独立重复试验与二项分布
复习：：A,BA,B 两个事件，两个事件，
若若P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B),则称则称AA事件与事件与BB事件是相互独立事件是相互独立
的。的。
n个事件A11,A22,……,Ann相互独立，n个事
件同时发生的概率？
P(A11A22……Ann)=P(A11) P(A22)……P(Ann)
在相同的条件下做两次掷硬币试验。
会出现的事件都有哪些？会出现的事件都有哪些？
第一次正面向上（第一次正面向上（AA11）；第一次反面向上（）；第一次反面向上（AA22）） ；；
第二次正面向上（第二次正面向上（BB11）） ；第二次反面向上（；第二次反面向上（BB22）。）。
上面的事件中那些是相互独立的？上面的事件中那些是相互独立的？
AA1 1 BB1 1 AA1 1 BB2 2 AA2 2 BB1 1 AA2 2 BB22
第一次掷硬币试验的结果会影响第二次第一次掷硬币试验的结果会影响第二次
掷硬币试验的结果吗？掷硬币试验的结果吗？
第一次掷硬币试验和第二次掷硬币试验是不是独立的第一次掷硬币试验和第二次掷硬币试验是不是独立的
？？
？如何研究试验之间的独立性？如何研究试验之间的独立性？
•• 通过两次试验中出现的事件的独立性来说明试通过两次试验中出现的事件的独立性来说明试
验的独立性。验的独立性。
一般的，在相同的条件下做试验，各次试验一般的，在相同的条件下做试验，各次试验
的结果不会受其他试验结果的影响，也就是说的结果不会受其他试验结果的影响，也就是说
各次试验都是相互独立的。各次试验都是相互独立的。
每次试验的条件相同每次试验的条件相同
. 试验中所有可能出现的基本事件相同，所有可能出现得基本事件试验中所有可能出现的基本事件相同，所有可能出现得基本事件
的总数保持不变，的总数保持不变，
. 各个基本事件出现的可能性（即发生的概率）保持不变：各个基本事件出现的可能性（即发生的概率）保持不变：
nn次独立重复试验次独立重复试验::一般地一般地,,在相同条件下重复在相同条件下重复
做做nn次试验称为次试验称为nn次独立重复试验。次独立重复试验。
（（independent and repeated trialsindependent and repeated trials））
从以前学过的的概率模型中举出从以前学过的的概率模型中举出nn次独立重复次独立重复
试验例子。试验例子。
n次独立重复试验
在我们在前面研究概率的时候就是通过做在我们在前面研究概率的时候就是通过做nn次次
独立重复试验来发现规律的。因为随机事件独立重复试验来发现规律的。因为随机事件
的规律只有在大量的独立重复试验中才可以的规律只有在大量的独立重复试验中才可以
显现。显现。
nn次掷一枚硬币试验次掷一枚硬币试验;;
nn次掷一枚骰子的试验次掷一枚骰子的试验;;
nn次掷多枚骰子的试验次掷多枚骰子的试验;;
n次独立重复试验
计算机随机模拟求概率都是通过在相同的条计算机随机模拟求概率都是通过在相同的条
件下，分件下，分nn次取随机数得到的。每次取的随机次取随机数得到的。每次取的随机
数不受其他次取随机数的影响，所以做的是数不受其他次取随机数的影响，所以做的是nn
次独立重复的试验。次独立重复的试验。
用试验方法研究生物的遗传机理时，是在相用试验方法研究生物的遗传机理时，是在相
同的条件下，做同的条件下，做nn次独立重复试验进行研究的。次独立重复试验进行研究的。
研究几何概型时，用圆转盘模拟的试验，也研究几何概型时，用圆转盘模拟的试验，也
是在相同的条件下做的是在相同的条件下做的nn次独立重复试验。次独立重复试验。
由试验中出现的事件的独立性可以推出
试验的独立性。那么知道在相同的条件
