () t1t2t2t3t3ttβ=β+v,i=1,2. () iti,t−1it 这个模型的状态空间表示为： 量测方程： 12
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 β⎡⎤1ty=[1x]+βx+e () t2t⎢⎥3ttβ⎣2t⎦（y=Hβ+βx+e） ()’ ttt3t3tt转移方程： ββ⎡⎤v⎡⎤⎡⎤1,t−11t1=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ββv2,t−1⎣2⎦⎣2t⎦⎣⎦(β=β+v) ()’ tt−1t(5) 动态因子模型 假设有两个具有共同趋势成分c的平稳变量y和y： t1t2ty=γc+z () 1t1t1ty=γc+z () 2t2t2tc=φc+v,v~(0,1) () t1t−1tt2z=αz+e,e~(0,σ) () itii,t−1ititi其中e，e和v彼此相互独立。Stock和Watson(1991)运用上述动态模型的一般形式对四1t2tt个经济指标变量进行建模，并从中挖掘出一个经验的共同指标(coincident index)。上述模型的状态空间表示为： 量测方程： c⎡⎤tyγ10⎡⎤⎡⎤1t1⎢⎥=z () ⎢⎥⎢⎥1t⎢⎥yγ01⎣2t⎦⎣2⎦⎢⎥z⎣2t⎦(y=Hβ) ()’ ttt转移方程： cφ00⎡c⎤v⎡⎤⎡⎤⎡⎤t1t−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥z=0α0z+e () 11,−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥00α⎣2t⎦⎣2⎦t−1⎣2t⎦⎣⎦(β=Fβ+v) ()’ tt−1t(6) 共同随机趋势模型 假设我们有两个单整序列y和y。如果两个序列是协整的，则它们存在一个共同的随1t2t机趋势。典型的例子是现期汇率和远期外汇汇率。Hai，Mark和Wu(1996)研究了如下的现期汇率和远期外汇汇率的共同随机趋势模型： 13
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 y=z+x () 1tt1ty=z+x () 2tt2t2z=z+ε,ε~(0,σ) () tt−1ttεx=μ+φx+φx+e+θe+θe () 1t1111,t−1122,t−11t111,t−1122,t−1x=μ+φx+φx+e+θe+θe () 2t2211,t−1222,t−12t211,t−1222,t−12⎛⎞e0⎡⎛⎞⎡⎤σσ⎤1t112~, () ⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥2e0σσ⎝2t⎠⎣⎦⎣212⎦⎝⎠这里z是共同随机趋势，平稳成分x和x假设由向量ARMA(1,1)过程生成。上述模型的t1t2t状态空间表示为： z⎡⎤t⎢⎥x1t⎢⎥y11000⎡⎤⎡⎤1t=⎢⎥x () ⎢⎥2t⎢y10100⎢⎥⎣2t⎦⎣⎦e1t⎢⎥⎢⎥e⎣2t⎦zz010000⎡⎤100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤t−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥xxμφφθθ10ε⎡⎤1,t−11t1112112T⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥xxμφφθθ+⎢⎥e () 2,t−12t22122121t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥e⎢⎥e0000000101,t−11t⎣2t⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ee0000000012,t−1⎣2t⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ Kalman滤波和极大似然估计 一旦动态时间序列模型写成了状态空间形式，我们就可以在模型参数和有用信息集的条件下，利用用Kalman滤波对不可观测的状态变量β进行预测推导。基本滤波和平滑算法与节中的基本相同，只是做稍微的修改。例如将时变参数模型中的x换为H矩阵。相应tt的推导算法是相同的。初始值β和P的选取与节中完全相同。 0|00|0基本滤波 β=μ+Fβ () t|t−1t−1|t1′P=FPF+Q () t|t−1t−1|t1η=y−y=y−Hβ−Az () t|t−1tt|t−1ttt|t−1t 14
