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套利定理南开大学数学科学学院白晓棠 Contents1概率的起源2赌博中的概率3套利定理4套利定理的应用NankaiUniversity 概率的起源概率的历史源于中世纪的赌博问题。 意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为 “ problem of points”的赌博问题。1654年，帕斯卡[Pascal]的朋友， 一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人们所知道的“ 德•美尔”问题，帕斯卡与朋友费尔马书信交流，成为概率论的实质性出发点。NankaiUniversity 概率的起源“ 德•美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押32 个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌博 进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这时 赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？11甲分64个，乙分64个221甲分64个，乙分64个331甲分64个，乙分64个NankaiUniversity 赌博中的概率古典概型（等可能概型） 投掷一个骰子，出现点数6的概率为1/6. 于是甲在第四局赌博中获胜的概率为 1/2 甲在第四局落败在第五局获胜的概率为 (1/2)×(1/2)= 1/4 113于是甲最终获胜的概率为244 NankaiUniversity 赌博中的概率于是赌金“ 公平”的分配方式是 31甲分64个，乙分64个“ 公平”一词在赌博中的含义是什么？ 假如你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由 谁来负责打扫寝室，如果出现2至6点则明天由你来打扫 寝室，如果出现点数1则明天由他来负责打扫，你认为此 次“ 赌博”是否是“ 公平”的？NankaiUniversity 赌博中的概率现在我们把刚才的那场“ 赌博”中的“ 赌注”改一下。 还是你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负 责打扫寝室，这次是如果出现2至6则明天由你来打扫寝室， 如果出现点数1则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次 “ 赌博”是否是“ 公平”的？事实上，赌博的公平性是和概率中的一个 概念“ 期望”密切相关的。NankaiUniversity 赌博中的概率设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=x)=p, k=1,2,…,k k 定义X的数学期望为E(X)xpkkk1如果在一次赌博中，每个赌徒赢得的赌金的数学期望都是零，则这次赌博是公平的。NankaiUniversity 赌博中的概率比如对于第一次赌博，我们将你赢得的劳动天数记为随 机变量X，则它的概率分布为：X-11P1/65/6于是，你赢得的劳动天数X的数学期望EX为152EX(1)10663NankaiUniversity 赌博中的概率所以刚才的那次赌博确实不是“ 公平”的，由于你平均赢 得的劳动天数是一个正数，我们可以确定你在这次赌博中TEXT 处于“ 不利地位”。对于另外的一种赌博方式，X的概率分布为X-51P1/65/6于是，你赢得的劳动天数X的数学期望EX为15EX(5)1066NankaiUniversity 赌博中的概率所以第二种赌博方式对于你来说是公平的。有的时候，赌博的公平性是很难直观看出来的，这时要 用刚才介绍的数字期望与公平性的关系进行判断。在非公平的赌博中，我们可以进行适当的计算从而进行 “ 套利”，得到一份“Free Lunch”。下面我们介绍套利定理，以及如何在确定赌博不公平的 时候用适当的策略进行套利。NankaiUniversity 套利定理考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合为{1， 2，…，m}，现有n个不同的赌博结果与此试验有关。假设我们在第i个赌博结果中投入了x单位的赌金，若试验 结果是j (j=1,2…,m)，可以得到收益xr(j)，其中r(•)是在i i 第i个赌博结果上投入一个单位赌金的收益函数。投入的赌金数量可以是正的、负的或零。NankaiUniversity 套利定理向量x=(x,x,…,x)称为赌博策略，其中x表示有x个单位的赌金1 2 n ii 投在赌博结果i上。若试验的结果是j，则由策略x得到的收益可由下式表示： nx的收益xr(j)iii1下面介绍的套利定理表明，在试验的所有可能结果所构成的集 合上，要么存在一个概率向量p =(p,p,…,p)，使得在此概率1 2 m 下每种赌博结果的期望收益为零；要么存在一个赌博策略，在 此策略下试验出现任何结果都会得到一个正的收益。NankaiUniversity 套利定理套利定理：下面两个结论有且仅有一个结论是正确的， 即要么（1）存在一个概率向量p =(p,p,…,p)使得1 2 m mpr(j)0，对所有 i1,2,,njij1要么（2）存在一个赌博策略x=(x,x,…,x)使得1 2 n nxr(j)0，对所有 j1,2,,miii1NankaiUniversity 套利定理记试验结果为随机变量X，套利定理表明：所谓公平的赌 博即存在一个概率的集合(p,p,…,p)，使得1 2 m P{X=j}= p，对所有j=1,2,…,mj 并且E[r(X)]=0，对所有i=1,2,…,ni 定义在试验的可能结果上的一个概率测度，如果它使得 所有的赌博都是公平的，那么这个概率测度称为风险中 度概率测度。