第六章 因子模型和套利定价理论
（APT）
4为了得到投资者的最优投资组合，要求知道：
–回报率均值向量
–回报率方差-协方差矩阵
–无风险利率
4估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加
4引入可以大大简化计算量
–由于因子模型的引入，使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦
琐的任务得到大大的简化。
4因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种
新视点
–更准确
4CAPM与APT
–建立在均值—方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完
美的模型，它解释了为什么不同的证券会有不同的回报率。
除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在
70年代中期建立的套利定价理论(APT)。在某种意义上来说，
它是一种比CAPM简单的理论。
• 最优投资组合理论+市场均衡=CAPM
• 因子模型+无套利=APT
• CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化
的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均
值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假
设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组
合回报率的期望和标准差之上。
• 相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假
设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提
下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个
机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的
假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此
之间独立。
1. 因子模型 (Factor Model)
4实际中，所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子
模型。
4例子：市场模型
• 这里
• =在给定的时间区间，证券 i 的回报率
• =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率
• =截矩项
• =斜率项
• =随机误差项，
4例子：Flyer公司股票的下一个月回报率
–这里
– 表示实际月回报率
– 表示期望回报率
– 表示回报率的非期望部分
• 期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资
者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何
种因素影响回报率地全部了解。
• 回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导
致，例如
– News about Flyers’research
– Government figures released on the gross national product
(GNP)
– Results of the latest arms-control talks
– Discovery that a rival’s product has been tampered with
– News that Fleyers’sales figures are higher than expected
– A sudden drop in interest rates
– The unexpected retirement of Flyers’founder and
president
4Announcement = Expected part + Surprise
– The expected part of any announcement is part of the information the market
uses to form the expectation of the return on the stock.
– The surprise is the news that influences the unanticipated return on the stock.
4When we speak of news, then, we refer to the surprise part of any
announcement and not the portion that the market has expected and
therefore has already discounted.
4The unanticipated part of return---that portion resulting
from surprise---is the true risk of any investment.
–这里
•
• 由于系统原因导致的回报率的非期望部分
• 由于非系统原因导致的回报率的非期望部分
4经济系统中的某些共同因素影响几乎所
有的公司
–商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、
