最优消费投资与破产保护* 杨金强1, 2 杨招军1,† (1. 湖南大学金融与统计学院，长沙 410079；2. 上海财经大学金融学院，上海 200433) 摘要：本文考虑一个面临经营性风险（非系统风险）的企业家，在给定的债务及企业所得税率下，如何通过消费平滑、企业资本投资、破产保护以及金融风险投资，实现消费效用最大化的公司金融问题。本文得到了非风险中性下企业资本价值的半闭式解及相应的最优经营策略和最优破产阀值。对应经典的资本资产定价（CAPM）理论，得到了企业家的期望收益率、贝塔系数、系统风险溢价和非系统风险溢价（idiosyncratic risk premium）。不同于传统观点，非系统风险溢价严格大于零。这些结论和数值计算表明，企业家的风险态度对企业资本价值、最优资本结构，资本投资策略、破产水平、贝塔系数、非系统风险溢价、期望收益率等具有显著的影响。 关键字：风险厌恶，个体风险溢价，破产，资本结构，公司金融 Optimal Consumption and Investment under Bankruptcy Protection Jinqiang Yang1, 2, Zhaojun Yang1 1School of Finance and Statistics, Hunan University, Changsha 410079 2School of Finance, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433 Abstract: Given a debt and a tax rate, this paper considers an optimal investment problem for a risk-averse entrepreneur facing business risk to maximize the expectation of total consumption utility through consumption smoothing, business investment, bankruptcy and financial risk investment, . We derive semi-closed-form solutions for capital value, business investment strategy and bankruptcy threshold in a non-risk-neutral world. In addition, we obtain the expected return, beta coefficient, system risk premium and idiosyncratic risk premium corresponding CAPM. Unlike to the classical theory, the idiosyncratic risk premium is strictly positive once the entrepreneur is risk-averse. The conclusions and numeric results show that the risk attitude of the entrepreneur has a significant effect on the value of the capital, capital structure, investment strategy, beta coefficient, system and idiosyncratic risk premium and expected return. Keywords: Risk aversion; idiosyncratic risk premium; Bankruptcy; Capital structure; Corporate finance JEL classification: D92; E22; G12 * 国家自然科学基金项目(70971037)；国家留学基金委员会资助项目“留金出[2009]3012号”。 † 通信作者，湖南省长沙市石佳冲，湖南大学金融与统计学院，邮编410079。E-mail: zjyang@;Tel.: 0731-88649918。 1 / 11
