应 用 数 学 学 报 l7 卷
和
此系统就变成丁
( ___ )(Pl+q2)x " I 丽 ／ +
：一 +z2+ { 2+[ cPl+q2 + z]z +n 2+ z+ )
。： +z + { = (pl+q2)z2+m z + 2+ +。 )．
根据定理 1可知当 0< 《 1时，此系统在原点外围出现两个充分大的极限环，它们
都是经微扰系统 (17)后，从无限大分界线环跳出来的．
这样，我们首次举出了内含焦点的无限大分界线环分支出两个极限环的二次系统的
例子，而且写出了系统的具体形状．
更有趣的是，我们还可以在满足推论 2条件的系统 (17)的基础上微扰系数 使得
从无限大分界线环直接跳出一个二重极限环．例如，我们在系统 (17)右端分别加上当
0< 0^《 1时的微 扰项 ．
ho
一
+
闻
2~ oo
。
(
、P~+q2) 和 [ 一 ](t71+q2) 2
=一 + 2+ { 2+[ h o +2v~o ,Pl+q2 + ] + 2+ + )
= + + { cP~+q2 2+m2xy+n2y2+mz )
根据定理 3可知，当0< 《 1时，此系统在原点外围出现一个充分大的二重极限环
它是系统 (17)经微扰系数后，从无限大分界线环跳出来的
致谢：作者对陈孝秋同志曾指出本文初稿中计算上的问题，并给予指正表示感谢
参 考 文 献
1】陈孝秋．一类二次系统存在 Poinc~re分支的条件， 汕头大学学植，1987，2(1)：12—16．
2】叶彦谦等 极限环论．上海：上海科学技术出版杜． 1984．88-88．
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1臼 斯 ，乡 瓦 哥 ，
第17卷 第4期 应 用 数 学 学 报 。
1994年 4月 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE sINICA
送 秘 }民
V01 17 No．4
Oct．， 1994
◇ 一s口
单纯形上B ernst ein多项式的迭代极限
陈 发 来
(中国科学技术大学数学系， 台肥 2300261 ~／zfi y
LIM IT 0F ITERATES F0R BERNSTEIN
P0LyN0M IALS DEFINED 0N A SIM PLEX
CHEN FALAI
Department。|Mathema~ics O'nlversi~y o|Science and Technology o|China Hefei 230026、
A bstract
This pape~determines explicitly the iterates for Bernstein polynomials defined Oil a
simplex by using asymptotical formula of Bernst,ein polynomials and mathematical induc-
rion
一
、 引 言
设 ，( )是定义在区间 [0，1】上的实值函数，与 ，( )相应的 n次 Bernstein
多项式定义成
用递推公式
耋 )( )一 ． (1．1)
B (，； )：=巩(B (，； )；z)， =2，3．⋯ (1．2)
f
来定义 Bernstein多项式的迭代，其中 B (，； )：=B (，； )．
Kelisky与 Rivlin( J首先研究了当 趋于无穷时， Bernstein多项式迭代函数的极
限．他们证明了，若极限 lim 蜩竽在 ( 依赖于 )，且 ，( )为一多项式，那么迭代极
限 lira B (，；z)也是一多项式，并且他们确定了该多项式．此后，文献 f2--41将上述结
果推广到一般正线性算子的情形．而文献 [5—7】则从另一个方向上加以推广，它们分别考
虑了矩形域及三角域上Bernstein多项式的迭代极限．其中向三角域上的推广相当困难，
用到了较高的技巧才得以解决 _7 J_本文的工作是在文献 [71的工作的基础上，通过归纳假
本文 1991年 5月 21日收到． 1992年 10月 12日收到修改稿．
国家自然科学基金资助和国家教委博士氨基金资助
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598 应 用 数 学 学 报 17卷
设，很方便地给出了单纯形上Bernstein多项式迭代极限的～般胜结果，．从而较完满地完
成了 Bernstein多项式迭代极限向高维 (非张量积)区域的推广．
