模糊效用约束下的消费者支出最小化.pdf

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管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连模糊效用约束下的消费者支出最小化赵明清(山东科技大学信息科学与工程学院，271019)摘要 本文利用模糊优化方法，讨论了消费者的效用约束为模糊约束的条件下，如何确定各种商品购买量以使其支出达到最小的问题。关健词 模糊规划，效用函数，隶属函数，消费者均衡1 引言 文[1]讨论了消费者在收入约束为模糊约束的条件下，如何确定各种商品的购买量以使其效用达到最大的问题。本文讨论的是该问题的对偶问题，即讨论消费者在效用约束为模糊约束的条件下，如何确定各种商品的购买量以使其支出达到最小的问题。效用约束的模糊化，使消费者行为分析更加接近实际。目前，尚无人对此问题进行讨论。 2 模型的建立与分析 为了讨论方便，设消费者仅购买两种商品，这两种商品的价格分别为P1和P2，购买数量分别为Q1和Q2；效用函数f(Q1,Q2)连续二次可微且严格凹。那么，模糊效用约束下消费者支出最小化问题可用模糊规划(ⅠminI=P1Q1+P2Q2) (Q1,Q2)≥U~来描述。其中：I表示消费者支出；f(Q1,Q2)≥U表示消费者的效用最好不要低于给定的~效用U 。根据假设，I=P1Q1+P2Q2分别在约束f(Q1,Q2)=U−l（l是伸缩指标，U−l是效用下限）和f(Q1,Q2)=U下的最小值都存在，不妨分别设为E0−l0(l0>0)和E0。 对于模糊约束f(Q1,Q2)≥U构造模糊约束集D1，其隶属函数~~赵明清, 通讯地址：山东省泰安市山东科技大学信息科学与工程学院（271019）， 联系电话：0538—6227430（H）188 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连0,f(Q1,Q2)≤U−lD1(Q1,Q12)=1+(f(Q1,Q2)−U),U−l<f(Q1,Q2)≤U~l1,f(Q1,Q2)>U对于目标函数I=P1Q1+P2Q2构造模糊目标集D2，其隶属函数~0,P1Q1+P2Q2>E0DQQ12(1,2)=−(P1Q1+P2Q2−E0),E0−l0<P1Q1+P2Q2≤E0~l01,P1Q1+P2Q2≤E0−l0 为了兼顾D1和D2,采用模糊判决DF=D1D2，选择Q**~~~1和Q2，使~~ D****F(Q1,Q2)=(D1D2)(Q1,Q2)~~~ =D***1Q1Q2∧D* (,)2(Q1,Q2)~~ =∨(D(Q,Q)∧D(Q,Q))Q1Q2≥0112212,~~ =∨λ|D1(Q1,Q2)≥λ,D2(Q1,Q2)≥λ,0≤λ≤1~~ 于是，模糊规划（Ⅰ）归结为求普通数学规划maxλ+(f(Q1,Q2)−U)≥λl （Ⅱ）1−(P1Q1+P2Q2−E0)≥λl00≤λ≤1,Q1,Q2≥0 即189 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连ming0(Q1,Q2,λ)=−λ(Q1,Q2,λ)=f(Q1,Q2)−lλ−U+l≥0g2(Q1,Q2,λ)=−P1Q1−P2Q2−l0λ+E0≥0（Ⅲ） g3(Q1,Q2,λ)=−λ+1≥0g4(Q1,Q2,λ)=λ≥0g5(Q1,Q2,λ)=Q1≥0g6(Q1,Q2,λ)=Q2≥0 根据优化理论中的Kuhn –Tucker定理，（Ⅱ）相应的（KT）条件是190 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连∂g0∂gi∂Q∂1Q1∂g60g∑∂−ui=0∂Qi∂2i=1Q2∂g0∂giλ∂∂λg(Q1,Q2,λ)≥0iug(Q1,Q2,λ)=0iiu≥0i(i=1,2,3,4,5,6)即191 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连∂f∂Q10−P10010f0∂−u1−u2−P2−u30−u40−u50−u1=0∂Q62−1−l0−1100−lf(Q1,Q2)−lλ−U+l≥0−P1Q1−P2Q2−l0λ+E0≥0−λ+1≥0,λ≥0Q,Q≥019212u1(f(Q1,Q2)−lλ−U+l)=0u2(−P1Q1−P2Q2−l0λ+E0)=0u3(−λ+1)=0,u4λ≥0u5Q1=0,u6Q2=0u1,u2,u3,u4,u5,u6≥0 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连通过分析，便知 0<λ<1 u1,u2>0,u3=u4=u5=u6=0 Q1,Q2>0∂f −u1+u2PQ1=0 (1)∂1∂f −u1+u2PQ2=0 (2)∂2 −1+u1l+u2l0=0 (3) f(Q1,Q2)−lλ−U+l=0 (4) −P1Q1−P2Q2−l0λ+E0=0 (5)由(1)、(2)两式，得∂f∂f Q/P1=/Pk (6)∂1∂Q2∆=2由(4)、(5)两式，得l PQ+PQ=−01122(f(Q1,Q2)−U+l)+E0 (7)l(6)、(7)两式是消费者均衡即模糊效用约束下的消费者支出最小化的必要条件，可以证明该条件也是消费者均衡的充分条件。 