第五章 抽样与参数估计
重点：抽样推断的概念、抽样误差、抽
样平均误差、参数估计的基本方法、样
本容量的确定
1
第一节 抽样推断的一般问题
抽样推断的意义
抽样推断是在抽样调查的基础上，利用样本的
实际资料计算样本指标，并据以推算总体相应
数量特征的一种统计方法。
抽样推断具有以下特点：
抽样推断是由部分推算整体的一种认识方法。
抽样推断是建立在随机取样的基础上。
抽样推断是运用概率估计的方法。
抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。
2
抽样推断的内容
推断的前提是我们对总体的数量特征不
了解或了解很少，但是利用抽样推断的
方法去解决这类问题，可以有两种途径，
因此，抽样推断的内容就有两个方面，
即参数估计和假设检验。这两方面的内
容虽然 都是利用样本观察值所提供的信
息，对总体做出估计或判断，但它们所
解决问题的着重点是不同的。
3
一、参数估计。由于我们不知道总体数量特征，可以
这样考虑即依据所获得的样本观察资料，对所研究对
象总体的水平、结构、规模等数量特征进行估计，这
种推断方法称为总体参数估计。
二、假设检验。由于我们对总体的变化情况不了解，
不妨先对总体的状况作某种假设，然后在根据抽样推
断的原理，根据样本观察对所作假设进行检验，来判
断这种假设的真伪，以决定我们行动的取舍，这种推
断方法称为总体参数的假设检验。
4
有关抽样的基本概念
一、总体和样本。总体也称全及总体，指所要
认识研究对象的全体。它是由所研究范围内具
有某种共同性质的全体单位所组成的集合体。
总体的单位数通常是很大的，甚至是无限的，
一般用N表示总体的单位数。
样本又称子样，它是从全及总体中随机抽取出
来的们作为代表这一总体的哪部分单位组成的
集合体，样本的单位数是有限的，相对值或标
志属性决定的。一个全及指标的指标数值是确
定的、唯一的，所以称为参数。
5
二、总体参数何样本统计量。对于总体中
的数量标志，常用的总体参数有总体平均
数和总体方差，用 和 表示。
总体参数 样本统计量
平均数
成数
方差
标准差
6
三、样本容量和样本个数
样本容量是指一个样本包含的单位数。
样本个数又称样本可能数目，是指从一
个总体中可能抽取多少样本。和样本容
量以及抽样方法有关。
7
四、重复抽样和不重复抽样
重复抽样也称置回抽样，它是指每次抽取一个
样本登记后在放回总体中参加下一次抽取。也
就是说每一个样本单位都有被重复抽取的可能。
从总体N个单位中，用重复抽样的方法，随机n
个单位构成一个样本则共可抽取 个样
本。
8
例如：总体有A、B、C、D四个单位，要
从中以重复抽样的方法抽取两个单位构
成样本，先从四个单位中取1
个，有四种取法，结果登记后再放回，
然后再从四个单位中
取1个，也有四种取法，前后取两个构成
样本，全部可能抽取的样本数目为
4×4=16个。
9
不重复抽样也称置回抽样，它是指每次
抽取一个样本登记后不放回总体中参加
下一次抽取。也就是说每一个样本单位
只有一次被抽取的可能。
从总体N个单位中，用不重复抽样的方法，
随机n个单位构成一个样本则共可抽取N
（N-1）（N-2）…（N-n+1）个样本。
10
不重复抽样 P93
考虑顺序的不重复
抽样
不考虑顺序的不重
复抽样
11
例如：总体有A、B、C、D四个单位，要
从中以不重复抽样的方法抽取两个单位
构成样本，先从四个单位中取1个，有四
种取法，然后再从三个单位中取1个，有
3种取法，前后取两个构成样本，全部可
能抽取的样本为4×3=12个。
12
第二节 抽样误差
（1）抽样误差
①概念
是指在遵守随机原则的条件下，用抽样总体指标估计
或推断全及总体指标所不可避免的误差。
②具体内容
③特点
a.是抽样调查所固有的，不可避免
b.它是个随机变量
c.它是实际误差（理论误差），无法计算 13
（2）抽样平均误差（可以计算）
①概念 简称平均误差，是指所有可能组成的样
本的抽样平均数或抽样成数与总体平均数或总
体成数的平均误差。
注意：抽样误差的平均数不是算术平均，而是
标准差式的平均。
②意义
抽样平均误差越大，则表示样本的代表性低
抽样平均误差越小，则表示样本的代表性高
