经济研究导刊
ECONOMIC RESEARCH GUIDE总第 63期
2009年第 25期
Serial No．63
No．25，2009
对于市场经济中商品的价格、数量的变化规律及其最终
趋势，文献[1]利用差分方程进行描述，并给出了使市场达到稳
定的条件及市场不稳定时可以采取的干预措施。文献[2]利用
微分方程进行描述。考虑到市场中商品的数量、价格的变化
具有一定的不确定性和随机性，本文考虑利用 Markov链来
描述市场中商品数量、价格的变化规律。
一、假设，符号及变量
1.假设
（1）市场中商品的数量、价格表现为三个水平（状态）：即
数量的偏少、适中、偏多；价格的偏低、适中、偏高，数量，价格
均在三个状态之间转移，如下图：
1
2 3
图 1 数量状态转移图
1
2 3
图 2 价格状态转移图
（2）市场中商品的数量、价格主要受价值规律的影响，但
具有一定的不确定性和随机性，故各个时段的商品数量、价
格可视为随机过程。
（3）本时段的价格取决与本时段的数量，与其他因素无
关；下一时段的数量取决与上一时段的价格，与其他因素无
关，故此时间序列具有无记忆的特点，可视为Markov链。
2.符号
（1）Xt（ω）表示第时段商品的数量，t=1，2，3，…，其取值
为 1、2、3，分别标识该时段数量偏少、适中、偏多。
（2）Yt（ω）表示第时段商品的价格，t=1，2，3，…，其取值
为 1、2、3，分别标识该时段价格偏低、适中、偏高。
二、Markov链模型
商品数量在各种状态间的转移可用状态转移概率 [3]来
描述：
P（Xt+1=j|Xt=i）=pij，i，j=1，2，3
表示上一时段数量处于状态 i的条件下，下一时段数量
处于状态 j的概率。
即得商品数量的状态转移阵：
P=
P11 P12 P13
P21 P22 P23
P31 P32 P33
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商品价格在各种状态间的转移可用状态转移概率 [3]来
描述：
P（Yt+1=j|Yt=i）=qij，i，j=1，2，3
表示上一时段价格处于状态 i的条件下，下一时段价格
处于状态 j的概率。
即得商品价格的状态转移阵：
Q=
q11 q12 q13
q21 q22 q23
q31 q32 q33
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数量，价格间的关系可用如下条件概率描述：
P（Yt=j|Yt=i）=rij，i，j=1，2，3
表示本时段数量处于状态 i的条件下，本时段价格处于
收稿日期：2009- 04- 09
作者简介：李晓康（1973-），男，陕西汉中人，讲师，硕士研究生，从事应用概率统计研究。
基于 Markov链的市场经济模型
李 晓 康
（陕西理工学院 数学系，陕西 汉中 723000）
摘 要：对于市场经济中商品的价格、数量的变化规律及其最终趋势，利用 Markov链建立了商品数量，价格及其
相互关系的基本方程，描述市场经济中商品的价格，数量的变化规律及其最终趋势 。最终的结论给出的是数量，价格
处于某个状态的概率，具有一定的可信性。
关键词：Markov链；市场经济；价格；模型
中图分类号： 文献标志码：A 文章编号：1673- 291X（2009）25- 0181- 02
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状态 j的概率。
即得商品数量，价格的状态转移阵：
R=
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
�
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�
�
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�
�
��
�
其中，pij，qij，rij满足概率的基本性质。
以上三个矩阵可由过去一段时期市场中商品的数量，价
格统计数据估计。
记 ai（t）=P（Xt=i）为 t时段数量处于状态 i的概率，即数
量状态概率。
记 bi（t）=P（Yt=i）为 t时段价格处于状态 i的概率，即价
格状态概率。
令 a（t）=（a1（t），a2（t），a3（t））表示 t时段数量处于各个状
态的概率，称为数量状态向量。
b（t）=（b1（t），b2（t），b3（t）），表示 t时段价格处于各个状态
的概率，称为价格状态向量。
则只需研究 a（t），b（t）两个向量及其关系即可。
1.数量，价格自身的变化规律
由Markov链的无后效性及全概率公式，可得数量，价格
Markov链的基本方程：
ai（t+1）=
3
j = 1
Σaj（t）pij，i=1，2，3 （）
bi（t+1）=
3
j = 1
Σbj（t）qji，i=1，2，3 （）
其中，ai（t），bi（t）满足：
3
i = 1
Σai（t）=1，t=0，1，2，…
3
i = 1
Σbi（t）=1，t=0，1，2，…
将上式写为向量形式：
a（t+1）=a（t）P （）
b（t+1）=b（t）Q （）
进一步递推可得：
a（t）=a（0）Pt，t=1，2，… （）
b（t）=b（0）Qt，t=1，2，… （）
由以上两式可以看出，数量，价格状态向量只取决于初
始数量，价格状态向量和转移概率 P，Q。下面考虑数量，价格
状态的变化趋势，即 t→∞的情况。
对于一类特殊的马氏链，具有简单的结果。为此，有下面
的定义：
正则链对于具有有限（k）个状态的马氏链，若存在正整
数 N，使得从任意状 i态出发，经 N次转移都以大于 0的概
率到达状态 j（i，j=1，2，…k），称此马氏链为正则链。
由转移概率阵可以判别一个马氏链是否为正则链：
定理 1马氏链的转移概率阵为 P，则它是正则链的充分
必有条件是存在正整数 N，使得 PN＞0（即 PN的每一元素大
于 0）。
对于正则链，其极限状态与初始状态无关：
定理 2正则链存在唯一的极限状态 w=（w1，w2，…wk），使
得当 t→∞时，状态概率 a（t）→w，w与初始状态 a（0）无关，
满足：
wP=w （）
k
i = 1
Σwi=1 （）
因此，若由状态转移概率阵 P判断马氏链为正则链后，
其极限状态可直接由以上两式求出，即归结为求解代数方程
组的问题。
2.数量，价格的相关变化规律
以上讨论的是数量价格自身的变化规律，考虑到数量价
格是两个关系密切的量，下面讨论数量，价格的相关变化规
律。
由Markov链的无后效性及全概率公式，可得数量，价格
Markov链的相关关系：
ai（t）=
3
j = 1
Σbj（t）rj i，i=1，2，3 （）
将上式写为向量形式：
a（t）=b（t）R，t=0，1，2，… （）
由（）可得：
a（t）=b（0）QtR，t=1，2，… （）
这样，数量状态向量可由初始价格状态向量Q，R决定。
若 R可逆，则由（）可得：
b（t）=a（0）PtR-1，t=1，2，…
这样，价格状态向量可由初始数量状态向量与 P，R
决定。
三、模型评价及改进
在不太精细的条件下，给出了商品数量价格的变化规律
以及最终趋势及其相互关系，结果表明，商品数量价格的变
化规律以及最终趋势及其相互关系主要取决于数量转移阵
P和价格转移阵 Q以及 R。可以通过调节这三个矩阵来控制
数量，价格的变化及其最终趋势。最终的结论给出的是数量，
价格处于某个状态的概率，具有一定的可信性。对于这三个
矩阵，主要是通过过去的统计数据进行估计，需要较多的统
计数据，还要使用较好的参数估计方法。
参考文献：
[1] 姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社，2003.
[2] 苏梅会，化存才.微分方程形式的蛛网模型[J].云南大学学报:自然科学版，2007，（S1）.
[3] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计:第 3版[M].北京:高等教育出版社，2001：12.
[责任编辑 王晓燕]
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