n次重复试验是相互独立的，便也可以
得到n次试验中各次出现的n个事件是相
互独立的。用Aii表示第i次试验中出现的
事件。i=1，2，3,……，n。由n个事件
相互独立则满足：
试验的独立性能不能得出事件的独立性？
最简单的最简单的nn次独立重复试验次独立重复试验————nn次独立重复伯努利试次独立重复伯努利试
验验。。
伯努利分布（伯努利分布（0-10-1分布或两点分布）：随机变量分布或两点分布）：随机变量XX的分布列如图所的分布列如图所
示示，那么，那么XX服从两点分布服从两点分布 。 PP（（X=1X=1）） =p=p为成功概率为成功概率 。
伯努利试验：一次试验中只出现两个可能的结果的试验伯努利试验：一次试验中只出现两个可能的结果的试验
。
所以一次伯努利试验中，随机变量X服从伯努利分布
XX 00 11
PP 1-p1-p pp
产品抽样中检验是正品还是次品产品抽样中检验是正品还是次品
检验电子管的寿命是大于检验电子管的寿命是大于5000h5000h还是小于还是小于5000h5000h
篮球明星投篮是否命中篮球明星投篮是否命中
动物在某次大瘟疫中是否患病。动物在某次大瘟疫中是否患病。
伯努利试验在现实生活中出现的很广泛。很多现象伯努利试验在现实生活中出现的很广泛。很多现象
为了研究方便也都先转换成伯努利试验再进行研究。为了研究方便也都先转换成伯努利试验再进行研究。
例如：例如：NN件产品有件产品有MM件废品，进行件废品，进行nn次有放回的次有放回的
抽样检查，则每次抽样就是一次伯努利试验。抽样检查，则每次抽样就是一次伯努利试验。
有放回的抽取表示每次试验都是在相同的条件有放回的抽取表示每次试验都是在相同的条件
下进行的，则下进行的，则nn次有放回抽样可以看做是一个次有放回抽样可以看做是一个nn
次独立重复的伯努利试验。次独立重复的伯努利试验。
在相同的条件下做n次伯努利试验就得
到了n次独立重复的伯努利试验。
如何确定抽得如何确定抽得kk（（k<Mk<M））件废品的可能性大小呢？件废品的可能性大小呢？
射击手射击时，射中九环的次数的概率；
投掷硬币n次， k次正面朝上的概率；
同时发射n枚炮弹，k枚发射成功的概率。
在实际应用中n次独立重复的伯努利试验我们往往
关心的特定事件出现特定次数的可能性大小。
我们以第二节掷一枚图钉的随机试验中为例，随机我们以第二节掷一枚图钉的随机试验中为例，随机
变量变量 XX{{X=1X=1表示针尖向上表示针尖向上，，X=0X=0表示针尖向下表示针尖向下}}是服是服
从伯努利分布的。设针尖向上的概率为从伯努利分布的。设针尖向上的概率为pp，则针尖向，则针尖向
下的概率为下的概率为 q=1-pq=1-p..现在连续掷一枚图钉三次，就是做现在连续掷一枚图钉三次，就是做
三次独立重复的伯努利试验。求仅出现一次针尖向上三次独立重复的伯努利试验。求仅出现一次针尖向上
的概率。的概率。
如何求上述问题可能性的大小？
由于事件 彼此互斥，由概率
加法公式得
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的
概率是
用 表示第i次掷得针尖向上的事件，
用 表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则
类似地，能不能得到连续掷类似地，能不能得到连续掷33次图钉，恰好出次图钉，恰好出
现现22次针尖向上的概率；恰好出现次针尖向上的概率；恰好出现33次针尖向次针尖向
上的概率？能发现其中有什么规律吗？上的概率？能发现其中有什么规律吗？
表示事件表示事件““连续掷一枚图钉连续掷一枚图钉三次，出次，出
现现kk次针尖向上次针尖向上””，类似前面的讨论，可以得到，类似前面的讨论，可以得到