下面我们先引入多重指标的概念
设 O-是 m维欧氏空间 中的单纯形，其顶点为 o， ．．， 、 中任一点 z可唯
一 地表为：
m
2 ，^ ， 【1．3)
其中 ^(j=0．1，一，m)非负，且 ∑ 0^，=1．称 ^= (^0，^1
重心坐标．
用 “ 表示 m+1重非负整数指标集．对于 d=(d0， 1，
ldl：=d0+d1+···+dm
d!：= d0】 1 1 ··dm!，
( ： )：= =
。^ ：= ^ ⋯ ^ ．
对于d， ∈ ，若 ，J=0，1，⋯ ，m，则记作n
个 < (0 m)成立，则记作 d< ．当 时，定义
( )
一 d
= (2)( 】( d)! d0／ d1／
( 一口0， l—al、---，
( )
m )．
^)为 。关于 的
， )∈ ，定义
(1．4)
(1．5)
(1．6)
(1 7)
若 0 且至少有一
(1．8)
(1．9)
又规定，e 表示第J个分量为 1其余分量为零的 m+1重指标．在不致混淆的情况
下，把 =(0 0，⋯ ，0)∈ ? 及 =(1，1，⋯ ，1)∈ 分别简记为 =0及 =1．
又对于 i=(io， 1，’， mj∈ 及 r=(r0，r1，⋯ ，r )∈ ，用记号 ET
_ 0 表示
m+1重和∑ ：。∑ ：。··∑0．
设 ，(^)是定义在 上的函数，与 ，(^)相应的 n次 Bernstein多项式定义成 ：
( )：=∑，(：) )， (1_10]
10 l n
a∈2
其中 (^)为 Bernstein基函数：
I
(^)：= 。． (1．11)
这里 ^=(^0，^1，⋯ ，^ )为重心坐标
同(1．2)一样，用B ( )^=B (B 。 (，；^)；^)来定义Bernsteln算子的迭代、我
们感兴趣的是当k趋于无穷时迭代函数的极限行为、本文的主要结论是下面的
定理 1．对固定的 ，迭代极限
lira B (肼)=∑，(e )～ (1．12)
j=o
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4期 陈发来 ：单纯形上 Bernstein多项式的迭代极限 599
望垡 数 謦5尽 于在单纯形顶点插值于原函数的线性函数．该定理表明了算子口t 具有某种“磨光”性质
．
定理 ·设 k是依赖于自然数 的非负整数，且 =t 0，则迭代极限
其中系数
。 ’( ；^)=∑ A f1．131
川 ‰一 ㈨
—
r e 0, 1_l5)
研 =e一 ， 0，1 ⋯ ， f1 161
这里 ，r∈z ．并约定(一-- 1)=1，( )=0 U 0)
在定理证明之前，我们先给出几个引理．
二、 引 理
引理 1．设 ，(^)是 上的二次可微函数，即 ，(^)∈C。( )．则
n(Bn(f；^)一，(柚)：Af(A)
于 ／9-上～一致成立-其中微分算子 A定义为
：— 一
p=tl薹 + p妻=O 妥． 0 U
(2 1)
(2．2)
此即 Bernstein算子的渐近展开式．
1f理 2．用 ( )表示 上次数不超过 d的多项式全体，假设如同定理．则对任意
的 f(A，∈％( J成赢着
(，；^)=A ，(^)、 (2．3)
⋯ ，
这里算子 = 川 =∑ ，．
以上两引理的证明都可以在 【8]中找到．
引理 3． At( )是首项为 F 』 的多项式．
证． 由 (2．2)式有
A(A )=一。 +∑。 ^一q． (2．4)
j=o
这 里
=
， ，一o， (2．5)
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600 应 用 数 学 学 报 17卷
即 A( )是首项为 一al IA 的多项式，其中各项系数绝对值之和不超过 (m+2)。 ．一般
地，易证 A ( )是一首项为 (一aI I) 的多项式，其各项系数绝对值之和不超过 ((m+
2)aI I) 注意到 At=∑ A ，引理 3立即得证．
y=o J：
三 、 定理的证明
定理 1的证明．
由定义 (1_1o)易知，Bernstein算子 是一正线性算子，它对线性函数是不变的，
即
(1；^)=1， B ( ；A)=AJ， =0，1，⋯ ，m (3．1)
且有
( (1-~j¨ )= 1- (1-Aj)，
邮 。A )=( 一 一 -( 一
这里 0 i0<i1<一 <i m．
我们先证，当 ，(A)为多项式时 (1 12)成立 为此只用证
熙 (A )^= ，^， =0，l，-，m，