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 f=HPH′+R () t|t−1tt|t−1t更新 β=β+Kη () t|tt|t−1tt|t−1P=PKHP () t|tt|t−1ttt|t−1−1这里K=PH′f是Kalman增益。 tt|−1tt|1平滑 (t=T−1,T−2,",2,1) −1′β=β+PFP(β−Fβ−μ ) () t|Tt|tt|tt+|tt+1|Tt|t−1−1′′P=P+PFP(P−P)PFP () t|Tt|tt|tt+|tt+1|Tt+1|tt+|tt|t这里β和P是平滑的初始值，它是从基本滤波的最后一次迭代中得到。模型参数的极大T|TT|T似然估计过程与节中的相同。 应用1 实际GDP和失业率的分解――随机趋势成分和短期成分 Nelson和Plosser(1982)认为经济行为中的非平稳性应该用一阶差分法来剔除非平稳性，而不是用线性趋势剔除方法。将实际GDP或GNP的趋势成分表示为带有漂移项的随机游走要比用表示成时间的确定方程要好。在他们的分析中进一步提出了年度实际GNP的扰动方差的绝大部分应该纳入到非平稳的趋势成分中，而余下的小部分方差包含在平稳的周期成分中。 注意到年度水平的经济活动模式与季度或月度的数据不同，在节中Clark(1987)对季度实际GDP和工业生产月度指标建立了不可观测成分模型，来估计经济行为中随机趋势成分和平稳周期成分的相对重要性。在这一部分我们利用Clark的不可观测成分模型研究样本区间为1947:II-1995:III的季度实际GDP数据，并估计随机趋势成分和周期成分。利用标准的奥肯法则(Okun’s law)，将单变量模型扩展到实际GDP和失业率的双变量不可观测成分模型。和Clark1989的一样，这里将失业率也分解为趋势成分和周期成分。 为了区分实际产出的时间趋势和随机趋势，Clark(1987)考虑了如下不可观测成分模型： y=n+x () ttt2n=g+n+v,v~(0,σ) () tt−1t−1ttv2g=g+w,w~(0,σ) () tt−1ttw2x=φx+x+e,e~(0,) () t1t−12t−2tte这里y是实际GDP的对数，n是随机趋势成分，x平稳的周期成分，v，w和e独立的tttttt白噪声过程。在20世纪70年代美国生产率增长下降的时期，和80年代劳动力增长下降的时期，我们遵从Clark(1987)的观点，将漂移项(g)作为一个随机游走过程而纳入到随机趋势t 15
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 成分中。从节中我们直到上述模型至少有三种状态空间表示，这里我们采用如下表示： n⎡⎤t⎢⎥xt⎢⎥y=[1100] () t⎢⎥xt−1⎢⎥g⎣t⎦n1001nv⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤t−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥xφφxe12−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥01000−1t2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥g0001gw⎣t⎦⎣⎦⎣−1⎦⎣t⎦假设失业率也具有随机游走的成分和平稳成分。利用奥肯法则，失业率可以具体表示为： U=L+C () ttt2L=L+v,v~.