经济增长模型经济增长模型经济增长模型经济增长模型中政府支出的生产效应中政府支出的生产效应中政府支出的生产效应中政府支出的生产效应分析分析分析分析
张剑虎 1，刘文斌 2
（1.南开大学 经济学院，天津 300071；2.中国矿业大学理学院，徐州，221008）
摘摘摘摘 要要要要：：：： 本文利用一般的生产函数讨论了政府支出的生产效应和此时的财政政策，得出了以下结论：当生产函
数为规模收益不变时，模型等同于 A K− 模型，经济增长率与收入税率负相关，与消费者耐性和政府支出的生
产外在效应正相关；当生产函数为规模收益递减时，均衡点为鞍点稳定，各均衡值与收入税率负相关，与消费
者耐性和政府支出的生产外在效应正相关；当生产函数为规模收益递增时，均衡点为不稳定结点。
关键词关键词关键词关键词：：：： 政府支出；经济增长；生产效应
中图分类号中图分类号中图分类号中图分类号：：：：
1. 引言引言引言引言
经济增长理论由于其理论意义和实际意义的重要性从而吸引了众多研究者的目光。其中对财政
政策研究的文章就有很多[1-5]。但大部分文章在构造生产函数时都没有考虑财政支出的生产效应，
即没有让政府支出进入生产函数，即使有文献考虑了这一点[1-3]，也只是在假设生产函数为柯布—道
格拉斯函数以及规模收益不变的情况下讨论其他的问题。这显然是不全面的，因为政府支出在交通
运输，通讯卫生以及城市公共设施等方面的投入极大的提高了企业的生产效率，而且也没有实证研
究表明包含政府支出的生产函数一定是规模收益不变的。而本文正是从更一般的角度考查了政府支
出的生产效应，并讨论了此时的财政政策。
基于此，本文第二部分介绍模型的结构，第三部分求解模型的均衡状态，第四部分对于模型进
行稳态分析，第五部分则对本篇文章进行总结。
2. 模型模型模型模型
符号说明
:Y 国民总产出 :K 社会资本存量 :C 居民消费支出 :G 政府财政支出 :B 政府发行的债券
:y 人均产出 :k 人均资本存量 :c 人均消费支出 :g 人均政府财政支出 :b 个人购买的债券
:β G占Y 的比例 :ρ 效用贴现率 :τ 收入税率 :ω 消费税率
以上各变量均为时间 t的函数，其中假设 , , ,ρ β τ ω 为常数，且 , , (0,1)β τ ω∈ 。
考虑国民收入恒等式Y C I G= + + ，其中投资等于社会资本存量的增量，即 I K= � 。又G Yβ= ,
于是我们可以得到
( 1 )K Y C G Y Cβ β β′ ′= − − = − = −� (1)
另外对于政府而言，其财政收入可以分为三部分：收入税 ( )Y rBτ + ，消费税 Cω 和发行债券B� ；
本课题得到国家自然科学基金（项目编号：10771212）的资助。
1
而其支出可以分为两部分：正常政府支出G和债务付息 rB。假设政府总是追求预算平衡，则支出
等于收入，即
( )G rB Y rB C Bτ ω+ = + + + � (2)
方程(1) (2)均为总量方程，这里我们考虑个量方程，即单个消费者所满足的约束方程，只需要将上面
两个方程除以总人数即可。于是我们得到
(3a)
( ) (3b)
k y c
b y rb y rb c
β
β τ ω
′= −
= + − + −
�
�
实际上由(3)可知
( )k c y rb c b y rbτ ω+ + + + + = +� � (4)
这意味着消费者的收入由两部分组成：产出 y和债券利息 rb；支出由五部分组成：消费c，投资k�，
收入税 ( )y rbτ + ，消费税 cω 和购买债券b�。对于(3)需要重点说明的是个人产出 y，这里我们假设
( , ( ) )
g
y f k G
G
ξ= ，其中第二部分 ( )gG
G
ξ 表示政府支出对于个人来说具有外部效应，这是由于政府
支出是公共物品。当 0ξ = 时表示具有完全的外部效应，当 1ξ = 时表示完全没有外部效应，即ξ 越
小，外部效应越大。另外 f 满足下面的条件
1 2 11 22 120, 0, 0, 0, 0f f f f f> > < < < （ 1 1( , ( ) )
g
f f k G
G
ξ= ，其他类似） (5)
这表明国民产出是资本存量和政府支出的增函数，但增长率却是逐渐递减的。我们这里没有考虑人
口增长和技术进步，这样做只是为了将精力集中于分析所要讨论的问题，并不影响模型的本质特征。
另外对于单个的消费者而言，其目标就是选择适当的消费路径，使一生的效用最大化，即
0
max ( )t
c
e U c dtρ
∞ −∫ (6)
其中 ( )U i 为替代弹性为σ 的效用函数，即 ( )
( )
c U c
U c
σ
′′⋅
= −
′
