统计与决策 !""#年 $月!理论版"
摘 要!本文根据实际情况将利率作为变量!建立了可变利率下的寿险纯保费精算模型!从而对
将利率看作常数的当前使用的寿险纯保费精算模型进行了改进"
关键词!利率分布#寿险#纯保费精算
中图分类号!%!!&’( 文献标识码!) 文章编号!$**!+,&-#"!**##*$+**!$+*!
可变利率下寿险纯保费精算模型的改进
梁来存
.湘潭大学 商学院#湖南 湘潭 &$$$*/0
利率是经常变化的$假设变利率是相关的#一般可用 )1
.自回归2模型3或用水平模型#或基于水平模型的利率结构转
换模型来描述利率的波动$ 利率的波动可归结为两种情况%
第一种情况是利息强度是连续变化的&第二种情况是利率是
离散变化的$由于第二种情况是实际中最常见的#因此#本文
主要探讨利率离散变动下的纯保费精算模型$
根据利率函数的概率分布情况#分三种情况加以探讨$
!! !各年利率取不同的确定值
首先#我们考虑各年利率取不同的确定值的情况$ 这是
对当前的精算模型中各年利率相同这一条件的放宽#此时的
利率函数不再是固定的#而是一阶梯函数$ 假设第 4 年的利
率是 $3!37!2#则第 8 年末一元的现值为
8
4 6 $
!9:;542+:.86:3!3
7!2#由此可得.<2每年给付一元的期初付终身生存年金的现
值为%
=<6:;
>
8 6 :
"
8
4 6 :
!9:;542+# $: 8?<% &
同理可得9<2保险金额为一元的死亡年末给付终身寿险
的精算现值%
)<6
>
8 6 *
"
8;:
4 6 :
!9:;542+# ’: 8?<@<;8% &
与之对应的年缴纯保费为%
A<6 )<=<
同理可得 B 年期死亡年末给付的定期寿险的趸缴纯保
费和年缴纯保费!全期缴费"分别为%
)$<CB6
B+:
8 6 *
"
8;:
4 6 :
!9:;542+# ’: 8?<@<;8% &
A:<B6 )
:
<CB
=<3B
6
B+:
8 6 *
"
8;:
4 6 :
!9:;542+# ’: 8?<@<;8% &
:;
B+:
8 6 :
"
8
4 6 :
!9:;542+# ’: 8?<% &
上述模型考虑了各年利率取不同值的情形#因此比当前
的的精算模型有了较好的改进$ 但是#它仍存在一定的局限
性%它仍属于确定利率型的模型$事实上#我们对未来利率并
没有十分的把握#从理论研究来说#对将来利率变化对费率
厘定影响的认识越细#在实际中就越容易计算出符合实际的
费率$ 因此#有必要探究利率随机变化下的精算模型$
"! !各年利率的联合分布是有限离散概率分
布下的精算模型
各年的利率分布是有限离散的概率分布#亦即未来利率
有有限种可能的趋势$ 假定第 4 年的利率用 54表示# 则95:35!3
57!2构成一个利率向量#各年利率的联合分布是有限离散概
率分布#也就是说 95:35!357!2这个利率向量的可能取值只有有
限个#假设为 D 个#记作9E5$3E5!3E57!2#E6$!373!3D$ 假设取各个值
的概率分别为 ?9E2#E6$3!3!3D#则
D
E 6 $
"?9E26$$
对应于利率向量的各个取值#以 E=< 表示9<2每年一元期
初付终身生存年金现值#以 E)< 表示9<2保险金额为一元的死
亡年末给付终身寿险的精算现值#则%
E=<6$;
>
8 6 $
"
8
4 6 $
!9$;E542+# ’$ 8?<% &
E)<6
>
8 6 (
"
8;$
4 6 $
!9$;E542+# ’$ 8?<@<;8% &
在此利率分布下#9<2的保险金额为一元的死亡年末给付
终身寿险的趸缴纯保费均值和方差分别为%
F9)<06
D
E 6 :
"G?9E0E)<H
IJK9)<06
D
E 6 $
"L?9E0GE)<+F9)<0H!M
年缴纯保费的均值和方差分别为%
F9A<06
D
E 6 :
" ?9E0’E)<
E=<% &
基金项目!湘潭大学博士和博士后专项课题$*/NOP!(%
理 论 新 探
!"
万方数据
统计与决策 !""#年 $月!理论版"
%&’()*+,
-
. , /
! 0(.+# .1*
.2*
34()*" #+$ %!
同理可得 5 年期定期寿险的趸缴纯保费均值和方差分
别为$
4(1$*5+,
-
. , $
!60(.+1$*57
,
-
. , /
!0(.+
53/
8 , 9
!
8:/
; , /
&(/:.<;+3’ (/ 80*=*:8" )" )
%&’(1/*>5+,
-
. , /
!?0(.+
,
-
. , $
! 0(.+
53$
8 , 9
!