(0,σ) () tt−1ltltvl2C=αx+αx+αx+e,e~(0,σ) () t0t1t−12t−2ctctec其中L为趋势成分；C为平稳成分，且为实际GDP短期成分x的当期值和历史值的函数。 ttt综合方程()-()我们得到双变量的状态空间模型表示： n⎡⎤t⎢⎥xt⎢⎥⎢⎥y1100000⎡⎤⎡⎤⎡⎤t−1=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Uααα1xe⎣⎦⎣012⎦−2⎣c⎦⎢⎥⎢⎥gt⎢⎥L⎢⎥⎣t⎦n100010nv⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤t−1⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥xφφxe12−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0100000−2=+ () ⎢⎥⎢⎥⎢⎥0010000t23⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥g000010gw−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥L000001Lv⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣−1⎦⎣l⎦表给出了模型的估计结果。正如Clark1987的结论，单变量模型和双变量模型中实际GDP的季度扰动中周期成分占有显著的比重。图到描述了GDP对数与两种模型分解得到的趋势成分和周期成分。图到是双变量模型分解出的失业率的趋势成分和周期成分。 表 图 16
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 图 图 图 图 图 但是需要注意的是，周期成分估计出的AR项系数之和接近于1。所有我们建议当平稳成分具有高持续性时，对这种成分分解的性质下结论要谨慎。首先，Nelson(1988)认为在对非平稳的时间序列分解时这种分解可能是伪分解，这和线性回归趋势剔除方法会产生伪的趋势和周期成分一样。他通过蒙特卡罗试验证实如果数据由随机游走生成，状态空间模型往往(错误)地将时间序列分解为平滑的趋势和周期扰动项。其次，Perron(1990)认为当数据生成过程是平稳的且具有均值转换，此时标准的单位根检验将倾向于接受存在单位根的原假设。假设实际GDP的平稳自回归AR成分的均值具有状态转移特征，此时即使AR项的系数和显著小于1，如果忽略了均值的状态转移性，则会得到具有高持续性的平稳成分。近来，Kim和Nelson(1997)考虑了这种可能情形，通过实际GDP的周期成分具有非对称性的特征来扩展模型。 应用2 变动条件方差的时变参数模型 由Engle提出的自回归条件异方差(ARCH)理论清楚地阐述了回归扰动项具有变动的条件方差性质。这一类模型假设条件方差依赖与过去扰动项的平方。在这一部分我们讨论另一种形式的变动条件方差。Tsay(1987)和Bera & Lee(1993)的研究显示随机系数回归模型中的参数异质问题是产生变动条件方差的一个原因，例如ARCH。这里我们用第节中Kim和Nelson(1989)的时变参数模型来对美国货币增长中的变动条件方差或不确定性进行建模。 McNees(1986)认为“政策反应函数可能具有不稳定性，随着时间的变化，政策针对的目标的重要性可能发生变化，而政策制订者对经济结构的观点也可能是变化的”。在对回归系数进行稳定性检验的基础上，Kim和Nelson(1989)考虑如下美国货币增长函数的时变参数模型： ΔM=β+βΔi+βINF+βSURP+βΔM+e () t0t1tt−12tt−13tt−14tt−1tβ=β+v () itit−1it2e~i..(0,σ) () te2v~i..(0,σ),i=0,1,",4 () itvi引入矩阵表示我们有： ΔM=xβ+e () tt−1ttβ=Fβ+v() ,F=Itt−1t52e~i..(0,σ) () te v~i..(0,Q) () t这里ΔM,Δi,INF和SURP分别表示美国季度M1增长率，用三个月国债表示的利率变动， 17