，且 ( ) 0, ( ) 0U U′ ′′> <i i ，即效用随着消
费增加而增加，但增加的幅度逐渐减小。综合(4) (6)我们得到如下基本模型
max ( )0
(7a)
( ) (7b)
( ,
t
e U c dt
c
k y c
b y rb y rb c
y f k
ρ
β
β τ ω
β
−∞
∫
′= −
= + − + −
=
�
�
( ) ) (7c)
y
Y
Y
ξ
即消费者在(7)的约束下选择消费路径使一生福利最大化。
3. 均衡状态均衡状态均衡状态均衡状态
为了分析最优化问题(7)，我们采用如下方法。令 , , (0 1)w k b k vw v= + = < < ，则由(7)可以得到
2
( )w y rv w cτ ϖ′ ′= + −� ( 1τ τ′ = − ， 1ϖ ω= + ) (8)
因为 ( , ( ) )yy f k Y
Y
ξβ= ，所以 ( ) ( )y y k y vw= = 。构造如下的哈尔密顿函数
( ) [ ( ) ]H U c y rv w cλ τ ϖ′ ′= + + − (9)
则问题(7)的必要条件可由以下几个方程来描述。
( ) 0
H
U c
c
λϖ
∂
′= − =
∂
(10)
[ ( ) ] 0v
H
y vw rw
v
λτ
∂
′= − =
∂
(11)
[ ( , ) ]w
H
y v w rv
w
λτ ρλ λ
∂
′ ′= + = −
∂
� (12)
lim ( ) 0t
t
w t e ρλ −
→∞
= (13)
其中(13)称为横截性条件。为了分析的方便，我们引入下面几个变量：
1kf
y
α = ：产出对资本的弹性 2( )
g
G f
G
y
ξ
η = ：产出对财政支出的弹性
y
z
k
= ：产出资本比 cx
k
= ：消费资本比 yA
b
= ：产出债券比
因为 ( , ( ) )yy f k Y
Y
ξβ= ，所以 11 2 ( )k k
y
y f f y
Y
ξβξ −= + ⋅ ，即
1
1
2
( )
1 1
1 ( )
k
f
y z z
y
f
Y
ξ
α α
ϕ ϕ
ξη ξηβξ −
= = = =
− −− ⋅
记 (14)
所以 v k
dk
y y zw
dv
ϕ= = ， w k
dk
y y zv
dw
ϕ= = 。代入(11) (12)可得
kr y zϕ= = (11a)
[ ]ky v rv zρλ λ λτ λτ ϕ′ ′ ′− = + =� (12a)
又由(10)可得 ( )
( )
cU c c
U c c
λ
λ
′′
⋅ =
′
�� ，即 cg gλσ− = (其中 c
c
g
c
=
� ，其它类似)，所以
( )c
g z
g λ
τ ϕ ρ
σ σ
′ −
= = 用(12a) (15)
另 外 由 (7a) 可 得 kg z xβ ′= − ， 又 k
dy y
y
dk k
ϕ= = ， 所 以 y kg gϕ= 。 同 时 由 (7b) 可 得
( )b
c
g A r
b
β τ τ ω′= − + − ，即 ( )b
x
g A z A
z
β τ τ ϕ ω′= − + − 。于是可以得到下面的微分系统
3
( 1)( ) (16a)
(16b)
( ) [( ) ]
g g g z xz y k
z
g g g z xx c k
x
g g g z x A z AyA b z
ϕ β
τ ϕ ρ
β
σ
ϕ β β τ τ ϕ ω
′= − = − −
′ −
′= − = − +
′ ′= − = − − − + − (16c)
01 当 1ϕ = 时
此时 1 0ϕ − = ，所以 0zg = ，即
y
z Const
k
= = 。此时将(16)转化为：
(17a)
(17b)
( ) [( )
g z x
k
z
g z xx
g g g z x AyA b
β
τ ρ
β
σ
β β τ τ
′= −
′ −
′= − +
′ ′= − = − − − + ] (17c)
x
z A
z
ω−
求得均衡值为 zx zρ τ β
σ
∗ ′− ′= + ；
( )
z
A
x
z
ρ σ τ
ω
σ τ β
∗
∗
′ ′−
=
+ −
； k
z
g
τ ρ
σ
∗ ′ −= （18）
易见此时实际上就是 A K− 模型，这也正是其他文章通常采用的形式。令我们感兴趣的是
0, 0, 0Kx A g
∗ ∗ ∗> > > 。通常 1( 2 )σ σ> > 更符合实际 ，因此 0zρ σ τ′ ′− > ，所以只需要满足下面
的条件 max{( ), ( ( ))}z zστ σβ τ σβ β τ ρ τ
ω
′ ′ ′ ′ ′− − + − < < （19）