NankaiUniversity 赌博中的概率在某些情况下，所允许的赌博类型仅仅是选择一个结果i (i=1,2,…,m)，且打赌试验的结果就是i，这样的一个赌博收益通 常用“ 赔率”的形式表示。如果关于结果i 的赔率是o(通常表示为“o比1”)，那么当试验的i i 结果是i 时，一个单位的赌金会收益o，而当结果不是i 时收益则i 会是-1. 这个赌博的收益函数可由下式给出 o,若 ji,ir(j)i1,若 ji.NankaiUniversity 赌博中的概率假设有赔率o , o ,…,o ,为了使得不存在一个稳赢的策1 2 m 略，那么就一定要存在一个概率向量P=(p, p,…,p)1 2 m 使得在这个概率下对每个i，都有0=E[r(X)]= op-(1-p)p i i i i 也就是说，我们必须有1pi1oiNankaiUniversity 赌博中的概率由于所有p的和必须为1，这就意味着这场赌博保证“ 公平”的条i 件是m111oi1i如果上式不满足，我们就可以通过选择合适的赌博方式来获得 “ free lunch”！我们假设你可以在某个结果上押-1个单位的赌金，如果你押-1个 单位的赌金在结果i上时，那么意味着当结果不是i 时你可以赢得 一个单位的赌金，而当结果是i 的时候你将输掉o个单位的赌金。iNankaiUniversity 赌博中的概率下面我们来看一个例子：一个赌博有三种结果，其赔率 如下结果赔率112233由上表可知，结果1的赔率是1比1；结果2的赔率是2 比1；结果3的赔率是3比 赌博中的概率11113由于故稳赢是有可能的。1,23412 一种可以选择的策略是：在结1押-1个单位的赌金；在结果2 上押个单位的赌金；在结果3上押个单位的赌金。若结果是1，能赢得-1++=； 若结果是2，能赢得+=； 若结果是3，你能赢得 1+=。 NankaiUniversity 赌博中的概率因此，无论何种情形都会有一个正的收益。 事实上，我们可以证明如果有 m111oi1i那么下面的赌博策略 1(1o)ix,i1,2,mim11(1o)ii1会赢得价值为1的收益。 NankaiUniversity 赌博中的概率我们用一个最近现实中博彩的例子来结束赌博中的概率这一问 题的讨论。2009年10月21日，网易体育频道报道了英超的战况，并公 布了最新的夺冠赔率。切尔西 曼联 阿森纳 曼城 利物浦 （前一日）热刺 维拉 埃弗顿 Q：你认为21日的赔率对你来说是否有套利的可能？20日的 呢？对于有套利可能的情形给出你的投资策略。NankaiUniversity 多时期二项模型现在我们考虑一个有n个交易时间段的股票期权，设每个 时间段的名义利率均为r。用S(0)表示股票的初始时刻价格，S(i)表示股票在第i个时 刻的价格，其中i=1,…,n。假设S(i)的取值只可能是uS(i-1)或dS(i-1)，其中d<1+r<u.假设我们在0时刻购买了一个n时刻到期的，执行价格为K 的上述股票的欧式看涨期权。在0时刻到n时刻之间，股 票可以在任意时刻买进或卖出。NankaiUniversity 多时期二项模型引进随机变量Xi1若（Si）uS(i-1)Xi0若（Si）dSi我们可以把随机向量(X,X,…,X)看作是试验结果。由套1 2 n 利定理知，为了不存在套利机会，在这个结果集上必存 在一个使得所有的赌博都是公平的概率测度。即存在一 个概率集合P{X=x,…, X=x}, x=0,1, i=1, …,n1 1 n n i 使得所有的赌博都是公平的。NankaiUniversity 多时期二项模型考虑下面的赌博：选定一个i (i=1, …,n)和一个向量(x,…, 1 x)，该向量的每个元素取值为0或-1 观察前个时间段股价的变化，如果对每个j (j=1, …,i-1)都 有，X=x那么就立刻购买一个单位股票并在下一时刻将j j 其卖出。若我们在i-1时刻购买股票将花费S(i-1) ，下一时刻股票上 -1涨则卖出得uS(i-1)，现值为(1+r)uS(i-1)；下一时刻股票 -1下跌则卖出得dS(i-1)，现值为(1+r)dS(i-1)。NankaiUniversity 多时期二项模型若令P{Xx,,Xx}11i1i1为股票被购买的概率，并且令pP{X1|Xx,,Xx}i11i11为一只股票在下一时间段价格上涨的概率，那么这种赌 博在i-1时刻的期望收益为：p(1p)[uS(i1)dS(i1)S(i1)]1rrNankaiUniversity 多时期二项模型若无套利产生，上述期望值应为0，于是pu(1p)d11r1r解得：1rdpud这就是无套利的风险中度概率。下面我们在此结果的基础上讨论期权的无套利定价。+定义(Z)=max(0,Z) NankaiUniversity 多时期二项模型n用Y表示所有X的和，即。YXiii1 这是一个参数为n和p的二项分布随机变量。n时刻股票的价格可以表示为：YnYS(n)udS(0)+如果购买了期权，那么到期时期权的价值为(S(n)-K)， 当前价值为n(1r)(S(n)K)NankaiUniversity 多时期二项模型期权现值的期望值为n (1r)E[(S(n)K)]nYnY(1r)E[(S(0)udK)]故，不存在套利的期权价格C的唯一值为：nYnYC(1r)E[(S(0)udK)]NankaiUniversity