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 通货膨胀率(用CPI衡量)和剔除了趋势的完全就业预算剩余。 用Kalman滤波来推导变动的回归模型系数。Kalman滤波的一个好处是它能告诉我们在不确定的条件下理性经济体如何在获得新信息时利用贝叶斯原则校正他们原有的估计，尤其是当政策机制发生变化时。 在ARCH模型中，对未来的不确定性主要集中在回归方程中扰动项的条件方差上。正如Harrison和Stevens(1976)所说的“人们对将来的不确定性不仅来源于将来的随机扰动项而且也与当前参数值的不确定性和模型表示现在与将来关系的能力有关。”上述的时变参数模型回归系数β的不确定性导致了货币增长的变动条件方差。在Kalman滤波中条件预测误差t的方差方程能够很好的描述这一特征。 2′f=xPx+σ ()’ t|−1t−1t|−1t−1e这里P表示在直到t-1时的可用信息条件下，推导β时所产生的不确定性程度。 t|t−1t表给出了模型的参数估计结果和相应的标准差，样本区间为1964:I-1985:IV(季度数据)。图到描绘了在直到t-1时可用信息条件下推导的回归参数的时间路径。这些显示了当政策的针对目标的重要性发生变化时美联储是如何对各种宏观经济变量作出反应的。标准预测误差和其平方显示不存在显著的序列相关性，因此认为模型不存在设置错误问题。最后，图描绘了货币增长的变动条件方差(或不确定性)，见()’式所解析。 Kim和Nelson(1989)进一步衡量了货币增长的不确定性和经济行为之间的关联性。他们认为货币增长伴随的不确定性，如时变参数模型所揭示的，对实际产出的短期成分具有负效应。 应用3 Stock和Watson的同步经济指标的动态因子模型 自从Burns和Mitchell(1946)之后，人们已经普遍认同经济周期具有一个典型化事实：在经济的周期变化中很多宏观经济变量之间具有一个共同的运动趋势(comovement)。美国商业部所建立的同步经济指标就是为了衡量宏观经济的总体形势，这是上述典型化事实的一个例子。 最近，Stock和Watson(1991)建立了一个同步经济指标的概率模型。他们认为很多宏观经济变量之间的联动存在一种共同成分，它可以用一个潜在的不可观测的状态变量来描述。为了应用状态空间模型和Kalman滤波，这一部分我们集中讨论Stock和Watson(1991)的同步指标动态因子模型。 模型的设置和识别问题 这里用Y，Y，Y和Y分别表示用来构建同步指标的变量的对数：工业生产，人均收入1t2t3t4t减去转移支付，制造业和贸易销售总额，非农业劳动雇佣数量。对这几个序列进行单位根检验的结论是不能拒绝序列存在单位根的原假设。此外，这四个序列看起来不存在协整关系。Stock和Watson(1991)对于这四个变量考虑了如下的一阶差分形式的动态因子模型： ΔY=D+γΔC+e,i=1,2,3,4. () itiitit2(ΔC−δ)=φ(ΔC−δ)+φ(ΔC−δ)+w,w~(0,σ) () t1t−12t−2ttw2e=ψe+ψe+ε,ε~(0,σ),i=1,2,3,4 () iti1i,t−1i2i,t−2ititi22这里ΔC表示共同成分，为了标准化共同成分将σ设为1；且 (1−φL−φL)=0和 tw12 18
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 2(1−ψL−ψL)=0,i=1,2,3,4的根落在单位圆外，此外还假设所有扰动冲击项相互独i1i立。 在上述模型设置中共同成分项ΔC以不同的权重γ，i=1,2,3,4出现在()的各个ti方程中。而每个序列中的D+e,i=1,2,3,4表示其各自的特有成分或奇异成分。 iit注意第i个指标变量ΔY的一阶总体矩中含有两个参数： itE(ΔY)=D+γδ () itii然而给定相应的样本一阶矩ΔY，参数D和δ不能单独识别。