2004年第 3期 安徽商贸职业技术学院学报 Sep., 2004
第 3卷 总第 11期 Journal of Anhui Business College of Vocational Tech nology Vol. 3 General
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收稿日期 2004-06-21
作者简介 叶迎春 1968~ 女 安徽无为人 安徽商贸职业技术学院基础教学部副教授 硕士
常利率双损失环境下的寿险破产概率
叶迎春
安徽商贸职业技术学院 基础教学部 安徽 芜湖 241000
摘 要 传统的寿险模型只考虑在单损失环境中由死亡随机事件造成的经营风险 忽略了实际操作过程中利率和
退保因素给保险公司经营带来的影响 笔者将利率和退保因素引入寿险风险模型 得到了在死亡随机事件和撤出
随机事件两种损失环境下 寿险破产概率的一个递推公式
关键词 常利率 双损失环境 破产概率
中图分类号 F840 文献标识码 A 文章编号 1671-9255200403-0052-02
The Ruin Probability of Life Insurances under Constant Interest Force and Double Losses Condition
YE Ying-chun
(Department of Fundamental Courses, Anhui Business College of vocational Technology, Wuhu 241000, China )
Abstract:The tradit ional life insurance model only considers the loss caused by policy-holders’ death, while it overlooks
the effects brought by interest rate and surrender. This paper introduces these two factors, thus works out a recursive
formula of ruin probability under double-losses condition resulting from death and surrender.
Key words:constant interest force; double losses condition; ruin probability
一 引言
无论是寿险还是非寿险 其经营业务资金流动
主要为保费收入和理赔支出 20世纪70年代以前
各个国家的利率一般都是由国家控制的 利率给保
险公司的经营带来的影响非常有限 但随着利率的
逐步放开 寿险因其险期较长 由利率的上升和下
降而引起的预计之外的现金流入和流出 已严重影
响到保险公司的赔付能力
一般的风险研究都是在不考虑退保的情况下
进行的 事实上 退保的发生不仅减少了保费收入
还由于退保的保单往往都是质量好的保单 对人寿
保险而言 退保导致死亡率的相对提高 增加了其
经营的风险
因此 利率和退保的影响已成为精算实务和研
究的一个重要课题
定义 1 假定与研究群体有关的是一个死亡随
机事件 就称工作在一个单损失环境中
定义2 假定与研究群体有关的是死亡随机事
件和撤出随机事件 称工作在一个双损失环境中
本文主要讨论利率为常数 i的双损失环境下的
寿险破产概率
二 模型的建立
设寿险中 刚投保时 年龄均为 x的投保人有
1n 人 每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命
表 初始准备金为 u 并且设
kn 第 k年年初时的被保险人数
c 被保险人每年所交的保险费
dk 第 k年内[k k+1]被保险人死亡的人数
fk 第 k年内[k k+1]被保险人退保的人数
qx 被保险人在[x x+1]内死亡的概率
tx 被保险人在[x x+1)内退保的概率
b 每个被保险人死亡时 保险人要支付的保
险金
e 每个被保险人退保时 保险人要退还的保险
金
易知 kk1kk fdnn ++= +
假设保费为年初收取 保险金与退保金均为年
末支付
财税金融 常利率双损失环境下的寿险破产概率
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定义 3 记 S(n)为到 n年年末保险公司支付
的理赔总额 U(n)为 n年年末保险公司的盈余 则
)()( nScnunU -+=
定义4 称 ( ) ( ) ( )( )00, ³<= ty UmUPnum
对某t t =1,2, ,m-1为给定初始准备金 u和初始
投保人 n时 第m年首次出现破产的概率
设 uk表示第 k年年初的准备金 且此时尚未收
取第 k年的保险费 vk表示第 k年年末的准备金
且此时尚未支付第 k 年年末的保险金及退保金 i
是常利率 则
( )( )i1cnuv kkk ++=
kkk1k efbdvu --=+
三 破产概率的计算
为了鼓励保险 保险公司由于被保险人的退保
而支付的退保金一般都小于退保人的保费支出 因
此 退保并不能直接导致公司的破产 但是 退保
人数达到一定程度后 可能会产生保费收入和初始
准备金不足以支付保额的情况 此时 破产发生
设初始准备金为 u1 0 时刻被保险人的总数为
1n 易知 在第一年内死亡人数为 j 退保人数为
k的概率分布服从参数为( ),t,q,n xx1 的三项分布
即
( ) ( ) ( )
kjn
xx
k
x
j
x
1
1
11
1tq1tq
!kjn!k!j
!n
kf,jdP ----
--
===
要使保险公司在第一年末不破产 则要求第一
年年初所收保费与初始准备金之本利和至少应等
于第一年未支付的保险金和退保金之和 即
( )( ) 1111 efbdi1cnu +=++
当死亡人数大于
( )( )
1
11 1 f
b
e
b
icnu
g -
++
=
时 保险公司在第一年末必发生破产 故第一年末
破产的概率为
( ) ( ) ( )åå= >
----
--
=
1
1
n
0k gj
kjn
xx
k
x
j
x
1
1
111 tq1tq!kjn!k!j
!n
n,uy
第一年末没发生破产时 则第一年末的准备金
为
( )( ) kejbi1cnuu 112 --++=
其中 [ ] [ ] 0,,1,.,,1,0 1 LL -== ggjnk
因此 保险公司在第m年末首次发生破产的概率有
如下递推公式
定理1
( ) ( ) ( )åå= >
----
--
=
1
1
n
0k gj
kjn
xx
k
x
j
x
1
1
11m tq1tq!kjn!k!j
!n
n,uy
( ) ( )åå= £
----
--
+
1
1
n
0k gj
kjn
xx
k
x
j
x
1
1 tq1tq
!kjn!k!j
!n
( )kjn,u 121m ---y
参考文献
[1]Gerber HU Life Insurance Mathematics Third Edction
Springer Verlag New York 1997
[2]复旦大学编写组 概率论[M]北京 人民教育出版社
1979
责任编辑 刘 宝