此时各变量增长率均相等，即 y c b k
z
g g g g
τ ρ
σ
∗ ∗ ∗ ∗ ′ −= = = = ，
02 当 1ϕ ≠ 时
由(16)可以求得系统的均衡值为 z ρ
τ ϕ
∗ =
′
；x β ρ
τ ϕ
∗ ′=
′
；A ρ
τ ωβ β
∗ =
′+ −
（20）
因此为保证 0, 0, 0z x A∗ ∗ ∗> > > ，只需要 0ϕ > 和τ ωβ β′+ > 。此时 0y c b kg g g g∗ ∗ ∗ ∗= = = =
又由 ( ) ( )k v
b v
∗ ∗=
′
可得 ( ) ( )
1
v A
v z
τ ϕ
τ ωβ β
∗ ∗ ′= =
′− + −
，所以求得v τ ϕ
τ ϕ τ ωβ β
∗ ′=
′ ′+ + −
。
4. 稳态分析稳态分析稳态分析稳态分析
4．．．．1静态分析静态分析静态分析静态分析
01 当 1ϕ = 时
结论结论结论结论 1：：：：当 1ϕ = 时，均衡增长率与ω 无关，随着 ,ρ τ 和ξ 的增大而减小，即均衡增长率与消费税率
4
无关，与收入税率负相关，与消费者耐性和政府支出的生产外在效应正相关。
证明证明证明证明：：：：由(18)很容易得到 0, 0 0k k kg g g
ω ρ τ
∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂
= < <
∂ ∂ ∂
， ，所以均衡增长率与ω 无关，随着 ρ 和τ 的增
大而减小。下证 0kg
ξ
∗∂
<
∂
。
因 为 k kg g z z
z
τ
ξ ξ σ ξ
∗ ∗
∗
′∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
。 由 偏 微 分 方 程 组
1
1
1
( )
2
kf f
y
Y f f
Y
α
ξβ η
−⋅ =
−⋅ =
可 以 求 解 出
( ( ) )
y
y ck Y
Y
α ξ ηβ= ，所以
1
[ ( ) ]z c Y Y
ξη
η α αβ
−
= ，很显然 0z
ξ
∂
<
∂
，因此 0kg
ξ
∗∂
<
∂
。这样均衡增
长率随着ξ 的增大而减小。这样结论得证。
这里我们注意到均衡增长率和消费税率ω 没有关系，实际上这是因为我们没有考虑政府支出的
福利效用，如果效用函数中包含政府支出，那么我们将会发现均衡增长率和ω 有关系。
下面我们验证均衡时横截性条件(13)成立。实际上只需要证明均衡时 0wg gλ ρ∗ ∗+ − < 即可。由
于w k b= + ，均衡时 k与b成比例，所以 w k bg g g= = 。因此
0w k
z z
g g g g zλ λ
τ ρ τ σ ρ
ρ ρ ρ τ ρ
σ σ
∗ ∗ ∗ ∗ ′ ′ ′− −′+ − = + − = − + − = <
所以 lim ( ) 0t
t
w t e ρλ −
→∞
=
02 当 1ϕ ≠ 时
由(20)可以知道均衡时 , ,z x A∗ ∗ ∗为常数，且 0y c b kg g g g∗ ∗ ∗ ∗= = = = 。因此各变量均为常数，
只需要分析参数对于其中一个变量的影响即可。
结论结论结论结论 2：：：：当 1ϕ < 时，均衡值与 ,τ ρ 和ξ 负相关，即如果收入税率越小，人们对消费越有耐心，以及
政府支出的生产外在效应越大，那么各变量的均衡值就越大；当 1ϕ > 时，结论则相反。
证明证明证明证明：：：：因为 ( , ( ) )yy f k Y
Y
ξβ
∗
∗ ∗= ，即 ( , ( ) )yy f y Y
Y
ξτ ϕ β
ρ
∗
∗ ∗′= ，所以 y∗ 是 , ,τ ρ ξ 的函数，即
( , , )y y τ ρ ξ∗ ∗= 。由隐函数定理得 11 2[ ] ( )
y
y f y y f y
Y
ξ
τ τ τ
ϕ τ ϕ
βξ
ρ ρ
∗
∗ ∗ ∗ − ∗′−= + + ⋅ ，所以
5
1 1 1
1
1 2
1 2
1 [ ]
1 [ ( ) ] ( )
1 [ ]
f y f y f y
y
y y
f f Y
kY Yf f
y y
τ
ξ ξ
ϕ ϕ ϕ
ρ ρ ρ
τ ϕ α ξηβξ β
ρ ξ
∗ ∗ ∗
∗
∗ ∗
−
∗
∗ ∗
− − −
= = =
′ − +
− + ⋅
− + ⋅
同理可求得
12
1 [ ]
f y
yρ
τ ϕ
ρ
α ξη
∗
∗
′
−
=
− +
。下面求解 yξ ∗ 。由结论 1 知道 ( ( ) )
y
y ck Y
Y
α ξ ηβ= ，所以
( ) [ ( ) ]
y
y c y Y
Y
α ξ ητ ϕ β
ρ
∗
∗ ∗′= ，即 1( ) (y cα ξη τ ϕ∗ − − ′= 1 1) [ ]Yα ξ ηρ β− − 。两边取对数并对ξ 求导，