8:$
; , $
&($:.<;+3’ ($ 80*=*:8" )34(1$*>5" )+$ %!
全期缴费的 5 年期定期寿险的年缴纯保费均值和方差
分别为$
4()$*>5+,
-
. , $
! 0(.+ .1$*>5
.2*>5" )
,
-
. , $
! 0(.+
53$
8 , 9
!
8:$
; , $
&($:.<;+3’ ($ 80*=*:8" )
$:
53$
8 , $
!
8
; , $
&($:.<;+3’ ($ 80*" )
*
+
+
+
,
-
.
.
.
/
%&’()$*>5+,
-
. , $
! 0(.+ .1$*>5
.2*>5
34!)$*>5" )"
!$ %
,
-
. , $
! 0(.+
53$
8 , 9
!
8:$
; , $
&($:.<;+3’ ($ 80*=*:8" )
$:
53$
8 , $
!
8
; , $
&($:.<;+3’ ($ 80*" )
34()$*>5
*
+
+
+
,
-
.
.
.
/
+
!0
22
1
22
3
4
22
5
22
6
其他各险种%如 5 年期两全保险%以及限期缴费情况下
的趸缴纯保费& 年缴纯保费的均值和方差的计算可依此类
推’ 根据其均值和方差%我们能够估计出相应险种的纯保费
并预测其利率风险(
!! !各年的利率相互独立且服从同一概率分
布的情形
假定每一年的利率为一组待定数值中的一个或者处于
一待定数值范围之内%并且由一给定的概率分布所决定(
假设第 ; 年的利率为 <;(;,$A!ABA!A5+%则第 8 年末一元的
现值为
8
; , $
&($:<;+3$(8,$A!AB5!A5+( 由此可得(*+的保险金额为一
元的的死亡年末给付 5 年定期寿险精算模型为$
1$*>5,
53$
8 , 9
!
8:$
; , $
&($:<;+3’ ($ 80*=*:87 )
假设 46($:<;+3$7,-$A46($:<;+3$7!,-!%由各年利率的独立性可
得$
4(1$*>5+,
53$
8 , 9
!(*0*=*:8-$8:$+
当 5,$ 时%由 1$*>$,($:<;+3$=*A4(1$*>$+,=*-$A4)(1$*>$+!*,=*!#-!
可得$%&’(1$*>$+,46(1$*>$+!7364(1$*>$+7!,=*!(-!3-$!+(
因为 1$*>5,1$*>53$:
5
; , $
&($:<;+3’ ($ 53$0*=*:53$% 所以有如下方差
递推式$
%&’(1$*>5+,
%&’(1$*>53$+:%&’
5
; , $
&($:<;+3’ ($ 53$0*=*:53$$ %
:!CDE 1/*>53/A
5
; , /
&(/:<;+3’ (/ 53/0*=*:53/$ %
现分别计算上式的后两项%由各年利率的独立性可得$
%&’
5
; , /
&(/:<;+3’ (/ 53/0*=*:53/$ %,(53/0*=*:53/+!(-!53-/!5+
!CDE 1/*>53/A
5
; , /
&(/:<;+3’ (/ 53/0*=*:53/$ %
,!4 1/*>53/
5
; , /
&(/:<;+3’ (/ 53/0*=*:53/$ %3!4(1/*>53/+
4
5
; , /
&(/:<;+3’ (/ 53/0*=*:53/$ %
,!53/0*=*:53/
53!
8 , "
!(80*=*:8-!8:/-/5383/+3!53/0*=*:53/
53!
8 , "
!(80*=*:8-/5:8:/+
,!53/0*=*:53/
53!
8 , "
!(80*=*:8-/5383/+(-!8:/3-/!(8:/++
如果知道 <;的分布%就可以得到 -/+-!%再由 4(1/*>5+,
53/
8 , "
!
(80*=*:8-/8:/+&%&’(1/*>/+,=*!(-!3-/!+以及递推公式就可以求得 5
年期定期寿险现值函数的均值和方差(根据同样的原理可以
得到生存年金现值函数的均值和方差%据此便可估计其年缴
纯保费并预测其利率风险(
上述方法也同样适应于终身寿险和两全保险( 实际上%
终身寿险可以看作期限为人类最长寿命的定期寿险(如果使
用我国的经验生命表% 终身寿险就等同于 /"F 年的定期寿
险% 因为在我国生命表中%/9F 岁的人在一年之内的死亡概
率为 /(
参考文献!
6/7李秀芳!傅安平G寿险精算6H7G北京"中国人民大学出版社!!""!G
6!7IGJGKDLM’NG"精算数学6H7G余跃年!郑温瑜译G上海"科学技术出版
社!/OOPG
6B7Q R SMTT<ND5G 利息理论 6H7G尚汗翼译 G上海 "科学技术出版社 !
/OOPG
6U7谢赤!吴伟雄G一个基于水平模型的利率结构转换模型6V7G系统工
程!!99!#$$G
"责任编辑 W浩 天#
理 论 新 探
!!
万方数据