一、引言 企业家常常面临着不可分散的经营风险，怎样通过战略调整企业资本存量来控制企业规模进行产出优化、破产保护及相应的企业资本资产定价一直是公司金融的一个经典和热门的话题，其开创性工作始于Jorgenson (1963)的无摩擦可逆动态投资理论的研究，他得到了“最优投资使得资本的边际价值等于资本的边际成本”这一经典的经济学结论。随后引起广大学者对动态公司金融理论的极大研究热情，并以此为基础进行了多元化扩展，如Eisner and Strotz (1963)、Rothschild(1971)和Nickell (1978)分别对具比例成本和固定成本的资本规模调整问题的研究，Arrow (1968)对企业不可逆投资进行的相关分析，Tobin (1969)提出的公司资产定价Q理论，随后Mussa (1977)和Abel (1983, 1994)分别就确定性模型及随机模型进行了进一步探讨， Mello和Parsons(1992)研究了实物投资和破产决策与债务评估相互作用的相机权益模型。Leland(1998)采用实物期权方法，在假设公司资产价值服从几何布朗运动的基础上，研究了内生的公司破产机制、资本结构、代理成本和风险管理等问题， 而Bolton, Chen and Wang(2009) 研究了风险中性下企业的最优动态投融资及风险管理问题。我国学者简志宏和李楚霖（2001，2002）、刘向华和李楚霖（2005）讨论了杠杆公司的破产决策和债务重组问题。 上述研究都是基于风险中性下的定价，本质上沿袭了经典的“金融资产定价等于现金流贴现和”的理论，因而忽视了投资者的风险态度在资产定价中的决定作用。应该承认，风险中性假设便于模型计算且具有一定的合理性：例如，在完备市场下，利用Arrow-Debreu的分离原理可将企业家的最优化问题分解成先财富最大化后效用最大化的问题，这表明完备市场下企业家的风险态度对最优投资与企业资本资产定价没有任何影响。 然而，市场往往是不完备的（即存在不可分散的风险）。例如，对于中小型未上市企业的权益拥有者（企业家）来说，往往面临着不可对冲的经营性风险。现在已经普遍知道，在非完备市场条件下，投资者的风险态度对于项目评估和资产定价具有重要的影响，始终坚持在风险中性条件下讨论投资定价问题显然是不科学的，更何况经济理论表明：风险中性并不具有经济学的合理性，相反，实际的企业家（投资者）往往是风险厌恶的，通常需要更高的风险溢酬（即除系统风险溢价之外的非系统风险溢价）。因此，基于效用（风险态度）的消费投资定价理论得到迅速发展：如Henderson (2007)、Miao and Wang（2007）、Ewald and Yang (2008)及Chen, Miao and Wang（2010）采用实物期权分析方法研究了基于消费效用最大化目标下的企业最优投融资问题。胡援成和姜光明（2006）得到了企业家效用最大化下的最优资本结构，叶文忠、杨招军和郑毅（2010）给出了抵押贷款证券的效用无差别定价。 本文的创新体现在：针对上述经典公司金融模型的“风险中性假设”的缺陷，研究企业家在非完备市场下通过平滑消费、控制实业投资规模、选择破产保护及金融投资组合来最大化无限期内的消费总效用的经营决策问题，利用结果进行对比分析，发现企业家的风险态度对企业资本价值、最优资本结构，资本投资策略、破产决策、非系统风险溢价及企业家的期望收益率等都具有显著的影响，而对企业的贝塔系数和系统风险溢价影响较小。 本文其余部分安排如下：第二章为经济建模，分别对企业的生产技术、金融投资机会、债务破产、消费及财富动态和企业家的目标函数进行详细刻画。第三章探索模型的求解方法，给出了解的最优性条件及在CARA(Constant Absolute Risk Aversion)消费效用函数条件下模型的半闭式解，给出了本文的主要理论结果。第四章利用数值计算分析了风险（厌恶）态度对企业价值、资本投资以及相应资产定价的影响。第五章为本文总结。附录给出了本文定理的推导细节。 2 / 11
二、经济建模 1. 企业的生产技术 假设某个企业家拥有某个企业的所有权益，该企业利用实物资本进行生产，不失一般性，设资本的正规化价格为1。定义K为企业的资本存量，I为单位时间内有效投资数量。假设企业资本存量服从如下的随机扩散过程（见Kogan（200,2004）及Pindyck and Wang (2009)）： dK=(I−δK)dt+σKKdZ, (1) ttt其中δ为单位时间内的资本折旧率，Z为标准的布朗运动。进一步假设企业服从“AK”类t型的生产方式，即营业收入dY决定于： dY=(AK−I−G(I,K))dt, (2) ttttt其中A表示企业的生产能力，而G(I,K)为资本投资时的调整费用。进一步假设资本投资的调整成本函数为(Bolton, Chen and Wang(2009)): 2 G(I,K)=()=θgiKiK, (3) 2其中i=I/K为投资-资本比。 2. 金融投资 假设金融市场中存在无风险资产及一个风险资产（如某个投资组合，下称风险资产组合），其中无风险利率为 r，风险资产组合价格M 服从以下扩散过程： t dM/M=µdt+σdB (4) tmm,tt其中µm与σm为常量分别表示风险资产组合的回报率与波动率，B为标准布朗运动，且B与ttZ之间的相关系数为ρ(ρ≤1)。