为了在模型的极大似然估计ii中避免出现识别问题，Stock和Watson建议将模型写成对均值的离差形式，这样就能将 D+γδ(i=1,2,3,4)项从极大似然函数中消掉。 ii 对均值的离差形式的模型表示： Δy=γΔc+e,=1,2,3,4. () itititΔc=φΔc+φΔc+w,w~(0,1) () t1t−12t−2tt2e=ψe+ψe+ε,ε~(0,σ),i=1,2,3,4 () iti1i,t−1i2i,t−2ititi其中Δy=ΔY−ΔY且Δc=ΔC−δ。 itititt如果将上述的离差形式的模型表示成状态空间形式，我们就可以在预测误差分解的基础上用Kalman滤波进行极大似然估计，并且推导出不可观测成分项Δc。此时模型的状态空t间表示为： 量测方程 Δc⎡⎤t⎢⎥Δct−1⎢⎥⎢⎥e1t⎢⎥eΔyγ010000000⎡⎤⎡⎤1,t−11t1⎢⎥⎢⎥⎢⎥Δeyγ0001000002t2t2⎢⎥=⎢⎥ () ⎢Δ⎥⎢⎥eyγ000001000⎢32,t−1⎥t3⎢⎥⎢⎥Δeyγ000000010⎣43tt⎦⎣4⎦⎢⎥e⎢⎥3,t−1⎢⎥e4t⎢⎥⎢e⎥4,t−1⎣⎦(Δy=Hβ) tt19
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 转移方程 ΔcΔc⎡⎤⎡⎤w⎡⎤tt−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥0−12⎢⎥⎢⎥⎢⎥φφ00"00⎤12⎢⎥⎢⎥ee⎢⎥ε−⎥1t1000"00⎢⎥⎢⎥⎢⎥01,11,2⎢⎥⎢⎥⎢⎥00ψψ"001112⎢⎥⎢⎥⎢⎥ε−2t⎢⎥=0010"00⎢⎥+ () ⎢⎥0⎢2,t1⎥⎢2,t2⎥⎢⎥⎥####%##⎢⎥⎢⎥⎢⎥eeε33−3t⎢⎥⎢⎥⎢⎥0000"ψψ41420⎢⎥⎢⎥⎢⎥3,t−13,t−20000"10⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥eeε4t4,t−14t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢e⎥⎢e⎥⎢0⎥4,t−14,t−2⎣⎦⎣⎦⎣⎦(β=Fβ+v) tt−1t因此在预测误差分解的基础上可以用极大似然估计方法对模型中的参数进行估计，进一步当给定参数的估计结果我们就可以用Kalman滤波推导β。而β的第(1,1)元素就是我们t|tt|t想要的Δc。 t| 从Y分解出D和δ,i=1,2,3,4 ii给定Δc,t=1,2,",T我们需要δ的估计来构建同步指标C,t=1,2,",T，于是我们有： t|tt|tC=C+Δc+δ () t|tt|t−1t|t假设模型中的所有参数已知，对()-()给出的模型运用Kalman滤波得到了′C,t=1,2,",T。则C与ΔY=[ΔYΔYΔYΔY]的关系可以用下式表示： t|tt|tt1t2t3t4tΔC=W(L)ΔY () t|tt这表明ΔC是ΔY,ΔY,ΔY和ΔY的当前值和过去值的函数。对上式两步取期望得到： t|t1t2t3t4tE[ΔC]=E[W(L)ΔY] () t|tt==>δ=W(1)E(ΔY) () ˆ==>δ=W(1)ΔY () 由此我们可以看出，给定ΔY如果可知W(L)则δ很容易估计得到。但是注意到Δc与Δyt|tt之间的关系为： Δc=W(L)Δy () t|tt 20
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 这意味着W(L)进而W(1)可以从均值离差形式的模型中识别。接下来解释Stock和Watson(1991)对W(1)的识别方法。 从Kalman滤波递归过程和离差形式的状态空间模型表示我们有： β=β+Kη () t|tt|ttt|t−1β=+K(Δy−Hβ) () t|tt|t−1ttt|t−1β=Fβ+KΔy−KH () t|tt−1|t−1tttt|t−1β=F+KΔy−KHFβ () t|tt−1|t−tttt−1|t−β=(I−KH)Fβ+KΔy () t|ttt−1|t−ttHarvey(1989)认为对于一个平稳的转移方程，当t→∞时，Kalman增益K接近于稳态的K。