劳动和原材料的成本、通货膨胀率
–这些变量不可预期的变化将导致整个证券市
场回报率的不可预期变化
4定义1：因子模型（或者指标模型）是一
种假设证券的回报率只与不同的因子或
者指标的运动有关的经济模型。
4市场模型是一种单因子模型——以市场
指标的回报率作为因子。
4由于在实际中，证券的回报率往往不只
受市场指标变动的影响，所以，在估计
证券的期望回报率、方差以及协方差的
准确度方面，多因子模型比市场模型更
有效。
4 作为一种回报率产生过程，因子模型具
有以下几个特点。
– 第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券
价格的经济因素。
– 第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回
报率相关——一起运动——仅仅是因为它们对因子
运动的共同反应导致的。
– 第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是
该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部
分无关，也与因子的运动无关。
4因子模型在证券组合管理中的应用
–在证券组合选择过程中，减少估计量和计算
量
–刻画证券组合对因子的敏感度
4如果假设证券回报率满足因子模型，那么证券分析的基
本目标就是，辨别这些因子以及证券回报率对这些因子
的敏感度。
2.单因子模型
4把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指
标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其
余的不确定性是公司所特有的。
– 例如，国内生产总值GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。
–表6-1 因子模型数据
4 年份 GDP增长率 A股票回报率
41 % %
42
43
44
45
46
44%
–图6-1中，横轴表示GDP的预期增长率，纵
轴表示证券A的回报率。图上的每一点表示
表6-1中，在给定的年份，A的回报率与GDP
增长率的关系。通过线性回归分析，我们得
到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率
为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关
系。GDP增长率越大，A的回报率越高。
–写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增
长率之间的关系可以表示如下
•
• ()
• 这里
• =A在 t 时的回报率,
• =GDP在 t 时的预期增长率,
• =A在 t 时的回报率的特有部分,
• =A对GDP的预期增长率的敏感度,
• =有关GDP的零因子。
– 在图6-1中，零因子是4%，这是GDP的预期
增长率为零时，A的回报率。A的回报率对
GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的
斜率。这个值表明，高的GDP的预期增长率
一定伴随着高的A的回报率。如果GDP的预
期增长率是5%，则A的回报率为14%。如果
GDP的预期增长率增加1%——为6%时，则
A的回报率增加2%，或者为16%。
–在这个例子里，第六年的GDP的预期增长率
为%，A的实际回报率是13%。因此，A
的回报率的特有部分（由 给出）为
%。给定GNP的预期增长率为%，从A
的实际回报率13%中减去A的期望回报率
%，就得到A的回报率的特有部分%。
–从这个例子可以看出，A在任何一期的回报
率包含了三种成份：
• 1．在任何一期都相同的部分（ ）
• 2．依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分
• （ ）
• 3．属于特定一期的特殊部分（ ）。
4通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的最一般
形式：对时间 t 的任何证券 i 有
•
• ()
–这里， 是因子在时间 t 的因子的值，对在时间 t 的所有
的证券而言，它是相同的。 是证券 i 对因子 的敏感度，
对证券 i 而言， 不随时间的变化而变化。 是证券 i
在时间 t 的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为
，且与因子 无关的随机变量，我们以后简称为随机项。
–为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子
模型，从而省掉角标，从而()式变为
•
• ()
– 并且假设：
• 1．任意证券 i 的随机项 与因子不相关;
• 2．任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。
–假设1说明，因子具体取什么值对随机项没有影响。而假设2
说明，一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，
换言之，两种证券之所以相关，是由于因子对它们的共同影
响导致的。如果任何假设不成立，则单因子模型不准确，应
该考虑不同的因子模型。
4 对于证券 i 而言，其回报率的均值
– ()
–例子
–与Flyer公司股票回报率例子比较
4 对于证券 i 而言，其回报率的方差为
– ()
–例子
–定义2： 我们称()式中的 为因子风
险； 为非因子风险。
–对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为