定义η=(µm−r)/σm>0为金融市场的夏普比率(sharpe tratio)。记Φ为企业家在风险资产组合的投资额。 t3. 债务、破产 定义D为企业的债务，其支付率等于无风险利率r。当未来营业收入过度下跌时企业家选择破产，其单位资本的清算价格为l。债务合约规定企业实行无限责任制，即当企业破产后，企业家必须一次性如数偿还所有债务。 4. 消费及财富动态 企业家通过消费获得效用，定义C、U(C)分别为t时刻的消费及消费效用。因此，企tt业正常的运营期间，企业家的流动性(金融)财富过程W满足如下动态过程： tdW=r(W−Φ)dt+Φ(µdt+σdB)−Cdt+(1−τ)(dY−rDdt) (5) ttttmmttt 其中τ为企业所得税，右侧第一项与第二项表示无风险资产与风险资产组合的收益，第三项表示消费支出，四项是企业的税后净营业收入。而当企业实行破产之后，其财富动态表现为： dW=r(W−Φ)dt+Φ(µdt+σdB)−Cdtttttmm (6) tt 3 / 11
5. 企业家的目标 直觉上①，当企业资本存量过低时企业的营业收入也会降低，如果继续经营企业会出现资不抵债，所以企业家在资本降到某一阀值（假设为K）时会及时的对企业进行破产清算。企业家作为整个企业权益所有者从事企业的经营管理工作，他的目标是根据当前的企业资本存量、自身的流动性财富水平，通过选取最优消费策略C，实业投资策略I，金融tt投资策略Φ以及最优的破产决策（即确定阈值K）来最大化如下无限期内期望消费总效用t（值函数）②： ∞ J(K,X,W)=max{e−ru EU(C)Φt∫u} (7) u,Iu,u,Kt三、模型求解 1. 最优性条件 利用标准的动态最优控制原理，当K∈(K,+∞)时可得值函数J满足下面 的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程： rJ=max { U(C)+(rW+Φ(µ−r)−C+(1−τ)(AK−I−G(I,K)−rDJCΦm))W, I, 22KσmΦJWW2ρσσKJσ2K2mKWKKJ (8)++Φ+ I−δJ+KK ()K}.2上式很像资产定价公式，表示值函数的回报率（左侧）等于瞬时消费效用（右侧第一项）与其他各状态变量总的期望改变率（右侧其它项）。利用最优消费策略C，实业投资策略I及金融投资策略Φ的一阶优化条件，可得： UC(C)=JW, (9) JK=(1−τ)(1+G)J, (10) IW−JW−ρσKKJΦ=ηWK . (11) σmJWWσmJWW(9)式表示最优策略应使得边际消费效用等于财富的边际效用。(10)式表示企业资本投资的边际成本等于边际收益。(11)式意味着其右侧第一项的均值方差（mean-variance）需求与第二项的套期保值（hedge）需求决定了其金融投资策略。当K=K实施破产，之后企业家的最优化问题变为一个标准的Merton最优投资消费问题。定义其价值函数为V(W)。 下面我们来分析值函数的边界条件。在破产前后的瞬间，企业家的流动性财富变化为W+=W−+lK−D，利用值函数的价值匹配条件（value-matching condition），可得： tt J(K,W)=V(W+lK−D), (12) 利用最优化问题的平滑粘贴条件可得： JK(K,W)=VK(W+lK−D). (13) ① 亦可参见Wang (2010)。 ② 其中还要求投资消费满足可积条件tttC2∫<+∞22,∫I<+∞,∫Φ<+∞，这些条件数学上保证0t0t0t模型计算有意义，经济学上意思是禁止恶意透支。 4 / 11
2. CARA效用函数下模型的解 一般来说，CRRA（Constant Relative Risk Aversion）族效用函数比较受经济学欢迎，但在分析多维变量的经济学问题时，CARA(Constant Absolute Risk Aversion)族效用函数在降维方面具有显著优势①。本文为简化问题而又不失突出本文的研究主旨，我们采用CARA效用，即指数类效用函数 U(C)=−(eγC−1)/γ, (14) 其中参数γ表示企业家的风险厌恶系数。则得破产之后企业家的价值函数为②： η2−γrW+2γr2VW=−e−1 () (15) γr通过猜测-验证的方法，可得企业经营期间的价值函数有如下形式： η2−γrW+P(K)+=−e2γr2−1 J(K,W) (16) γr其中，P(K)是企业的（隐含的）资本价值，实际上它也可以解释为企业消费效用无差别价值③或者是企业的确定性等价财富(certainty equivalent wealth)。