能不能猜想出连续投掷同样的图钉能不能猜想出连续投掷同样的图钉nn次，次，
所表示的事件所表示的事件““连续掷一枚图钉连续掷一枚图钉nn次，次，
出现出现kk次针尖向上次针尖向上””的概率。的概率。
那么如何来证明这个结论呢？
n=3时，P(X=k)
证明
证明
一般地，在一般地，在nn次独立重复伯努利试验中，设事次独立重复伯努利试验中，设事
件件AA发生的次数为发生的次数为XX，在每次试验中事件，在每次试验中事件AA发发
生的概率为生的概率为pp，那么在，那么在nn次独立重复试验中，次独立重复试验中，
事件事件AA恰好发生恰好发生kk次的概率为次的概率为
此时称随机变量X服从二项分布（binomial
distribution），记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
如果随机变量如果随机变量XX表示表示nn次独立重复伯努利试验次独立重复伯努利试验
中某一特定事件中某一特定事件AA发生的次数，则发生的次数，则XX服从二项服从二项
分布。分布。X~B(n,p)X~B(n,p)
I)I) 共进行了共进行了nn次试验次试验
II)II)每次试验仅仅只有两种试验结果每次试验仅仅只有两种试验结果..
((即每次试验都是伯努利试验即每次试验都是伯努利试验))
III)III)事件事件AA在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率pp保持不变保持不变
( ( 即是在相同的条件下进行的即是在相同的条件下进行的))
IV)IV)各次试验相互独立各次试验相互独立
((即一次试验的结果不对其他试验的结果即一次试验的结果不对其他试验的结果
构成影响构成影响))
具有什么特点的随机变量X是服从二项分布？
下列事件是不是符合二项分布
投掷三枚骰子投掷三枚骰子nn次，三枚骰子的点数加起来是奇数的次数次，三枚骰子的点数加起来是奇数的次数XX..
某篮球明星连续投篮某篮球明星连续投篮nn次命中的次数次命中的次数XX..
用计算器取用计算器取0-10-1之间的随机数之间的随机数100100次，取得的随机数大于次，取得的随机数大于1/31/3次次
数数XX..
某地区居民中四种血型的百分比是固定的。那么从此地居民中抽某地区居民中四种血型的百分比是固定的。那么从此地居民中抽
nn次，抽出次，抽出OO型血的人次数型血的人次数XX..
某射击运动员每次射击集中目标的概率恒定，他射击了某射击运动员每次射击集中目标的概率恒定，他射击了2020次，次，
第第44次击中目标发生在第次击中目标发生在第XX次。（随机变量为次。（随机变量为XX ））
抛掷两个骰子抛掷两个骰子,,当至少有一个当至少有一个55点或一个点或一个66点出现时点出现时,,就说试验成功就说试验成功,,
则在则在5454次试验中成功次数次试验中成功次数XX 。。
如果随机变量如果随机变量XX满足以上条件则服从二项满足以上条件则服从二项
分布。则分布。则XX的概率分布列可由以下式子得的概率分布列可由以下式子得
到。到。
这些都是X可能的取值，
每一种X取值都有不同
的概率
k = 0, 1, 2, ..., n
思考一：大家观察这个公式和二项式定理有什么联系？思考一：大家观察这个公式和二项式定理有什么联系？
思考二：二项分布和两点分布有何关系？
p=ap=a，，1-p=b1-p=b，，则则 二项分布的概率公式就是二项分布的概率公式就是二项式定理中
二项展开式的通项。可以很方便的检验分布列的性质：二项展开式的通项。可以很方便的检验分布列的性质：
两点分布式特殊的二项分布，即是两点分布式特殊的二项分布，即是n=1n=1的二项分布。的二项分布。
即即X~B(1,p)
用二项分布解决一些实际的问题了!