• ()
4单因子模型具有两个重要的性质。
– 第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值-
方差分析中的估计量和计算量。
– 第二个性质与风险的分散化有关。
• 分散化导致因子风险的平均化。
• 分散化缩小非因子风险。
3 多因子模型
4经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对
将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远
的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一
的因子来刻画整个经济显然是不准确的。
4一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影
响。
• 1．GDP的增长率
• 2．短期国库券的利率水平
• 3． 长短期国债的收益率之差
• 4. 公司债与国债的收益率之差
• 5. 通货膨胀率
• 6. 石油价格
• 7. 技术进步
两因子模型，即，回报率生成过程包
括两个因子。
• 在 t 时的两因子模型方程为：
•
• ()
• 这里 和 是影响证券回报率的主要因素， 和
是证券 i 对两因子的敏感度。 是随机项，而 是零
因子回报率。
4例子
–表6-2 因子模型数据
4 年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率
41 % % %
42
43
44
45
46
– 证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期
值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证
券B的回报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的
关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图
中的点符合这个平面。这个平面的方程为
• 平面在GDP增长率方向的斜率（=）表示证券B的回报
率对GDP增长率变化的敏感度。
• 平面在通货膨胀率方向的斜率（=）表示证券B的回
报率对通货膨胀率变化的敏感度。
• 敏感度符号说明，当预期GDP增长率或者通货膨胀率增加
时，证券B的回报率相应地增加或者减少。
• 平面的截距表示B的零因子回报率为%。
• B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部
分。例如，B在第六年的随机项为3%。
4 和单因子模型一样，我们只考虑一期的
模型，所以省掉时间的角标。两因子模
型方程如下：
• ()
– 并且假设：
• 1．证券的随机项与因子不相关，
• 2．证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。
4期望回报率
4方差
4协方差
4 两因子模型具有单因子模型的重要性质。
– 1．有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少。
– 2．分散化导致因子风险的平均化。
– 3．分散化缩小非因子风险。
多因子模型
–一般形式
–不同形式
• 其中
–例子
44 套利机会
4何谓套利机会？最简单的说法是，不花
钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型
的套利机会。
–如果一种投资能够立即产生正的收益而在将
来不需要有任何支付（不管是正的还是负的）
，我们称这种投资为第一类的套利机会。
–如果一种投资有非正的成本，但在将来，获
得正的收益的概率为正，而获得负的收益
（或者说正的支出）的概率为零，我们称这
种投资为第二类的套利机会。
4任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如
果存在这样的套利机会，人人都会利用，从而与市场均
衡矛盾。所以我们假设市场上不存在任何套利机会。
4套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。
–每个投资者都会充分利用套利机会
–只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会
4近似的套利机会（almost arbitrage)
4性质
– 首先，证券的定价满足线性性质。
– 其次，有零的终端支付的证券组合，其价格一定为
零。
– 最后，证券的定价满足占优性质。
4例子：
– 假设经济环境由四个状态和两种证券构成，证券组合甲由11
份证券1构成。相关的信息特征如下表所示。
• 状态 证券组合甲
• 1 5 3 55
• 2 5 6 55
• 3 10 3 110
• 4 10 3 110
– 假设事件的概率为P({1})=，P({2})=，
P({34})=。两种证券的价格为 P1=4，P2=2，证券
组合甲的价格为 P甲=40。
4在这个经济中是否存在套利机会。
– 第一，P甲=4011 P1=44，这属于第一类套利机会。
– 第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构造新的证券组合乙：卖
空11份证券1，买入1份证券3。则证券组合乙的价格为
• 11（4）+1（40）0
• 证券组合乙在期末的支付为
• 状态 证券组合乙 概率
• 1 0
• 2 0
• 3、4 0
•
• 因此，P(证券组合乙的支付=0)=1，这是第一类的套利机会。
– 第三，定义证券组合丙：卖空10份证券1，买入一
份 证 券 3。 则 证 券 组 合 丙 的 价 格 为