我们可以用下面的定理来总结本文的主要结论（推导细节见附录）。 定理1 如果企业家面临着不可分散的经营性风险，则企业的资本价值P(K)满足下面的自由边界非线性常微分方程(ODE)： 222K=−AK−rD+1−τP′(K)′′−K+−KσKKP(K)rP()(1τ)()1(ρησAδ)P′(K)+2θ1−τ2 (17) −2222′−γr(1ρ)σKKP(K) .2且具有如下边界条件： PK=−2(1−)(1+2θ)1/21/2(), ′(K==AlKDP)l, lim P(Kτ)K+o(K) (18) K→∞σKθγr(1−ρ2) 最优消费，实业投资及金融投资策略分别为 η2C=1P′(K)1K +()+ηρσrWPK, i=−1, Φ=−KP′(K). (19) 2γr2θ1−τγσmrσm最优资本结构*(D,K)满足 P* ′(K)=1−τ. (20) 企业家的期望收益率和贝塔系数分别为： ① 见Miao and Wang(2007)及Wang, Wang and Yang(2010)采用CRRA效用函数分析流动性财富水平对企业价值的影响。 ② 见Miao and Wang(2007)。 ③ 见Yang and Yang (2010)及Miao and Wang(2007)。 5 / 11
K=++−=ρσKKP′(K)µ()rα(K)β(K)(µr), β(K). (21) emσmP(K) 其中α(K)表示非系统风险溢价，β(K)(µm−r)表示系统风险溢价，其值分别为： 22(1)22() KγrρσKKPK()α()=−′, β(K−=KP′K)(µmr)ρησPKK. (22) 2()P(K)现在我们对以上结果进行简单的分析：首先（17）式中的最后一项−γr−ρ2σ222(1)KKP′(K)/2直接体现了非风险中性定价对企业价值的影响作用。在非风险中性条件下，风险厌恶系数γ或者非系统风险22(1−ρ)σK越大，企业价值越小。（19）式中的最优消费策略表明最优消费恰好为企业家的所有财富产生的无风险“利息收入”，这些财富包括流动性财富W、隐含的非流动性财富P(K)以及隐含的金融风险投资的超额收益η2/2(2γr)，(17)式的第二个等式表明 (1-τ)(iθ+1)=P′(K)，即最优资本结构使得资本的边际成本等于边际收益。由于资本的隐含价值是资本存量的单调递增函数，（19）和（20）式表明当资本存量超过K*时，投资为负数，从而直接减少资本存量；相反，当资本存量低于K*时，则投资为正数，从而增加资本存量直至维持均衡资本存量水平K*。通过（21）-（22）式我们发现相关系数ρ对套期保值策略、企业家期望收益率以及企业的贝塔系数和系统风险溢价都具有显然的影响。尤其值得注意的是：（21）-（22）清楚地表明了投资者风险厌恶（γ>0）导致非系统风险溢价α(K)>0，这与传统的风险中性（γ=0）条件下的结果是完全不同的。事实上，传统观点认为：只有系统风险产生风险溢价，非系统风险可以通过组合投资的方式而被完全分散化解，因而对非系统风险没有额外补偿（即α(K)=0）。 四、数值结果分析 1. 参数选择 在本文的数值分析中，我们参考了经典论文的参数选择，假设基本的模型参数为：① A=, σK=, r=,δ=（Bolton, Chen and Wang(2009)）；② σm=, η=（见Zakamouline and Koekebakker (2009)）；③θ=8,τ=,D=10,l= 。 2. 数值结果分析 图1给出了风险厌恶系数γ对企业价值、资本投资策略及破产决策的影响。首先来分析企业资本量K的直接影响，不难发现企业价值P(K)是K的单调递增函数，而投资比率i是K的单调递减函数，这是符合直觉的，因为资本存量的增加一方面增加了企业的营业收入，而另一方面增加了企业资本的波动性使企业遭受更大的经营性风险，所以企业会通过i来调整资本存量以期达到最优值K*。然后再分析风险厌恶态度γ的影响。与直觉相符，企业家越厌恶风险（即γ越大），则他会觉得企业价值越小，因为企业资本具有波动性（风险）σK。同时可得每减小一单位资本对企业的价值影响也就越小，所以企业家通过破产控制下行风险的动机就越小，所以破产阀值K就随γ增大而减小。资本投资比例则随着风险厌恶系数的增加而减小，因为投资单位资本的成本相同，而收益越小则投资的动机就越小。当γ越大，最 6 / 11
优的资本存量K*越小，因为此时企业家所面的绝对风险（资本存量意外波动）越小，其企业的资产负债率越高。 图2给出了风险厌恶态度对企业贝塔系数，风险溢价及企业家期望收益率的影响。利用边界条件可知当K→∞时，KP′(K)/P(K)→1/2。所以不难理解当资本存量大于一定值时，随资本存量K的增加贝塔系数和系统风险溢价趋于常数而非系统风险及企业家期望回报率逐渐增加至无穷大。而当风险厌恶系数越大，企业家承受相同的风险时，对非系统风险溢价的要求也就越高。而风险厌恶系数对系统风险本身的影响不大，所以企业家的期望收益率与非系统风险溢价受到相似的影响。 图1 风险厌恶态度对企业价值，资本投资及破产决策的影响 7 / 11