B ：。^： ·__A ；A)=0， s>0．
这里 0 io<il< ·<i m，nJ D=0，1，⋯ ，m)为正整数．
由
0 ^一 ； =Aj(1一 )(1+ +·-+^ ? ) ( 一1)A (1一 )
及 (3．2)式，并利用算子 B 的正性得到
。 ( ；A)一 (A ；A)s(aj-1)(1一 ) ～(1一 )
在上式中令 一oo即得到 (3．4)式
为证 (3．5)式，不妨只证
由 (3 3)式得
(3．2)
(3．3)
(3 4)
(3．5)
(3．6)
(3．7)
熙 B (^ 。A 。 ；A)=0， s>0． (3 8)
B ( 。 ·^ ； )=( 一 ) ( 一 ) ．．( 一 ) 。 ．^ ． c3．9，
命 一 o。便有
l
—
im ( A1⋯A ；A)=0 (310)
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4期 陈发来 ：单纯形上 Bernstein多项式的迭代极限 601
再由
0
_
<AoAt A 一 A 。 ⋯ 。
= (A0一A 。)A1·-·A。+A 。(A1一A )A2··-A
+··+A A? ···A ’(A 一A )
(A0一A 。)+(A1一A ’)+···+(A 一A ) [311)
及算子 B 的正性得到
0 B (A0A1⋯A ；A)一B (A 。A ⋯A A)
B (A0一A ；A)+B C2)(a1一A ；A)+ +B (A 一A 一；A)
令 k—OO，并利用 (3．4)式及 (3．10)式便得到 (3．8)式
对于任意的 ，(^)，B (，，A)可分解为
f3．12)
m)= ) )， (3．13] J=0 a∈ 、 ，
其中 ：={ ∈ 十1I = ，n』< J=0，1，⋯ ，m)．于是
∑ ，) ( ；A)+∑，(：)B (A)；A)． (3_14) j
=o a∈I 、
在上式中令 k一∞，并利用 (3 4)式及 (3．5)式得到的便是 (1．12)式．
定理 2的证明． 我们对 加以归纳．
当 =0即 r=0时， (1．13)式两边都为 1．
当 =1即 r=ej(0 J m)时， (1．13)两边都为 A ．
假定对 =s，(1．13)式成立．下证对 =s+1，(1．13)仍成立
rj 2 1时，
e“( ，)=∑6 ，
其中
6 一
并注意到 6； =0统一在 (3．16)式之中．
设 At( )=∑ 0G 其中 Gt(0 r)待定
利用 A与 的可交换性及 (2．2)式得
f壹 ]
、 i=0 ／
证毕
由归纳假设知，当
(3．15)
f3．16)
卟l +∑arjA一，)． (3 17)
J=0
黠
∑
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602 应 用 数 学 学 报 17卷
利用 (3 15)把上式化成
妻G(-al,：iA~+ )— (妄 )+薹 ( )．c¨s，
对上式进行整理，并比较等式两边 的系数可得
∑。 6 ， 0 i r． (3．1g)
其中当 i不满足 i r时， =0．
(3．19)实际上给出了求 (0 i r)的递推公式 ：
f ， ， 、 I (
， 一 )，⋯ 。∞
按上述递推公式可由 = l按顺序 Iil=Irl一1，Irl一2，⋯ ，1，0求出所有的 (0
i
．
< ，即方程组 (3．19)确定的 G (0 i r)是唯一的 下面我们证明 0 ： 正是它的
解，也就是 eIA(A )=∑ 。bTA。成立． ‘
( +1)
r一 1 、
+勺一1／
一Jl1
一 e)}
( 二 n rr一 1
ij( J+1) 八 一1
塑 一 l、
rl- t r—i
(-1)t+lq+：t(at_alil) 一
( —1) r卜_1 ∑(
=
H
∑(一1)冲 (al l一
=
． (3 22)
钉
+
0 m∑
+
0
∑
堕
／-二
∑卅
一 一
—
∑
。
～
、 ．，／一 1 l一＼J 一 一一
^ 、 ，，●＼一
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4期 陈发来 ：单纯形上 Bernstein多项式的迭代极限 603
从上面两式得到
m m
∑nq 一∑n 1 =(nl }一nl 1) ． (3_23)
J一0 j=o
这说明 q = (0 i r)是方程组 (319)的唯一解，亦即 etA( )=∑ 由
归纳假设， (1．13)式成立． 证毕．
最后，我们给出两个推论．