例一：某射手每次射击击中目标的概率是，
求这名射手在10次射击中，
（1）恰有8次击中目标的概率；
（2）至少有8次击中目标的概率。（结果保留两个有效数字）
解：设X为击中目标的次数，则X~B（10，）。
（1）在十次射击中，恰有8次击中目标的概率为
（2）在十次射击中，至少有8次击中目标的概率为
总结：1、判断一次试验是否是伯努利试验。
2、每次是否相同的条件下进行。
3、随机变量是否表示的是某种特定事件A发生的次数。
(1)(1)全部成活的概率为全部成活的概率为
( ) ( )；；
(2)(2)全部死亡的概率为全部死亡的概率为( (
))；；
(3)(3)至少成活至少成活44棵的概率棵的概率( (
))。。
练习：种植某种树苗，成活率为，
现在种植这种树苗5棵，试求：
例2、刘备手下有个9名谋士组成的智囊团，假定对
某事进行决策时，每名谋士贡献正确意见的概率为
，诸葛亮贡献正确决策的概率为。现对某事决
策，有两种方案：一、征求谋士意见，按多数人的
意见做决策；二、采纳诸葛亮的意见。则应按哪种
方案做决策？
解：按照第二种方案得到正确而决策的概率为
按照第一中方案要得到正确的决策:
将每个谋士决策一次，能不能看成一次伯努利试验？
每个谋士的到正确决策的概率是否相同？
那么9个谋士做决策就可以看成是在相同的条件下，做n次相
同的伯努利试验，要少数服从多数，意思就是9次独立重复的
伯努利试验中做出正确决策的的次数大于五次，我们设随机
变量X做出正确决策的次数。那么随机变量X服从二项分布。
第一种方案做出正确决策的的概率为:
例三：人在一年365日中的某一日出生
的概率相同，那么一个班69个人有两个
以上的人生日是今天的概率是多少？
分析题意：
目的是求生日是今天的人数大于等于二的概率。
每个人的生日在今天的概率都为1/365。
从班里随机抽一个人出来。
判断他的生日：是今天，不是今天.就是一个伯努利试验。
判断全班人的生日是今天，不是今天。
就是一个69次的独立重复伯努利试验。
解；用随机变量X表示生日是今天的人数，
则X服从二项分布。
思考： 那么一个班69人中，存在两个人生日相同的概率
再看课本上的例四，随机变量X为击中
目标的次数，是服从二项分布的。
X~B(10,),于是我们根据二项分布的
概率公式可以得到随机变量X的分布列.
XX 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010
PP
在计算分布列的过程运算量比较大，
这里我们可以EXCEL来简化计算，得
到分布列。
练习：
某宽带主机有某宽带主机有2020个终端，这些终端被各个部个终端，这些终端被各个部
门独立操作，使用率各为门独立操作，使用率各为，求有十个或，求有十个或
更多个终端同时操作的概率？更多个终端同时操作的概率？
在孟德尔做的豌豆种子的性状的杂交试验中，在孟德尔做的豌豆种子的性状的杂交试验中，
发现子代中出现圆形皮的概率为发现子代中出现圆形皮的概率为3/43/4，皱皮，皱皮
的概率为的概率为1/41/4..那么在相同的条件做那么在相同的条件做66组同样的组同样的
试验，出现三株圆皮和三株皱皮的概率是多试验，出现三株圆皮和三株皱皮的概率是多
大。大。
一段时期在家畜中感染某种疾病的概率是一段时期在家畜中感染某种疾病的概率是
30%30%，求二十只健康的动物中有一半以上感，求二十只健康的动物中有一半以上感
染疾病的概率。染疾病的概率。
一枚骰子掷一枚骰子掷44次至少得到一个六点与两枚骰次至少得到一个六点与两枚骰
子掷子掷2424次至少得到一个双六，这两件事中哪次至少得到一个双六，这两件事中哪
一个事件有更多的机会遇到？一个事件有更多的机会遇到？