可以得到 ( ln )
1
y Y
y
y
ξ
η
ϕ
α ξη
∗
∗
∗= −− −
。
由于 Y
y∗
代表社会上存在的厂商人数，因此当ϕ 不是很大的时候就有 ln 0Y
y
ϕ
∗
− < 。另
一方面，因为假设 1 0f > ，且为保证均衡值大于零，我们要求 0ϕ > ，所以 1 0f y
ϕ
ρ
∗− < ，
12
0f y
τ ϕ
ρ
∗′− < 。因此当 1ϕ < ，即1 0α ξη− − > 时， 0, 0, 0y y yτ ρ ξ∗ ∗ ∗< < < ；当 1ϕ > ，即
1 0α ξη− − < 时， 0, 0, 0y y yτ ρ ξ∗ ∗ ∗> > > 。这样结论得证。
同时我们验证均衡时横截性条件(13)成立。实际上只需要证明均衡时 0wg gλ ρ∗ ∗+ − < 即可。
因为 0w kg g g g z z xλ λρ ρ ρ τ ϕ β ρ ρ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗′ ′+ − = + − = − + − − = − <
所以 lim ( ) 0t
t
w t e ρλ −
→∞
=
4．．．．2动动动动态分析态分析态分析态分析
观察微分系统(16)我们发现前两个方程不含变量 A，因此我们可以分析由(16a)(16b)所组成的子系
统，这样既能简化分析，又能得到相应的动态特征。
01 当 1ϕ = 时
此时考虑(17a)(17b)所组成的微分系统。将(13b)改写成 ( )xg x x∗= − ，即 1 1( )dx x dt
x x x
∗
∗
− =
−
，
于是可以解得
0
0
0 0
0
( ) exp( [ ( )] )
1 1 1 1
( ) ,
( )
t
x t
k t k z x s ds
e k x
x t x x x
β
∗
∗ ∗
′= −
− = −
∫
为初始值
(21)
6
根据(21)可以画出此时微分系统的相图，如图 1
我们关心的是什么样的轨线给出了问题(7)的解。若 00 x x∗< < ，则从(21)看出 ( ) 0k ∞ = ，这显
然不是最优选择。若 0x x∗> ，则当 0
0
1
ln
x
t t
x x x∗ ∗
→
−
� 时 ( ) , ( ) 0x t k t= ∞ = ，这显然也不是最优
选择。因此唯一可行的轨线就是 ( )x t x∗= 。这意味着任意给定 0k ，决策者立刻选择 0c ， 0b 使得
0
0
c
x
k
∗= ， 0
0
b z
k A∗
= ，并在以后一直保持 c x
k
∗= ， b z
k A∗
= 。此时 k
z
g
τ ρ
σ
∗ ′ −= 。因此我们得到如
下结论。
结论结论结论结论 3：：：：当 1ϕ = 时，模型为 A K− 模型，各变量的均衡增长率为 zτ ρ
σ
′ − 。
02 当 1ϕ ≠ 时
由(16a)(16b)所组成的微分系统的系数矩阵为
( 1) 1
1
J
ϕ β ϕ
τ ϕ
β
σ
′− −
= ′
′−
。其所对应的特征方程为
2 ( 1)[1 (1 ) ] 0
ϕ τ ϕ
λ λ ϕ β
σ
′−
′− − − + =
因为 0ϕ > ，所以1 (1 ) 0ϕ β ′− − > 。因此当 1ϕ < 时均衡点为鞍点；当 1ϕ > 时均衡点为不稳定结点。
我们感兴趣的是鞍点稳定。图 2给出了此时的相位图。
7
由于子系统是鞍点稳定的，所以系统(16)至少有一维稳定流形，因此均衡点也是鞍点稳定的。这
意味着对于任意的初始值 0k ，决策者立刻选择 0c ， 0k 使得 0 0 0( , , )z x A 位于鞍轨上，各经济变量随后
沿着鞍轨趋向均衡点。因此我们得到如下结论。
结论结论结论结论 4：：：：当 1ϕ < 时，系统均衡点为鞍点稳定。
5. 总结总结总结总结
通过以上的分析，我们考查了政府支出的生产效应以及此时的财政政策。我们发现当生产函数
为规模收益不变时模型为 A K− 模型，此时如果消费者更有耐性，政府支出的生产外在效应越大，
以及收入税率越低，那么均衡时各变量的增长率就越大，并且此时各变量的均衡增长率为 zτ ρ
σ
′ − 。
当生产函数为规模收益递减时，均衡点为鞍点稳定，并且如果消费者更有耐性，政府支出的生产外
在效应越大以及收入税率越低，，则各经济变量的均衡值就越大。当生产函数为规模收益递增时结论
正好相反，并且均衡点为不稳定结点。但无论何种情况，增加政府支出的生产外在效应对于社会来
说都是有益的。因此这就要求政府在实行财政政策时应更加关注政策的质量，解决关系国民经济发
展的瓶颈约束，为广大企业提供良好的公共设施和外部环境，这样才能促进企业生产率的提高，推