推论 1．设 ，(A)∈G( ，且 =+o。，则
B (，；A)=∑ )A (3·24)
j=o
于 上一致成立．
证． 利用同定理 l完全相 同的证明可证，当 ，(A)为多项式时 (3．24)成立．
对于任意 ，(A)∈G( )及任意常数 E>0，由 Weierstrass逼近定理，存在多项式 p(A)
使得
l，(A) p(A)l<E (3．25)
对任意 A∈ 成立．
于是
再由算子 B 的正性有
从而
∑f(ej)~j一∑p(吼A <e
i=o i=o 1
日 (，：柚一B (p；A)<E
tn I I m
∑，(勺)A l lB (，：A)B ；A)l+lB ；A)一∑p(ej)lj
= 0 l ’ ，= 0
m
∑f(ej)Aj
j=o
⋯
lim lB)(f；A)--薹，c勺 l 。s
由 E的任意性便知 (3．24)成立．
推论 2· 设 ，(A)∈G( ，且 0，则
lim (，；A)=，(A)
(3．26)
(3．27)
(3．28)
(3．29)
(3 30)
e
p m∑
+
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604 应 用 数 学 学 报 l7卷
证． 由引理 2知，当 ，(A)为多项式时， lim B (，：A)=e0 ，(A)=，(A)、即 (3．30)
— '∞
式成立．同推论 1的证明类似，利用 Weierstrass逼近定理及算子 B 的正性知，对任意
，(A)∈e( ) (3．30)式于 上一致成立．
推论 3．设 ，(A)∈e( )，则等式
一lim (，；A)一，(A))=0 (3-31)
对任意 A∈ 成立的充要条件是 ，(A)为线性函数．
证 充分性显然，以下证必要性．为此先证明，若 1im =t，且极限 lim B (，； )
对任意 0存在，则 骂 B (，；A)= ，(勺)A -
当 ，(A)为多项式时，利用 (1．13)式容易知道上述结论成立 (这只需注意到，当 f 2
时， 日。。=0即可)．再利用Weierstrass逼近定理及算子 B 的正性知上述结论对任意
，(A)∈e( )成立
下面再回过头来证必要性
由 (3-31)知，对任意的 e>0，当 充分大后
B (，；A)一m )l< ． (3-32)
于是
IB (，；A)一m)l 圭f (，；A)一日 _1](，=A)l l (， 一，(A)l< (3l33)
j=1
令 一 t，则
再令 s一 0 便有
甄 B (，；A)一m)l 据
’(，；A)=，(A)
(3．34)
f3 35)
对任意 t 0成立、从而
)= )(，=A)=∑ j)A， (3．36
j=o
即 ，(A)为线性函数． 证毕
致谢： 本问题由常庚哲教授与冯玉瑜教授提出，在写作过程中，作者得到了他们的有益
指导与热情鼓励，在此表示衷心的谢意、
参 考 文 献
1】Ke1脯ky，R．P．and RivEn，T．J，I f驰es ofBerv．stei~Polyuomleds，P~c／fic J．otM,~th，L967，21(3)
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4期 陈发来 ：单纯形上 Be~stein多项式的迭代极限 6O5
2】Nilson．G M ，Rie~nfeM．R F and Weiss．N．A，Iterates of Markov Operators， Appvo Th，1976．
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3】IKarlin．S and Ziegler，z．Iteration of Positive Approximation Operators， Appro．Th，1970，lr
(3) 31{~339
4]胡莹生．撩叔贤，一类变差缩硪算子的选代极限． 应用敷学学报，1978，1(3)：240-249．
5]冯玉瑜，常庚哲．定义在矩形上的 Bernstein多项式的迭代极限， 工程数学学报 1984，1(2)：13~141
6]常庚哲，冯玉瑜．高维区域上的 Bernstein多项式的迭代极限． 科学通报，1985．36 f17)1285 1288．
7]陈发米．冯玉瑜， Limit of Iterates for Bergstein Pob~omials㈣ Simplex．第四届全国计算数学年会
论文集．天津． 1991 710—713