10（4）+1（40）=0。证券组合丙在期末的支付为
• 状态 证券组合 概率
• 1 5
• 2 5
• 3、4 10
•
• 因此，P(证券组合丙的支付0)=1且P(证券组合丙的支付
0)=10。这是第二类套利机会。
45 套利定价理论(APT)
–假设1：市场是完全竞争的、无摩擦的。
–假设2：投资者是非满足的：当投资者具有
套利机会时，他们会构造套利证券组合来增
加自己的财富。
–假设3：所有投资者有相同的预期：任何证
券 i 的回报率满足因子模型：
•
• ()
• 这里，
• =证券 i 的随机回报率，
• =证券 i 对第 j 个因子的敏感度，
• =均值为零的第 j 个因子，
• =证券 i 的随机项。
–假设4： ， 与所有因子不相关且
–假设5：市场上的证券的种类远远大于因子
的数目 k 。
–因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合，
除非因子风险外，其行为是一致的。因此，所有具有等因子
敏感度的证券或者证券组合的期望回报率（或者说价格）是
一样的。否则，就存在第二类套利机会，投资者就会利用它
们，直到消除这些套利机会。这就是APT的实质。
4定义：如果一个证券组合满足下列三个条件：
– 1．初始成本为零；
– 2．对因子的敏感度为零：
– 3．期望回报率为正。
–我们称这种证券组合为套利证券组合。
4 注：严格的说，套利证券组合应该具有零的非因子风
险。但是，APT假设通过分散化，这种风险非常小，以
至可以忽略。
例子：（单因子模型）假如市场上存
在三种股票，每个投资者都认为它们满
足因子模型，且具有以下的期望回报率
和敏感度：
– i
– 股票1 15%
– 股票2 21%
– 股票3 12%
4假设某投资者投资在每种股票上的财富为4000元，投资
者现在总的投资财富为12000元。
–首先，我们看看这个证券市场是否存在套利
证券组合。 显然，一个套利证券
组合 是下面三个方程的解：
• 初始成本为零：
• ()
• 对因子的敏感度为零：
• ()
• 期望回报率为正：
• 满足这三个条件的解有无穷多个。例如，=(,,)就是一个套利证券组
合。
• 这时候，投资者如何调整自己的初始财富12000元
–总之，对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资
者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要
成本，没有因子风险，却具有正的期望回报率。
4套利证券组合如何影响投资者的头寸
– 在上面的例子，因为(,,)是
一个套利证券组合，所以，每个投资者都
会利用它。从而，每个投资者都会购买证
券1和2，而卖空证券3。由于每个投资者
都采用这样的策略，必将影响证券的价格，
相应地，也将影响证券的回报率。特别地，
由于购买压力的增加，证券1和2的价格将
上升，而这又导致证券1和2的回报率下降。
相反，由于销售压力的增加，证券3的价
格将下降，这又使得证券3的回报率上升。
–这种价格和回报率的调整过程一直持续到所
有的套利机会消失为止。此时，证券市场处
于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不
需要成本、没有因子风险的证券组合，其期
望回报率必为零。
–无套利时，三种证券的期望回报率 和因子
敏感度 满足，对任意组合 ，如
果
–则必有
• ()
•
–根据Farkas引理，必存在常数 和 ，使得
下面的式子成立
– 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%， =4%。这将导
致证券1、2、3的均衡回报率为%, %, %.
–图6-3说明了套利定价关系()。在均衡时，
所有的证券都落在套利定价线上。常数 的
一个自然解释是，它表示均衡时因子的风险
酬金。而 表示无风险利率。
4如何求
例子：（ 二因子模型）假如市场上存
在四种股票，每个投资者都认为它们满
足因子模型，且具有以下的期望回报率
和敏感度：
– i
– 股票1 15%
– 股票2 21%
– 股票3 12%
– 股票4 8%
4假设某投资者投资在每种股票上的财富为5000元，投资
者现在总的投资财富为20000元。
–首先，我们看看这个证券市场是否存在套利
证券组合。 显然，一个套利证券
组合 是下面四个方
程的解：
• 初始成本为零：
• ()
• 对因子的敏感度为零：
• ()
• 期望回报率为正：
• 满足这四个条件的解有无穷多个。例如，=(, , , )就是一个套利
证券组合。
• 这时候，投资者如何调整自己的初始财富20000元
–因为，(, , , )是一个套利证
券组合，所以，每个投资者都会利用它。
从而，每个投资者都会购买证券1和2，而
卖空证券3和4。由于每个投资者都采用这
样的策略，必将影响证券的价格，相应地，
也将影响证券的回报率。特别地，由于购
买压力的增加，证券1和2的价格将上升，
而这又导致证券1和2的回报率下降。相反，
由于销售压力的增加，证券3和4的价格将
下降，这又使得证券3和4的回报率上升。
–这种价格和回报率的调整过程一直持续到所
有的套利机会消失为止。此时，证券市场处
于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不
需要成本、没有因子风险的证券组合，其期
望回报率必为零。
–无套利时，四种证券的期望回报率 和因子
敏感度 ，对任意组合
， 如果
–则必有
• ()
•
–根据Farkas引理，必存在常数 ， ，
使得下面的式子成立
– 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%， =4%， =-2%
。这将导致证券1、2、3、4的均衡回报率为%, 17%,
%, %.