进国民经济的可持续发展。
参考文献参考文献参考文献参考文献
[1] Barro, R. Government spending in a simple model of endogenous growth[J]. Journal of Political Economy, supplement 22,
1990, S103–S125.
[2] Devarajan,S., V. Swaroop, and H. Zou. The composition of Government Expenditure and Economic Growth[J]. Journal of
Monetary Economic ,1996,37:313-344.
[3] Hu, Y., Ohdoi, R., Shimomura, in a two-sector endogenous growth model with productive government
spending[J].Journal of Macroeconomics (2007), doi:
[4] Easterly, W. , and S. Policy and Economic Growth: An Empirical Investigation[J]. Journal of Monetary
Economics,1993,32:417-458.
[5] Barro, R., Sala-i-Martin, X. Public finance in models of economic growth[J]. Review of Economic Studies,1992,59 (4),
645–661.
[6] 胡适耕，吴付科。宏观经济的数理分析[M]。 武汉：科学出版社，2004.
Analysis of government expenditure production effect in economic growth model
Jianhu Zhang,Wenbin Liu
(1. School of Economics,Nankai University Tianjin 300071;
of Mathematics, China University of Mining and Technology,Xuzhou 221008)
Abstract: Using general production function,this paper discussed the production effect of government expenditure and
fiscal policy,and got the following conclusions:when the production function is increasing return to scale ,the model becomes
a A K− model ,if the income tax rate is big the economic growth rate is small ,and if customers are more patient and the
outside production effect of government expenditure is big, the economic growth rate is big too; when the production
function is decreasing return to scale,the equilibrium point is saddle ,if the income tax rate is big the equilibrium values are
small ,and if customers are more patient and the outside production effect of government expenditure is big, the equilibrium
values are big too; when the production function is increasing return to scale, the equilibrium point is unstable.
key words: Government expenditure; economic growth; production effect
作者简介作者简介作者简介作者简介：张剑虎，男，1983 年生，博士研究生，主要研究方向西方经济学
8