8】DahmenI W and Micchelli，C A，Convexity and Bernstein Po nomials 0n k=--simploids，Acta Math
Appl Sinica,1990，6(1)：50_66．
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森林苏 系 赫 ， 层 研
第17卷 第4期 应 用 数 学 学 报 Vol 17 No．4
1994 年 10 月 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA ．Oct．，1994
林龄面积转移方程解的性质
6 0 6一lfJ 于景元
(北京信息和控制研究所， 北京 ⋯ 。、 S 7／／
王 文蔚 魏 礼 平 李 延 保
(东南大学教学系， 南京 210018)
朱 广 田
(中国科学院系统科学研究所， 北京 100080)
PR0PERTIES 0F THE S0LUT10N 0F EV0LU T10N
F0R AN AGl STRUCTURED F0REST SQUARE
YU JINGYUAN
(Beifing Institute lnforma,~ion and Contra1．Be*jln9 1000000)
}fANG W ENW E1 W E1 LIPING LI YANBAO
(Southeast University,Nanjing 210018)
ZHU GUANGTIAN
(1r*stitute o／ lemj Sciencea,The Chinese Academy o／Sciences，Beifing IO00SO)
Abstract
In this paper，we prove the existence and uniqueness of the solution to an age-structured
forest equation by using the theory of Co—semigroup．The asymptotic and undulating char-
acteristic of the solution is obtained
森林发展系统的研究 (资源预测，采伐，控制)长期进行定性研究， 80年代定量研
究成了热课题 【-· ．这些研究所采用的模型属于开环系统．没有把森林的增生同森林的
自然死亡和人工采伐结合起来．但作为森林发展本身来讲，它们必然联系在一起．本文
是把森林的增生．采消结合成一个整体 (闭环系统)进行研究，此时描述森林系统的发展
本文 199]年 6月 10日收到．本文 1992年 11月 5日收到修改稿
国家自然科学基金资助课题
” 现 在在 中国矿 业大学 数 力系．
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4 期 于景元等 ：林龄面积转移方程解的性质 607
方程为
f + ( ， ： 州叫)3 {
p(r．0)=p0(r)． (1)
【p(o t)：7 p(r)p 咖en
其中 p(r．t)表示 t时刻林龄是 r的林龄面积分布密度函数． (rj表示生长的平均变化速
度． (r)表示初始状态．卢表示造林更新与采消 (自然死亡和人工采伐)面积之比． 表
示成活率，Q 表示最大龄级． (r)表示采消率．据实际意义，对 p(r)， (r)可作如下假
设 ： (r)>0，r∈【0．Qm)：对任意 >0， p(r)dr<。o ， ～ (r)打 =。。．
且
。 ： ， m (r)e~p ( M )幽西<+o。
J0
平均变化速度 (r)是 r的连续函数，且 (r】>0，r∈【0，Q 1l设
m：inf{ )j r∈【0，Q 】}， M=sup{ (r)I r∈【0，Q 】}
那么 (1)式等价于
(r， )= }(r)p(r， )
(3)
本文选取加权的Hilbert空间 ：(。)[o，q I=X作为状态空间·其中 ( )=exp【2
-1(s) (s)ds】内积和范数定义为，对 ∞． ∈X．
在 中定义线性算子 ，定义域 皿( )
皿c ：
1 d
i ：； ? ： 三 )
=一≯ (r)芸 {(r) (r)j— (r) (r)_ 皿( )．
此时与林龄面积转移方程 (1)相等价的发展方程 (3)在 X 中可写为抽象的发展方程
{ 呻】．
如 丽
m
0
，
=
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