企业的贝塔系数系统风险溢价: β(µm-r): β γ=γ=γ= 05010015020050100150200企业的资本存量: K企业的资本存量: K非系统风险溢价企业家的期望收益率: µ: α企业的资本存量: K企业的资本存量: K图2 风险厌恶态度对企业贝塔系数，风险溢价及企业家期望收益率的影响 五、结论 本文假设一个拥有企业全部权益的企业家面临着随机非系统风险，在给定的债务及企业所得税率下，通过最优消费、实业资本投资、破产保护以及金融风险投资，达到最大化无限期内消费总效用的目的。运用随机最优控制方法、资本资产定价及消费效用无差别定价理论，得到了企业资本的隐含价值、最优控制策略、企业家的期望收益率、企业的贝塔系数、系统风险和非系统风险溢价。 我们发现：风险厌恶导致非系统风险溢价严格大于零，这与传统的风险中性条件下的结果是完全不同的。事实上，传统观点认为：只有系统风险产生风险溢价，非系统风险可以通过组合投资的方式而被完全分散化解，因而对非系统风险没有额外补偿，即其风险溢价为零。 理论分析和数值结果进一步表明：风险厌恶系数的增加显著减少了企业价值、资本投资数量和破产阀值，同时会显著增加企业的资产负债率、非系统风险溢价以及期望收益率，而对企业的贝塔系数及系统风险溢价影响不大。 总体来说，与现有理论方法相比，本文考虑理性企业家厌恶风险的事实，对企业资本资产给出了更为科学的价值评估，基于这种定价机制的最优经营策略，能够更加有效的优化企业的资本结构、控制企业的下行风险，从而为实现企业家的效用最大化提供了更加有效的理论依据及具体操作方案。 附录 定理1的推导过程： 8 / 11
通过猜测-验证的方法可得值函数的形式为 η2−γrW+P(K)+=−e2γr2−1 J(K,W). (23) γr分别把它代入(9)、(10)、(11)并整理可得： 21′()C=ηPKη1ρσ rWPKA+()+, i=1−, Φ=−KP′(K), (24) 2γr2θ1−τγσmrσm2=−−D+1−τP′KrPKτAKr()()(1)()1−K+(ρησA−δ)KP′(K)2θ1−τ (25) σ222222KKP′′(K)γr(1−ρ)σKKP′+−(K) .22把(23)分别代入(12)-(13)可得边界条件： f(K)=lK−D, f′(K)=l. (26) 当K→∞时，我们猜测猜测验证可得=aK1/2+oK1/2limP(K)()K→∞，代入(23)式可得： =2(1−τ)(1+2θA) a. (27) σ−2Kθγr(1ρ)对于给定的融资策略（D是外生的），一旦企业达到最优资本结构（定义为*(D,K)），企业家就不会主动改变资本存量，即K=K*时，i=0。利用(22)式可得 * P'(K)=1−τ. (28) 定义Re为企业家的累积收益率，则得： =(1−τ)(dY−rDdt)+dP(K)dRteP(K)=−τAK−I−GIK−+−22(1)((,)rD)(IδK)P′(K)+σKKP′′(K)+σKKP′(K)dtdtdZP(K)2P(K)P(K)KP(K)γr(1ρ22)σ22′KKP(K)σKKP′=−′++(K)rρησKdt+dZ.P(K)2P(K)P(K) (29) 所以企业家的期望收益率µe为： 2222K=E[dRe]=+KP′(K)+γr(1−ρ)σKKP′(K)µe()rρησdK. (30) tP(K)2P(K) 企业的贝塔系数为： CdMovdRe,==ρσ′ βKMKKP(K) (). (31) VdMdMσmP(K)arM,M 9 / 11
企业的系统风险溢价为： K−=KP′(K)β()(µmr)ρησK. (32) P(K) 企业的非系统风险溢价α为： 22K=K−−−=γr(1−ρ)σK2P2K′(K) α()µe()rβ(K)(µmr). (33) 2P(K)参考文献 Abel, A. B. 1983, Optimal Investment under Uncertainty. American Economic Review, 73(1), 228-33. Abel, ., & Eberly, . 1994, A unified model of investment under uncertainty. American Economic Review, 84, 1369-1384. Arrow, . 