公路匝道坐标的复化辛普森公式及用 FX-4500P 计算器编程算坐标
摘要：本文利用复化辛普森公式导证的 计算 公路匝道坐标的通用公式。利用 FX-4500P 计
算器编程计算放样点位坐标。
关键词：复化辛普森公式 公路匝道 编程坐标计算
一、 引言
匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线
段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用
复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧 FX-4500P 计算
器编程计算公路匝道点位坐标
二、公路匝道点位坐标计
1. 公路匝道中线形
公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（R1）—回旋曲线—圆曲线（R2）—回
旋曲线—直线的顺序组成的，其中 R1¹R2
2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计
如图 1，设回旋曲线起点 A 的曲率为 rA，其里程为 DKA；回旋曲线终点 B 的曲率为
，其里程为 DKB，Ax¢y¢为以 A 为坐标原点，以 A 点切线为 x¢轴的局部坐标系；AXY 为
线路坐标系
由此回旋曲线上各点曲率半径为 Ri 和该点离曲线起点的距离اi 成反比，故此任意点的
曲率
（=R0 为常数）（1
由式（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为 DKi 点
的曲率
（2
当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图 1 中
（3
将式（2）代入式（3）
（4）
若已知回旋曲线起点 A 在线路坐标系下切线坐标方位角 αA，则里程为 Dki 点切线坐
标方位角
（5
将式(4)代入式(5)
（6）
对于式(6)，当，时，，则 ai=aA，式 (6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计
算公式；当，时，， ，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式
可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意
线型点位切线坐标方位角
3、回旋曲线点位坐标计
由图 1 可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式
（7
（8
设回旋曲线起点 A 在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲线上
任意点在线路坐标系下的坐标
（9
对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算
首先将积分区间[DKA，DKi]划分为 n 等份，步长为 H=（DKi-DKA）/n，分点里程
DXK=DKA+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间[DXK，DXK+1]的里程为 DXK+1/2，
则 DXK+1/2=（DXK+DXK+1）/2，K=0，1，2，×××，n-1
由此式(9)用复化辛普森公式表示
n-1 n-
X=XA+H/6´（cosaA+4∑cosaK+1/2 +2∑cosaK +cosai
K=0 k=
n-1 n-
Y=YA+H/6´（sinaA+4∑sinaK+1/2 +2∑sinaK +sinai） （10）
K=0 k=
式中：aA 为回旋曲线起点 A 的切线方位角；aK+1/2 为里程 DXK+1/2 点切线方位角；
aK 为里程 DXK 点切线方位角；ai 为里程 DKi 点切方位角
对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段
三、复化辛普森公式的使用说
为满足点位坐标计算精度，经验算取 n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，
只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程 Dki 和各分点里程代入式(2)
、(6)、(10)便可获得待求点 Dki 的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向
L1 Lbl0：T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：M：Lbl1：
N=0：P=0：O=0：Q=0：S=0：{J}：J“CHI
L2 Lbl2：N=N+1：H=2（J-A）/M：F=NH/2+A：R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´
（F-A））（F-A）：Int（N/2）=N/2=>O=O+cosR：P=P+sinR：¹>Q=Q+ cosR：S=S+ sinR
L3 N=M=>Goto3：¹>Goto2DLbl3：X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR：Y=I+H/6´（
sinC+4S+2P-sinR）：X：“X=”ùY：“Y=”ù Pol（X-T，Y-U： Vù
W<0=>W=W+360ù¹>WùDGoto
X1----测站点 X 坐
Y1----测站点 Y 坐
AT----曲线起点方位
PA----曲线起点曲率 （当曲线右偏时，ρA 取正；当曲线左偏时 ρA 取负。
PB----曲线终点曲率 （当曲线右偏时，ρB 取正；当曲线左偏时 ρB 取负。
CH0----曲线起点里
CHN----曲线终点里
X0----曲线起点 X 坐
Y0----曲线起点 Y 坐
M----求和累积次数 n 的 2
CH----曲线待测点里
X----曲线待测点 X 坐
Y----曲线待测点 Y 坐
V----测站至待测点间的距
W----测站至待测点间的方位
其中 R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）为（2）、（6）式的合
并式，计算切线坐标方位角；O=O+cosR、P=P+sinR、Q=Q+ cosR、S=S+ sinR、X=G+H/6´
（cosC+4Q+2O-cosR、Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）计算点位坐标。由于累计时
O=O+cosR、P=P+sinR 分别多累加了一个 cosR、sinR，所以在程序中（10）式最后一项前
为负号
五、坐标计算算
利用万家寨水利枢纽工程左岸上坝公路一段曲线验证复化辛普森公式坐标计算程序的
正确性
如图 2：0+~0+ 为直线段，0+~0+ 及 0+~0+ 为缓
和曲线段，缓和曲线长 为 L0=25M，0+~0+ 为圆曲线段，R=85M
在计算器中找到该程序，先输入直线段的起算数据，以里程 0+ 为起点，求得
0+ 点的坐标，然后分别以里程 0+、0+ 为起点计算验证缓和曲线及圆曲
线上各点的坐标
与分别运用直线段、缓和曲线段、圆曲线段计算坐标的计算公式所计算的结果完全相
同
六、结
本文利用的式（10）是计算公路匝道点位坐标的通用公式。当曲线的设计半径较小时
，为保证点位计算精度，n（即程序中 M 的 1/2 倍）的取值可适当的大些
利用上例验算的计算结果可以说明该程序对于公路的直线段、缓和曲线段、圆曲线段
均实用。上例在计算圆曲线起点（0+）参数时，可利用计算缓和曲线终点（
0+）坐标后，在计算器中提取 X、Y 的数值即为圆曲线起点坐标值，提取 R 加 360
即为圆曲线起点方位角。且程序中已算出待测点至测站的平距和方位角，可利用全站仪自
由设站极坐标法放样，此 方法 放样速度快，准确率高
参考 文献
[1] 李孟山，李少元.计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式.测绘通报，2000
[2] 卡西欧 FX-4500P 计算器说明书
