第四节 矩、协方差矩阵
原点矩 中心矩
协方差矩阵
n 元正态分布的概率密度
小结 布置作业
一、 原点矩 中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩
存在，称它为X的k阶中心矩
可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）
是X的二阶中心矩。
协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.
若
存在，
称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
k,L=1,2,…
存在，
可见，
二、协方差矩阵
将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩
排成矩阵的形式:
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
这是一个
对称矩阵
类似定义n 维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵
都存在,
( i, j=1,2,…,n )
若
矩阵
称
三、n 元正态分布的概率密度
f (x1,x2, …,xn)
则称 X 服从 n 元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵，
X 和 是 n 维列向量， 表示X 的转置.
设 =(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量,
若它的概率密度为
n元正态分布的几条重要性质
1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 均服从正态分布.
对一切不全为0的实数 a1,a2,…,an，
若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布，
Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，
则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布.
2. 正态变量的线性变换不变性.
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则
“X1,X2, …,Xn相互独立”
等价于
“X1,X2, …,Xn两两不相关”
例 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.
故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.
解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且 X 与Y 独立,
D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
即 Z~N(E(Z), D(Z))
故 Z 的概率密度是
Z~N(5, 32)
四、小结
在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵 .
一般地 , 维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理 , 因此在实际中协方差矩阵就显得重要了 .
五、 布置作业
一、填空题第1小题
《概率论与数理统计》作业（四）
二、选择题第1、2小题
三、解答题第1、2、3、4小题