由(6)式，得∂f∂f−kPQ1=0,−kP2=0∂1∂Q2令∂E(Q1,Q2,,1,2,UfkPP,l)=−kP∂Q11 ∂F(Q1,Q2,k,P1,2,UfP,l)=−kP∂Q22 GQQkPPU=++0(1,2,,1,2,,l)PQPQl1122(f(Q1,Q2)−U+l)−E0l则E，F ，G关于Q1,Q2,k的Jacobi行列式∂E∂E∂E∂Q1∂Q2∂k∂(E,F,G)∂F∂F∂F =∂(Q1,Q2,k)∂Q1∂Q2∂k∂G∂G∂G∂Q1∂Q2∂k193 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连∂2∂2ff−P∂Q21∂Q∂Q112∂22f∂f=−P∂Q∂Q∂Q22212l0∂fl0∂fP1+P1+0l∂Q1l∂Q2∂22f∂f1∂f2−∂Q∂Q∂Qk∂Q1121∂22f∂f1∂f =QQ2−∂2∂1∂Qk∂Q221l0∂f1l0∂f(+)(+)0kl∂Q1kl∂Q211l =−+0()|H|kkl其中∂22f∂f∂f∂Q2∂Q1∂Q2∂Q1122 H∂f∂f∂f=∂Q∂Q∂Q221∂Q22∂f∂f∂Q∂Q012为f(Q1,Q2)的加边Hessin矩阵。根据对f(Q1,Q2)的假设，H≠0。所以∂(E,F,G)≠0∂(Q1,Q2,k)进而，由隐函数组存在定理，(6)、(7)确定了唯一的一组隐函数Q1=Q1(P1,P2,U,l)Q2=Q2(P1,P2,U,l)k=k(P1,P2,U,l)称Q1(P1,P2,U,l)和Q2(P1,P2,U,l)为模糊需求函数。或者说，对于给定的P1,P2,U,l，方程组(6)、(7)有唯一解Q**1,Q2，相应的消费者最小支出***I=P1Q1+P2Q2,隶属度194 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连DQ*Q*1=−PQ*+*2(1,2)(11P2Q2−E0)~l0这也就是模糊规划（Ⅰ）的解。195 管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集 2001年·大连3 结论 (1) 消费者均衡的充分要条件是∂f∂f /P1=/P∂Q∂Q212PQ+=−0112QlP2(f(Q1,Q2)−U+l)+E0l其中第一式意味着：在模糊效用约束下，当消费者的消费处于最优状态时，花在各种商品上的最后一个单位货币支出所获得的效用相等。 (2) 模糊效用约束下的消费者最小支出和达到的效用都比普通效用约束下的消费者最小支出和达到的效用小。 (3) 利用模糊数学方法分析经济问题会更接近实际，但也带来了分析上的困难。参考文献1 赵明清. 模糊约束下的消费者均衡. 山东矿业学院学报，（2）：197—2002 唐林炜等编著. 模糊数学与经济分析. 山东大学出版社，： 141—1643 中国人民大学数学教研室编. 运筹学通论. 中国人民大学出版社，： 190—196The Minimization of Consumption under the Fuzzy Utility ConstraintZhao Mingqing(College of Information Science & Engineering, Shandong University of Science and Technology, 271019)Abstract By using fuzzy optimization, this paper discusses how to ensure the consumption of merchandises to minimize the expenditure if the utility constraint is a fuzzy Fuzzy programming Utility function Subjection function Consumption equilibrium196