③计算 14
抽样平均误差分反映抽样误差一般水平的指标。
抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的标准
差。抽样平均数（或成数）的标准差是按抽样
平均数（或成数）与其全及总体平均数（或成
数）离差平方和计算的。但由于抽样平均数的
平均数等于总体平均数，而抽样成数的平均数
等于总体成数，抽样指标的标准差恰好反映了
抽样指标和总体指标的平均离差程度。
15
①样本平均数的数学期望值即样本平均数
的平均数
a.定义式
16
b.推导式
②样本平均数的方差（ ）
或标准差（ ）
17
样本平均数的标准差即为平均数的抽样平
均误差（抽样标准误差）。
所以，平均数抽样平均误差的计算为：
18
影响抽样误差大小的因素主要
有：
1、总体各单位标志值的差异程度。抽样误差的
大小和总体标准差的大小成正比例关系。
2、样本单位数。抽取样本单位数越多，抽样误
差越小；抽取样本单位数越少，抽样误差越大。
抽样误差的大小和样本单位数的平方根成反比
例关系。
3、抽样方法。不重复抽样误差比重复抽样误差
小。
4、抽样调查的组织形式。选曲不同的抽样组织
形式，也会有不同的抽样误差。 19
简单随机抽样下的抽样平均误
差的计算
一、抽样平均数的抽样误差
（1）重复抽样条件下，抽样平均误差和总体的
变异程度以及样本容量大小两个因素有关，它
们的具体关系如下：
从这一公式可以看出，抽样平均误差的大小和
总体标准差成正比变化。
20
（二）在不重复抽样的条件下，抽样平均
数的平均误差不但和总体变异程度、样本
容量有关，而且还要考虑总体单位数的多
少。它们的关系如下：
21
总体方差是未知的，解决方法
1.用估计的材料
2.用过去的差所得到的材料。如果有几个不同
的总体方差的材料，则应该用数值较大的。
3.用样本方差材料代替总体方差
4.如果既没有过去的材料，又需要在调查之前
就估计出抽样误差，可以在大规模调查之前，
组织一次小规模的试验性调查
22
二、抽样成数的平均误差。
抽样成数的平均误差表明各样本成数和
总体成数绝对离差的一般水平。由于总
体成数可以表现为总体
是非标志的（0，1）分布的平均数，而
且它的方差也可以从总体成数推算出来，
即：P与P（1-P）。 因此容易从抽样平
均数的抽样平均误差和总体标准差的关
系推算出来。
23
（一）在重复抽样条件下：
24
（二）在不重复抽样条件下：
25
以上计算过程中如无总体方差时，可用
样本方差代替。
总体成数一般是不知道的，用过去资料
代替，选用最大的方差。
成数方差的最大值是（1－）＝
，当两类总体各占一半时，它的变
动程度最大。因此选用最大值，也就是
选用最接近的方差值。
26
例
已知总体方差为1000元， 总体单位数为
4个，样本单位数为2个，用不重复抽样
的方法计算抽样平均误差。
27
例：要估计某地区10000名儿童的入学率，
随机抽取400名，检查有320名儿童入学，
求抽样入学率的平均误差。
根据已知条件：
1、在重复抽样
条件下：
28
2、在不重复抽样条件下：
29
三、抽样极限误差
抽样极限误差（抽样允许误差）是从另一个角度考虑
抽样误差问题。以样本的抽样指标来估计总体指标，
要达到完全准确毫无误差，这几乎是不可能的，所以，
在估计总体指标的同时就必须考虑估计误差的大小。
我们不希望误差太大，误差愈大样本的价值愈小。但
也不是误差愈小愈好，因为在一定限度之后减少抽样
误差势必增加很多费用。所以，在作抽样估计时，应
该根据所研究的变异程度和分析任务的要求确定可允
许误差的范围，在这个范围内的数字都算是有效的。
30
概念
允许误差：指样本和总体指标之间误差的可能
范围。
由于总体指标是一个确定的数（未知的常数），
而样本指标（随机变量）则是围绕总体指标上
下波动的，它与总体指标之间既有正离差，也
有负离差，样本指标变动的上限或下限与总体
指标之差的绝对值就可以表示抽样误差的可能
范围，我们将这种以绝对值形式表示的抽样误
差的可能范围称为抽样极限误差。
31
用
表示抽样平均数极限
误差和抽样成数极限
误差。
32
根据数理统计证明：
33
概率度t与置信度F(t)