4如何求 ，
一般情形
– 选择证券组合 ，使其成本为0
–回报率为
–为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因
子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：
• 1）所选的每个权充分小；
• 2）所包括的证券种类尽量多；
• 3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。
– 用数学式子表示，这些条件是
•
• 是一个很大的数
• 对每个因子而言，
»
»
–因为随机项是独立的，由大数定律，当 越来越大时，随
机项的加权和趋向于零。换言之，通过分散化，不需要花任
何成本就能消去非因子风险。因此，我们得到
–
–在形式上看起来，这是一个随机量。但是，
由()式，证券组合的每个因子敏感度为
零，所以，所有的因子风险为零。由于我们
选择的权消除了所有的风险，最后，证券组
合的回报率变成了一个常数。()式变成
了
• ()
–在我们构造的证券组合的过程中，投资者既
不需要成本，也不承担风险，如果构造的证
券组合的回报率不为零，它就是一个套利证
券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。
因此，满足条件()-()的证券组合，其
回报率一定为零，即，
• ()
4 证券市场无套利时，证券的期望回报率和因子敏感度
满足下列性质：
– 对任何向量 ，
• 如果它既垂直于单位常向量，
• 又垂直于每个因子敏感度向量，
• 则它一定垂直于期望回报率向量，
4 由Farkas引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常
向量和因子敏感度向量的线性组合，即，存在个 k+1
常数，使得
•
• ()
6 APT在投资组合策略中的应用
4投资组合构建的决策
–套利定价理论对系统风险进行了细分，使得投资者容易接受，
而且又能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因而
可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合策略更具有
指导意义。
–投资组合的构建策略，首要的是选择一个自己最愿意接受的
风险水平，其次是通过恰当的交易，使得组合达到预定的位
置。
例子
4假设影响证券收益的系统因素是通货膨胀的意外发生和
工业生产率的意外发生。
4投资组合的策略分析
–投资基金是一种典型的投资组合。对投资基金管理者而言，
选择最佳的风险模式，就是选择最佳的因素敏感系数的组合。
为此，我们必须了解基金发起者和收益者的经济状况和特征，
而这又取决于他们所处的市场环境。
7 APT与CAPM的区别和联系
4区别
–假设
–利用的经济学原理
–结论
4因子模型与CAPM的区别
–因子模型不是均衡模型
–在CAPM中，Beta值相同的证券回报率相同
–在因子模型中， 相同的证券回报率不一定相同
–例子：
4如果CAPM和APT假设均成立
–因子是市场证券组合
–因子不是市场证券组合
8 因子的识别
4要利用APT来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的
类别。经验证明，这些因子具有以下特征：
–（1）它们应该包含表明总的经济行为的指标；
– （2）它们应该包含通货膨胀；
– （3）它们应该包含某种利率。
– 直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利的折现值，而将来的红
利与总的经济行为有关，折现率与通货膨胀率和利率有关，所以，重
要的因子应该包含这几个要素。
43到5个因子
4例子：
–工业生产的增长率
–通货膨胀率
–长短期利率差
–优劣债券回报率之差
4例子
– GNP增长率
–利率
–石油价格变化率
–国防开支增长率
4宏观经济学，微观经济学，产业组织，基础分析
9 因子模型的估计
4时间序列方法(Times-series approaches)
–最直观的方法
–假设投资者事先知道影响证券回报率的因子
–准确度量因子值是关键
–因子体现的是没有预测到的变化
4横截面方法(Cross-sectional approaches)
–先估计敏感度，再估计因子的值
–与时间序列方法的区别
–经验因子、基本因子
4因子分析方法(Factor-analytic approaches)
–既不知道因子的值，也不知道对因子的敏感度
10 对套利模型的实证研究
4验证影响证券收益的因素是否只有一个；
4到底是哪些因素影响证券的收益。
–公司规模，股票帐面价值于市场价值之比，市场超额收益
4Empirical Models
– The world empirical refers to the fact that these
approaches are based less on some theory of how
financial markets work and more on simply looking for
regularities and relations in the past history of market
data. In these approaches the researcher specifies some
parameters or attributes associated with the securities in
question and then examines the data directly for a
relation between these attributes and expected returns.
– Size
– the ratio of the price of a stock to the accounting
earnings(P/E)
– the ratio of the market value of the stock to the book
value of the company(M/B)
谢 谢
三月-
2209:42:0509:4209:4
2三月-22三月-
2209:42
09:4209:42:05
三月-22三月-
2209:42:05
2022/3/24 9:42:05