t给定模型的参数估计结果，对离差形式的模型应用Kalman滤波。Kalman增益在最后一次迭代后为K，这就时稳态的Kalman增益。如果打印出K,=1,2,",T的变化过程会发现 TtK很快地收敛到稳态。进而在稳态时有β=β且K=K，此外由方程()我们有： tt|tt−1|t−t−1β=(I−(I−KH)FL)KΔy () t|tt−1这里L是之后算子。因为β的第(1,1)元素就是Δc，而W(L)由(I−(I−KH)FL)Kt|tt|t−1的第(1,1)元素给出。于是()中的W(1)由(I−(I−KH)FL)K的(1,1)元素给出。 经验结果 这一部分，我们应用Stock和Watson(1991)的模型将四个变量的样本区间更新为－。此外我们将()中的Δy用如下式子代替： 4tΔy=γΔc+γΔc+γΔc+γΔc+e () 4t40t41t−142t−243t−34t这是为了考虑就业变量ΔY可能存在一些滞后性。于是模型的状态空间表示为： 4t量测方程 21
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 Δc⎡⎤t⎢⎥Δct−1⎢⎥⎢⎥Δct−2⎢⎥Δct−3⎢⎥⎢⎥eΔyγ00010000000⎡⎤⎡⎤1t11t⎢⎥⎢⎥⎢⎥Δeyγ00000100000⎢1,t−1⎥2t2⎢⎥⎢⎥= () ⎢⎥⎢Δ⎥⎢⎥eyγ000000010002t3t3⎢⎥⎢⎥⎢⎥Δeyγγγγ00000010⎢⎥4404142432,t−1⎣t⎦⎣⎦⎢⎥e3t⎢⎥⎢e⎥3,t−1⎢⎥e4t⎢⎥⎢⎥e4,t−1⎣⎦转移方程 ΔcΔc⎡⎤⎡⎤w⎡⎤tt−1t⎢⎥⎢⎥⎢⎥ΔcΔc0t−1t−2⎢⎥⎢⎥⎢⎥φφ0000"00⎡⎤12⎢⎥⎢⎥ΔcΔc⎢⎥0t−2t−3⎢⎥100000"00⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ΔcΔc0t−3t−4⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥010000"00⎢⎥⎢⎥⎢⎥eeε1⎢⎥t1,t−11t⎢⎥001000"00⎢⎥⎢⎥⎢⎥ee0⎢1,t−1⎥⎢1,t−2⎥⎢⎥⎢⎥=0000ψψ"00+ () 1112⎢⎥⎢⎥⎢⎥ee⎢ε⎥2t2,t−12t⎢⎥⎢⎥⎢⎥000010"00⎢⎥ee0⎢⎥⎢⎥⎢⎥2,t−12,t−2⎢⎥######%##⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢e⎥eε3t3,t−13t⎢⎥⎢⎥⎢⎥000000"ψψ⎢⎥4142⎢e⎥⎢e⎥⎢0⎥3,t−13,t−2⎢⎥000000"10⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎥⎦eeε4t4,t−14t⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ee0⎢⎥4,t−14,t−2⎣⎦⎣⎦⎣⎦模型的参数估计结果见表。关于各个问题的设置检验参见Stock和Watson(1991)。给定这些参数估计，我们运行Kalman滤波可以得到Δc=1,2,",T。接下来按照部分t|t中的步骤，我们可以得到δ的估计，它是C的一阶差分形式的均值。注意只有对初始值进t行任意选择时新的同步指标才能识别。于是对于任意选定的初始值C，我们用下面的方程0|0来计算C，=1,2,",T： t|tˆC=C+Δc+δ t|tt|t−1t|t我们将新的同步指标与DOC的指标进行直接比较，会发现新的指标是对DOC指标做了如下修正： *DOCC=C∗SD(ΔC)/SD(Δc) () t|tt|ttt|t22
吉林大学数量经济专业 刘志刚 翻译 DOC其中SD(ΔC)和SD(Δc)分别表示DOC指标和Δc的一阶差分的标准离差。最后将tt|tt|t*C再进行一次修正以使在1970年1月的值和DOC的值相等。图描述了新的同步变量t|t指标和DOC的同步指标。图中显示了在20世纪70年代新指标描述的增长要高于DOC指标，而在20世纪80年代和90年代新指标要低于DOC指标。 表 图 23