1968, Optimal Capital Policy with Irreversible Investment. in J. N. Wolfe, ed., Value, capital and growth. Papers in honour of Sir John Hicks. Edinburgh: Edinburgh University Press, 1-19. Bolton, P., H. Chen & N. Wang, 2009, A unified theory of Tobin s q, corporate investment, financing and risk management, working paper Chen, H., & Miao, ., & Wang, N. 2010, Entrepreneurial Finance and Non-diversifiable Risk. Review of Financial Studies, forthcoming. Eisner, R., & Strotz, R. H. 1963. Determinants of Business Investment. In Impacts of Monetary Policy, studies prepared for the Commission on Money and Credit. EnglewoodCliffs, .: Prentice-Hall. Ewald, ., Yang, .. Utility Based Pricing and Exercising of Real Options under Geometric Mean Reversion and Risk Aversion Toward Idiosyncratic Risk. Mathematical Methods of Operations Research, 2008, 68(1): 97-123. Henderson, V. 2007, Valuing the option to invest in an incomplete market. Mathematics and Financial Economics, 7(1), 103-128. Jorgenson, Dale W. 1963, Capital Theory and Investment Behavior. American Economic Review, 53(2), 247-59. Kogan, L. 2001, An Equilibrium Model of Irreversible Investment. Journal of Financial Economics, 62, 201-245. Kogan, L. 2004, Asset prices and real investment. Journal of Financial Economics, 73, 411-431. Le, D. T. & Jones, . 2005, Optimal investment with lumpy costs. Journal of Economic Dynamics and Control, 29, 1211-1236. Leland, . 1998, Agency costs risk management and capital structure. Journal of Finance, 49,1213-1254. Merton, . 1971, Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model. Journal of Economic Theory, 3(4), 373-414. Miao, ., & Wang, N. 2007, Investment, Consumption and Hedging under Incomplete Markets. Journal of Financial Economics, 86(3), 608-642. Mussa, M. 1977, External and Internal Adjustment Costs and the Theory of Aggregate and Firm Investment. Econometrica, 44(174), 163-178. Mello . and . Parsons. 1992, The agency costs of debt. Journal of Finance, 47,1887-1904 . 10 / 11
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