置信度：是指总体指标落在某一区间内的概率
保证程度，常用概率函数F(t)表示。
概率度：用抽样极限误差除以相应抽样平均误
差得出的相对数称为概率度，它表示抽样极限
误差的范围为抽样平均误差的若干倍。
34
t（概率度） 置信度（概率） 抽样误差范围
35
第三节 参数估计
一、参数估计需要解决的问题
参数估计就是以所计算的样本指标来估计相应
的总体指标，需要解决下面三个问题：
1.针对待估的总体指标，根据样本构造一个合
适的统计量，作为该总体指标的估计量。
2.对所构造的估计量的优良性作出判断，并在
必要时进行修正。（无偏性、一致性、有效性）
3.在给定的可靠程度下，求出抽样估计的极限
误差。
36
二、参数估计的形式
1.点估计（定值估计）
对于总体的未知参数 ，由样本构造统计量 对其
作出估计，则称 为 的估计量。即不考虑抽样
误差，直接从样本指标来推断全及总体指标。
在多个估计量中，由于估计量是水机变量，选择一个优
良性估计量，需要明确优良性估计量的标准：无偏性、
有效性、一致性。
37
2.区间估计
（1）总体平均数的区间估计
由 得
38
如果估计区间越大，则可靠程度(概率保
证程度 ) 越大；估计区间越小，则可靠
程度越小。
而估计区间又与抽样极限误差有关，在
一定的抽样方式下，抽样极限误差又是
由概率度t决定的。因而可靠程度与t之间
有一定正比关系。
39
(2) 总体成数的区间估计
由
40
例：
某灯泡厂某月生产5000000个灯泡，在进行质
量检查中，随机抽取500个进行检验，这500
个灯泡的耐用时间见下表：
试求：⑴该厂全部灯泡平均耐用时间的取值范
围（概率保证程度）
⑵检查500个灯泡中不合格产品占%，试在
概率保证下，估计全部产品中不合格率
的取值范围。
(3)如果耐用时间在1000小时以上为优等品,估
计优等品率在%的概率保证下的范围 41
耐用时间（小时） 灯泡数
f
组中值
x
xf
800～850 35
850～900 127
900～950 185
950～1000 103
1000～1050 42
1050～1100 8
合计 42
由概率保证程度，查表
得概率度t=3
43
p=%
概率保证程度为时，t=1
44
优等品率P=50/500=
总体总量指标的
推算
即用样本指标或总
体指标（总体平均
数和总体成数）的
区间估计值乘以总
体单位数来推算总
体总量指标
45
测试题:
财经名录共有400页,现随手翻看(可重
复)40页,发现其有2页印刷不良,试求全
书印刷不良页数的95%信赖区间.
p= t=
≤P ≤
0 ≤P ≤
0≤400P ≤400×
0 ≤400P ≤47
46
小结：在作区间估计时，同时
要作两方面的判断
第一，误差范围的判断，即总体指标在哪两个
数值范围之间。这个判断说明的是区间估计的
准确程度。
第二，把握程度的判断，表现为概率值。它说
明的是作上述范围判断的可靠性。
两个判断的关系：
准确程度高（即误差范围小），则把握程度低；
准确程度低（即误差范围大），则把握程度高。
47
一对矛盾
48
第四节 样本容量的确定
㈠影响必要样本容量的因素
⒈总体各单位标志变异程度
即总体方差或p(1-p)的大小。总体标志变异程
度大，要求样本容量大一些；反之，总体标志
变异程度小，样本容量可以小些。
⒉允许的极限误差 或 的大小
允许的极限误差越大，样本容量越小；反之，
极限误差越小，样本容量越大。
49
⒊抽样方法
在其它条件相同的情况下，重置抽样比不重置
抽样要抽取多一些样本单位。
⒋抽样方式
例如，采用类型抽样的样本容量要小于简单随
机抽样的样本容量。
抽样推断的可靠程度即概率度F(t)的大小
推断的可靠程度要求越高即F(t)越大，样本容
量越多；反之，推断的可靠程度要求越低，样
本容量越少。 50
㈡必要样本容量的计算公式
⒈重置抽样的必要样本容量
⑴平均数的必要样本容量,由
51
⑵成数的必要样本容量,由
52
⒉不重置抽样的必要样本容量
⑴平均数的必要样本容量,由
53
⑵成数的必要样本容量,由
54
有几个样本容量怎样选择？
应该采取样本单位数较大的方案
55
本章小节与作业
统计学原理学习指导：P78－80，第14题、
15题。
56
